стационарного случайного процесса
advertisement
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Основные понятия Случайный (стохастический) процесс характеризует изменение какой-либо случайной физической величины при ее наблюдении. В радиотехнике обычно рассматривают случайные процессы, зависящие от одного аргумента - от времени, а физическими величинами являются электрические величины - напряжение, ток, напряженность поля, фаза и другие. Для математического описания случайного процесса вводится понятие случайной функции. Если xt это случайная функция, представляющая случайный процесс, то ее значение xt i в фиксированный момент времени ti , является случайной величиной, xt i так как значения в идентичных условиях могут быть различными. В этом заключается отличие случайных функций от детерминированных, которые однозначно определяются значениями своих аргументов. Рассмотрим одну из возможностей классификации случайных процессов: 1. Импульсный случайный процесс это последовательность одиночных импульсов различной формы со случайным периодом следования. К таким процессам можно отнести искусственные импульсные помехи, атмосферные помехи (разряды), помехи от электроустановок. 2. Флуктуационный случайный процесс - это результат наложения большого числа импульсных процессов. Реализации флуктуационного процесса, в отличие от импульсного, являются непрерывными функциями времени. К таким процессам относятся тепловые и космические шумы, шумы радиоэлементов и другие. 3. Специальный случайный процесс это результат целенаправленного преобразования некоторых исходных процессов. Например, таким процессом является гармоническое колебание, которое модулируется по амплитуде флуктуационным напряжением, а по частоте - случайными импульсами. Законы распределения и характеристики случайных процессов Случайный процесс X t может быть представлен совокупностью его x1 t ,..., xm t , где m - число реализаций независимых опытов, в результате которых получены эти реализации. Реализация случайного процесса xt x1 t x2 t x3 t t xm t t1 0 t2 t3 tn Результат наблюдения случайного процесса xt в фиксированные моменты t1 ,..., t n времени - это система случайных величин X t1 ,..., X t n . Рассмотрим сечение случайно го процесса в произвольный момент времени t . Полученная случайная величина имеет закон распределения, t который зависит от . f x, t Функция называется одномерным законом распределения случайного процесса. Более полной характеристикой процесса является двумерный закон распределения f x1 , x 2 , t1 , t 2 это закон распределения системы двух случайных X t1 , X t 2 величин в моменты времени t1 ,t 2. В общем случае процесс описывается n -мерным законом распределения f x1 ,..., xn , t1 ,..., t n . Практическое использование многомерных законов распределения затруднено, поэтому для описания основных особенностей случайных процессов пользуются их характеристиками, т е. неслучайными функциями, аналогичными числовым характеристикам случайных величин. Математическим ожиданием случайного процесса называется функция m x t,которая при каждом t равна матожиданию соответствующего сечения случайного процесса. Дисперсией и среднеквадратическим отклонением случайного процесса называются функции. D x t D X t x t D x t Данных характеристик недостаточно для описания особенностей случайных процессов. Рассмотрим два случайных процесса с одинаковыми матожиданием и дисперсией. Y t X t m x t t t m y t Для процесса X t характерна ярко выраженная зависимость между его сечениями при различных значениях t , для процесса Y t эта зависимость уменьшается по мере увеличения интервала времени между сечениями. Указанная зависимость описывается корреляционной функцией. Стационарный случайный процесс Стационарный случайный процесс (ССП) – это процесс, который протекает во времени приблизительно однородно, т.е. существенно не изменяются его вероятностные характеристики. Он имеет место в установившемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях. Случайный процесс X t называется стационарным в узком смысле, если все его многомерные плотности распределения вероятности f x1 ,..., xn , t1 ,..., t n не меняются при любом сдвиге всей группы точек t1,..., tn вдоль оси времени, при любых значениях n и справедливо равенство: f x1 ,..., xn , t1 ,..., t n f x1 ,..., xn , t1 ,..., t n Аналогичные равенства должны выполняться и для других вероятностных характеристик (функций распределения, моментных и корреляционных функций). n 1 Из выражения следует, что при и 1 , выполняется условие: f x1 , t1 f x1 , t1 t1 f x1 т.е. одномерная ПРВ ССП не зависит от выбранного момента времени. Для стационарного процесса матожидание являются константами, т.е. m x t m x const случайного и дисперсия D x t D x const Условие для матожидания не является существенным, так как от исходного процесса всегда можно перейти к центрированному процессу, для которого матожидание тождественно равно нулю и является постоянной величиной, т.е. процесс, нестационарный только за счет переменного матожидания, всегда может быть приведен к стационарному. Рассмотрим корреляционную функцию K x t1, t 2 . Пусть, тогда для стационарного процесса корреляционный K x t1 ,t1 момент двух сечений, разделенных интервалом , не зависит от того, где выбран момент t1 , а зависит только от значения интервала : K x t1 , t1 K x т.е. равенство является единственным существенным условием стационарности. В ряде задач все вероятностные характеристики случайных процессов не используются, в связи с чем введено понятие стационарности в широком смысле. Случайный процесс X t называется стационарным в широком смысле, если его матожидание постоянно, не зависит от времени, а корреляционная функция K x t1,t2 зависит только от интервала t2 t1. В общем случае эти определения стационарности не тождественны. Стационарность в узком смысле является более строгим и иным условием, чем стационарность в широком смысле. Эргодический процесс Рассмотрим два стационарных процесса, представленные своими реализациями. X 2 t X 1 t t Эргодический и неэргодический процессы t Для процесса X1t любая отдельная реализация на достаточно большом интервале наблюдения дает хорошее представление о свойствах процесса в целом, чего нельзя сказать о процессе X 2 t . В частности, матожидание процесса X 2 t можно получить только усреднением матожиданий всех полученных реализаций. Для эргодических стационарных процессов вероятностные характеристики могут быть получены усреднением соответствующих характеристик либо для многих реализаций, либо для одной реализации за достаточно большой промежуток времени, для неэргодических - только усреднением для многих реализаций. Определим условие эргодичности стационарного процесса Рассмотрим случайный процесс Z t X t Y где X t - эргодический процесс с характеристиками mx , K x ,а Y некоррелированная случайная величина с характеристиками m y и Dy . Тогда , K z K x Dy mz mx my (так как Dy M Y m y 2 M Y t1 m y t1 Y t1 m y t1 а Y от t не зависят) Следовательно, процесс Z t является стационарным, но не эргодическим, так как каждая реализация Z t зависит от конкретного значения Y. Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что об эргодичности стационарного процесса свидетельствует вид его корреляционной функции. Если функция K x 0 при , то K z Dy при . Условие lim K x 0 является необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного процесса. Статистическое определение и измерение характеристик эргодических случайных процессов Математическая статистика изучает случайные процессы на основе обработки статистических данных, которыми служат результаты наблюдений или измерений. Пусть наблюдается ССП . Как известно, для такого процесса одномерная плотность распределения вероятности не зависит от времени. Нахождение этой плотности сводится к построению гистограммы выполняется следующим образом pi* p2* p1* pn* 0 xmax x min x1 Гистограмма случайного процесса x3 x2 x4 x xN T t t X t xN За время наблюдения Т получают N дискретных значений x1,..., xN реализации случайного процесса, N — объем выборки. Чем меньше интервал дискретизации процесса и чем больше N. тем точнее выборка x1,..., xN отображает вероятностные свойства рассматриваемого процесса. Определяется размах реализации случайного процесса xmax xmin (диапазон изменения) который разбивается на n интервалов шириной xmax xmin x n после чего подсчитывается число попаданий ki значений x1,..., xN в каждый из интервалов . Очевидно, что k1 k2 ... kn N Отношение ki / N является частотой попадания случайной величины в i -й интервал, т.е. pi* ki / N . Основное нормировочное условие N N 1 N * pi ki 1 N i 1 N i 1 соблюдается. График гистограммой. pi* i и называется Зависимость экспериментальной плотности от fi* pi* / x соответствующих значений случайной величины, т.е. , является f i* статистическим аналогом графика плотности распределения вероятности и совпадает по форме с построенной гистограммой Величина интервала x определяется обычно экспериментально из условия наибольшей слаженности гистограммы. Чем больше N, тем точнее гистограмма приближается к графику плотности распределения вероятности , так как при N , имеем p* p . По полученной выборке x1,..., xN , можно вычислить величины, которые называют оценками числовых характеристик процесса. Оценка матожидания вычисляется, по формуле N 1 * mx xi N i 1 и совпадает с средне арифметическим значением величины xi . Оценка дисперсии N N 2 1 1 * * 2 2 * Dx ( xi mx ) xi (mx ) N i 1 N i 1 Оценка значения функции корреляционной N 1 K *x ( xi m*x )( xi k m*x ) N i 1 где k / t , t - интервал дискретизации процесса. При аппаратурной реализации аналоговых измерителей характеристик процессов применяют формулы усреднения по времени. Оценка матожидания пропорциональна постоянной ее составляющей процесса и может быть непосредственно измерена инерционным стрелочным вольтметром или цифровым вольтметром с входам интегратор. T 1 * mx xt dt T0 Измеритель оценки дисперсии (должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Возведение в квадрат усреднение выполняются инерционным квадратичным вольтметром. D*x T 1 * 2 ( x t m x ) dt T0 Измерение оценки корреляционной функции согласно формул K *x T 1 * * ( x t m )( x ( t ) m x x )dt T0 выполняется по схеме 1 где линия переменной задержки на время , V инерционный вольтметр, усредняющий перемноженные значения xt mx и xt mx . Схема 1 Измеритель оценки корреляционной функции xt U K * K x T 1 * x V * * ( xt m x )( x(t ) m x )dt T0
