Вопросы к зачету по дифференциальной геометрии 2014, весна 1. Гладкие многообразия и гладкие отображения, диффеоморфизмы. 2. Кривые на многообразиях. Замкнутые, простые, элементарные кривые, носитель. Гладкость кривых. Эквивалентность кривых. 3. Кривые в Rn. Векторная функция скалярного аргумента. Регулярность. Примеры. Вложенные кривые. Примеры. Явно заданные кривые. 4. Касательная к кривой в Rn. Касательная в регулярной точке. Полукасательные. Уравнения касательной. Нормаль и нормальная плоскость. Угол между кривыми. 5. Теорема об эквивалентности вложенных кривых. Длина кривой в Rn. Свойства. Натуральная параметризация и ее существование. 6. Неявно заданные линии в R2. Примеры. Теорема Уитни. 7. Особые точки неявно заданных линий. Строение линии вблизи неособой точки и строение линии, состоящей из неособых точек. 8. Касательная и нормаль в неособой точке неявно заданной линии. Неявно заданная линия в R3, ее касательная и нормальная плоскость. 9. Соприкасающаяся плоскость кривой в R3. Случай регулярной точки. Кривые общего положения. Бинормаль, главная нормаль, спрямляющая плоскость. Трехгранник Френе. 10.Репер Френе. Вычисление в общем случае и в случае натуральной параметризации. Пример. Случай плоской кривой. 11.Кривизна кривой в Rn. Примеры. Вычисление кривизны регулярной кривой в Rn и в R3. Интегральная кривизна. Кривизна плоской кривой. 12.Кручение кривой в R3. Формулы для кручения регулярной кривой общего положения. Критерий плоской кривой. Кривизна и кручение винтовой линии. 13.Формулы Френе кривой в R2 и R3. Кривые общего положения в Rn. Репер Френе, формулы Френе и кривизны кривой в Rn. 14.Основная теорема теории кривых в Rn. Натуральные уравнения кривой. Примеры. Случай плоской кривой. 15.Соприкосновение (касание) кривых в Rn. Критерий касания m-того порядка плоских кривых. Касание первого порядка. 16.Огибающая семейства плоских кривых. Примеры. Необходимое условие принадлежности точки носителю огибающей. Примеры. 17.Соприкасающаяся окружность плоской кривой. Центр и радиус кривизны. Эволюта. Эвольвента. Свойства и примеры. 18.Лемма о границе выпуклого множества. Выпуклые кривые, примеры. Локальная выпуклость. Условия строгой локальной выпуклости и локальной выпуклости. Геометрический смысл знака кривизны. 19.Связь выпуклости и локальной выпуклости, примеры. Теорема Жордана (без доказательства). Теорема о выпуклости замкнутой кривой. 20.Овал. Вершина кривой. Примеры. Теорема о четырех вершинах овала. 21.Изопериметрическое неравенство и его геометрический смысл. Примеры. 22.Подмногообразия в Rn. Касательное пространство. Регулярность. Примеры. 23.Погруженные и вложенные подмногообразия. Вложенность компактного подмногообразия. Эквивалентность подмногообразий. Примеры. 24.Гиперповерхности. Геометрическая характеризация касательной гиперплоскости. Нормальное пространство подмногообразия. Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой поверхности в R3, пример. 25.Теорема о вложении. Теорема Уитни о вложении (без доказательства). Примеры: двумерные компактные многообразия. 26.Явно заданные гиперповерхности, их свойства. Вид вектора нормали. Примеры. Неявно заданные гиперповерхности и особые точки. Строение вблизи неособой точки. Касательная гиперплоскость и нормальная прямая. Примеры. 27.Линейчатые поверхности в R3. Их регулярность. Примеры: цилиндрические, конические поверхности, поверхность касательных, геликоид, поверхности второго порядка. Поверхности вращения, примеры. 28.Регулярность кривой на подмногообразии. Касательный вектор и дифференциал погружения, запись в локальных координатах. Длина кривой на подмногообразии. Первая квадратичная форма и ее свойства. 29.Формула длины кривой в локальных координатах, пример. Сохранение длин кривых при изометрии Rn. Изгибания, примеры. Угол между кривыми на подмногообразии. Формула в локальных координатах. Угол между координатными кривыми.