Получение случайных процессов с заданными характеристиками. Рассмотрим систему получения класса нормальных случайных процессов с экспоненциальной автокорреляционной функцией, называемых Марковскими. Блок-схема системы, обеспечивающей генерирование Марковских случайных процессов с заданными характеристиками, приведена на рисунке 1. Система включает 3 блока: - генератор случайного процесса с равномерным распределением 1. - генератор нормального стандартного случайного процесса 2. - генератор цветного нормального Марковского случайного процесса с заданными характеристиками 3. 1. Получение равномерной случайной величины. Практически во всех языках программирования имеются генераторы случайной величины RND с равномерным распределением от 0 до 1. Случайные величины с данным распределением имеют следующие характеристики: 1 Мат. ожидание: m0 1 x f x dx x2 1 2 0 x dx 0 0 Дисперсия : D( x ) m0 x 2 M x 0,5 ; 1 2 2 x f x dx M x 0 Выход генератора обозначен R x , 2 x3 1 3 0 1 4 1 . 12 R 0,5; 1 , 12 2 2 где x - мат. ожидание - дисперсия. Временной график и функция распределения данного и других сигналов приведены на рисунке 2. 2. Получение стандартной нормальной случайной величины. Стандартная случайная величина- это нормальный случайный процесс с нулевым средним и единичной дисперсией N(0,1). В блоке 2 производится суммирование 12 последовательно следующих от генератора N(0,5;1/12) величин для получения одной случайной величины с нормальным законом распределения. По закону больших чисел случайная величина, на которую влияет большое количество случайных величин с равномерными вкладами и различными законами распределения имеет нормальное (Гауссовое) распределение. Практически уже при 5 - 6 факторах выходная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Поэтому полученная сумма 12 случайных чисел имеет нормальное распределение с параметрами: 1. Мат. ожидание: M 12 12 r 1 2. Дисперсия: D 12 1 12 r 1 Dr 1 12 M (r ) 0,5 6; 1 12 1 12 1. Для получения нулевого среднего из суммы вычитается число 6. У полученного сигнала N(0,1) последующие друг за другом значения не коррелированы. Его корреляционная функция не равна нулю только при 0 , т.е. при при 2 R 0 0 . 0 Спектральная плоскость данного сигнала имеет постоянное значение S C s( )d 2 во всем диапазоне частот . Это означает при- сутствие в сигнале всех гармоник с частотами . Сумма цветов видимого спектра света дает белый свет. Отсюда данный сигнал получил название белый шум. 3. Получение нормального случайного процесса с заданными характеристиками производится в блоке 3 путем пропускания стандартного нормального случайного процесса через фильтр первого порядка и смещения случайной величины на величину среднего а. Передаточная функция фильтра: хд Wф (n) = k Tp 1 ; На выходе блока 3 будет нормальный случайный 2 N a, 2 , , где a, - среднее и дисперсия полученного сигнала 1 - характеризует спектр сигнала. T процесс Данный случайный сигнал имеет экспоненциальную корреляционную функцию: k . l Спектральная плотность сигнала равна: S 2 2 2 . Параметры k и Т фильтра определяются из условия получения задан2 . ной дисперсии и корреляционной функцией сигнала: T 1 ; k Выходной сигнал фильтра в разностном виде: t x3, k 1 a x3, k b x2 , k , где a l ; b k (1 l Начальное значение х3 принимается равным 0, тогда: x3 , 0 0 x3,1 a x3 , 0 b x2 , 0 x3 , 2 a x3,1 b x2 ,1 t ) ... и т.д. Из полученного сигнала отфильтрованы некоторые спектральные компоненты, поэтому он не является белым шумом и называется цветным шумом.