Document 4646823

Объем шара
x
A
M
C
O
R
B
Теорема
3
Объем шара радиуса R равен 4/3πR
x
Доказательство
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось Ox
произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной
к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с
центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его
площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R.
Из прямоугольного треугольника ОМС находим
R = √OC²-OM² = √R²-x²
Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула
верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х,
удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R. Применяя основную формулу
для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем:
R
R
R
R
R
V = ∫ п (R²-x²) dx = п R² ∫ dxп - ∫ x²dx = п R²x - пx³/3 = 4/3 пR³.
-R
-R
-R
-R
-R
Теорема доказана
Объёмы шарового сегмента, шарового
слоя и шарового сектора
А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него
какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α,
проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг,
получившийся в сечении, называется
основанием каждого из этих
сегментов, а длины отрезков
АВ=h
АВ и ВС диаметра АС,
х
α
перпендикулярного к секущей плоскости, называются
А
высотами сегментов.
О
С
Шаровой сегмент
Рис.1
Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h
(на рис.1 h =АВ), то объём V шарового сегмента
вычисляется по формуле:
V = пh² (R-1/3h).
· Б) Шаровым слоем называется часть шара,
заключённая между 2-мя параллельными секущими
плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении
шара этими плоскостями, называются основаниями
шарового слоя, а расстояние между плоскостями –
высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно
вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых
сегментов.
х
А
С
Шаровой слой
В
Рис.2
В) Шаровым сектором называется тело, полученное
вращением кругового сектора с углом, меньшим 90
градусов, вокруг прямой, содержащей один из
ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3).
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.
Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента
равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по
формуле:
V = 2/3 пR² h
h
r
R
O
Шаровой сектор
Рис.3
Площадь сферы
В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса
сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно,
для неё не пригоден способ определения и вычисления
площади поверхности с помощью развёртки. Для
определения площади сферы воспользуемся понятием
описанного многогранника.
Пусть описанный около сферы многогранник имеет n
граней. Будем неограниченно увеличивать n таким
образом, чтобы наибольший размер каждой грани
описанных многогранников стремился к нулю. За
площадь сферы примем предел последовательности
площадей поверхностей описанных около сферы
многогранников при стремлении к нулю наибольшего
размера каждой грани =>
2
S  4R