5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке плоской кривой.

1. Междисциплинарные вопросы по математике
1.
2.
3.
4.
Геометрия и алгебра
Системы линейных алгебраических уравнений.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Собственные векторы линейного оператора.
Основные алгебраические структуры, их свойства и примеры.
Математический анализ
Предел функции в точке. Непрерывность. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Определенный интеграл Римана. Необходимые и достаточные условия существования.
Формула Ньютона - Лейбница.
3. Последовательности функций. Равномерная сходимость. Непрерывность предельной
функции.
4. Ряды Фурье. Минимальные свойства частичных сумм.
5. Двойные интегралы.
1.
2.
Дифференциальные уравнения
Теорема существования и единственности задачи Коши для нормальной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Невырожденные особые точки линейной однородной системы двух уравнений с
постоянными коэффициентами (узел, седло или фокус - по выбору).
3. Устойчивость по Ляпунову.
1.
Теория вероятностей
Классическое определение вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Свойства
вероятности.
2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
3. Функция распределения и плотность распределения вероятностей одномерной
случайной величины, их основные свойства.
4. Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства.
5. Дисперсия случайной величины и ее основные свойства.
1.
Уравнения математической физики
1.
Основные уравнения математической физики. Классификация линейных
дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка.
2.
Канонический вид линейных дифференциальных уравнений в частных
производных 2-го порядка. Характеристики.
3.
Задача Коши для уравнения теплопроводности.
2. Вопросы по специальности для поступающих в магистратуру по
направлению «Математика»
1. Понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Годограф
вектор-функции.
2. Пределы и производные вектор-функции.
3. Правила дифференцирования скалярного, векторного и смешанного произведений.
4. Способы задания плоской кривой.
5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке плоской кривой.
6. Касательная к кривой в ее особой точке.
7. Асимптоты плоских кривых.
8. Кривизна плоской кривой. Круг кривизны.
9. Формулы Френе плоской кривой.
10. Эволюта и эвольвента.
11. Натуральное уравнение плоской кривой.
12. Огибающие семейства плоских кривых.
13. Способы задания пространственной кривой.
14. Касательная и нормальная плоскость.
15. Касательная в особой точке пространственной кривой.
16. Длина дуги пространственной кривой.
17. Соприкасающаяся плоскость.
18. Главная нормаль и бинормаль пространственной кривой.
19. Формулы Френе пространственной кривой.
20. Формулы для кривизны и кручения.
21. Сферические индикатрисы касательной, главной нормали и бинормали.
22. Проекции кривой на грани репера Френе.
23. Соприкасающаяся сфера.
24. Винтовая линия.
25. Натуральные уравнения кривой.
26. Способы задания поверхности.
27. Координатные линии на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
28. Первая квадратичная форма.
29. Метрика на поверхности.
30. Огибающая семейства поверхностей.
31. Развертывающиеся поверхности.
32. Вторая квадратичная форма поверхности. Асимптотические линии.
33. Сопряженные направления на поверхности.
34. Нормальная кривизна. Теорема Минье.
35. Главные кривизны и полная кривизна поверхности.
36. Линии кривизны. Теорема Монжа.
37. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера.
38. Геодезические линии на поверхности. Символы Кристоффеля.
Литература: В.С. Малаховский Краткий курс дифференциальной геометрии
Декан факультета информатики
и прикладной математики
Председатель предметной комиссии
/Ишанов С.А./
/Квитко Г.В./