Случайные процессы и анализ временных рядов Random

Случайные процессы и анализ временных рядов
Random Processes and Time Series Analysis
Курс лекций в Саратовском государственном университете
им. Н.Г. Чернышевского осенью 2014 года
лектор: Янсон Наталия Борисовна, университет Лафборо (Великобритания)
Общее описание курса
Настоящий курс посвящен изучению случайных процессов и анализу временных
рядов. Идея данного курса состоит в том, чтобы дать студентам представление о
математической основе анализа экспериментальных и статистических данных. В
современном мире существует большое количество компьютерных программ, которые
используются в различных компаниях для обработки экспериментальных данных,
например, для анализа финансовых процессов. Однако, опыт показывает, что многие не
знают, как извлечь полезную информацию из данных, характеризующих случайные
процессы. Особая проблема связана с корректным выбором параметров использующихся
алгоритмов и с интерпретацией полученных результатов. На ознакомление студентов с
особенностями изучения случайных процессов и анализа временных рядов и нацелен
данный курс.
В начале курса будет дано представление об основных статистических методах,
использующихся для анализа случайных данных, для которых последовательность во
времени не важна. Затем будет сделано краткое введение в теорию случайных процессов и
подчеркнута важность порядка событий во времени; будут даны определения самых
необходимых характеристик случайных процессов, которые можно оценить по
временным рядам. После этого описываются практические методы и полезные приемы,
позволяющие посчитать нужные характеристики по данным, и перечисляются основные
источники ошибок, о которых необходимо иметь представление при интерпретации
результатов. В основной части курса будут обсуждаться классические, хорошо
разработанные и опробованные теории и методы, связанные с анализом данных. В
заключение студентам будет дано представление на концептуальном уровне о наиболее
современном, мощном, но и математически наиболее сложном методе выявления
временных масштабов в экспериментальных данных – вейвлетном анализе.
Лекционный курс будет прочитан полностью по каноническим правилам
типичного английского курса для бакалавриата, с использованием «lecture notes with gaps»
(готовых конспектов, которые раздаются студентам перед лекцией в распечатанном виде,
и в которых есть пробелы для некоторых формул), «lecture slides» (презентаций, по
которым читаются лекции, содержащие все формулы, которые студенты должны вписать
в конспект), «problem sheets» (листов с задачами на только что рассмотренную тему).
Курс рассчитан на 9 недель. На каждую неделю будет приходиться две
академических пары лекций и одна академическая пара семинара, на котором будут
рассматриваться задачи по только что представленному материалу.
Конспекты, слайды лекций и задачи для семинаров будут на английском языке. В
то же самое время, для наиболее широкого охвата аудитории, лекционный курс будет
прочитан на русском языке, с элементами английского, при этом соотношение русского и
английского языков будет подобрано лектором с учетом уровня владения студентами
английским языком. После завершения лекционного курса будет проведен письменный
экзамен по стандарту, принятому в британских университетов.
Программа курса
1. Статистика.
1.1. Напоминание об основных понятиях теории вероятности. Дискретные и
непрерывные случайные величины и их плотности распределения вероятности (ПРВ).
Свойства ПРВ, среднее значение, наиболее вероятное значение, дисперсия и стандартное
отклонение. Нормальное распределение (стандартное и нестандартное) и его свойства.
1.2. Понятие о случайной переменной, популяция и случайная выборка.
Выборочное распределение. Центральная предельная теорема и ее отношение к выборке.
Оценка среднего и дисперсии популяции по ее случайной выборке. Большая и малая
выборка, смещенная и несмещенная оценка.
1.3. Доверительный интервал. Проверка гипотез. Односторонний и двусторонний
критерии. Использование нормального распределения для оценки доверительного
интервала и проверки гипотез, когда случайная выбока является большой. Использование
t-распределения для малой выборки.
2. Случайные процессы.
2.1. Ансамбль реализаций случайного процесса. Плотность распределения
непрерывной случайной величины: от 1-го до N-го порядка. Квазидетерминированный
случайный процесс. Фундаментальная теорема для случайной величины.
2.2. Автокорреляционная функция и ковариация случайного процесса.
Стационарность случайного процесса. Стационарность различных порядков,
стационарность в широком смысле. Память случайного процесса и время корреляции.
2.3. Эргодичность случайного процесса и отношение к стационарности.
Эргодичность по отношению к среднему, дисперсии и ковариации.
3. Анализ временных рядов.
3.1. Визуальный анализ экспериментальных данных, нахождение средних
значений. Одномерная плотность распределения из экспериментальных данных: из
ансамбля реализаций и из одной реализации. Нахождение среднего, среднеквадратичного
и ковариации из одной реализации эргодического случайного процесса.
3.2. Временные масштабы в случайном процессе. Ритм, его временной масштаб и
устойчивость. Отношение к предсказуемости случайного процесса. Частотные
составляющие случайного процесса. Преобразование Фурье и его свойства. Амплитудный
и фазовый спектры Фурье. Преобразование Фурье специальных функций: дельта-функции
Дирака, сдвинутой во времени дельта-функции, константы, экспоненты мнимого
аргумента, косинуса, косинуса конечной длительности. Принцип неопределенности
преобразования Фурье.
3.3. Спектральный анализ случайных процессов. Спектральная плотность
мощности (спектр) и теорема Винера-Хинчина. Энергия и мощность случайного процесса.
Два метода нахождения спектра: по теореме Винера-Хинчина и по ансамблю реализаций.
3.4. Приближенная оценка спектра мощности по экспериментальным данным.
Ошибка, вносимая конечным временем наблюдения. Дискретное преобразование Фурье
конечного временного ряда и его ограничения. Выборка временного ряда и теорема
Котельникова-Найквиста. Искажение спектра из-за неправильной выборки. Операция
свертки и просачивание мощности в спектре. Процедура умножения на временное окно
для уменьшения ошибки при оценке спектра.
3.5. Представление о вейвлет-преобразовании и его применимость к
нестационарным данным.