ВОПРОСЫ ПО КУРСУ "ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ

ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
"ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ",
выносимые на экзамен в 2015 г.
Общие вопросы MUST KNOW:
Определения и формы комплексных чисел, геометрическая интерпретация комплексных
чисел и действий над ними. Множества на комплексной плоскости. Понятия области, ее
границы,
ее
связности.
Понятие
функции
комплексной
переменной.
Однозначные/многозначные, однолистные/многолистные функции. Однозначные ветви
многозначных функций. Точки ветвления. Предел функции комплексной переменной.
Непрерывность. Свойства первообразной аналитической функции. Интегралы Коши и
типа Коши. Граничные значения функций. Условия Гельдера. Теоремы о разложениях
функции в окрестности бесконечно удаленных изолированных особых точек. Принцип
симметрии. Теорема Римана. Теорема о единственности конформного отображения.
1. Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное
условие сходимости последовательности комплексных чисел [д]. Теорема
Вейерштрасса (об ограниченной последовательности) [д].
2. Критерий Коши сходимости последовательности [д]. Понятие бесконечно
удаленной точки. Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая
проекция.
3. Производная функции. Необходимые и достаточные условия ее существования [д].
Условия Коши-Римана в полярных координатах.
4. Условия Коши-Римана в комплексных координатах. Геометрический смысл модуля
и аргумента производной.
5. Аналитические функции и их свойства [д].
6. Элементарные функции комплексной переменной: классификация и свойства.
7. Функция Жуковского и обратная к ней.
8. Экспонента и логарифм.
9. Степенные функции
классификация).
с
произвольным
показателем
(сопоставление
и
10. Тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним.
11. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому контуру (два
способа введения), его свойства, параметризация.
12. Понятие контура. Интеграл по замкнутому контуру: примеры для однозначной и
многозначной функции.
13. Формула Ньютона – Лейбница [д]. Возможность применения формулы Ньютона–
Лейбница в случае многозначной производной. Определение индекса замкнутого
контура.
14. Вычисление интегралов от рациональных функций. Свойства индекса замкнутого
контура.
15. Интегральная теорема Коши (для односвязной области: нестрогое д-во, схема
строго д-ва; для многосвязной области: неприменимость, применимость с д-вом).
16. Интегральная формула Коши для многосвязной области [д]. Интегральная формула
Коши для произвольного замкнутого кусочно-гладкого контура в односвязной
области [д].
17. Интегральная формула Коши для бесконечной области [д].
18. Теорема о производных интеграла типа Коши [д] [лемму можно б/д].
Формулировка теоремы о бесконечной дифференцируемости аналитических
функций.
19. Главное значение интеграла типа Коши на линии интегрирования [д].
20. Главное значение интеграла по бесконечной прямой. Граничные значения
функций. Формулы Сохоцкого–Племеля.
21. Лемма о постоянстве аналитической функции [д]. Теорема Лиувилля [д]. Лемма
Шварца [д].
22. Теорема Морера [д]. Принцип максимума модуля [д].
23. Равномерная сходимость (теоремы о пределе последовательности равномерно
сходящихся функций и интегралов от них [б/д]). Признак Вейерштрасса
равномерной сходимости ряда [б/д]. Теоремы Вейерштрасса (о сумме ряда и его
дифференцировании) [д].
24. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора/Коши [д].
25. Теорема Абеля [д]. Следствия из теоремы Абеля: о расходимости ряда [д], об
области сходимости ряда (суть д-ва), о сумме ряда, о дифференцировании и
интегрировании, теорема единственности разложения [д].
26. Следствия из теоремы Абеля: о радиусе сходимости (гео. интерпретация), теорема
Коши–Адамара [д]. Дополнительная формула для радиуса сходимости.
27. Ряд Лорана, его область сходимости. Аналог теоремы Коши–Адамара [б/д].
Теорема Лорана (часть 2: единственность разложения [д]).
28. Теорема Лорана (часть 1: вид коэффициентов [д]).
29. Нули функции (теорема о нулях аналитической функции). Теорема единственности
[д].
30. Изолированные особые точки: по два определения. Теорема о равносильности двух
определений для устранимой особой точки [д].
31. Теорема о равносильности двух определений для полюса [д] и существенно особой
точки (с обоснованием). Теорема Сохоцкого–Казорати–Вейерштрасса [б/д].
32. Определение вычета. Формулы для
изолированных особых точках [вывод].
определения
вычета
в
конечных
33. Основная теорема о вычетах [д]. Вычет в бесконечно удаленной точке (включая
теорему о полной сумме вычетов [д]).
34. Вычисление интегралов на промежутке [0, 2П] от функций вида R(cos x, sin x).
35. Вычисление интегралов по бесконечной прямой от функций, аналитически
продолжимых в верхнюю полуплоскость и убывающих на бесконечности (лемма
[д], теорема [д]).
36. Вычисление интегралов от функций, удовлетворяющих лемме Жордана (лемма [д],
теорема [д]).
37. Вычисление несобственных интегралов второго рода.
38. Вычисление интегралов по полубесконечной прямой от функций вида xa-1f(x) .
39. Логарифмический вычет [вывод]. Принцип аргумента [д].
40. Теорема Руше [д]. Основная теорема алгебры [д].
41. Понятие конформного отображения. Теорема о Н и Д условиях конформности
отображения [д]. Конформное отображение бесконечно удаленной точки.
42. Облегченное условие
соответствия границ [д].
конформности
отображения.
Принцип
взаимного
43. Отображение с помощью дробно-линейной функции. Условие единственности [д].
Круговое свойство [д].
44. Свойство симметрии отображения с помощью дробно-линейной функции [д].
Отображение круга в круг, и полуплоскости в круг.
45. Интеграл Шварца–Кристоффеля [д].
46. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении [д].
47. Задача Дирихле для круга [д].
48. Связь между гармоническими и аналитическими функциями. Теорема о среднем.
Задача Дирихле для полуплоскости [д].
49. Решение Гурса бигармонического уравнения.