Программа экзамена по курсу "Математика" 2 семестр

Программа экзамена
по курсу «Математика (математический анализ)»
I курс, 2 семестр
В конце каждого раздела указаны параграфы из учебника С.М.Никольского,
содержащие необходимый материал.
1. Предел и непрерывность функции одной действительной переменной.
1.1. Ограниченность и монотонность функции. Два определения предела функции
в точке и их эквивалентность.
1.2. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел. Теорема о
сохранении знака функции, имеющей предел. Теорема о переходе к пределу в
неравенстве.
1.3. Определение непрерывности функции в точке. Теорема об алгебраических
свойствах непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной
функции.
1.4. Односторонние пределы и их свойства.
1.5. Определение непрерывности функции на отрезке. Теорема об ограниченности
непрерывной на отрезке функции. Теорема о наибольшем и раименьшем
значениях непрерывной на отрезке функции. Теорема об обращение в ноль
непрерывной на отрезке функции и следствие из нее. Показательная,
логарифмическая и степенная функции. (§§ 4.1 - 4.7)
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
2.1. Определения производной, дифференцируемости и дифференциала функции в
точке.
Теорема
о
непрерывности
дифференцируемой
функции.
Геометрический смысл производной. Эквивалентность дифференцируемости
и существования производной функции в точке. Алгебраические свойства
производной. Теорема о производной сложной функции. Производная
обратной функции (без доказательства). Таблица производных простейших
элементарных функций.
2.2. Определения производной и дифференциала n – го порядка. Формула
Лейбница.
2.3. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
2.4. Критерий монотонности дифференцируемой функции. Достаточное условие
локального экстремума.
2.5. Формула Тейлора. Примеры разложения функций по формуле Тейлора. (§§ 5.1
- 5.9)
3. n-мерное прстранство.
3.1. Линейное множество. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со
скалярным произведением. Линейное нормированное пространство.
3.2. Вектор-функции в n-мерном евклидовом пространстве. Определения предела
и непрерывности вектор-функции в точке.
3.3. Производная вектор-функции в точке. Кривая в n-мерном пространстве.
Геометрический смысл производной вектор-функции. (§§ 6.1 - 6.6)
4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
4.1. Определения первообразной и неопределенного интеграла. Свойства
первообразных. Замена переменной и интегрирование по частям. Разложение
рациональной функции на простейшие дроби. Интегрирование рациональных
дробей (§ 1.6.).
4.2. Определенный интеграл Римана. Ограниченность интегрируемой функции.
Суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы. Основная теорема об
интегрируемости. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и
монотонной функций на отрезке. Аддитивные и однородные свойства
интеграла.
4.3. Теоремы о монотонности и о среднем значении для интеграла.
4.4.Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Ньютона – Лейбница.
Теоремы о замене переменной и интегрировании по частям для определенного
интеграла. (§§ 1.6; 8.1; 8.5; 8.6; 9.1 – 9.9)