Проект изучения темы «Объем шара и площадь сферы». Организация урока обобщения и систематизации. Выполнили: студенты группы МИ-12-1 Гаранина Ксения, Фомина Виктория Учебник: Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян и др. – М: Просвещение, 2013 (Глава VII, § 4). 1.Обзор математической, общедидактической и методической литературы: 1) Изучение геометрии: 10-11 класс. Книга для учителя/ Саакян С.М., Бутузов В.Ф. –4-е изд., 2010. Книга предназначена для учителей, преподающих геометрию в 10-11 классах по учебнику авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.В. Кадомцева, Л.С. Киселевой, Э.Г. Позняка. Она написана в соответствии с методической концепцией этого учебника, полностью соответствует ему как по содержанию, так и по структуре. Книга содержит контрольные и самостоятельные работы, карточки для устного опроса, комментарии и решения к наиболее сложным задачам, варианты тематического планирования. К изучению темы «Объем шара и площадь сферы» приводятся методические рекомендации с указанием целей уроков; материала, необходимого для повторения; рекомендации к созданию соответствующих наглядных пособий; дана разбивка задач, которые рекомендуется решать в классе и дома. 2) Геометрия. 10-11 классы. Методические рекомендации для учителя. Часть 2. Базовый уровень. ФГОС/ Смирнов В.А., Смирнова И.М. - учебник. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. Пособие составлено на основе ФГОС среднего общего образования и предназначено в помощь учителю для работы в 10-м классе по учебнику: Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 классы (базовый уровень). Оно содержит программу, тематическое планирование и подробные конспекты уроков по геометрии, включающие в себя теоретический материал, устные упражнения, индивидуальные задания по карточкам, задачи для самостоятельной работы, математические диктанты, контрольные работы, а также материал для занимательных моментов уроков. По теме «Объем шара и площадь сферы» представлен методический подход к изучению данной темы, подробно описаны все действия построения и решения, все правила и теоремы, даны задачи, начиная от самых простых и заканчивая более сложными. 3) Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы/ Фарков А.В. , 2007 [2-е издание] В предлагаемом пособии рассмотрены основные методы и приемы решения олимпиадных задач по геометрии, в том числе и по данной теме «Объем шара и площадь сферы». Представлена подборка почти 200 олимпиадных геометрических задач, многие из которых встречались на олимпиадах разного уровня. Пособие предназначено для учащихся 5-11 классов, желающих самостоятельно познакомиться с основными приемами и методами решения олимпиадных задач по геометрии.4-е издание. 4) Ковалева С. Геометрия. 9-11 классы. Формирование предметных умений, задачи повышенной сложности, чертежи. ФГОС, [1-е издание], 2016 В пособие включены геометрические задачи по теме «Объем шара и площадь сферы», которые могут использоваться учителями математики в 9-11 классах на уроках, для составления дифференцированных домашних заданий, проведения школьных олимпиад, тренировочных практических работ, подготовки к экзамену. К каждой задаче подробно прокомментирован алгоритм решения, выделены наиболее трудные для обучающихся места, требующие особого разъяснения. Предназначено учителям математики; полезно студентам высших учебных заведений, а также старшеклассникам для самостоятельной работы. 5) Саакян С.М. О проведении зачетов по геометрии в X-XI классах. // Математика в школе, № 1, 1992. В статье представлены карточки для проведения зачета по теме «Объем шара и площадь сферы». Карточки составлены в пяти вариантах и состоят из аналогичных заданий (доказать теорему, решить задачу-факт и задачу на вычисление). 6) Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т.А. Иванова, Н.Е. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова – 2-е изд., испр. и доп. — Н. Новгород: НГПУ, 2009. В данном пособие говорится о том, что по окончании изучения тем, разделов, курсов, учебных предметов необходимо проводить специальные уроки – уроки систематизации и обобщения. Функция систематизации на таких уроках сводится к установлению структурнологических связей между отдельными единицами знаний данной темы, их связей с предыдущими темами, разделами курса и порой другими учебными предметами. Функция обобщения реализуется в выделении главного, общего, а именно в выделении ведущих понятий, положений, методов и способов их получения и применения. Таким образом, по окончании урока систематизации и обобщения изученная тема должна быть в сознании ученика представлена в виде системы ведущих ее понятий и методов их получения и применения. 7) Махмутов М. И. Современный урок и пути его реализации. – М., 1978 В данном пособие рассматривают типы и виды уроков, а именно урок обобщения и систематизации. Очень конкретно описывается структура построения урока по данному типу. 8) С.Г. Манвелов Конструирование современного урока математики. 2-е изд. – М.: просвещение, 2005 В данном пособие говорится о том, как должен строиться урок обобщения и систематизации знаний. Процесс обобщения и систематизации знаний предполагает такую последовательность действий: от восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию понятий, их категорий и систем, от них к усвоению более сложной системы знаний — овладению основными теориями и ведущими идеями изучаемого предмета. 9) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. М.: Вако 2010 год. Пособие содержит поурочные планы, составленные в соответствии с программой и "Обязательным минимумом содержания образовательных программ по математике", предназначенные для работы по учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Л. К. Киселево... » .По данной теме «Объем шара и площадь сферы» подробно описываются построения уроков, даются дополнительные задачи для решения темы. 10) Ковалева Г.И. Геометрия. 10-11 классы: задания на готовых чертежах по стереометрии. — Волгоград: Учитель, 2016. В пособии представлены задачи по стереометрии, предназначенные в первую очередь для организации устной работы учащихся, ориентированные для работы с учебником по геометрии Л. С. Атанасяна и др., применимые к любому действующему учебнику. Каждая тема включает двенадцать задач, расположенных в порядке возрастания степени трудности и сопровождаемых готовыми чертежами. Учитель сможет выбрать те или иные задачи на готовых чертежах в зависимости от дидактической цели урока и уровня подготовленности учащихся, использовать чертеж в качестве опоры для восприятия, проведения анализа условий, открытия способов решения, поддерживать высокий темп работы школьников, предупреждать их типичные ошибки, успешно формировать предметные умения и метапредметные УУД в соответствии с ФГОС. Предназначено учителям математики, руководителям методических объединений. По данной теме «Объем шара и площадь сферы» есть отдельные пункты с задачами. В пособии имеются ответы на все данные задачи. 11) Мазурова Н.И., Ковалева Г.И. Геометрия: 10-11 класс: Тесты для текущего и обобщающего контроля-— Волгоград: Учитель, 2011. В данном пособии представлены тесты по геометрии для 10-11 классов, которые можно использовать как для организации контроля знаний, так и для подготовки к обобщающему уроку, как дано по нашей теме. Предложенные вопросы и задачи помогут организовать устный опрос, актуализацию знаний, подходят для постановки проблемных вопросов на уроке с целью уяснения определений и формул, осмысления фактов, изложенных в теоремах. Предварительное знакомство учителя с содержанием тестов поможет ему спроектировать методическую систему по изучению конкретных тем стереометрии и курса в целом. Ко всем тестам приведены ответы. Предназначено учителям математики общеобразовательных учреждений. По нашей теме « Объем шара и плоащдь сферы» есть отдельный тест: Тест 23. Объём шара и площадь сферы. 12) Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия : Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.- 760 с. Пособие для высших педагогических учебных заведений и учителей средней школы. Основой книги служит обыкновенный школьный курс геометрии, однако ее содержание выходит за рамки существующих программ. Это энциклопедия элементарной геометрии, стоящая на уровне современной науки и написанная выдающимся математиком. Существенным достоинством книги является наличие большого числа задач, многие из которых могут дать материал для творческой работы. В третьем издании книги помещены полные решения всех этих задач. По данной теме есть отдельные 2 главы: «шар и его свойства» и «Поверхность и объем шара». 13) Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с В книге содержится, действительно, очень наглядный, но достаточно строгий рассказ о геометрических науках и теориях, в частности о геометрической кристаллографии, о геометрической сущности кинематики и о топологии. Книга вполне доступна школьникам старших классов, интересующимся математикой. В то же время она во многих главах хорошо дополняет, не дублируя, курс вузовской математики. Эту книгу с удовольствием прочтет и зрелый математик, случайно не познакомившийся с нею в процессе своего математического образования. По данной теме «Объем шара и площадь сферы» можно найти много интересных фактов и явлений. 2.Общая характеристика темы А) Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики. О с н о в н а я ц е л ь – сформировать представления учащихся о понятиях объема и площади поверхности, вывести формулы объемов и площадей поверхностей основных пространственных фигур, научить решать задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей. Изучение объемов обобщает и систематизирует материал планиметрии о площадях плоских фигур. При выводе формул объемов используется принцип Кавальери. Это позволяет чисто геометрическими методами, без использования интеграла или предельного перехода, найти объемы основных пространственных фигур, включая объем шара и его частей. Практическая направленность этой темы определяется большим количеством разнообразных задач на вычисление объемов и площадей поверхностей. Б) Историческая справка. Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. У древних греков возникло представление о вращающейся хрустальной сфере, к которой прикреплены звёзды. Также в среде древнегреческих учёных появились космологические модели со сферической Землёй и прикреплёнными к вращающимся сферам из эфира планетами. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (лат. De revolutionibus orbium coelestium). Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог- сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (лат. Mysterium Cosmographicum), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами, являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет. В) Программа по математике: инвариантное содержание темы. -Объем шара и площадь сферы(8ч) Объем шара. Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. Площадь сферы. Цели изучения данной темы: Продолжить систематическое изучение многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов. Понятие объема вводить по аналогии с понятием площади плоской фигуры и формулировать основные свойства объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об объемах принадлежит, по существу, к трудным разделам высшей математики. Поэтому нужные результаты устанавливать, руководствуясь больше наглядными соображениями. Учебный материал главы в основном должен усвоиться в процесса решения задач. Изучение объемов обобщает и систематизирует материал планиметрии о площадях плоских фигур. При выводе формул объемов используется принцип Кавальери. Это позволяет чисто геометрическими методами, без использования интеграла или предельного перехода, найти объемы основным пространственных фигур, включая объемы шара и его частей. Практическая направленность этой темы определятся большим количеством разнообразных задач на вычисления объемов и площадей поверхностей. Г) Сравнительный анализ Геометрия. 10-11 классы. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. § 27. Объёмы некоторых тел 27.1. Объём цилиндра 27.2. Объём конуса 27.3. Объём шара 27.4. Изменение объёма при подобии § 28. Площадь поверхности 28.1. О понятии площади поверхности 28.2. Площадь сферы 28.3. Площади поверхностей цилиндра и конуса Геометрия. Учебник для 10-11классов. Атанасян Л.С. и др. Глава VII. Объемы тел § 4. Объем шара и площадь сферы 82. Объем шара 83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора 84*. Плошадь сферы Выводы: Математическое содержание темы в учениках Атанасян Л.С. и др. и Александров А.Д. и др. в целом одинаково, поскольку эта тема входит в содержание школьной программы. Различия состоит в последовательности изложения фактов как внутри самой темы, так и самих тем. В книге Александрова А.Д. и др. сначала изучается изучаются объемы тел, а затем уже площади поверхностей. В учебнике Атанасяна Л.С. объем шара и площадь сферы слиты в один параграф, пункт «площадь сферы» дается под звёздочкой, как дополнение к теме «объемы тел». 3.Логико-дидактический анализ темы: анализ теоретического материала; В теме можно выделить следующие дидактические единицы: 4 1) Т1 Объем шара радиуса R равен 3 𝜋𝑅 3 Теорема-свойство Теорема простая Теорема дана в категоричной форме 4 Условная форма: Если дан шар радиуса R, то его объем равен 𝜋𝑅 3 3 Доказательство теоремы: при доказательстве теоремы рассматривается шар с центом в т.О и радиусом R; вводится в рассмотрение ось оХ так, что точка начала отсчета совпадает с точкой О, и на ней выбирается точка М так, что сечение шара плоскостью, проходящее через точку М перпендикулярно к оХ, - это круг (М, r), площадь этого кругаS(x), где х это абсцисса точки М; из прямоугольного треугольника, вершины которого центр шара О, центр круга (M, r) - М и произвольная точка окружности круга (М, r) - С, по т. Пифагора находится, 𝑟 = √𝑅 2 − 𝑥 2 ; из формулы площади круга: 𝑆(𝑥) = 𝜋(𝑅 2 − 𝑥 2 ); применяя основную формулу для вычисления объемов тел (через интеграл) при −𝑅 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅, вычисляется объем данного шара. Таким образом базой доказательства является: 1) введение оси координат, 2)введение сечения , площадь которого можно выразить через радиус данного шара, 3) формула вычисления объема тела через интеграл 2) Определение 1: Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Родовое понятие: часть шара Видовое отличие: отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью 3) Определение 2: Круг, получившийся в сечении шара плоскостью, называется основанием каждого из получаемых сегментов. Родовое понятие: круг Видовое отличие: получившийся в сечениишара плоскостью 4) Определение 3: Длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного секущей плоскости, называются высотами сегментов Родовое понятие: длины Видовое отличие: отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секущей плоскости 5) Т2: Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h, то объем V шарового 1 сегмента вычисляется по формуле 𝑉 = 𝜋ℎ2 (𝑅 − 3 ℎ) Теорема-свойство Теорема в условной форме, условие: 1)радиус шара равен R, 2)высота сегмента равна h, 1 заключение: объем V шарового сегмента вычисляется по формуле 𝑉 = 𝜋ℎ2 (𝑅 − ℎ) 3 Теорема сложная: у нее два условия связанных союзом «и», так что разбить на две простых теоремы нельзя Доказательство теоремы: при доказательстве формулы используется тот же прием, что и в доказательстве Т1 , сечение уже дано, только при нахождении объема через интеграл меняются пределы интегрирования: 𝑅 − ℎ ≤ 𝑥 ≤ 𝑅 6) Определение 4: Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Родовое понятие: часть шара Видовое отличие: заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями 7) Определение 5: Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя Родовое понятие: круги Видовое отличие: получившиеся в сечении шара этими плоскостями 8) Определение 6: Расстояние между плоскостями – высота шарового слоя Родовое понятие: расстояние Видовое отличие: между плоскостями 9) Формула вычисления объема шарового слоя не дается, но представлена теорема: объем шарового слоя можно посчитать, вычитая из объема всего шара объемы соответствующий шаровых сегментов. 10) Определение 7: Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Родовое понятие: тело Видовые отличия: полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из конуса и шарового сегмента. Пусть высота шарового сегмента h, а радиус данного шара R, то образующая конуса равна R, а высота конуса равна R-h. Т4: Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента h, то объем V шарового 2 сектора вычисляется по формуле 𝑉 = 3 𝜋𝑅 2 ℎ Теорема-свойство Теорема в условной форме: условие- 1)радиус шара равен R, 2) высота шарового сегмента 2 h, заключение- объем V шарового сектора вычисляется по формуле 𝑉 = 3 𝜋ℎ𝑅 2 Теорема сложная: у нее два условия связанных союзом «и», так что разбить на две простых теоремы нельзя Теорема дана без доказательства Доказательство: Дан шар радиуса R. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, у которых общее основание – окружность с радиусом r. r можно выразить из прямоугольного треугольника, вершины которого центр окружности, центр шара и любая точка окружности, 𝑟 = √𝑅 2 − (𝑅 − ℎ)2 = √2𝑅ℎ − ℎ2 . Объем шарового сектора можно найти как сумму объемов шарового сегмента и конуса. Высота шарового сегмента h, т. к. 1 радиус шара R, то высота конуса R-h. Исходя из этого объем конуса Vк равен 𝑉к = 3 (𝑅 − ℎ)𝜋𝑟 2 1 Объем шарового сегмента Vш. сег. равен 𝑉ш.сег. = 𝜋ℎ2 (𝑅 − 3 ℎ) Обозначим объем шарового сектора Vш. с., тогда 𝑉ш.с. = 𝑉к + 𝑉ш.сег. Подставив в эту 1 формулу значения объемов конуса и шарового сегмента получим: 𝑉ш.с. = 3 (𝑅 − ℎ)𝜋𝑟 2 + 1 1 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 𝜋ℎ2 (𝑅 − ℎ) = 𝜋𝑟 2 𝑅 − 𝜋𝑟 2 ℎ + 𝜋ℎ2 𝑅 − 𝜋ℎ3 = 2 1 3 2 2 2 2 1 3 1 𝜋𝑅(2𝑅ℎ − ℎ2 ) − 𝜋ℎ(2𝑅ℎ − ℎ2 ) + 3 2 1 2 2 𝜋ℎ 𝑅 − 3 𝜋ℎ = 3 𝜋ℎ𝑅 − 3 𝜋𝑅ℎ − 3 𝜋𝑅ℎ + 3 𝜋ℎ + 𝜋𝑅ℎ − 3 𝜋ℎ = 3 𝜋ℎ𝑅 2 Теорема доказана. Базой доказательства является свойство 2 о вычислении объема тел, составленного из других тел: что бы найти объем шарового сектора, мы нашли объемы конуса и шарового сегмента, из которых он состоит, и сложили их. 11) Т5: Площадь S сферы радиуса R вычисляется по формуле 𝑆 = 4𝜋𝑅 2 Теорема –свойство Теорема простая Теорема в категоричной форме Условная форма: Если дана сфера радиуса R, то ее площадь вычисляется по формуле 𝑆 = 4𝜋𝑅 2 Доказательство: доказательстве рассматривается сфера с радиусом О, вокруг нее описан многогранник с n граней, грани пронумерованы и за Si обозначена площадь i грани. Соединив центр сферы с вершинами многогранников получим n пирамид, основания которых грани многогранника, а высоты это радиус сферы, проведенные в точки касания сферы и многогранника. 1 Объем i-ой пирамиды равен 3 𝑆𝑖 𝑅, отсюда Vn всего многогранника равен: 1 1 1 𝑉𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 3 𝑆𝑖 𝑅 = 3 𝑅 ∑𝑛𝑖=1 𝑆𝑖 = 3 𝑅𝑃𝑛 , где 𝑃𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑆𝑖 – площадь поверхности многогранника. Отсюда получаем 𝑃𝑛 = 3𝑉𝑛 𝑅 (1) Затем рассматривается шар радиуса R и шар радиуса (R+δ). Шар радиуса R содержится в многограннике, а в другой многогранник вписан. Сравниваются объемы этих шаров и многогранника. Можно сказать, что объем шара в который вписан многогранник стремится к объему вписанного шара при δ→0 , то объем многогранника стремится к объему вписанного шара, при δ→0 и n→∞ Затем переходят к пределу в равенстве (1) при устремлении n→∞. По определению площади сферы 𝑆 = lim 𝑃𝑛 , следовательно 𝑆 = 4𝜋𝑅 2 𝑛→∞ Базой доказательства является:Введение описанного вокруг этой сферы n-гранника, его объем находится как сумма объемов пирамид, полученных при соединении вершин многогранника с центром сферы. Затем вводится два шара (описанный и вписанный в многогранник) и используется прием предельного перехода. Выводы по анализу теоретического материала: 1) Основное понятие темы – шар. Рассматриваются понятия шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора как частей шара. 2) Основная формула темы: теорема – свойство об объеме шара, которая представлена в категоричной форме. Доказательство основывается на формуле нахождения объема тела с помощью определённого интеграла.Вводится ось и плоскость, перпендикулярная этой оси и пересекающая данный шар, в пересечении этой плоскости и шара образовался круг, площадь которого можно найти, затем применяется формула нахождения объема тела через интеграл ( от площади круга и с пределами интегрирования от минус радиуса до радиуса исходного шара) 3) Приводится теорема-свойство о площади сферы.Особенность этой теоремы является то, что она доказывается с помощью предельного перехода от суммы площадей оснований пирамид, из которых составлен правильный n-гранник, который описан около этой сферы. Объем шара и площадь сферы Объем шарового Объем шарового Объем шарового Объем шара сегмента слоя сектора S ( x) ( R h ) 2 2 R V V ________________ __________ dh _______ Объем равен ______________ ______________ V ___________ R Площадь сферы n 1 1 3V Vn Si R R Pn Pn n 3 R i 1 3 Если n , то Pn S n Vn V S _________ 4 R3 3 анализ задачного материала. Анализ задачного материала позволил выделить следующие группы задач: 1) на отработку формулы объема шара: 710 а (нахождение объема), 711(в данной задаче выражается объем одного шара через объем другого шара); 714 (используется формула объема цилиндра, и теорема обратная теореме о вычислении объема тела состоящего из двух других); вопросы к главе VII: 9, 10(выражение объема одного шара через объем другого), 11 (выражение объема одного шара через объем другого)13(через соотношение объемов можно вычислить радиус, выражение объема одного шара через объем другого), 14(через отношение площадей можно найти радиус, выражение объема шара через объем другого), 710 б (нахождение радиуса) 2) на отработку понятий шарового сегмента, его высоты и основания задачи не представлены, но данные понятия отрабатываются внутри более сложных задач 3) на отработку формулы объема шарового сегмента 715 (задач имеет практическое применение); 717, 719 4) на отработку понятий шарового слоя и его высоты, задачи не представлены, но данные понятия отрабатываются внутри более сложных задач. 5) на отработку вычисления объема шарового слоя 718 6) на отработку понятияшарового сектора задачи не представлены, но данные понятия отрабатываются внутри более сложных задач 7) на отработку формулы объема шарового сектора 720,721 8) на отработку формулы площади сферы 710, 722(эта задача имеет практическое применение); 723(задача имеет практическое применение); вопросы к главе VII: 12 9) Комбинированные задачи: Теорема об объёме шара и объеме цилиндра: 712, 714 Теорем об объеме шара и объеме шарового сегмента 716 Площадь сферы и площадь поверхности конуса 724 713 задача может быть решена двумя способами: 1) с помощью теоремы об объеме шара, с помощью теоремы об объеме шарового сегмента; в обоих случаях еще используется формула объёма конуса. Рациональней ее решать с помощью формулы объема шара. Выводы по анализу задачного материала: 1) В результате проведенного анализа приходим к выводу, что данный задачный материал темы обобщает и систематизирует теоретический материал, представленный в параграфе. Особенно хорошо отрабатываются теоремы на нахождение объема шара, шарового слоя, шарового сегмента и шарового сектора, и так же теорема о нахождении площади поверхности сферы. Представлены комбинированные задачи на нахождение: объема шара и конуса, объема шара шарового сегмента и площади поверхности сферы и конуса. 2) Задачи на отработку понятий шарового сегмента, его высоты и основания, шарового слоя и него высоты и шарового сегмента не представлены, но данные понятия батываются внутри более сложных задач. Пример таких задач: Из предложенных рисунков выберите рисунок: а) на котором изображен шаровой сегмент и назовите его составляющие (высоту и основание), б) шаровой слой и назовите его составляющие (высоту и основания), в) шаровой сектор Рисунок 1 рисунок 3 рисунок 2 4. Постановка учебных задач, диагностируемых целей Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися систематизировать и обобщить знания и умения по данной теме. Диагностируемые цели урока: В результате урока ученик Знает: - определения шарового сегмента, его основания, высоты; - определения шарового слоя, его оснований, высоты; - определения шарового сектора, его высоты; - теоремы-свойства о нахождении объема шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора; - теорему-свойство о вычислении площади сферы. Умеет: - указывать формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. - находить отношение объемов различных тел; - решать задачи на нахождение объема шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора, площади сферы. Понимает: - взаимосвязь частей шара; - как используются формулы объемов тел вращения в практических задачах. 5.Тематическое планирование № Тема урока урока Тип урока Учебные задачи Методы обучения 1 3 Объём шара. Урок ознакомления с новым материалом Объем шара и его частей. Комбинированный урок Знать: формулу объема шара. Уметь: выводить формулу с помощью репродуктивный, определенного частичноинтеграла и поисковые использовать ее при решении задач на нахождение объема шара Объем шарового Урок закрепления сегмента, Иметь представление о шарового слоя, изученного шаровом сегменте. материала шарового Шаровом секторе, слое. сектора Знать: формулы объемов этих тел. 4 Объем шарового сегмента, Урок применения шарового слоя, знаний и умений шарового сектора репродуктивный, частичнопоисковые Уметь: решать задачи на нахождение объемов шарового слоя, сектора, сегмента. Знать: формулу площади сферы. 5 6 репродуктивный, Уметь: выводить Площадь сферы Урок повторения частичноформулу площади поисковые сферы, решать задачи на вычисление площади сферы. Решение задач по темам «объем шара и Урок обобщения и Использовать репродуктивный, систематизации приобретенные знания и частичнознаний умения в практической поисковые деятельности для вычисления объемов шара и площади сферы. его частей» и «Площадь сферы» 7 Контрольная Урок обобщения и Знать: формулы и уметь работа №5 систематизации использовать их при «Объём шара и знаний решении задач площадь сферы» КОНСПЕКТ УРОКА Характеристика урока Учебник: Учебник: Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян и др. – М: Просвещение, 2013 (Глава VII, § 4). Тема: Объем шара и площадь сферы Тип урока: урок обобщения и систематизации Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися систематизировать и обобщить знания и умения по данной теме. Диагностируемые цели урока: В результате урока ученик Знает: - определения шарового сегмента, его основания, высоты; - определения шарового слоя, его оснований, высоты; - определения шарового сектора, его высоты; - теоремы-свойства о нахождении объема шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора; - теорему-свойство о вычислении площади сферы. Умеет: - указывать формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. - находить отношение объемов различных тел; - решать задачи на нахождение объема шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора, площади сферы. Понимает: - взаимосвязь частей шара; - как используются формулы объемов тел вращения в практических задачах. Учебные действия, формируемые на уроке: Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; умение понимать пробелы в своих знаниях и их заполнять. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение, выслушивать мнение сверстников и высказывать свои домыслы и исправлять ошибки других Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ Форма работы: фронтальная Средства обучения: традиционные, презентация. Структура урока: Мотивационно-ориентировочная часть (6 минут) Содержательная часть (36 минут) Рефлексивно-оценочная часть (3 минуты) Ход урока: Деятельность учителя Деятельность учащихся I. Мотивационно - ориентировочный этап 1. Актуализация Дано: Задача 1. Дан шар радиуса R= 4 см. Найдите его шар (O, R), объем V и площадь его поверхности S. R=4 см Найти: V, S Какая формула существует для вычисления объема шара? Тогда чему равен объем данного шара? С помощью какой формулы вычисляется площадь шара? Чему равна площадь данного шара? Задание 2. Назовите элементы следующий частей шара: 4 V R 3 3 4 256 V 43 см3 3 3 2 S 4R S 4 42 64 см2 1. 2. Какая часть шара изображена на рисунке 1? Назовите элементы шарового сегмента Какая часть шара изображена на рисунке 2? Назовите элементы шарового слоя Какая часть шара изображена на рисунке 3? Назовите элементы шарового сектора 3. Шаровой сегмент α – секущая плоскость круг, получившийся в сечении – основание АВ – высота сегмента Шаровой слой круги, получившиеся в сечении – основания шарового слоя ВС – высота Шаровой сектор Шаровой сегмент, конус (О1,r), АО1 – высота сектора 2. Мотивация -Итак, на последних уроках по теме «Объёмы тел» вы изучили формулы объемов шар и его частей, площади сферы. 3. Постановка учебной задачи - Целью сегодняшнего урока будет проведение обобщения и систематизации изученного вами материала по теме «Объем шара и площадь сферы» II. Операционно-познавательный этап Тема урока: «Объем шара и площадь сферы» Чтобы систематизировать и обобщить все полученные знания составим таблицу. Объем шара и площадь сферы Объем шарового Объем шарового Объем шарово Объем шара сегмента слоя сектора Объем равен ______________ ______________ V __________ S (h) ( R h ) 2 2 R V __________ dh V ________________ R _______ Площадь сферы n 1 1 3V Vn Si R R Pn Pn n 3 R i 1 3 Если n , то Pn S n Vn V S _________ 4 R3 3 Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечением шара плоскостью, перпендикулярной Ох, является круг с центром в т. О1 ∈Ох и радиусом r. Как найти объем шара с помощью Найти интеграл от площади интеграла? перпендикулярного сечения R V S (h)dh R Чему равна площадь перпендикулярного S (h) r 2 , где –R ≤ h ≤ R сечения? От чего она зависит? От высоты h Чему равен радиус r перпендикулярного ∆ОО1М – прямоугольный: сечения? r R2 h2 Тогда чему равна площадь? И тогда можем найти объем шара? Чему он равен? S (h) ( R 2 h 2 ) R V R S (h)dh ( R R 2 h 2 )dh R R R R R R 2 dh h 2 dh R h R R 2 Заполним в канве-таблице пропуски h3 3 R R R V ( R 2 h 2 )dh R 4 R 3 3 4 3 R 3 Рассмотрим следующий рисунок, на Найти интеграл от площади сечения котором изображен сегмент шара, где ось R ОХ перпендикулярна плоскости α. V S ( x)dx Rh Как найти объем выделенного сегмента? Чему равна площадь перпендикулярного S ( х) r 2 , при R-h ≤ х ≤ R сечения? Чему равен радиус r перпендикулярного ∆ОВМ – прямоугольный: сечения? r R2 x2 S (h) ( R 2 x 2 ) Тогда чему равна площадь? R R И тогда можем найти объем шара? Чему V S ( x)dx ( R 2 x 2 )dx он равен? Rh R 2 Rh R Rh dx R x 2 dx R h R x3 1 R 2 x h2 R h 3 3 Rh Заполним в канве-таблице пропуски 1 V h2 R h 3 Рассмотрим следующий рисунок. Как Как разность объемов двух шаровых можно вычислить объем шарового слоя? сегментов Запишем в канву - таблицу Объем равен разности объёмов двух шаровых сегментов Приведите пример, как бы вы вычисляли Например, как разность шаровых объем шарового слоя. сегментов, высоты которых равны АС и АВ Рассмотрим шаровой сектор. Из шарового сегмента и конуса Из каких двух тел состоит шаровой сектор? Как найти объем шара? Чему равен объем конуса? шарового сегмента? V Vк Vш.сег Объем Как найдем r – радиус основания конуса? 1 Vк r 2 ( R h) 3 1 Vсег h 2 ( R h) 3 ∆ОМО1 – прямоугольный: r R 2 ( R h) 2 2 Rh h 2 Тогда объем шарового сектора чему 1 1 V (2 Rh h 2 )( R h) h 2 ( R h) равен? 3 3 Заполним в канве-таблице пропуски 2 2 1 1 1 R 2 h h 2 R h 2 R h 3 h 2 R h 3 3 3 3 3 2 2 R h 3 2 V R 2 h 3 Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О Пользуясь какой формулы объема можно найти площадь поверхности сферы? Пользуясь формулой объема шара, можн получить формулу площади поверхности сферы. Рассмотрим произвольный многогранник, описанный вокруг сферы, имеющей радиус R. Тогда объем многогранника можно найти по какой формуле? Откуда чему равна площадь поверхности многогранника? Если будем увеличивать число граней многогранника, то как будет изменяться площадь каждой грани? К чему она будет стремится? А объем многогранника к чему будет стремится? 1 Vn R Pn 3 Тогда чему будет равна площадь сферы? Pn 3Vn R неограниченно уменьшается Если n , то Pn S n К объему шара 4 Vn V R 3 3 4 3 R3 3V 3 S 4 R2 R R Итак, мы закончили заполнение таблицы Объем шара и площадь сферы Объем шарового сегмента Объем шара S ( x) ( R 2 h 2 ) R V ( R 2 h 2 )dh R 4 3 R 3 Объем равен разности 1 2 V h R h объёмов двух 3 шаровых сегментов Площадь сферы n 3V 1 1 Vn S i R R Pn Pn n 3 R i 1 3 Если n , то Pn S n Vn V 4 R3 3 Объем шарового слоя S 3 Объем шаровог сектора V 2 R2 h 3 4 R3 3 4 R2 R Задача № 714. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько измениться уровень воды в мензурке? Дано: цилиндр D=2,5 см – диаметр основания цилиндра h0 – первоначальный уровень воды h1 – уровень воды после того, как опустили 4 шарика d=1 см – диаметр шарика Найти: ∆h=h1-h0 Решение: 4 1 1 3 2 2 3 4 1 4 1 см3 3 2 38 6 1. Vшара R 3 , R d cм Vшара 1 2 4 Vшара 4 6 3 см3 2. Vцил,вода r 2h0 - до того, как опусти шарики 1 1 5 5 D см 2 2 2 4 2 25h 5 см3 Vцил, вода h0 4 16 3. Vцил,в,ш r 2 (h0 h) - после того, к r опустили шарики 25 25 (h0 h) (h0 h) 16 16 Vцил, вода 4 Vшар по свойст Vцил, в , ш 4. Vцил,в ,ш объемов 25 (h0 h) 25h 2 16 16 3 25h 2 16 3 25h 2 16 3 2 16 32 h см 3 25 75 Пусть первоначально в мензурке было воды на уровне h0. После того, как добавили шарики, уровень воды стал h1. Тогда на сколько изменился уровень воды? Какой объем занимают шарики? Чтобы это узнать, что найдем? Какая формула объема шара? Что необходимо найти для вычисления объема? Чему он равен? Тогда объем шарика чему равен? ∆h=h1-h0 Найдем объем одного шарика и умножим его на 4 Vшара R 4 3 R 3 1 1 d cм 2 2 3 Vшара 4 1 4 1 см3 3 2 38 6 Объем 4-х шариков? 1 2 4 Vшара 4 6 3 см3 Чему равен объем воды в мензурке до Vцил,вода r 2h0 - до того, как спустили того, как спустили шарики? Что необходимо найти для вычисления объема воды? Тогда объем воды равен? После того, как спустили шарики, как изменится объем воды в мензурке? Чему он равен? шарики r 1 1 5 5 D см 2 2 2 4 25h 5 см3 Vцил, вода h0 4 16 2 Vцил,в,ш r 2 (h0 h) - после того, как спустили шарики Vцил,в ,ш 25 25 (h0 h) (h0 h) 16 16 Как найти объем содержимого в мензурке? Vцил,в ,ш Vцил,вода 4 Vшар по свойству объемов Почему? 25 (h0 h) 25h 2 Подставим найденные объемы и выразим 16 16 3 ∆h 25h 2 16 3 25h 2 16 3 h Задача № 761 Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50м3? 2 16 32 см 3 25 75 Дано: цилиндр r=ОА=1,5 м - цилиндра, h=ОМ=0,5 м, АМВ, CND – равные шаровые сегменты V=Vцил+2Vсегм=50 м2 Найти: l=AD Решение: 1. V Vцил 2Vсегм 50 м3 2. Vцил r 2l 1,52 l 2,25l 3. Vсегм h 2 ( R ) 0,52 1,5 h 3 4,5 0,5 1 4 0,25 3 4 3 3 4. V 2,25l 2 0,5 3 50 м 3 3 2 50 3 150 2 143,72 6,78 м l 2,25 3 2,25 21,195 Из каких тел состоит цистерна? Из цилиндра и 2 равных шаровых сегментов V Vцил 2Vсегм 50 м3 Чему равен объем цилиндра? Vцил r 2l 1,5 l 2,25l Чему равен объем сегмента? h 0,5 2 Vсегм h 2 ( R ) 0,5 1,5 3 3 2 0,25 Тогда объем цистерны запишется как? 4,5 0,5 1 4 3 4 3 3 V 2,25l 2 3 50 м 3 Найдем отсюда l 2 3 150 2 143,72 6,78 м l 2,25 3 2,25 21,195 Задача. Бочка имеет форму шарового слоя с равными основаниями, в который вписан цилиндр. Объем тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен 36 см2. Определите высоту бочки. Дано: Шаровой слой с равными основаниями описан около цилиндра, 50 V Vш.с. Vц 36см 2 Найти: h Решение: 4 3 Vш 2Vсегм 1. Vш R 3 Vш.с. h 1 2. Vсегм R R R 2 3 h 2 2 h R R 2 Rh 4 3 6 2 h 2 2R 3 R 2 h 2R 2 h Rh 2 Rh 2 h 3 3 6 3 6 6 24 2R 3 R 2 h h 3 3 2 24 3. Vш.с. 2R 3 R 2 h h 3 4 3 R 2 3 3 2 24 4 4R 3 h 3 h R 3 R 2 h R 2 h 3 3 12 12 4. ∆ОМО1 – прямоугольный: 2 h ОМ= R r 2 2 h2 r2 4 5. V Vш.с. Vц 36см 2 , Vц r 2 h R 2 h h 3 12 h2 r2 4 r 2 h 36 2 3 h h r 2 h 36 12 h2 h 3 r 2 h r 2 h 36 12 4 h 3 4 h 3 6 r 2 h h 3 12 r 2 h 36 36 h3 63 h 6 см Рассмотрим осевое сечение бочки, где r – радиус оснований шарового слоя и цилиндра, h – высота бочки, R – радиус шара, из которого получился шаровой слой. Чему равен объем шара? 4 Vш R 3 3 Как найти объем шарового слоя? Почему именно так? Vш.с. Vш 2Vсегм , т.к. шаровой слой имеет По какой формуле можно найти объем шарового сегмента? Как будет выглядеть формула в нашем случае? Как выразится высота шарового сегмента? Преобразуем получившуюся формулу равные основания 1 Vсегм h 2 R h 3 Vсегм h R 2 2 1 h R R 3 2 h 2 2 Vсегм R 2 Rh R 4 3 h 6 2R 3 R 2 h 2R 2 h Rh 2 Rh 2 h 3 3 6 3 6 6 24 2R 3 R 2 h h 3 3 2 24 Тогда чему равен объем шарового слоя? Vш.с. 2R 3 R 2 h h 3 4 3 R 2 3 3 2 24 4 4R 3 h 3 h 3 R 3 R 2 h R 2 h 3 3 12 12 А чему равен объем цилиндра? Vц r 2 h Тогда как запишется формула объема тела, заключенного между боковыми поверхностями цилиндра и шарового слоя? Какой элемент нам неизвестен? Из какого треугольника его можно найти? Чему он равен? V Vш.с. Vц 36см 2 R 2 h h 3 12 r 2 h 36 R – радиус шара ∆ОМО1 – прямоугольный: 2 h ОМ= R r 2 2 h2 r2 4 2 Подставим найденное выражение в h2 h 3 2 r h r 2 h 36 формулу объема тела, заключенного 4 12 между боковыми поверхностями цилиндра и шарового слоя, и преобразуем его. h2 h 3 2 2 4 h 3 4 h 3 6 r h r h 36 12 r 2 h h 3 12 r 2 h 36 36 h3 63 h 6 см Задача. Шкатулка имеет форму шарового сектора, высота которого равна 3 см, а глубина – 3см. Объем бусин составляет 8 объема 9 шкатулки. Какое наибольшее число бусинок радиуса 3 мм уберется в шкатулку? Дано: Шаровой сектор h=3см- высота шарового сектора х=3 см – глубина сектора r=3 мм – радиус бусинки 8 n Vбусина Vшкат 9 Найти: n – число бусин Решение: x 4 3 4 3 1. Vбусина r 3 33 36 мм 3 0,036 с 2. R x h 3 3 6см 2 3 2 3 3. Vшкат R 2 h 6 2 3 72 см 3 8 9 8 n 0,036 72 9 n 36 64 1000 1000 n 64 36 16 1000 16000 n 1777,8 9 9 4. n Vбусина Vшкат ⇒ n=1777 бусин Чему равен объем одной бусины? Чему равен объем шкатулки? Какой элемент нужно найти? Как найти радиус шара? Чему он равен? Тогда объем шкатулки чему равен? 4 3 4 3 r 3 36 мм 3 0,036 см3 3 3 2 R 2 h 3 Vбусина Vшкат Радиус шара R R x h 3 3 6см 2 2 Vшкат R 2 h 6 2 3 72 см 3 3 3 8 n Vбусина Vсег 9 Какую часть объема шкатулки занимают n бусин? Тогда сколько бусин уберется в шкатулку? n 0,036 8 72 9 n 36 64 1000 n 64 n Какое наибольшее число бусин уберется? Задача. Емкость имеет форму полусферы. Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? 1000 36 16 1000 16000 1777,8 9 9 n=1777 бусин Дано: Полусфера L=46см – длина основания На 1 м2 – 300г Найти: ? г, покрасить емкость Решение: 1 1 2 2 L 46 23 2. R 2 2 2 23 3 529 1587 2 см 3. S 3 1587 47,61 м 2 300 г 15,15г 4. 10000 1 1 S S сф S осн 4R 2 R 2 3R 2 2 2 1. S S сф S осн 4R 2 R 2 3R 2 Чему равна площадь поверхности емкости? Из какого условия можно найти радиус R? длина окружности основания равна 46 см Какая формула длины окружности? L = 2πR 46 23 Чему равен радиус R? R см 2 Тогда чему равна площадь поверхности емкости? 3 529 1587 2 23 S 3 см 2 1587 47,61 А сколько краски потребуется, чтобы м 2 300 г 15,15г 10000 покрасить такую емкость? III. Рефлексивно-оценочный этап Какова была цель урока? - Систематизировать и обобщить знания по теме «Объем шара и площадь сферы» - Да - Повторили вывод формул объема шара, шарового сегмента, слоя, сектора, площадь поверхности сфер составили систематизирующую таблицу, рассмотрели решение практических задач на изученную теорию. Достигли ли мы ее? Как мы ее достигли? Домашнее задание: 1. В цилиндрическую мензурку диаметром 4 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 2 см. На сколько измениться уровень воды в мензурке? 2. В шкатулку формы шарового сектора убирается 60 бусин радиуса 14 мм. Найдите объем шкатулки, если бусин составляет 8 объема 9 шкатулки. (Ответ дайте в см3) 3. Емкость имеет форму полусферы. Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? Задача Решение В Дано: цилиндр цилиндрическу D=4 см ю мензурку Вода на некотором уровне h0 диаметром 4 см, 4 шарика d=2 см наполненную Найти: ∆h=h1-h0 водой до Решение: некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 2 см. 1 4 На сколько 1. Vшара R 3 , R d 1cм 3 2 измениться 4 3 4 Vшара 1 см3 уровень воды в 3 3 мензурке? 4 16 4 Vшара 4 см3 3 3 2. Vцил,вода r h0 - до того, как спустили шарики 2 1 1 D 4 2см 2 2 2 Vцил, вода 2 h0 4h0 см3 r 3. Vцил,в,ш r 2 (h0 h) - после того, как спустили шарики Vцил, в , ш 4 (h0 h) 4. Vцил,в ,ш Vцил,вода 4 Vшар по свойству объемов 4 (h0 h) 4h0 16 3 16 4 h см 3 4 3 16 3 4h В шкатулку формы шарового сектора убирается 60 бусин радиуса 14 мм. Найдите объем шкатулки, если бусин составляет Дано: Шаровой сектор r=14 мм – радиус бусинки n=60 8 n Vбусина Vсег 9 Найти: Vшкатул ки Решение: 8 9 объема шкатулки. (Ответ дайте в см3) 1. 60 Vбусина 60 r 3 60 143 219520 мм 3 219,52 см 3 4 3 4 3 8 9 8 219,52 Vшкат 9 9 Vшкат 219,52 246,96 см3 8 2. n Vбусина Vшкат Емкость имеет форму полусферы. Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный Дано: Полусфера L=24π см – длина основания На 1 м2 – 175г Найти: ? г, покрасить емкость Решение: метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? 1 1 2 2 L 24 12 2. R 2 2 3. S 3 122 432 см 2 432 2 м 175 23,7384 г 4. 10000 Ответ: 23,7384г 1. S S сф S осн 4R 2 R 2 3R 2 Летучка для студентов: 1 вариант В цилиндрическую мензурку диаметром 9 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 3 см. На сколько измениться уровень воды в мензурке? Дано: цилиндр D=9 см Вода на некотором уровне h0 4 шарика d=3 см Найти: ∆h=h1-h0 Решение: 1 3 4 3 2 2 3 4 3 9 Vшара см3 3 2 2 9 4 Vшара 4 18 см3 2 1. Vшара R 3 , R d cм 2 вариант В цилиндрическую мензурку диаметром 4 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 2 см. На сколько измениться уровень воды в мензурке? Дано: цилиндр D=4 см Вода на некотором уровне h0 4 шарика d=2 см Найти: ∆h=h1-h0 Решение: 1 4 3 2 4 3 4 Vшара 1 см3 3 3 4 16 4 Vшара 4 см3 3 3 5. Vшара R 3 , R d 1cм 2. Vцил,вода r 2h0 - до спустили шарики того, как 1 1 9 D 9 см 2 2 2 2 81h 9 см3 Vцил, в ода h0 4 2 2 3. Vцил,в,ш r (h0 h) - после того, r как спустили шарики Vцил, в , ш 81 81 (h0 h) (h0 h) 4 4 4. Vцил,в ,ш Vцил,вода 4 Vшар свойству объемов 81 (h0 h) 81h 18 4 4 81h 18 4 81h 18 4 4 18 8 h см 81 9 по 6. Vцил,вода r 2h0 - до спустили шарики того, как 1 1 D 4 2см 2 2 2 Vцил, вода 2 h0 4h0 см3 r 7. Vцил,в,ш r 2 (h0 h) - после того, как спустили шарики Vцил, в , ш 4 (h0 h) 8. Vцил,в ,ш Vцил,вода 4 Vшар свойству объемов 4 (h0 h) 4h0 16 3 16 4 h см 3 4 3 4h 16 3 по
