Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный
технический университет им. Г.И. Носова»
Кафедра математических методов в экономике
Математика
Варианты заданий к контрольной работе № 1 по дисциплине «Математика»
для студентов заочного факультета направления 081100 «Государственное и
муниципальное управление»
Магнитогорск 2012
Вариант 1
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
3

А=  7
2

5

4 2 1

1 0 0
4 0 3

3 2 1 
С= 1
2 3 8
Q= 20
100 50 100 
(5E+A)•X•B = 4•C, где A= 
B= 
2. Решить матричное уравнение
2 1 
 ,
 2  5
1  4
 ,
3 0 
9  9
 .
 2  2
C= 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
2
3
1
4
1
2
1
2
3
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1400
1300
1100
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
2x1+x2-x3-x4+3x5=3
5x1+4x2-4x3-4x4+15x5=9
3x1+2x2-2x3-2x4+7x5=5
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-1;-2;3), B(4;1;2), C(5;2;7). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(3;4), B(2;-1),
C(1;-7). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на
прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
2
а)
n  2n 3  3n
lim
5  n  n 3 ; б)
n 
 n 1 


lim
n   n  3 
n2
8. Найти предел функции
x  3x  2
lim
2
а) x1 x  2 x  1 ; б)
2
lim
x 4
1  2x  3
x 2  5x  4 ;
sin 8 x 2
в)
lim e
x 0
4 x2
1
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
  x, x  1;
f x    2
, x  1.
 x  1
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y  e ln4 x2  
5
3x  x
2
б ) arctgy  x 2 y
11. Найти производную второго порядка от функций
y  xex
2
12. Исследовать функцию и построить её график
y
x2
x2 1
Вариант 2
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
2

А=  6
4

3

8 1 0

7 3 2
5 1 1

3 0 1 
С= 1
2 3 8
Q= 20
100 50 100 
2. Решить матричное уравнение
(3E+A)•X•(B-4E) = C, где A=
  2 2

 ,
 2 0
6  1
 ,
3 0 
B= 
C= 
7 4
.
13
6 

3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
1
2
4
2
3
5
3
1
2
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1700
2300
1100
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
7x1 - 2x2 +2x3 - 2x4 + 3x5 =12
2x1 - x2 + x3 - x4 + 3x5 =3
x1 + x2 - x3 + x4 - 6x5 =3
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (1;2;3), B(3;-4;2), C(-4;-3;2). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(3;4), B(2;-1),
C(1;-7). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
5n 6  2n 4  3
lim n  2
7
n 
 2n  3 


lim
; б) n  2n  1 
n 1
8. Найти предел функции
а)
lim
x2
x 2  5x  6
x 2  12 x  20 ; б)
lim
x 8
1 x  3
x 2  64 ;
1  cos 4 x
в)
lim arctg 2 x
x 0
2
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж


1
 2 x 2  5 , x  1;
f x    5
 x  3, x  1.
10. Найти производную первого порядка от функций
 sin x 

а) y  3arctg x  
 1  tg8 x 
2
arcsin
x
 y ln x
y
11. Найти производную второго порядка от функций
y
ln x
x5
12. Исследовать функцию и построить её график
yx e
2
1
 x2
2
Вариант 3
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
 2 4 0 1


2 6 5
 5 5 4 0


А=  7
С= 5
3 4 1
Q= 100
100
200 
2. Решить матричное уравнение
(A2-2E)•X•B = 4•C, где A=
 2 1

 ,
 0 1
1  5
 ,
5 3 
B= 
3  22 
.
4 
 5
C= 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции,
усл. ед.
A
B
C
3
1
2
2
4
3
2
1
3
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1400
1600
1300
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
x1 + x2 +x3 - x4 + x5=1
x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + x5=8
x1 + x2 - 5x3 + x4 + 2x5= -10
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (2;-3;-1), B(3;5;3), C(4;3;-4). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;5), B(4;-3),
C(-2;-4) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
lim
2n  12  n  12
n  
3n 2  n  1
 2n 2  2 
 2

lim
2
n

1
n




; б)
n2
8. Найти предел функции
3x 2  x
lim 3 2
а) x 1 3x  5 x  2 x ; б)
lim
3
x 8
9  2x  5
x2  7x  8 ;
2 sin x  1
lim
в) x0 ln 1  2 x 
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x 2  1, x  2;
f x   
 x  7 , x  2.
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y 
2
tg3x  ln 2 cos 3x
 10 x 1
6

e yx  ln x 2  y 2

11. Найти производную второго порядка от функций
y  x 3 ln 8 x
12. Исследовать функцию и построить её график
y  x  2e 3 x
Вариант 4
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
2

А=  5
2

6

4 0 1

8 0 1
2 5 3

8 7 1 
С= 5
1 1 7
Q= 100
200 150 300 
2. Решить матричное уравнение
0,2A2•X•B = 2•C, где A=
 2  1

 ,
1 3 
1  1
 ,
1 1 
B= 
1  4
.
6 
3
C= 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
5
3
2
1
2
2
3
1
2
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
2300
900
1300
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
2x1 - x2 +4x3 +x4=9
x1 - 2x2 - 3x3 - x4= -1
2x1 + x2 + 4x3 - x4=11
3x1 - 2x2 + x3 - x4=9
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (3;-4;2), B(-5;2;3),
C(-1;7;-1). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(3;2), B(-5;-4),
C(-1;6) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
 n 2  2n  8 n 
а) lim 
 
3n
3  ; б)
n 
n
 n 2  3n  6  2
 2

lim
n   n  5n  1 
8. Найти предел функции
x 2  2x  1
lim 2
а) x1 2 x  x  1 ; б)
lim
x 4
ln 1  7 x 
x 2  5x  4
x 2
;
lim sin  x  7
в)
x 0
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x  3, x  1;
f x    x
 3 , x  1.
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y 
1
arcsin x
 x 2 3tg 2 x
б) x ln y  x  x3 y
11. Найти производную второго порядка от функций
 x
y  e 2 x sin  
3
12. Исследовать функцию и построить её график
y
x3
3  x2
Вариант 5
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
 3 3 2 1


3 0 7
6 4 2 1


А=  5
С= 5
2 1 1
Q= 100
50 150 
2. Решить матричное уравнение
(4E+A)•X•B = 50•C,
где
A=
0 5 

 ,
 2  1
B= 
1 7
 ,
  3 0
C=
  0,1  0,2 

 .
  0,5 0,2 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
Расходы сырья на единицу
Запасы сырья
продукции, усл. ед.
на один день,
усл. ед.
A
B
C
S1
2
3
5
2200
S2
2
1
3
1400
S3
4
2
3
1900
Най
ти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
x1 + 2x2 - 3x3 -4x4= 4
2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4= 4
x1 + x2 - 2x3 - 2x4= 2
4x1 + 3x2 - 4x3 - 6x4= 3
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-5;2;4), B(-3;4;2),
C(6;-3;-3). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(2;5), B(-3;4),
C(-4;-2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
lim
n  32  n  12
4n  3
n
 n  10 


lim
; б) n  n  1 
3 n 1
8. Найти предел функции
x  4x  5
x 3  x 2 ; б)
2
а)
lim
x  1
lim x
x 2
2 x 2
2
 x2 ;


cos x  tgx
2

lim
2
в) x0 arcsin 4 x
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x , x  1;
f x   
ln x, x  1.
10. Найти производную первого порядка от функций
3
1
1
а) y   2ctgx  3 sin   2
x 5

x
б) arcsin y  x2 y3  7 yx2
11. Найти производную второго порядка от функций
y  3x  1 ln 6 x
2
12. Исследовать функцию и построить её график
y
2x
ln x
Вариант 6
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
3

А=  7
5

1

4 3 4

0 1 2
4 3 1

1 0 1 
С= 2
5 3 1
Q= 50
40 30 100 
2. Решить матричное уравнение
(3E-A)•X•B2 = 2•C, где A=
 2 7

 ,
  4 1
1  1
 ,

 1 2
B= 
9  9
 .
 2  2
C= 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
3
2
2
4
1
2
5
2
3
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1300
1100
1700
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
x1 + 2x2 - 2x3 + x4= 3
2x1 + 3x2 - 3x3 + 5x4= -3
x1 - x2 + x3
= -2
2x1 - x2 + x3 - 3x4= 4
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-4;-3;5), B(2;5;6),
C(-2;3;-5). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;2), B(-2;-5),
C(6;-1) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
n 5  7n 2  1
lim 2n  1
3
n 
 6n  7 


lim
; б) n   6n  4 
3n  2
8. Найти предел функции
а)
lim
x4
x 2  7 x  12
x 2  5 x  4 ; б)
lim
x 1
3 x 2
x2 1 ;
lim
в)
x 0
7 ln 1  3x 
4arctg 6 x
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x 2  5, x  3;
f x   
 x  3, x  3.
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y  5 1  ctg10x  10sin 2 x
б) y ln y  x2  y 2  1  0
11. Найти производную второго порядка от функций
y
x
arctg 8 x
4
12. Исследовать функцию и построить её график
y
3  2x
 x  2 2
Вариант 7
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
5

А=  0
3

5

4 3 0

1 3 4
2 0 0

0 7 1 
С= 1
2 5 4
Q= 50
50 200 50 
2. Решить матричное уравнение
(5E-A)•X•B = 4•C, где A=
 0 1

 ,
 8 3
B= 
3 3
 ,

 3 1
C= 
1 3 
 .
5  2
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
2
3
2
4
2
2
2
1
5
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1700
1800
1700
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
x1 - 2x2 +3x3 - 4x4 +2x5= 0
x1 +2x2 - x3
- x5= 1
x1 - x2 +2x3 - 3x4
= -1
x2 - x3 + x4 - 2x5= -1
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (4;2;-3), B(-5;6;4),
C(-2;-3;4). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-6;-4), B(3;-7),
C(1;2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на
прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
 n2
5n  1 



lim
5  ; б)
n  n  2
 3n  1 


lim
n   3n  1 
2 n 3
8. Найти предел функции
а)
lim
x  2
2x  x 2
x 2  2 x  8 ; б)
lim
x 3
x2  x  6
3  2x  3 ;
sin 12 x
2
 3x
lim x
в)
x 0
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x  12 , x  2;
f x   
  x  3, x  2.
10. Найти производную первого порядка от функций
4
arctg 5 x 
x
а) y  
 
2 
2 1 x2



б) y 2  xarctgy  5  0
11. Найти производную второго порядка от функций
y  2 x
2 x
sin 3x
12. Исследовать функцию и построить её график
y
 x  2 2
x5
Вариант 8
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
3

А=  4
0

3

1 1 0

7 0 1
1 2 5

7 6 0 
С= 1
1 2 5
Q= 100
50 50 70 
2. Решить матричное уравнение
(2E+A)•X•B2 = 6E+C, где A=
 4 3

 ,
  3 0
B= 
1 2
 ,
0 1
C= 
0 27 
 .

 3 5
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы
расхода каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и
объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
5
2
2
3
4
2
4
2
1
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
2300
2100
1800
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
x1 + 3x2 +2x3 - 2x4 + x5 =5
x1 - 2x2 + x3 - x4 - x5 = -2
x1 - 4x2 + x3 + x4 - x5 = -2
3x1 - 3x2 + 4x3 - 2x4 - x5 = 1
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-4;5;-2), B(-1;5;8),
C(3;-2;4). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(2;1), B(-7;3),
C(-4;-3) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
С на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
2n  13
 n3  1 
а) lim 3
lim  3 
2
n  n  6n  2n  3 ; б) n   n  4 
23n  n 3
8. Найти предел функции
а)
lim
x 3
x 2  2 x  15
x 2  x  6 ; б)
4  8  4x
lim
2
x 2 x  3x  10 ;
e tgx  1
lim
в) x0 1  cos x
2
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
ln  x , x  0;
f x   
2
 x  x , x  0.
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y  arcsin 1  x 2 
ln x
x 1
б) e x  y  y3 cosx  y   0
11. Найти производную второго порядка от функций
y
ln  x  5
x5
12. Исследовать функцию и построить её график
y  x 2ex
Вариант 9
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
3

А=  2
4

5

3 3 1

7 0 3
1 2 0

1 5 4 
С= 2
2 3 1
Q= 50
200 100 50 
2. Решить матричное уравнение
(5E+A)•X•(E+B) = 4•C, где A=
0 7 

 ,
 0  4
B= 
0 0
,
7
0 

C= 
2 5 
.
1
 2 

3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
2
1
1
3
4
2
4
3
1
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
900
2000
1700
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
2x1 - x2 + x3 + x4 + x5 = 4
5x2 - x3 + 5x4 + 3x5 = -4
x1 + x2 +3x3
+ 2x5 = 1
-3x1 + 3x2 - 2x3 + x4 + = -7
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-5;-3;-2), B(3;4;-5), C(4;2;3). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;-4), B(-6;7),
C(-1;1). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
а)
n  13  n 3
 n 1 


lim
lim
2
n 5n  2n  1 ; б) n    n  3 
n2
8. Найти предел функции
x  3x  2
lim
2
а) x1 x  2 x  1 ; б)
2
 2n  5 


lim
n   2n  3 
7 n 8
2 x sin x
;
lim ln 1  tg x 
в)
x 0
2
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж


f x   


x
1
  , x  0;
 3
x  2  4, x  0.
10. Найти производную первого порядка от функций
а) y  5
1
lg x
1  tgx
1  tgx



б ) yx  ln x2  y 2  0
11. Найти производную второго порядка от функций
y  x 2e5x  3
2
x
12. Исследовать функцию и построить её график
y
ex
x
Вариант 10
1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов
сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции
каждого вида даны матрицей Аm×k. Стоимость единицы сырья задана
матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане
выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с
помощью матриц A, C, Q.
5

А=  4
1

3

1 6 7

3 0 0
0 1 2

2 1 0 
С= 7
4 3 5
Q= 10
10 20 40 
2. Решить матричное уравнение
A2•X•B = 2•C, где A=
 1 2

 ,
  2 1
B= 
8 6
 ,
 1  1
4  3
 .
 2  2
C= 
3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B,
C; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода
каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода
сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид сырья
S1
S2
S3
Расходы сырья на единицу
продукции, усл. ед.
A
B
C
3
2
2
5
1
1
3
2
1
Запасы сырья
на один день,
усл. ед.
1600
1500
1400
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.
Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по
формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное
решение системы уравнений
3x1 - x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 6
5x1 - 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 7
x1 - 3x2 - 5x3
- 7x5 = -4
7x1 - 5x2 + x3 + 4x4 + x5 = 6
5. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-3;2;6), B(-4;-5;2),
C(1;-3;-5). Найти четвертую вершину и острый угол
параллелограмма.
6. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(4;5), B(2;2),
C(7;4) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С
на прямую АВ.
7. Найти предел числовой последовательности
 n3

а) lim  2
 n 
n   n  4n
 ; б)
 n2  3 
 2

lim
n   n  n 
n6
8. Найти предел функции
а)
lim
x  2
x2  x  6
x 2  4 ; б)
lim
x 2
x4 2
x3  8 ;
lim
в)
x 0
ln 1  tg8 x 
e5x  1
9. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек
разрыва. Сделать схематический чертёж
 x , x  0;

f x    1
 x , x  0.
10. Найти производную первого порядка от функций
б ) arctgy  x 2 y
а) y  esin 3x  2 arccos x
2
11. Найти производную второго порядка от функций
sin xy  ln 4x  2 y   0
12. Исследовать функцию и построить её график
y
1  ln x
x