ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА Многомерный анализ, интегралы и ряды Дисциплина Курс 1 Семестр 2 Учебный год 2011–2012 Фамилия студента № группы Сумма баллов Фамилия проверяющего повышен. Оценка Фамилия экзаменатора базовый 1. 3k Исследовать числовой ряд ∞ X n=1 n 2 n n+1 пятибалл. десятибалл. n2 +n на сходимость. 2. 3k Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданной в полярных координатах кривой, p r = arccos (ϕ/π), ϕ ∈ [0, π]. 3. 3k Исследовать на сходимость интеграл I = Zπ/2 sinα (sin t) dt при α ∈ R. cosα t 0 4. 6k Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл при α ∈ R: Z1 cos(t−2 ) I= tα dt. (2 − t2 cos(t−2 ))2 0 xy 3 tg , x2 + y 2 = 6 0; x2 + y 4 на дифференцируемость 5. 4k Исследовать функцию f (x, y) = 2 2 0, x + y = 0; в точке (0, 0). 6. 4k Найти первый и второй дифференциал функции f (x, y) = (cos x − sin y)1/3 в точке M0 = (0, 0); написать формулу Тейлора с точностью до o(ρ2 ). 7. 3k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E 1 = (0, 1) и nx2 E2 = (1, ∞) функциональную последовательность fn (x) = sin . n2 x4 + 1 8. 6k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E1 = (0, 1) и ∞ X 2 E2 = (1, ∞) функциональный ряд xe−nx . n=1 9. 4k Функцию F (x) = сходимости. Zx ln(t + √ 4 + t2 ) dt разложить в ряд Маклорена и найти его радиус 0 10∗ . 5kПусть f : R → R и g : R → R равномерно непрерывные функции. Будет ли равномерно непрерывной на R композиция h = f ◦ g? МФТИ — 21 «Использование электронных средств любых типов во время экзамена запрещено» С положением ознакомлен: (Фамилия студента) ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА Многомерный анализ, интегралы и ряды Дисциплина Курс 1 Семестр 2 Учебный год 2011–2012 Фамилия студента № группы Сумма баллов Фамилия проверяющего повышен. 1. 3k Исследовать числовой ряд базовый ∞ X Оценка Фамилия экзаменатора пятибалл. десятибалл. n 2−n n e1/n − 1 на сходимость. n=1 2. 3k Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданной в полярных координатах кривой, r = cos ϕ, ϕ ∈ [−π/4, π/4]. 3. 3k Исследовать на сходимость интеграл I = Zπ/2 sinα (cos t) dt при α ∈ R. sinα t 0 4. 6k Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл при α ∈ R: Z1 sin(t−4 ) I= tα dt. (2 − t4 sin(t−4 ))2 0 xy 4 exp , x2 + y 2 = 6 0; k 2 6 x +y 5. 4 Исследовать функцию f (x, y) = на дифференцируемость 1, x2 + y 2 = 0; в точке (0, 0). 6. 4k Найти первый и второй дифференциал функции f (x, y) = (ch x + sh y)1/3 в точке M0 = (0, 0); написать формулу Тейлора с точностью до o(ρ2 ). 7. 3k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на r множествах E1 = (0, 1) и nx2 E2 = (1, ∞) функциональную последовательность fn (x) = . n2 x4 + 1 8. 6k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E1 = (0, 1) и ∞ X √ −nx xe . E2 = (1, ∞) функциональный ряд n=1 9. 4kФункцию F (x) = Zx arcsin t dt разложить в ряд Маклорена и найти его радиус сходимости. 0 10 . 5k Пусть f : (a, b) → (c, d) и g : (c, d) → R; функция f непрерывна, но не равномерно ∗ непрерывна на (a, b); функция g непрерывна, но не равномерно непрерывна на (c, d). Может ли функция h = g ◦ f быть равномерно непрерывной на (a, b)? МФТИ — 22 «Использование электронных средств любых типов во время экзамена запрещено» С положением ознакомлен: (Фамилия студента) ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА Дисциплина Многомерный анализ, интегралы и ряды Курс 1 Семестр 2 Учебный год 2011–2012 Фамилия студента № группы Сумма баллов Фамилия проверяющего повышен. 1. 3k Исследовать числовой ряд Оценка Фамилия экзаменатора базовый ∞ X n=1 n/2 2 1 n ln 1 + n пятибалл. десятибалл. n2 на сходимость. 2. 3k Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданной в полярных координатах кривой, p r = arcsin (ϕ/π), ϕ ∈ [0, π]. 3. 3k Исследовать на сходимость интеграл I = Zπ/2 sinα (sin t) dt при α ∈ R. ctgα t 0 4. 6k Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл при α ∈ R: Z1 sin(t−2 ) tα dt. I= 2 −2 4 (2 − t sin(t )) 0 3 xy sin , x2 + y 2 = 6 0; k 4 x + y2 5. 4 Исследовать функцию f (x, y) = на дифференцируемость 2 2 0, x + y = 0; в точке (0, 0). 6. 4k Найти первый и второй дифференциал функции f (x, y) = (cos x + sin y)1/2 в точке M0 = (0, 0); написать формулу Тейлора с точностью до o(ρ2 ). 7. 3k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E1 = (0, 1) и n2 x E2 = (1, ∞) функциональную последовательность fn (x) = cos . n4 x2 + 1 8. 6k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E1 = (0, 1) и 2 ∞ X e−n/x E2 = (1, ∞) функциональный ряд . x n=1 Zx 9. 4kФункцию F (x) = t arccos t dt разложить в ряд Маклорена и найти его радиус сходимости. 0 ∗ 5k Пусть f : (a, b) → (c, d) и g : (c, d) → R; функция f равномерно непрерывна на 10 . (a, b); функция g непрерывна, но не равномерно непрерывна на (c, d). Будет ли функция h = g ◦ f равномерно непрерывной на (a, b)? МФТИ — 23 «Использование электронных средств любых типов во время экзамена запрещено» С положением ознакомлен: (Фамилия студента) ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА Многомерный анализ, интегралы и ряды Дисциплина Курс 1 Семестр 2 Учебный год 2011–2012 Фамилия студента Сумма баллов Фамилия проверяющего № группы повышен. 1. 3k Исследовать числовой ряд базовый ∞ X Оценка Фамилия экзаменатора пятибалл. десятибалл. n 2−n n 41/n − 1 на сходимость. n=1 2. 3k Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданной в полярных координатах кривой, r = sin ϕ, ϕ ∈ [0, π]. 3. 3k Исследовать на сходимость интеграл I = Zπ/2 sinα (cos t) dt при α ∈ R. tgα t 0 4. 6k Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл при α ∈ R: Z1 cos(t−3 ) tα dt. I= 3 −3 3 (2 − t cos(t )) 0 4 ln 1 + x y , x2 + y 2 = 6 0; x6 + y 2 5. 4kИсследовать функцию f (x, y) = на дифференцируемость 2 2 0, x + y = 0; в точке (0, 0). 6. 4k Найти первый и второй дифференциал функции f (x, y) = (ch x − sh y)1/2 в точке M0 = (0, 0); написать формулу Тейлора с точностью до o(ρ2 ). 7. 3k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на r множествах E1 = (0, 1) и n2 . E2 = (1, ∞) функциональную последовательность fn (x) = n4 x + 1 8. 6k Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множествах E1 = (0, 1) и ∞ X e−n/x √ . E2 = (1, ∞) функциональный ряд x n=1 9. 4k Функцию F (x) = Zx t ln(t + √ 1 + t2 ) dt разложить в ряд Маклорена и найти его радиус 0 сходимости. 10∗ . 5k Пусть f : (a, b) → (c, d) и g : (c, d) → R; функция f равномерно непрерывна на (a, b); функция g непрерывна, но не равномерно непрерывна на (c, d). Может ли функция h = g ◦ f быть равномерно непрерывной на (a, b)? МФТИ — 24 «Использование электронных средств любых типов во время экзамена запрещено» С положением ознакомлен: (Фамилия студента)
