Презентация "Тела вращения"

Тела вращения
Объёмы тел вращения
Тела вращения
 Телом вращения называется такое
тело, которое плоскостями,
перпендикулярными некоторой прямой
(оси вращения), пересекается по
кругам с центрами на этой прямой.
Ось вращения
Объём цилиндра
 Объём цилиндра равен произведению
площади основания на высоту.
V  SH
2
V  r H
Объём конуса
 Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на
высоту.
1
V  SH
3
1 2
V  r H
3
Объём усечённого
конуса
1
2
2
V  h(r1  r1r2  r2 )
3
r2
h
r
1
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
Y
Y=f(x)
0
X
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
V(x)
Y
Y=f(x)
X
0
X
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
Y
Y=f(x)
V(x+h) - V(x)
X h
0
X+h
X
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
V(x)
Y
Y=f(x)
V(x+h) - V(x)
M
m
X h
0
X+h
X
m
h
М
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
m h  V ( x  h)  V ( x)  M h,
2
2
V ( x  h)  V ( x )
2
m 
 M .
h
2
Вывод формулы для объёмов
тел вращения
V ( x)  f ( x).
'
2
b
V (b)  V (a)   V ( x)dx,
'
a
b
V (b)  V (a)   f ( x)dx, a  b.
2
a
Шар: история
 Оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же
греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар"
образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности
сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения
над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.
Шары из жизни
Гигантский шар в
игрушечном городе
 Это - космический корабль "Земля",
рсположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА
в штате Флорида. По задумке эта
сферическая конструкция должна олицетворять будущее человечества.
Вывод формулы объёма шара
Y
-R
x y R
2
0
2
R
X
y  f ( x)   R  x , R  x  R.
2
2
2
Вывод формулы объёма шара
R
2
2
V    ( R  x )dx,
R
3
2
R
x
V   (R x  )
3 R
Объём шара
 Объём шара равен
4
V  R
3
3
Шаровой сегмент
 Шаровым сегментом называется часть
шара, отсекаемая от него плоскостью.
Объём шарового
сегмента
 Объём шарового сегмента равен
H
V  H ( R  ).
3
2
 Здесь R – радиус шара, а H – высота
шарового сегмента.
Шаровой сектор
 Шаровым сектором
называется тело, которое
получается из шарового
сегмента и конуса
следующим образом.
 Если шаровой сегмент
меньше полушара, то
шаровой сегмент
дополняется конусом, у
которого вершина в центре
шара, а основанием
является основание
сегмента.
 Если сегмент больше
полушара, то указанный
конус из него удаляется.
Объём шарового сектора
 Объём шарового сектора равен
2 2
V  R H
3
 Здесь R – радиус шара, а H – высота
соответсвующего шарового сегмента.