ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ сопровождающий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
сопровождающий трёхгранник
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
[email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2014г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
1 / 13
Касательная кривой I
Гладкая без особых точек кривая имеет в каждой точке, отвечающей
параметру t = t0 , единственную касательную, направляющий вектор
которой коллинеарен r 0 (t).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
2 / 13
Касательная кривой II
Если ρ(t) – радиус-вектор текущей точки на касательной кривой γ, то
уравнение этой касательной имеет вид
ρ(t) = r(t) + ur 0 (t),
где u ∈ (−∞, +∞) – параметр, определяющий положение точки на касательной,
t ∈ (a, b) – параметр, определяющий точку на кривой γ, в которой проведена
касательная.
Если ρ(t) = (X, Y, Z), r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то уравнение касательной в
произвольной точке
X − x(t)
Y − y(t)
Z − z(t)
=
=
.
x0 (t)
y 0 (t)
z 0 (t)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
3 / 13
Касательная кривой III
Касательная пространственной кривой, заданной как пересечение двух
поверхностей, определяется соотношением
X − x(t)
Fy Fz
Φy Φz
Y − y(t)
= Fz Fx
Φz Φx
Z − z(t)
= Fx Fy
Φx Φy
.
где (x(t), y(t), z(t)) – координаты точки на кривой, в которой проведена
касательная.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
4 / 13
Касательная кривой IV
Уравнение касательной плоской кривой в декартовой системе координат
имеет вид
Y − y(t)
X − x(t)
=
.
x0 (t)
y 0 (t)
Если плоская кривая задана неявным уравнением F (x, y) = 0, то
уравнение касательной
Fx (x(t), y(t))(X − x(t)) + Fy (x(t), y(t))(Y − y(t)) = 0.
где (x(t), y(t)) – координаты точки на кривой, в которой проведена касательная.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
5 / 13
Нормальная плоскость
Определение
Плоскость, проходящую через данную точку кривой перпендикулярно
касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Уравнение нормальной плоскости в произвольной точке, радиус-вектор
которой r(t), в зависимости от способа задания кривой имеет вид
(ρ(t) − r(t)) · r 0 (t) = 0
или
x0 (t)(X − x(t)) + y 0 (t)(Y − y(t)) + z 0 (t)(Z − z(t)) = 0
или
Fy
Φy
Fz
Fz (X
−
x(t))
+
Φz
Φz ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
Fx
Fx (Y
−
y(t))
+
Φx
Φx Fy (Z − z(t)) = 0.
Φy 2014г.
6 / 13
Соприкасающаяся плоскость I
Определение
Плоскость, проходящую через заданную точку кривой γ параллельно векторам
r 0 (t) и r 00 (t), когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью
кривой.
Пусть ρ(t) – радиус-вектор произвольной переменной точки, лежащей в
соприкасающейся плоскости кривой γ. Тогда уравнение соприкасающейся
плоскости кривой γ в произвольной точке, радиус вектор которой r(t),
имеет вид
ρ(t) = r(t) + ur 0 (t) + vr 00 (t), u ∈ (−∞, +∞), v ∈ (−∞, +∞),
где u, v - аргументы векторной функции ρ(t) определяют радиус-вектор текущей
точки соприкасающейся плоскости, t – фиксированный параметр, задающий
точку на кривой, в которой проведена указанная плоскость.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
7 / 13
Соприкасающаяся плоскость II
Так как в данном случае векторы ρ(t) − r(t), r 0 (t), r 00 (t) компланарны, то
уравнение соприкасающейся плоскости кривой γ представимо в виде
(ρ(t) − r(t), r 0 (t), r 00 (t)) = 0,
или в декартовой прямоугольной системе координат
X − x(t) Y − y(t) Z − z(t)
x0 (t)
y 0 (t)
z 0 (t)
x00 (t)
y 00 (t)
z 00 (t)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
= 0.
2014г.
8 / 13
Нормаль кривой
Определение
Нормаль кривой – это прямая, проходящая через точку, радиус-вектор которой
r(t), перпендикулярно касательной кривой в этой точке.
Если кривая плоская, то уравнение нормали в декартовых координатах
имеет вид
x0 (t)(X − x(t)) + y 0 (t)(Y − y(t)) = 0,
а при неявном способе задания плоской кривой уравнение нормали
X − x(t)
Y − y(t)
=
.
Fx
Fy
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
9 / 13
Бинормаль кривой
Определение
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости пространственной
кривой, называют бинормалью.
Направляющий вектор бинормали совпадает с нормальным вектором
соприкасающейся плоскости
ρ(t) = r(t) + u(r 0 (t) × r 00 (t)), u ∈ (−∞, +∞).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
10 / 13
Главная нормаль
Определение
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости кривой, называют главной
нормалью.
Направляющий вектор главной нормали одновременно перпендикулярен
как бинормали, так и касательной
ρ(t) = r(t) + u((r 0 (t) × r 00 (t)) × r 0 (t)), u ∈ (−∞, +∞).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
11 / 13
Спрямляющая плоскость
Определение
Плоскость, содержащую касательную кривой и бинормаль, проведенные в одной
и той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Уравнение спрямляющей плоскости имеет вид
(ρ(t) − r(t), r 0 (t) × r 00 (t), r 0 (t)) = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
12 / 13
Репер Френе
Определение
Правую тройку векторов τ , n, b, составленную из ортов направляющих векторов
касательной, главной нормали и бинормали, называют репером Френе.
τ =
n=
(r 0 (t) × r 00 (t)) × r 0 (t)
,
|(r 0 (t) × r 00 (t)) × r 0 (t)|
b=
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
r 0 (t)
,
|r 0 (t)|
r 0 (t) × r 00 (t)
.
|r 0 (t) × r 00 (t)|
2014г.
13 / 13