ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 8: ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 8:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
1. Уравнения Пуассона
OXYZ
Oxyz
неподвижная система координат
подвижная система координат (ПСС),
жестко связанная с телом
G   a, b, c 
центр тяжести
n   1,  2 ,  3  единичный вектор верт. оси OZ
в ПСС
Выражение компонент орта n через углы Эйлера
 1  sin  sin  ,  2  sin  cos ,  3  cos
dn
dn
0 
 ω  n  0 Уравнения Пуассона
dt
dt
d 1
d 2
d 3
 r 2  q 3 ,
 p 3  r 1 ,
 q 1  p 2
dt
dt
dt
2. Динамические уравнения
Эйлера при наличии силы тяжести
Ap  C  B  qr  M xe
Динамические уравнения
Bq   A  C  rp  M ye
Эйлера в общем случае
e
Cr   B  A pq  M z
MO  OG  Pn
M x  P  2c   3b
M y  P  3a   1c 
M z  P  1b   2a 
Ap  C  B  qr  P  2c   3b
Bq   A  C  rp  P  3a   1c 
Cr   B  A pq  P  1b   2a 
Динамические уравнения Эйлера для
движения тяжелого твердого тела
3. Уравнения движения тяжелого
твердого тела вокруг неподвижной точки
 1  r 2  q 3
 2  p 3  r 1
Замкнутая система уравнений для
нахождения
 3  q 1  p 2
Ap  C  B  qr  P  2c   3b
 1 (t ),  2 (t ),  3 (t ), p(t ), q(t ), r(t )
Bq   A  C  rp  P  3a   1c 
Cr   B  A pq  P  1b   2a 
После нахождения
 1 (t ),  2 (t ),  3 (t ), p(t ), q(t ), r(t ) зависимости  (t ),  (t )
находятся из условий
 1  sin  sin  ,  2  sin  cos ,  3  cos
а оставшийся угол Эйлера
 (t ) из одного из кинематических уравнений Эйлера
p   sin  sin    cos 
q   sin  cos    sin 
r   cos   
4. Первые интегралы системы
1)
 12   22   32  1
n 1
2) Теорема об изменении кинетического момента
Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ
K O  n  const 
Ap 1  Bq 2  Cr 3  const
3) Сохранение энергии
T    const
1
T   Ap 2  Bq 2  Cr 2 
2
  Ph  P OG  n  P  a 1  b 2  c 3 


2
2
2
Ap

Bq

Cr

  2P  a 1  b 2  c 3   const
Из общей теории множителя Якоби известно, что для того,
чтобы интегрирование исходной системы можно было
свести к квадратурам при любых начальных условиях,
нужно найти еще один независимый от них интеграл.
5. Известные случаи
интегрируемости
А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в
неподвижной точке О
abc0
дополнительный интеграл KO2  A2 p 2  B 2 q 2  C 2 r 2  const
В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения
A  B, a  b  0
r  const
дополнительный интеграл
С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом
вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух
других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции
A  B  2C , c  0
дополнительный интеграл
 p 2  q2   1    2 pq   2   const
2
2
=
Pa
C
6. Вывод уравнения для угла
нутации в случае Лагранжа
 12   22   32  1
(2) A  p 1  q 2   Cr 3  b
2
2
(3) A  p  q   2 Pc 3  2e
(1)
 1  r 2  q 3
 2  p 3  r 1
q
p
A
(4)
 3  q 1  p 2
Ap  C  A rq  P 2c  2
Aq  C  A rp   P 1c  1
q 1  p 2  r  q 2  p 1    3  p 2  q 2 
A  q 1  p 2    C  A r  q 2  p 1   Pc  12   22 
d
A  q 1  p 2   Cr  q 2  p 1   A 3  p 2  q 2   Pc  12   22 
dt
2
b  Cr 3
2

(
e

Pc

)
Pc
1


3
3
A


3  (1)
(4)
(2) Cr
3
A
(3)
d
2 d
2
2 3 A2 3  2  3 
A2 32  3  3 
A
 3   3  3 
dt
dt
7. Качественный анализ движения ТТ в
случае Лагранжа
A2 32  3  3 
t   A
s1   3  s2
d 3
 3  3 
1    2
1
1
s1
Z
апекс A
3  s 
 3  cos 
s2
s
s3
Движение апекса А по сфере изображает
движение оси Oz , т. е. прецессию и нутацию
n
ось динамической
симметрии
Сферическое представление
движения тела
8. Быстро вращающееся тело:
псевдорегулярная прецессия
Начальные условия
размерности
t  0 :   ,     0,   0 ,     0
  f , C, c, P, A / C, 0 
ML
1
2
ML
L
1
1
1
T2
T

Аргументами должны являться безразмерные комплексы,
а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от
единиц измерения
cP


  f  2 , A / C , 0 
 C

Быстро вращающееся тело – большие

– малые значения параметра

cP
 2C
  0  c  0  случай Эйлера вращения симметричного тела
  0    0 (регулярная прецессия) f  , A / C, 0   0   0
A
2
Раскладывая в ряд Тейлора f   , A / C ,  0    b( A / C ,  0 )  O  
b  sin  0
C
Когда  велика, изменение угла нутации  настолько мало, что
прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало
отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией.
точный
результат
9. О пользе анализа размерностей
Доказательство теоремы Пифагора
Треугольник, а, значит, и его площадь,
полностью определяется величинами c и
размерности
c

S
S
 f ( c,  )
2
c
L 1
1
S  c f ( )
2
S  S1  S2
c2 f ( )  b2 f ( )  a 2 f ( )
c 2  b2  a 2

S2
a
c

S1

b