ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ (ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ).

Методические рекомендации
к проведению уроков геометрии в 11 классе.
(из опыта работы)
Тема: «Объёмы тел вращения».
Обухова Ольга Викторовна
Учитель математики
МБОУ СОШ № 26
г. Мытищи Московской области
ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ
(часть 2)
Продолжу изложение теории объёмов в курсе геометрии 11 класса. В учебниках
многих авторов формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса выводятся путём
оценок объёмов цилиндра и конуса объёмами призм и пирамид. А вот формулы для
вычисления объёма шара и его частей выводятся с применением интеграла. Учитывая то,
что в курсе алгебры и начал анализа уже изучен интеграл и его применения, формулы для
вычисления объёмов тел вращения я так же, как и формулы для вычисления объёмов
многогранников в первой части, вывела с применением интеграла.
Общая формула для объёмов тел вращения.
Телом вращения называется такое тело, которое
плоскостями, перпендикулярными некоторой
прямой (оси вращения), пересекается по кругам, с
центрами на этой прямой.
y  f (x) > 0,
V (x ) - функция от x .
Каждая плоскость, перпендикулярная оси OX и
пересекающая отрезок a; b этой оси в точке x ,
даёт в сечении с телом круг радиуса f (x) и
площади S ( x)    f 2 ( x) .
b
Из формулы V   S ( x)dx получаем
a
b
V   f 2 ( x)dx .
a
I. Объём цилиндра.
f ( x)  R  const
0 < x ≤ H,
H>0
H
V    R dx  R
2
0
 dx  R
0
Vцил.  R H
2
H
H
2
2
 R 2  H  R 2  0  R 2 H
x
0
.
Объём цилиндра равен произведению площади основания на
высоту.
Объём конуса.
II.
0 < х ≤ Н,
f ( x )  kx ,
k  tg
AH
tg 
OH
AH  R ,
Н > 0,
OH  H
R
k  tg  ,
H
f ( x) 
2
Rx
H
R2
R 2 x 3
 Rx 
V      dx   2  x 2 dx  2 
H
H 0
H
3
0 
H
R H
2
3
H 3
2

H
H

0
R 2  H 3
03 




H 2  3
3 
R H
2
3
1
Vкон  R 2 H .
3
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
III.
Объём усечённого конуса.
0 < х ≤ Н,
Н > 0,
f ( x)  kx  b ,
br,
BC
k  tg 
,
AC
BC  R  r , AC  H ,
Rr
k
,
H
Rr
f ( x) 
xr ,
H
2
H
 R  r  2 2 2r R  r 

 Rr

V   
 x  r  dx    
 x  r 2  dx 
 x 
H
H

 H 
0 
0

H
 R  r 2 x 3 r R  r  2 2 
 R  r 2 H 3 r R  r  2 2 




x

r
x




H r H 


2
2
3
H
3
H
 H
0
 H

H

 R  r 2 H
 r R  r H  r 2 H 
R 2 H

3
3
2
R H RrH r H H




 R 2  Rr  r 2 
3
3
3
3
1
Vус. кон.  H R 2  Rr  r 2  .
3
2
2RrH r 2 H

 RrH  r 2 H  r 2 H 
3
3
Объём шара.
IV.
x2  y 2  R2 ,
y 2  R2  x2 ,
y  f (x) > 0,
y  R 2  x 2 f ( x)  R 2  x 2
Пределы интегрирования: –R ≤ х ≤ R. Но учитывая
свойства интеграла вычислим интеграл с пределами
интегрирования: 0 < х ≤ R.
R
 2
x3 
V    R  x dx  2  R  x dx  2  R x   
3 0

R
0
R
R
2
2
2
2
 2
 3 R3 
R3 
2 R3 4R3
2  R  R    2  R    2 

3 
3 
3
3


4
Vшара  R 3 .
3
Объём шарового сегмента.
V.
Шаровым сегментом называется
отсекаемая от него плоскостью.
x2  y 2  R2 ,
y 2  R2  x2 ,
y  f (x) > 0,
часть
y  f ( x)  R 2  x 2
R-H ≤ х ≤ R.
R – радиус шара,
H – высота шарового сегмента.
  R
R
V
2

 x dx  
2
RH

  R 2  R 
RH
R
 2
x3 

R  x dx    R  x  

3  RH


R
2
2

R  H 3     R 3  R 3  R 2 R  H   R  H 3  
R3   2
   R R  H  



3  
3
3
3





R  H 3     R 2 H  1 R  H 3  R 3  
R3
 R3   R3  R 2 H 



3
3
3



R 2 H 
R 2 H 
R 2 H 

3

3

3

R  H  R R  H 2  R  H   R  R 2  


  H   R 2  2 RH  H 2  R 2  HR  R 2  R 2 H 
 H  3R 2 

 H  3RH 
3

H

RH 2  H 3  H 2  R  
3
3

H

Vшар. сег.  H 2  R  
3


3

3


 H 3R 2  3RH  H 2 
 H  H 2  R 2 H  R 2 H  RH 2 

3
H3 
шара,
VI.
Объём шарового сектора.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса
следующим образом: если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент
дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является
основание сегмента; если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него
удаляется. Объём шарового сектора получается сложением или вычитанием объёмов
соответствующих сегмента и конуса.
Vшар. сект.  Vшар. сег.  Vкон.
или
Vшар. сект.  Vшар. сег.  Vкон.
Для объёма шарового сектора получается
следующая формула:
2
V  R 2 H ,
3
где R – радиус шара,
H – высота соответствующего шарового сегмента.
Такое изложение вывода формул для вычисления объёмов тел вращения мне
кажется более интересным для учащихся. Ведь в процессе вывода той или иной формулы
учащиеся помогают выполнить мне преобразования, иногда выполняют их
самостоятельно. А это значит, что они не просто машинально переписывают вывод
формул, а решают поставленную перед ними проблему.
Хочу также отметить, что вывод формул для вычисления объёмов усечённого
конуса и шарового сегмента целесообразно рассматривать в классах с хорошей
математической подготовкой.