word - Мурманский государственный технический университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ
МАТЕМАТИКА
Часть 5.
Задания на контрольную работу по теме
«Последовательности и ряды. Гармонический анализ»
и методические указания к ее выполнению
для студентов-заочников всех специальностей
Мурманск
2007 г.
2
Составитель – Котов Алексей Алексеевич, канд. техн. наук, доцент каф.
Высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой
«30» мая 2007 г., протокол № 7.
Рецензент: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат наук, доцент
каф. Высшей математики и программного обеспечения ЭВМ
Мурманский государственный технический университет, 2007
3
Оглавление
Введение …………………………………………………………………
4
Задания на контрольную работу по теме «Последовательности и
ряды. Гармонический анализ» ………………………………………………..
5
Состав теоретического материала, необходимого для выполнения
работы, и ссылки на литературу ………………………………………………
9
Справочный материал к выполнению контрольной работы …………
11
1. Основные понятия о числовых рядах и определения. …………………………..
11
2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. ………………
12
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. …………….
13
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. ………………..
15
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. …………………………………
15
6. Функциональные ряды. …………………………………………………………...
15
7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда. ……………
16
8. Ряды Тейлора и Маклорена. ………………………………………………………
17
9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных
интегралов. …………………………………………………………………………
19
10. Ряды Фурье. ……………………………………………………………………….
19
Решение примерного варианта …………………………………………
22
Литература ………………………………………………………………
29
4
Введение
Курс математики, изучаемый студентами Мурманского государственного
технического университета, включает в себя разделы, необходимые для успешного освоения общеобразовательных, общетехнических и специальных дисциплин, для будущей работы по выбранной специальности, а также для формирования целостного мировоззрения.
Основной формой изучения этого курса студентами-заочниками является
самостоятельная работа с учебными материалами: чтение учебников, решение
типовых задач в соответствии с образцами, приведенными в руководствах по
решению задач, выполнение и защита плановых контрольных работ.
В настоящем пособии содержатся задания на контрольную работу по теме «Последовательности и ряды. Гармонический анализ», перечень соответствующих этой теме вопросов теоретического материала со ссылкой на параграфы рекомендуемых учебников, необходимый для решения задач справочный материал и решение примерного варианта контрольной работы. В конце
приведен список рекомендуемой литературы.
К выполнению контрольной работы следует приступать только после
освоения теоретического материала, иначе самостоятельное решение задач
окажется либо просто невозможным, либо весьма трудоемким и неэффективным. Выполнение контрольной работы по теме «Последовательности и ряды.
Гармонический анализ» должно привести студента к овладению методами анализа сходимости числовых рядов, способами нахождения областей сходимости
степенных рядов, приобретению навыков приближенных вычислений с помощью рядов, а также к получению понятия об аппроксимации функций гармониками ряда Фурье.
5
Задания на контрольную работу по теме
«Последовательности и ряды. Гармонический анализ»
Контрольная работа состоит из шести задач. Задание на каждую задачу
состоит из формулировки задачи и десяти вариантов исходных данных.
Студент выбирает свой вариант по последней цифре номера своей зачетной
книжки.
Работа должна быть выполнена в школьной тетради или на листах формата А4 с односторонним заполнением. На титульном листе должны быть указаны тема контрольной работы, фамилия, имя, отчество студента, номер группы, номер зачетной книжки.
Решение каждой задачи должно начинаться с ее номера, формулировки
задачи, записи исходных данных. Далее решение должно сопровождаться
ссылками на применяемые свойства, теоремы, формулы и другими необходимыми пояснениями. Закончить решение каждой задачи следует записью ответа.
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
Номер
варианта
Исследуемые ряды
Номер
варианта


1
n2
а) 
;
n 1 ( n  2)!

( 1) n
б)

n24

3
5
а) 
n  15
2
.
3n  1
;
4
n2
а)  n ;
n 1 2
 ( 1) n
б) 
.
n4 n n  3
n2
а)  n ;
n 1 2

б)
 (1)n
n2

6
а) 
3n  2
.
2n 2  3
n  33
3n
 ( 1) n
б)  3
.
n2n  5

n!
а)  5
;
n 1 n  7
n 1

7
n
n ;
n 1 e
 ( 1) n
б) 
.
n 1 n  3
а) 

n  3n
 ( 1) n
б) 
.
n 1 n  5

3n
а)  ;
n 1 n!
 ( 1) n
б)  6
.
n 1 n  2
n 1
Исследуемые ряды
8

б) 
n 1
;
(1) n
n3  1
.
6


3n
а)  ;
n 1 n!
 (1) n
б)  3
.
n 3 n  2
9
10
2n
а)  5 ;
n 1 n
 ( 1) n n
б)  3
.
n 1 n  2
.
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.
Номер
варианта
Исследуемые ряды
( x  1) n
.

n 1`(3n  1)!
Номер
варианта


2
( x  3) n
.
n2  9
 ( 1) n n 2 ( x  2) n
.

n
2
n 1` 3 (3n  1)
3
n 1`
5


7
( x  4) n
n  6n  1
 ( x  1) n
 2 .
n  2` n ln n
n 1`
9
2 n (n  1)( x  2) n
.

2n  1
n1`

(1) n (5n  3)( x  2) n
.

(3n  5) 2
n 1`


1
Исследуемые ряды
4

6
2n x n
 (n  1)!.
n 1`
8
2 n ( x  2) n
.

2
n 1` ( n  4)
10
(n  1)( x  1) n
.
 n 2
n 1` 2 ( n  1)

.
5

Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
№ варианта
Функция и точка
1
f ( x)  ln( 2 x 2  1), a  0
3
f ( x) 
5
f ( x)  x arctg x 2 , a  0
2
, a 1
x3
№ варианта
Функция и точка
2
f ( x)  x arctg x , a  0
4
f ( x)  ln( x  3), a  1
6
f ( x)  sin x, a 

2
7
7
1
f ( x) 
, a0
x2 1
1 x
f ( x)  ln
, a0
1 x
9
8
f ( x)  4 x , a  0
10
f ( x) 
2
, a 1
x 3
Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью 
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
№ варианта
Функция, значение аргумента,
точность вычисления
№ варианта
1
cos при   36 o ;   10 2
2
3
x при x  40 ;   10 3
1
e x при x   ;   10 2
3
3
x при x  1,02 ;   0,0001
arctgx при x  0,2 ;
  0,00001
4
5
5
7
9
6
8
10
Функция, значение аргумента,
точность вычисления
1
e x при x   ;   0,0001
5
sin  при   15o ;   10 3
1
e x при x   ;   0,0001
4
cos x при x  0,5 ;   10 5
1
e x при x   ;   0,0001
2
Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью 
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
№ варианта
Интеграл, точность вычисления
0, 5
1
dx
 1  x4 ;
0
0,5
3
  0,001
№ варианта
0, 5
2
2
 ln(1  x )dx;
  0,001
4
3
x
 xе dx;   0,001
0
0,5
x е
2
2
x

2
0,5
dx;   0,001
6
2 1/ 2
 (1  x ) dx;   0,001

1  x 2 dx;   0,001
0
1/ 3
0
2
0
0
7

xе  x ;   0,001
0,5
0
5
Интеграл, точность вычисления
8
3
0,5  x
3
е
0
dx;   0,001
8
1
 x sin x
9
2
dx;   0,001
0,5
10
 cos x
2
dx;   0,001
0
0
Задача 6. Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в
заданном интервале.
№ варианта
Функция, интервал
№ варианта
Функция, интервал

 x  1, x  (1;0)
f (x)  
1, x  (0;1)

0, x  (1;0)
f (x)  
1  5 x, x  (0;1)

1
f (x)  6 x  2 ; ( ; )
6
2

2 x, x  ( ;0)
f (x)  
 5, x  (0; )

7
3

1, x  (2;0)
f (x)  
2  x, x  (0;2)

8
f (x)  2 x  2 ; (0; 1)
9

0, x  (2;0)
f (x)  
1
 x, x  (0;2)
2
10

4 x, x  ( 3;0)
f (x)  
1, x  (0;3)

4
5

 1, x  ( ;0)
f (x)  
 x  1, x  (0; )

f ( x)  x   ; ( ; )
9
Состав
теоретического материала и ссылки на литературу
№
задачи
1
2
3
4
5
6
Тема
Определение числового ряда. Основные
понятия: общий член, частичная сумма, сумма
ряда, сходимость и расходимость. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.
Знакопеременные числовые ряды, их абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда
Функциональный ряд: определения и основные понятия. Область сходимости функционального ряда.
Определение степенного ряда. Теорема
Абеля. Радиус сходимости. Способы определения радиуса сходимости степенного ряда.
Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в
ряд Маклорена функции e x . Разложение в ряд
Маклорена функций sin x и cos x . Области сходимости этих рядов.
Разложение в ряд Маклорена биномиальm
ной функции 1  x  ; область сходимости этого
ряда. Разложение в ряд Маклорена функций
1
1  x,
, ln(1  x) ; области сходимости этих
1 x
рядов.
Применение степенных рядов для приближенного вычисления функций. Оценка погрешности.
Применение степенных рядов для приближенного вычисления определенных интегралов.
Оценка погрешности.
Тригонометрический функциональный ряд.
Литература
[1]: гл.XIII, §59;
[2]: гл.XVI, §1,2.
[1]: гл.XIII, §60;
[2]: гл.XVI, §3-6.
[1]: гл.XIII, §61;
[2]: гл.XVI, §7,8.
[1]: гл.XIV, §62;
[2]: гл.XVI, §9.
[1]: гл.XIV, §63;
[2]: гл.XVI, §13,14.
[1]: гл.XIV, §63;
[2]: гл.XVI, §14.
[1]: гл.XIV, §64;
[2]: гл.XVI, §15-17.
[1]: гл.XIV, §64;
[2]: гл.XVI, §19,20.
[1]: гл.XIV, §65;
[2]: гл.XVI, §20,21.
[1]: гл.XIV, §65;
[2]: гл.XVI, §21.
[1]: гл.XV, §66,67;
10
Тригонометрический ряд для функции, заданной
на отрезке   ,  . Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье для функции, заданной на отрезке
  ,  .
Ряд Фурье для функции с периодом 2 .
Ряд Фурье для функции с произвольным периодом. Ряды Фурье для четной и нечетной функции.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале (0, l ) .
[2]: гл.XVII, §1,2.
[2]: гл.XV, §67;
[1]: гл.XVII, §3-5.
[2]: гл.XV, §67;
[1]: гл.XVII, §6.
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами
изданий в списке рекомендуемой литературы.
11
Справочный материал
к выполнению контрольной работы
1. Основные понятия о числовых рядах и определения.
Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел u1 , u 2 , u3 , ..., u n , ... , представляющая собой функцию
u n  f n  , n  1,2,3,...
(1)
заданную на множестве натуральных чисел. Числа u1 , u 2 , ... называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число
u n , задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.
В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента
u n  1  2  3  ...  n  n! ,
представляющая собой произведение первых n натуральных чисел. Обозначение n! читается как «эн факториал».
Пусть u1, u2, u3,…, un,…, где un = f(n) , - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение

u1  u 2  u3  ...  u n  ...   u n
n 1
(2)
называется числовым рядом.
Числа u1 , u2 , u3 , ..., un , ... называются членами ряда. При этом
u n  f (n) , n  1,2,3,...
называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула
для u n . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.
Сумму первых членов ряда по n-ный включительно обозначают Sn и
называют n-ной частичной суммой ряда, т.е.
n
S n  u1  u 2  ...  u n   ui .
i 1
Сумму остальных слагаемых, начиная с n  1 -го, называют n-ным остатком
числового ряда и обозначают R n , т.е.

Rn  u n1  u n 2  ...  u n k  ...   u n k .
k 1
Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как
самостоятельный числовой ряд.
Предел последовательности S1 , S 2 ,..., S n ,... частичных сумм при n   , если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S , т.е.
12
S  lim S n .
n 
Если lim S n существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говоn 
рят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2) расходится.
Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий
собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

a  aq  aq 2  ...  aq n  ...   aq n .
n 0
Его частичная сумма:
a (1  q n )
Sn 
.
1 q
При этом если q  1 , то геометрическая прогрессия называется бесконечно
убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму
S
a
.
1 q
В случаях, когда q  1 , геометрический ряд расходится, т.е. конечной
суммы не имеет.
2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Свойство 1.
Если сходится ряд
(3)
u1  u 2  ...  u n  ... ,
то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его
членов. Наоборот, если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.
В частном случае, когда речь идет об отбрасывании первых членов ряда,
свойство можно сформулировать так: если сходится ряд (3), то сходится и ряд
u m1  u m 2  ...  u m k  ... ,
и наоборот (m – конечное число первых отброшенных членов).
В более широком смысле данное свойство можно сформулировать следующим образом: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда
не изменяет его сходимости или расходимости.
Свойство 2.
Если сходится ряд
u1  u 2  ...  u n  ...
и его сумма равна S , то сходится и ряд
au1  au 2  ...  au n  ... ,
где a – некоторое число, и сумма его равна aS .
13
Свойство 3.
Если сходятся ряды
u1  u 2  ...  u n  ... и v1  v2  ...  vn  ... ,
и их суммы равны соответственно S и  , то сходится и ряд
u1  v1   u 2  v2   ...  u n  vn   ... ,
и сумма его равна S   .
Необходимый признак сходимости.
Если ряд
u1  u 2  ...  u n  ...
сходится, то его общий член u n при n   стремится к нулю, т.е.
lim u n  0 .
n 
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительным называется такой числовой ряд, все члены которого положительны.
Первый признак сравнения(признак сравнения в непредельной форме).
Пусть даны два ряда с положительными членами:
u1  u 2  ...  u n  ...
(4)
и
v1  v2  ...  vn  ... ,
(5)
причем каждый член ряда (4) не превосходит соответствующего члена ряда (5),
т.е.
u n  vn ,
(6)
n  1, 2, 3, ... .
Тогда если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4); если расходится ряд (4), то
расходится и ряд (5).
Этот признак справедлив и для случая, когда условие (6) начинает выполняться не при n  1 , а с любого значения номера n .
Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме).
Пусть для рядов (4) и (5) существует предел
u
lim n  b .
n v
n
Тогда если b  0 , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся; если
b  0 и ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если же
u
lim n  
n  v
n
14
и ряд (5) расходится, то расходится и ряд (4).
Ряды, сходимость или расходимость которых полезно запомнить для
применения признаков сравнения.
 1
1 1
1
Гармонический ряд: 1    ...   ...   ; этот ряд расходится.
2 3
n
n 1 n
 1
Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле):   ; этот ряд
n 1 n
расходится при   1 и сходится при   1. Рассмотренный выше гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при   1.
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
u1  u 2  ...  u n  ...
существует предел отношения последующего члена к предыдущему
u
lim n1  b ,
n u
n
то этот ряд сходится при b  1 и расходится при b  1.
При b  1 возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по признаку Даламбера не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами
u1  u 2  ...  u n  ...
существует предел
lim n u n  b ,
n
то этот ряд сходится, если b  1 , и расходится, если b  1.
При b  1 возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по радикальному признаку Коши не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Интегральный признак Коши.
Ряд с положительными членами
u1  u 2  ...  u n  ... ,
(7)
где u n  f n , и f  x  - непрерывная монотонно убывающая при x  1 функция, сходится, если сходится несобственный интеграл

 f x dx .
1
Если же интеграл (8) расходится, то расходится и ряд (7).
(8)
15
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, причем количества и тех и других бесконечны.
Знакопеременный ряд
u1  u 2  u 3  ...  u n  ... ,
(9)
сходится, если сходится ряд, составленный и модулей его членов:
u1  u2  u3  ...  un  ... .
(10)
При этом говорят, что ряд (9) сходится абсолютно. Если же ряд (10) расходится, то ряд (9) может как сходиться, так и расходиться. В случае его сходимости
говорят, что он сходится неабсолютно, или условно.
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются.
Если считать все числа u n положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:
n 1
u1  u 2  u3  u 4  ...   1 u n  ... ,
n  1,2,3,...
(11)
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.
Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:
1) lim u n  0 ;
n
2) u1  u 2  u3  ...  u n  u n1  ... .
Следствия из теоремы Лейбница:
1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме
(11), положительна и меньше его первого члена:
0  S  u1 ;
(12)
2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток
n
Rn   1 u n1  u n 2  u n3  ...
по модулю меньше своего первого члена: Rn  un1 .
6. Функциональные ряды.
Функциональным называется ряд, члены которого суть функции переменной x :
16

u1  x   u 2  x   ...  u n  x   ...   u n  x  ,
(13)
n 1
Функция
S n  x   u1  x   u 2  x   ...  u n  x    u k  x 
n
k 1
называется частичной суммой ряда (13). Предел частичной суммы при n   ,
если он существует как функция аргумента x , называется суммой функционального ряда:
n
S  x   lim S n  x   lim  u k  x  .
n 
n  k 1
При этом говорят, что ряд (13) сходится. Значение x  x0 , при котором ряд
(13) сходится, т.е. сходится числовой ряд u1  x0   u 2  x0   ...  u n  x0   ... , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество значений аргумента x , при которых функции u1 x , u2 x , ... , un x , ... определены, и ряд

 un  x 
сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
n 1
Функция

Rn  x   u n1  x   u n 2  x   ...  u n k  x   ...   u n k  x 
k 1
называется остатком функционального ряда.
7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида

A0  A1  x  a   A2  x  a   ...  An  x  a   ...   An  x  a  ,
2
n
n 0
n
(14)
где a, A0, A1, A2, …, An, … - действительные числа. Частный случай степенного
ряда при a  0 :

A0  A1 x  A2 x 2  ...  An x n  ...   An x n .
n 0
Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при x  x0 , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству
x  a  x0  a .
(15)
Если же ряд (14) расходится при x  x0 , то он расходится и при любом x,
удовлетворяющем неравенству
x  a  x0  a .
(16)
Поясним формулировку теоремы Абеля. После несложных преобразований условия (15) и (16) можно соответственно записать в виде
a  x0  a  x  a  x0  a ,
17
 x  a  x0  a
.

 x  a  x0  a
Отсюда следует, что число x0  a в окрестности точки a образует
симметричный относительно нее интервал. При этом если ряд сходится при
x  x0 , то гарантирована его сходимость и внутри интервала. Если же он расходится при x  x0 , то он обязательно расходится и во всех точках вне интервала. Таким образом, теорема Абеля фактически устанавливает существование
симметричного относительно точки a интервала абсолютной сходимости степенного ряда. Половина его длины обозначается R и называется радиусом сходимости, а точка a - центром сходимости.
Радиус сходимости R может принимать значения от 0 до  , т.е.
0  R   . Интервал абсолютной сходимости может быть записан в виде
x  a  R . Сходимость ряда в точках x  a  R и x  a  R должна быть исследована особо, и в случае ее установления соответствующая граница добавляется к интервалу, образуя область сходимости.
Применив к степенному ряду признак сходимости Даламбера, для радиуса сходимости можно получить формулу
A
(17)
R  lim n .
n  A
n 1
Эта формула справедлива только в тех случаях, когда ряд содержит все целые
степени разности x  a , т.е. не имеет нулевых коэффициентов.
Если же для анализа сходимости степенного ряда применить радикальный признак Коши, то получится формула
1
.
R
lim n An
n 
Теорема. Любой степенной ряд внутри его интервала сходимости можно
почленно интегрировать и дифференцировать; при этом его радиус сходимости
сохраняется, а сумма ряда также интегрируется или дифференцируется.
8. Ряды Тейлора и Маклорена.
Рядом Тейлора для функции f  x  называется степенной ряд
n 
''
f ' a 
x  a   f a  x  a 2  ...  f a   x  a n ... .
(18)
1!
2!
n!
При этом говорят, что ряд Тейлора построен для f x  в точке x  a .
Остаток ряда Тейлора может быть записан в форме Лагранжа:
f n1 a    x  a 
x  a n1 , 0    1.
Rn  x  
n  1!
Если функция f x  бесконечно дифференцируема в некоторой области
f a  
18
x  a  r и при этом в этой области выполняется условие
f n1 a    x  a 
x  a n1  0 ,
lim Rn  x   lim
n
n
n  1!
то ряд (17) в данной области сходится к функции f  x  , т.е. справедливо равенство
f x   f a  
n 
''
f a 
x  a   f a  x  a 2  ...  f a  x  a n  ... .
1!
2!
n!
Частный случай ряда Тейлора при a  0 называется рядом Маклорена.
Остаток ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:
f n1 x  n1
Rn  x  
x , 0    1,
n  1!
а разложение функции в ряд Маклорена, при условии lim Rn x   0 , выглядит
n
следующим образом:
f ' 0
f '' 0 2
f n  0 n
f x   f 0 
x
x  ... 
x  ....
1!
2!
n!
Если lim Rn x   0 , то ряд Тейлора (Маклорена), даже если он сходится,
n
имеет сумму, отличную от f  x  .
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, представленные
ниже вместе с их областями сходимости, полезно запомнить для их применения
при разложении других, более сложных функций.
 xn
x x2
xn

 ... 
 ...   ; x  (;  ) .
1! 2!
n!
n 0 n!
3
5
7
2 n 1
2 n 1

x x
x
x
n x
n x
sin x      ...   1
 ...    1
;
2n  1!
2n  1!
1! 3! 5! 7!
n 0
ex  1
x  (;  ) .
2n
2n

x2 x4 x6
n x
n x


 ...   1
 ...    1
; x  (;  ) .
2n !


2! 4! 6!
2
n
!
n 0
1  x m  1  m x  mm  1 x 2  mm  1m  2 x 3  ...
1!
2!
3!

mm  1m  2...m  n  1 n
mm  1m  2...m  n  1 n
... 
x  ...  1  
x ;
n!
n!
n 1
x  (1;  1) .
cos x  1 
Последний ряд называется биномиальным, т.к. функция, для которой построен этот ряд, представляет собой бином (двучлен) произвольной степени m .
Гарантированная область сходимости биномиального ряда указана для любых
значений m ; для некоторых значений она может быть расширена в ту или другую сторону (или в обе) включением в нее границы интервала.
Частные случаи биномиального ряда выглядят следующим образом:

1
n
n
 1  x  x 2  x 3  ...   1 x n  ...    1 x n ;
1 x
n 0
x  (1; 1) .
19
1
1
1 3
1 3  5 4
x 2
x 2  3 x3  4
x  ...
2  1!
2  2!
2  3!
2  4!

1
n 1 1  3  5  ...  2n  3 n
 1n 1  3  5  ...n  2n  3 x n ;
...   1
x

...

1

x


n
2  n!
2
2  n!
n2
x  [1; 1] .
1 x 1
Из первого частного случая могут быть получены ряды еще для двух часто встречающихся в практических задачах функций:
n 1
n 1

x2 x3 x4
n x
n x
ln1  x   x 


 ...   1
 ...    1
; x  (1; 1] ;
2
3
4
n 1
n 1
n 0
2 n 1
2 n 1

x3 x5 x7
n x
n x
arctgx  x  

 ...   1
 ...    1
; x  [1; 1] .
3
5
7
2n  1
2n  1
n 0
9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных интегралов.
Для вычисления значения функции при данном значении аргумента можно воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд. В частности,
удобно воспользоваться приведенными в предыдущем пункте разложениями в
ряд Маклорена функций e x , sin x, cos x, 1  x m , ln 1  x, arctgx . Если значение аргумента x0 принадлежит области сходимости, то после разложения
функции в ряд и подстановки x  x0 искомое значение функции представляет
собой сумму числового ряда. Поскольку полную сумму ряда, представляющую
собой точное значение функции, найти, как правило, затруднительно, то в этом
ряде сохраняется такое количество первых членов, которое гарантирует необходимую в данном конкретном случае точность. Точность вычислений задается
обычно одной значащей цифрой в каком-либо разряде. Так, запись a  5,41,
  0,02 означает, что точное значение величины a находится в пределах от
5,39 до 5,43. Это можно записать следующим образом: a  5,41  0,02 . Другими
словами, заданная точность  - это та погрешность, в пределах которой приближенное значение может отличаться от точного.
Для приближенного вычисления определенного интеграла нужно разложить в степенной ряд подынтегральную функцию, проинтегрировать степенной
ряд почленно и сохранить в ряде достаточное для обеспечения заданной точности количество его первых членов; при этом область интегрирования не должна
выходить за рамки области сходимости ряда.
10. Ряды Фурье.
Функциональный ряд вида
20
a0
 a1 cos x  b1 sin x   a2 cos2 x  b2 sin 2 x   ...  an cosnx  bn sin nx  ... 
2
a0 
  an cos nx  bn sin nx
2 n1
называется тригонометрическим рядом.
Если коэффициенты a n и bn вычислены по формулам
1
1
1
a0   f x dx , an   f  x cos nxdx , bn   f x sin nxdx ,






(19)
(20)

то тригонометрический ряд (19) представляет собой ряд Фурье для функции
f  x  , заданной на отрезке [ ;  ] .
Теорема Дирихле. Если f  x  - кусочно гладкая на отрезке [ ;  ] функция, то ее ряд Фурье сходится к функции f  x  во всех точках, где она непреf xi  0  f xi  0
рывна. В точках разрыва x  xi ряд сходится к значению
,
2
f    0  f   0
а на концах интервала – к значению
.
2
В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке [ ;  ] и
для периодической функции с периодом 2 в точках непрерывности справедливо равенство:

a
f  x   0   an cos nx  bn sin nx ,
2 n1
где коэффициенты a n и bn вычисляются по формулам (20).
Для четной функции, заданной на отрезке [ ;  ] или для четной с периодом с периодом 2 коэффициенты bn при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид

a
f  x   0   an cos nx ,
2 n1
где
2
2
a0   f  x dx ; an   f  x cos nxdx .

0

0
Аналогично для нечетных функций:

2
f  x    bn sin nx ; bn   f  x sin nxdx .
n 1

0
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [l ; l ] и для периодической функции с периодом 2l :

a
n
n 

f  x   0    an cos
x  bn sin
x ,
2 n1 
l
l 
21
где
1l
1l
n
1l
n




,
,
f
x
dx
a

f
x
cos
xdx
b

f  x sin
xdx .
n
n



l l
l l
l
l l
l
Здесь для четных функций:

a
n
2l
2l
n
f  x   0   an cos
x , где a0   f  x dx , an   f  x cos
xdx ;
2 n1
l
l0
l0
l
для нечетных функций:

n
2l
n
f  x    bn sin
x , где bn   f  x sin
xdx .
l
l0
l
n 1
Если требуется представить рядом Фурье функцию, заданную на отрезке
a0 
[0; l ] , то ее формально можно доопределить четным или нечетным образом в
промежутке [l ; 0) и применить приведенные выше формулы.
22
Решение примерного варианта
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
а)

n!
 5n .
n 1
К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:
u n1
n  1!5n  lim n!n  1  5n  lim n  1    1 ; ряд расходится.
 lim n1
n u
n 5
n 5
 n! n 5 n1  n!
n
lim
Ответ: ряд расходится.
б)

 1n
 2n  1 .
n 1
Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость,
рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:

1
 2n  1 .
n 1
Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения

1
с гармоническим рядом  , про который известно, что он расходится:
n 1 n
u
n
1
lim n  lim
 .
n  v
n  2 n  1
2
n
Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку,
исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный
знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.
Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:
1
lim u n  lim
 0;
n 
n  2 n  1
1
1
1
un1 


 un , т.е. для любых n выполняется
2n  1  1 2n  1 2n  1
условие u n1  u n .
Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница
ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится
условно.
Ответ: ряд сходится условно.
23
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.

 x  2
1
tg .
n
n 1
Здесь центр сходимости a  2 . Найдем радиус сходимости по формуле
(16), полученной из признака Даламбера:
n
R  lim
n 
An
An1
1
n
0
 lim
  .
n 
1
0
tg
n 1
tg
Так как при x  0 функции tgx и x являются эквивалентными бесконечно ма1
1
лыми, то при n   эквивалентны бесконечно малые tg и , а также
n
n
1
1
и
. Поэтому
tg
n 1
n 1
1
1
tg
n 1
n
lim
 lim n  lim
 1.
n
n 1
n n
1
tg
n 1
n 1
По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал
абсолютной сходимости:
(a  R; a  R)  (2  1; 2  1)  (1; 3) .
Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.


 x  1.  1  2n tg    1n tg .
n1
1
n
n1
1
n
Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.
 1
tg 1 n 
lim
 1 , и ряд  расходится (второй, предельный признак сравнеn 1 n
n 1 n
1
ния). В то же время для него выполняются условия lim u n  lim tg  0 и
n 
n 
n
1
1
un1  tg
 tg  u n  n , т.к. tgx - возрастающая функция. Следовательn 1
n
но, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. x  1
сходится условно.

1 
1  1
n
 x  3.  3  2 tg 1n tg   tg .
n n1
n n1 n
n 1
Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящим
1
ся рядом  по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд
n 1 n
24

1
 tg n
расходится.
n 1
Ответ: область сходимости данного степенного ряда: [1; 3) .
Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
f x  
1
, a  1 .
x3
Требуется разложить функцию по степеням двучлена x  1 . Обозначим
1
его новой переменной: z  x  1. Тогда x  z  1, и f x  
. Последнее
z4
1
выражение представим в виде
и введем еще одну переменную:
z

 41  
 4
1
z
1
1 1
. Теперь для функции
 
u   . После этого f x  
1 u
 41  u 
4 1 u
4
применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):

1
n
n
 1  u  u 2  u 3  ...   1 u n  ...    1 u n ,
1 u
n 0
u  (1; 1) .
В последнем разложении возвратимся к переменной z и далее к исходной переменной x :
n
1 1
1 
1 
z
1  zn
n n
n
f x    
     1 u      1       n 
4 1 u
4 n 0
4 n 0
4 n 0 4
 4

 
x  1n .
4 n1
Найдем теперь область сходимости. Для переменной u ее составляет инz
x 1
тервал (1; 1) , т.е.  1  u  1. Тогда  1    1 и  1  
 1 . Отсюда
4
4
получаем, что  4  x  1  4  5  x  3 .
n 0
  x  1
1
   n1 ,
x3
n 0 4
n
Ответ:
x  (5; 3) .
25
Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью 
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
e x при x  0,5;   0,0001.
1
с точностью до четe
вертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена
функции e x :
 xn
x x2
xn
x
e 1 
 ... 
 ...   , x (;  ) .
1! 2!
n!
n 0 n!
Подставим сюда заданное значение x  0.5 :
n

1
1
1
 1
0.5
(а)
e
1


 ...  n
 ... , n  0, 1, 2, … .
2  1! 2 2  2! 23  3!
2  n!
Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых
членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: Rn   . При этом
ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль
остатка меньше первого члена этого остатка: Rn  un1 . Следовательно, для
обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие
u n1   .
(б)
Поскольку
1
,
u n1  n1
2  n  1!
то условие (б) принимает вид
1
 0,0001 , или 2 n1  n  1! 10000 .
n 1
2  n  1!
Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера n  5 :
2 41 4  1! 32  120  3840  10000 ,
По условию задачи требуется вычислить e 0.5 
251 5  1! 64  720  46080  10000 .
Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить
сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:
1
 1  0,5  0,125  0,02083  0,00260  0,00026  0,60651  0,6065 .
e
1
 0,6065  0,0001 .
Ответ:
e
26
Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью 
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
1
 ln 1 

4
x dx;
  0,0001 .
0
Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:
n 1
n1

x 2 x3 x 4
n x
n x
ln 1  x   x 


 ...   1
 ...    1
, x  (1; 1] .
2
3
4
n 1
n 1
n 0
Заменим в этой формуле x на x :

2

3
n 1
4
x
x
x
x
n
ln 1  x  x 


 ...   1
 ... 
2
3
4
n 1

1
x2

2
x2

3
x2

4
x2
 ...   1
n
n1
x 2
2
3
4
n 1
Пересчитаем область сходимости:

 ...    1
n 0
n
n1
x 2
n 1
.
 1  x  1  0  x  1  0  x  1  x  [0; 1] .
Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная
функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:
2
3
4
n 1

1
1  1
2
2
2
2
4
4

x
x
x
x
n
2 


ln
1

x
dx

x



...


1

...
dx 


2
3
4
n

1
0 
0





1
4
5
6
n 3
 3
 4
 x2

x2
x2
x2
x 2
n




 ...   1
 ... 
n3
 3 2 4 3 5 4 6

n  1 


 2
0
2
2
2
2
       
 
1
4
5
6
n 3
 x3
 4
x
x
x
x
n

2



 ...   1
 ... 
 1 3
n  1  n  3 
24
35
46

0
 1

1
1
1
1
n
 2 3
 4
 5
 6
 ...   1 n3
 ... 
2 n  1n  3
 2 1 3 2  2  4 2  3  5 2  4  6

1
1
1
1
1
n
 2
 3
 4
 5
 ...   1 n2
 ... ,
2 1  3 2  2  4 2  3  5 2  4  6
2 n  1n  3
n  0, 1, 2, …
Полученный ряд оказался знакочередующимся. Поэтому используем то
же самое условие обеспечения заданной точности, что и в предыдущей задаче:
u n1   .
(а)
27
Здесь
1
,
2 n3 n  2n  4
поэтому минимально необходимое n находим из условия
1
 0,0001 , или 2 n3 n  2n  4  10000 :
n 3
2 n  2n  4
u n1 
n  4  2 43 4  24  4  128  6  8  6144  10000 ,
n  5  253 5  25  4  256  7  9  16128  10000 .
Из последнего вытекает, что для обеспечения заданной точности достаточно
просуммировать первые шесть членов ряда:
1
 ln 1  x dx  12  64  480  768  2240  6144 
4
1
1
1
1
1
1
0
 0,08333  0,01563  0,00208  0,00130  0,00045  0,00016 
 0,06877  0,0688 .
1
4


Ответ:  ln 1  x dx  0,0688  0,0001 .
0
Задача 6. Данную функцию f  x  разложить в ряд Фурье в
заданном интервале.

 x ,  1  x  0
f x   
, (-1, 1).
 x, 0  x  1
Легко убедиться, что в заданном интервале функция непрерывна и, следовательно, может быть представлена своим рядом Фурье в смысле теоремы
Дирихле. Кроме того, в рассматриваемом интервале она четная, поэтому ее ряд
Фурье должен содержать только четные тригонометрические функции, т.е. косинусы. На этих основаниях записываем:

a
n
f  x   0   an cos
x , l  1.
(а)
2 n1
l
Находим коэффициенты.
1
2l
21
x2
a0   f  x dx   xdx  2
 1.
l0
10
2 0
2l
n
21
n
2 l
an   f x cos
xdx   x cos
xdx 
 x cosnxdnx 
l0
l
10
1
n 0
1
2 1
2 
1
 2 
1
1



xd
sin
n

x

x
sin
n

x

sin
n

xdx

0


cos
n

x






0
0
n 0
n 
n

n



0

28

2
n 2
2
cosn  1 .
n  четное
 1,
Т.к. cosn  
, то cos n   1n . Тогда
 1, n  нечетное
2
n
an  2 2  1  1 .
n
n  2k
 0,
Далее,  1n  1  
, k  1, 2, … . и, следовательно, коэффици 2, n  2k  1
енты an имеют ненулевые значения только при нечетных n , т.е. при n  2k  1.
Таким образом,
2
4


a2 k 1 


2


,
2k  12  2
2k  12  2
a2 k  0 .
Подставляем найденные коэффициенты в формулу (а):
2k  1 x  1  4  1 cos2k  1x .
1 
4
f x    
cos

2 k 1 2k  12  2
1
2  2 k 1 2k  12
1 4  cos2k  1x
Ответ: f x    2 
, x (-1; 1).
2  k 1 2k  12




29
Литература
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный
курс / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 604 с.
2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное
пособие для втузов: в 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов.– Изд. стер. – М.: ИнтегралПресс, 2001.– 544 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.2. /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003. – 304 с.
4. Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.
5. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев. – М.:
Высшая школа, 2001. – 304 с.
6. Котов, А.А. Числовые ряды. Функциональные степенные ряды
/ А.А. Котов. – Мурманск: МГТУ, 2003. – 92 с.