Приложение к рабочей программе по дисциплине

Лекции .....................................................................................................................................................4
Перечень практических занятий .......................................................................................................5
Рекомендуемая литература .................................................................................................................7
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ...........................................................................10
1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм ...................................................10
2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных: замена
переменной, интегрирование по частям ...............................................................................10
3. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Теорема о среднем. Оценка
интеграла ....................................................................................................................................10
4. Приложение определенного интеграла к решению задач геометрии: длина дуги
спрямляемой кривой, вычисление площадей плоских фигур ..............................................11
5. Приложения определенного интеграла в экономике: дневная выработка; выпуск
оборудования при постоянном темпе роста; индекс Джини. Приближенное
вычисление определенных интегралов ...................................................................................12
6. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные и полный дифференциал
функции........................................................................................................................................12
7. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций ..............................................13
8. Использование дифференциала и формулы Тейлора для приближенных вычислений и
линеаризации функций ..............................................................................................................14
9. Задачи на локальный и абсолютный экстремум..................................................................14
10. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа ......................................................15
11. Производная по направлению. Градиент и его свойства ....................................................15
12. Геометрические методы решения задач оптимизации. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности .............................................................................................................15
13. Контрольная работа: ФНП (Вариант 0) ..............................................................................16
14. Числовые ряды. Методы суммирования сходящихся рядов. Признаки сходимости
знакоположительных рядов (признаки сравнения, критерий Коши). Выдать ИДЗ
«Ряды». Срок сдачи: 19 занятие ..............................................................................................16
15. Признаки Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости. ИДЗ: задача № 3 ...18
16. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. ИДЗ: задача № 4.......................................20
17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак
Вейерштрасса .............................................................................................................................21
18. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды. Ряды
Тейлора, Маклорена. задачи из ИДЗ № 5-7............................................................................21
19. Приложения степенных рядов. Задачи из ИДЗ № 8-10 ......................................................22
20. Контрольная работа: Ряды (Вариант 0) .............................................................................22
21. Двойной интеграл, вычисление, замена переменных в двойном интеграле ....................24
22. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина. Условия независимости
криволинейного интеграла от формы пути .........................................................................25
3
Лекции
Лекция 1. Определение определенного интеграла. Необходимое условие
интегрируемости функции. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Суммы Дарбу. Их свойства.
Лекция 2. Необходимое и достаточное условия существования определенного интеграла. Теорема Римана. Критерий Дарбу.
Лекция 3. Классы интегрируемых функций.
Лекция 4. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.
Лекция 5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла: замена переменной, интегрирование по частям.
Лекция 6. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике:
дневная выработка; выпуск оборудования при постоянном темпе роста; индекс
Джини. Геометрические приложения определенного интеграла.
Лекция 7. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимости.
Признаки сходимости. Интеграл Пуассона. Функция Лапласа, ее свойства, график.
Лекция 8. Двойной интеграл, его свойства, вычисление, замена переменных
в двойном интеграле. Несобственные двойные интегралы.
Лекция 9. Криволинейные интегралы, их свойства и вычисление. Формула
Грина. Условия независимости интеграла от формы пути. Потенциальное векторное поле. Элементы теории поля.
Лекция 10. Определение функции двух и нескольких переменных. Геометрическое изображение. Пределы и непрерывность функции n переменных. Теоремы Вейерштрасса.
Лекция 11. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Лекция 12. Сложная функция нескольких переменных, ее дифференцирование. Формула Тейлора для ФНП.
Лекция 13. Неявные функции, якобиан. Теоремы о неявных функциях.
Производная по направлению. Градиент и его свойства. Линии и поверхности
уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Лекция 14. Задачи оптимизации. Локальный экстремум ФНП. Необходимое
и достаточное условие существования локального экстремума. Глобальный экстремум. Схема его отыскания. Геометрическая интерпретация задачи оптимизации для функции двух переменных.
Лекция 15. Классическая задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Геометрический смысл необходимых условий локального условного экстремума. Метод наименьших квадратов построения эмпирических формул
по экспериментальным данным.
Лекция 16. Числовые ряды. Сходимость ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами и признаки их сходимости. Признак Даламбера. Интегральный признак сходимости ряда.
4
Лекция 17. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница; оценка остатка ряда с заданной
точностью.
Лекция 18. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Признаки
Абеля и Дирихле. Свойства сходящихся рядов.
Лекция 19. Ряды Тейлора и Маклорена. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов.
Лекция 20. Двойной интеграл, его свойства. Сведение двойного интеграла к
повторному (случай прямоугольника).
Лекция 21. Обзорная лекция.
1
1
2
3
4
5
6
Колво
часов
№ недели
Перечень практических занятий
Наименование темы
Литература
№№ задач (ссылка на основную литературу)
2
3
Определенный интеграл как пре- 2
дел интегральных сумм.
Вычисление определенных инте- 2
гралов с помощью неопределенных: замена переменной, интегрирование по
частям. Выдать ИДЗ по теме «Определенный интеграл» ([6] № 2, 4, 8, 9,10–
12, 14–19 стр. 56–83). Срок сдачи: 6 занятие
Определенный
интеграл
как 2
функция верхнего предела. Теорема о
среднем
Приложение определенного инте- 2
грала к решению задач геометрии: длина дуги спрямляемой кривой, вычисление площадей плоских фигур, вычисление объемов тел
Приложения определенного инте- 2
грала в экономике: дневная выработка;
выпуск оборудования при постоянном
темпе роста; индекс Джини. Приближенное вычисление определенных интегралов
Предел и непрерывность ФНП. 2
Частные производные и полный дифференциал функции. Выдать ИДЗ «Функ5
4
1 : №2185 – 2191
1
: 2206 – 2225, 2239 –
2250
1
: №2231 – 2238, №2321
– 2325
1 : №2397 – 2485№2397 –
2485
1 : №2531 – 2545
4: № 7,34, 7.35;
с. 125 –
127
1 : №15.1 – 15.41
1 : № 3181 - 3204
1 : № 3213 – 3230, № 3235
7
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
ции нескольких переменных». Срок
сдачи: 13 занятие. (Задачи из C 3 : №
1, 2, 4)
Дифференцирование сложных и 2
неявно заданных функций. (Задачи из C
3 : № 3, 6)
Использование дифференциала и
формулы Тейлора для приближенных
вычислений и линеаризации функций.
(Задачи из C 3 : № 4, 5)
Задачи на локальный и абсолютный экстремум. (Задачи из C 3 : № 7,
9-12, 14)
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. (Задачи из C 3 : №
12, 13,15)
Производная по направлению.
Градиент и его свойства. Задачи из C
3 : № 16
Геометрические методы решения
задач оптимизации. (Задачи из ИДЗ №
9, 12). Касательная плоскость и нормаль к поверхности. (Задачи из C 3 :
№ 17, 18)
Контрольная работа: ФНП
Числовые ряды. Методы суммирования сходящихся рядов. Признаки сходимости знакоположительных рядов
(признаки сравнения, критерий Коши)
Выдать ИДЗ «Ряды». Срок сдачи: 19 занятие
Признаки Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости. ИДЗ: задача № 3
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. ИДЗ: задача № 4
Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов.
Признак Вейерштрасса
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Разложение функций в степенные ряды.
Ряды Тейлора, Маклорена. задачи из
ИДЗ № 5-7
6
2
- 3242
1
: № 3256 – 3266, №
3271 - 3275
1 : № 3581 – 3586, № 3593
- 3596
2
1 : № 3621 - 3640
2
1 : № 3654 - 3664
2
1 : № 3563 – 3565, № 4401
- 4406
2
1 : № 3683 – 3695,
№ 3549 - 3553
2
2
2
1
: №2546 – 2553, 2556–
2564, 2573-2577
1
: №2578 – 2589, 2595–
2597
2
1 : №2675 – 2691
2
1
2
: № 2716 – 2736),
2774– 2782
1 :
№ 2812 – 2837
№
14
14
15
15
Приложения степенных рядов. За- 2
дачи из ИДЗ № 8-10
Контрольная работа: Ряды
2
Двойной интеграл, вычисление, 2
замена переменных в двойном интеграле
1 :
№ 2838 – 2877
3 : № 3906-3908,
3951-3955, 3984-3999
Вычисление криволинейных инте- 2
гралов. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла
от формы пути
Рекомендуемая литература
A. Основная литература:
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : Учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. – М. : ООО «Издательство Астрель» : ООО, «Издательство АСТ», 2003-2004. – 558 с.
2. Зорич В. А. Математический анализ : В 2 ч. Ч. 1 / В. А. Зорич – М.:
МЦНМО, 2002. –664 с. (а также все издания с 1981 г.).
3. Ильин В. А. Математический анализ : учебник : в 2 ч. Ч. 1 / В. А. Ильин,
В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов ; под ред. А. Н. Тихонова ; Моск. гос. ун-т им. М.
В. Ломоносова. – М. : Проспект : Издательство Моск. ун-та, 2004–2006. – 672 с. (а
также все издания с 1979 г.).
4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001. 688 с.
5. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1 : Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды / Л.Д.
Кудрявцев. – 3-е изд., перераб. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 400 с.
6. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. – Изд. 7-е, стер. – СПб. ; М. ; Краснодар: Лань,
2005. – 240 с.
7. Никольский С. М. Курс математического анализа. – М. : ФИЗМАТЛИТ,
2000–2001. – 592 с.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. / Под ред. В.И.
Ермакова. – М.: ИНФРА – М , 2003. 576 с.
9. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: в 2 т. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Т. 1. 416 с., Т. 2. 440 с. (а также все издания с
1998 г.).
10.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
В 3 т. : Учебник для студентов физ. и мех.-мат. специальностей вузов. Т. 1 / Г.М.
Фихтенгольц. – 8-е изд. – М. ; СПб. : Физматлит : Невский диалект, 2001. – 680 с.
11.Функции нескольких переменных. Индивидуальные задания по курсу
«Математика»/ О.Я.Шевалдина, Г.Ф.Пестерева, Л.В.Архангельская. Екатеринбург: УГТУ, 1999, 28 с.
7
B. Дополнительная литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа : Учебное
пособие для вузов / Г.Н. Берман. – 22-е изд., перераб. – СПб. : Профессия, 2002. –
432 с.
2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч. и др. Математический анализ в вопросах и
задачах : Учебное пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова. – 3-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2001. – 480 с. (а также все издания с 1988 г.).
3. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения
по математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 1. Дифференциальное и интегральное
исчисление функций одной переменной: Учебное пособие / Под ред. В.А. Садовничего. – М. : Высшая школа, 2000–2002. – 725 с.
4. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1, Предел. Непрерывность. Дифференцируемость:
Учебное пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.
(а также все издания с 1984 г.).
5. Ульянов П. Л., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. И., и др. Действительный
анализ в задачах. – М : Физматлит, 2005. – 416 с.
6. Ермаков В.И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. –
М.: ИНФРА – М, 2000. 656 с.
C. Методические пособия
1. Ряды: Сборник задач к проведению практических занятий и выполнению
домашних заданий для студентов всех специальностей факультета экономики и
управления и других экономических специальностей УГТУ-УПИ / О.Я. Шевалдина, Кузнецова О.Л. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. 43 с.
2. Числовые ряды: учебное пособие для студентов очной формы обучения
всех специальностей факультета информационно-математических технологий и
экономического моделирования / С.С. Кузьмина, О.Я. Шевалдина. Екатеринбург:
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 59 с.
3. Функции нескольких переменных: Архангельская Л.В., Пестерева Г.Ф.,
Шевалдина О.Я. Екатеринбург: 1999, 30 с.
8
График контрольных мероприятий по дисциплине «Математический анализ»
( специальность 061800 – Математические методы в экономике)
на осенний семестр 2007-2008 уч. г.
№
I
Группа
ИМ26011,
ВИ26012
Темы контрольных мероприятий
I.
Аудиторные контрольные работы
1. Экстремумы ФНП.
2. Ряды.
II.
13 неделя
19 неделя
Домашние задания
1. Вычисление определенных интегралов.
2. Дифференцирование ФНП.
III.
Сроки проведения
1-6 недели
7-9 недели
Расчетно-графические работы
7 недели
1. Приближеннее вычисление определенных интегралов.
2. Задачи оптимизации.
3. Приложение рядов в приближенных
вычислениях.
Лектор:
Преподаватели, ведущие практические занятия:
9
9-10 недели
11-13 недели
Шевалдина О.Я.
Шевалдина О.Я.,
Шевалдина Е.В.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм
1
1
2
n
 1   1     1  .
n n 
n
n
n 

1.2. Вычислить
предел
числовой
последовательности
100
100
100
1  2  n
an 
n101
, представив ее в виде интегральной суммы некоторой функции f x  по отрезку a; b .
1.1. Вычислить lim
 1  x
2
1.3. Вычислить интеграл
2
dx , рассматривая его как предел интеграль-
3
ных сумм Римана.
 2
 cos x dx,
1.4. Вычислить определенный интеграл
рассматривая его, как

предел соответствующих интегральных сумм.
2.
Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных: замена переменной, интегрирование по частям
2.1. Вычислите определенный интеграл, применяя метод замены переменной:
0
4
x  dx

162  x
9
2
;
2
3 10


0,25
1  2x
dx ;
2x  1
 1  16 x2   arctg 2 4 x ;
0,25 3
5
x  dx
;
2
x

90
30
0,5
dx
;
1

3
x

1
1

dx


0
arcsin 3 x
1 x
2
dx .
2.2. Вычислите определенный интеграл, применяя формулу интегрирования
по частям:
 4

x cos x
sin 3 x
0
1
x
dx ;
12
2
1
3
ln x ;

arctg x dx ;
1
 ln( x 
1  x 2 )dx ;
0

4
 ( x cos 2 x)
2
dx.
0
3.
Определенный интеграл как функция верхнего предела. Теорема о среднем. Оценка интеграла
10
x4
x3
2 arctg
 arctg t dt
x
3.1. Найти пределы: а) lim
x  2x  2
2
x 
; б) lim
x
4
x x
2
2 arctg t
t dt
.
2
dt
x
2
 x  1,  1  x  0,
f
(
t
)
dt
,


где
f
x



1
2  x, 0  x  1 .
Построить графики функций f  x  и F  x  .
3.2. Найти функцию F  x  
x
t sin x
3.3. Найти производные функции f 

e t dt :
2
t cos x 2
df
, считая t фиксированным параметром;
dx
df
3.3.2.
, считая x фиксированным параметром.
dt
3.4. Найти интеграл с переменным верхним пределом:
1
x
 , x  1,
F  x    f t  dt , если f  x    x

 x, x  1.
Дифференцируема ли функция F x  ?
3.3.1.
x
3.5. Решить уравнение
dt

e 1
t
ln 2


6
.
3.6. Найдите среднее значение функции
 
 0; 2 
.
f  x   sin 3 x  cos 4 x
1
3.7. Обосновать, какой интеграл больше:  e

3.8. Сравнить интегралы:

0
4.
sin x
dx и
x
2


 x2
на отрезке
1
dx или  e  x dx .
0
0
sin x
dx .
x
Приложение определенного интеграла к решению задач геометрии: длина дуги спрямляемой кривой, вычисление площадей плоских фигур
4.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми в декартовой системе коln x
, y  x ln x .
ординат: y 
4x
4.2. Вычислить длину дуги кривой, заданной в декартовой системе координат:
y  4 x  2 , 2  x  11 .
11
4.3. Найти длину дуги: x 2 3  y 2 3  a 2 3 (a  0).
4.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  arcsin x, осью абс1
цисс и прямыми x  , x  1.
2
5. Приложения определенного интеграла в экономике: дневная выработка;
выпуск оборудования при постоянном темпе роста; индекс Джини. Приближенное вычисление определенных интегралов
4
5.1. Найдите величину начального вклада P  105  e tr 100 dt , если регулярные
0
выплаты по этому вкладу должны составлять 105 (денежных единиц)
ежегодно в течение 4 лет с непрерывной процентной ставкой 8.
5.2. Известна скорость денежного потока I t   7000 t (денежных единиц).
Определите
приращение
капитала
за
5
лет,
если
K
5
0  t  5, K   I t dt . Через сколько лет (Т) приращение капитала K со0
ставит 30000 (денежных единиц)?
5.3. Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эм

t2
t

пирической формуле p  f (t )  p0   0,2 2  1,6  3  , где t – время в чаt0
t 0


сах, p 0 – размерность производительности (объем продукции в час), t 0
– размерность времени (ч.).
5.4. Мощность у потребляемой городом электроэнергии выражается формуa, t  6;


лой y  
,


a  b sin  t  6, t  6

 18

где t – текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при
а = 15000 кВт, b =12000 кВт.
6.
Предел и непрерывность ФНП. Частные производные и полный дифференциал функции
6.1. Исследовать на непрерывность функцию
 2 x 2  3xy

f ( x; y )   x  y , x  y,
 0,
x  y,

в каждой точке ( x; y )  R 2 . Выяснить поведение функции в окрестностях
точек (1;2), (0;0), (2;2).
12
6.2. Найти пределы: lim
x a
y b
sin( x  a)( y  b)
( x  a )  ( y  b)
2
2
; lim
x 1
y 0
ln 2 ( x  y )
x  y  2x  1
2
2
.
6.3. Исследовать на непрерывность функцию
xyz
 2
, y 2  z 2  0,
ax  2
2
f ( x; y; z )  
y z

ax2 , y 2  z 2  0.

6.4. Исследовать на непрерывность функцию

sin 2 xy
 2 2
, x 2  y 2  0,
2
f ( x; y )   x y  ( x  sin y )

0,
x  y  0.

6.5. Доказать по определению дифференцируемость функции u  z 3  2 xz в
произвольной точке M 0 ( x0 ; z0 ).
6.6. Найти все точки ( x; y), в которых функция f ( x; y)  x y  y x не дифференцируема.
6.7. Доказать, что функция f ( x; y)  5 sin x(1  cos xy) не дифференцируема в
точке (0;0).
6.8. Исследовать на дифференцируемость функцию z  6 ( x  1)6  y 6 .
y x
6.9. Показать, что функция z  x y удовлетворяет соотношению
z
z
x  y  ( x  y  ln z ) z .
x
y
6.10. Найти все частные производные второго порядка функции
f ( x, y)  arctg ( x  y).
y
 x
 1. Верно ли, что
6.11. Пусть u  cos x  e z
2
3
3
 u
 u

?
xyz yxz
y x
6.12. Показать, что функция z  x y удовлетворяет соотношению
z
z
x  y  ( x  y  ln z ) z .
x
y
2
3
x
6.13. Найти dz, d z, d z, если z  e cos y.
2
6.14. Найти dz, d z, если z  x ( x, y),   дважды дифференцируемая функция.
7.
Дифференцирование сложных и неявно заданных функций
7.1. Найти полный дифференциал функции z  z ( x; y), заданной неявно:
xyz 2  xz  yz 2  z 3.
13
7.2. Найти все частные производные 1-го порядка по независимым аргументам
xy
2
сложных функций: а) z  e ln( x  y), x  t , y  1  t;
x
1
2
2
б) z  cos , y 
; в) w  u v  v u, u  x sin y, v  y cos x;
y
cos2 x
x
1 2
2
2
2
, д) z  xf ( ), f (u )  дифференцируемая
г) u  xz  tg ( x  y ), y  x , z  x
y
функция.
7.3. Найти первую и вторую производные в точке O(0,0) неявной функции
y
x
y  y(x), заданной уравнением xe  ye  2.
7.4. Найти полный дифференциал первого порядка функции z  z ( x, y), если
2
2
2
z x  x y  y z  2 x  y  0.
8.
Использование дифференциала и формулы Тейлора для приближенных
вычислений и линеаризации функций
8.1. Линеаризировать функцию u  e x  2 y  sin( ( x  y  z ) 3) в окрестности
точки O(0,0,0).
3
2
2
8.2. Для функции u  x y  7 xy  5 y z в точке (1;1;2) выделить линейную относительно dx, dy, dz часть приращения функции.
x
8.3. Разложить функцию f ( x, y)  y по формуле Тейлора в окрестности точки
M (1,1) до членов 2-го порядка включительно.
8.4. Линеаризовать функцию f  x, y, z   x y   xy z  x yz в окрестности точки
P0 1, 1, 1 .
8.5. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить
z
2
3
A  1,002  2,003  3,004 .
9.
Задачи на локальный и абсолютный экстремум
9.1. Исследовать на локальный экстремум следующие функции:
z  x 3  3xy 2  51x  24 y, u  xy 2 z 3 (1  x  2 y  3z ) ( x  0, y  0, z  0).
3
3
9.2. Найти локальные экстремумы функции z ( x, y)  x  8 y  6 xy  1.
9.3. Исследовать на экстремум функцию u  x 3  3xy 2  39 x  36 y  26.
3 2
9.4. Найти абсолютный экстремум функции z  x  2 xy  x  2 y  1 в области
2
D  ( x; y ) : 0  x  3, 0  y  3  x.
2
2
9.5. Найти глобальные экстремумы функции z  3( x  1)  4( y  6) в области,
ограниченной линиями: 3x  2 y  12, x  2 y  8, x  0, y  0.
14
3
3
9.6. Найти абсолютные экстремумы функции f ( x, y)  x  y  3xy в области
D   ( x, y) : x  2, y  2 .
10. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
10.1. Проверить, что в точке A(1,1,1) выполняются необходимые условия экстре2
2
мума функции u  xy  yz , если x  y  2, y  z  2 ( x  0, y  0 z  0). Установить характер экстремума, если он существует.
10.2. Применяя метод Лагранжа, исследовать на экстремум функцию u  xyz , если
2
2
2
x  y  z  1, x  y  z  0.
10.3. Исследовать на условный экстремум функции: а) z 
2
1 1
 , если x  y  2;
x y
2
б) z  x  y  xy  x  y  4, если x  y  3  0.
10.4. Исследовать на условный экстремум функцию f ( x, y, z )  xyz
при условиях x  y  z  6, x  2 y  3z  6 .
11. Производная по направлению. Градиент и его свойства
xz
 ln( x 2 z 2  y 2 ) в точке
y
по направлению градиента функции
11.1. Найти производную функции f  arctg
M (1;1;1)
 ( x; y; z )  xyz  x 2  y 2  z 2 в этой точке.
11.2. Найти производную функции f  x  x 2 y  y 4 в точке A(1;1) по направ
лению вектора AB, где B(4;2).
xz
 ln( x 2 z 2  y 2 ) в точке
y
по направлению градиента функции
11.3. Найти производную функции f  arctg
M (1;1;1)
 ( x; y; z )  xyz  x 2  y 2  z 2 в этой точке.
11.4. Каково направление и скорость наибольшего изменения функции
x
f  x, y   arcsin
в точке P2, 1 ?
2
2
x y
12. Геометрические методы решения задач оптимизации. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности
12.1. На сфере x 2  y 2  z 2  676 найти точки, в которых касательная плоскость
параллельна плоскости 3x  12 y  4 z  0.
15
12.2. Записать уравнение нормали к поверхности  : 2 x 2  z  4 y 2 , перпендикулярной данной плоскости  : 8x  32 y  2 z  3  0.
12.3. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
z  5x 2  3xy  y 2  2 x  1 в точке (1;1; 2).
13. Контрольная работа: ФНП (Вариант 0)
13.1. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Теорема
о существовании частных производных у дифференцируемой функции.
13.2. Исследовать на локальный экстремум функцию
2
2
xy  xz  y z
u
 x  1.
xyz
13.3. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить
2
3
A  1,002  2,003  3,004 .
y x
13.4. Показать, что функция z  x y удовлетворяет соотношению
x
z
z
 y  ( x  y  ln z ) z .
x
y
13.5. Найти второй дифференциал и все частные производные второго порядка в
точке M 3, 2 функции y : x  y  x  , которая определяется уравнением
x y  yx 1 0 .
14. Числовые ряды. Методы суммирования сходящихся рядов. Признаки
сходимости знакоположительных рядов (признаки сравнения, критерий
Коши). Выдать ИДЗ «Ряды». Срок сдачи: 19 занятие
14.1. Рассмотрев предел частичной суммы ряда, установить его сходимость или
расходимость. В случае сходимости найти сумму ряда:

3 9 27
1
5)  
 ;
1) 
;
2
4
8



2
n

1
2
n

5
n 1

2)

n 1 n
2

3)

4)

n 1
n  12
2
6)
;
n 1
n  2
2
7)
;
2n  1 2n  1
1
 nn  20  ;
n 1

n
2
 5n  3 


 ln  5n  2  ;

n 1
n 1 n


2n  1
2
8)
;
n 1
16
3
 nn  1n  2n  3 ;


9)

n  2  2 n 1  n .
n 1
23
5
1
; 2) S  1 ; 3) S  ; 4) S  ; 5) расходится; 6) расхо90
16
8
Ответы: 1) S 
дится; 7) S 
1 1 1
1 
1
1       ; 8) S  ;
20  2 3
20 
6
1
, S 1 2 .
n 1  n  2
9) S n  1  2 
14.2. Найти сумму ряда
14.3. Сложить ряды
1 2 1 4
1
8
9
 
 

  Ответ: S  .
5 3 25 9 125 27
4

 an
n 1
да, если an 
и

 bn
и вычислить сумму получившегося ря-
n 1
cosn 3
sin 2 n 6
,
b

. Ответ: 1.
n
2n
2 n 1
14.4. Используя необходимое условие сходимости ряда, выяснить, является
ли ряд сходящимся:

1)

n 1

2)


2
n 4n  1
2
5n  3
 1
4)
;
n 1

n 3
n 12n
3
n
 4n  1
 sin
5)
;
n
2
n 1
;
 3n 


 n ln  3n  1  .
n 1
n

 2n  1 
3)  
 ;
2
n

3


n 1
Ответы: 1) нет; 2) нет; 3) нет; 4) требуется дополнительное исследование;
5) нет.
14.5. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком сравнения:

1)


1
n 1 n  2
n
;
2)
4
n1
1
.
n ln n  2
Ответы: 1) сходится; 2) расходится.
14.6. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь предельным признаком
сравнения:
17

1)
6n  4

3
n1 n
n 7

15
 12
n1 n
;
7)
3
n  2  n 1

15
n 1 5
11
 14n  1
n
;
8)
5)

5
3 n  12
n 1


 ;
3
n 7
4
 n2  2 
 ln  2  ;
n 1  n  1 
 sin

9)
n
4
n
n
5 n
3
tg
n

10)
;

;

5
n 1
2
3 n  n 1
n
n 1
n1
2
2
4)   n  3  n  1  ;

n 1
n





 ln 1 

6
 3
3)
6)
2

2)
2
 2n  16
;
3
;
1
n2
.
ln n ln ln n
Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) расходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) расходится.
15. Признаки Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости.
ИДЗ: задача № 3
15.1. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Даламбера:

1)

n

2
n 1 n!

2)
n


7)
n!
n
4)
n


5)

8)
n
2

n 1
n
n
4 e
n
;
n !2 ;
2
n
2
n
n  1! ;
n 1 n

n 1
5 2
3) 
;
n!
n1

 sin
n1
2n  1!! ;
n 1

6)
;
3
n sin
n!

n
2 .
n
 3n  2 

n 1
  3n  1 
2n
2
;
Ответы: 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится;
6) сходится; 7) сходится; 8) расходится.
18
Рассматривая a n как члены соответствующего ряда, показать, что
15.2.
данные последовательности (an ) сходятся:
n
5
;
4) a 
5
2) a  ;
n
n!
5) a 
n
1) a 
n
5
n
n
n
3) a 
n
ln n
n
k
n
n
5  n!
;
2n  ! ;
2 !
n
n
, k  1;
n
6) a 
.
n
2n !
Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Коши:
15.3.


n
 n 1 
1)  
 ;
2
n

1

т 1

 2n  5 
2)  

n 1 3n  1 

3)
n
4)
2 n 1

5)
;

2n
n1
 arcsin
n
n 1
 n 
n
 ;
4
n

3



n
1

 n  arctg n  ;

n 1 
6)

n 1
n!
n
 2n  5 


 2n  3  ;


.
n
Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится;
5) расходится; 6) расходится.
15.4. Найти все значения  , при которых сходится ряд:

1)

n 1
3

9n  arctg n

2)
n

n 1
 1

3)   n
n 1 


;


 7 1  n  sin   1 ;
2


n


 n 2 1 







 1 .


4
1
Ответы: 1)   ; 2)   1; 3)   .
3
2
Исследовать ряд на сходимость, пользуясь интегральным призна-
15.5.
ком Коши:

1)

n 1

1
2n  1ln 5n  1
2
;
2)

n2
19
1
3
5
n  ln n
;


ln n
3) 
;
n 1 n


4)
n2

5)
n2
1
;
n  3 ln n  1


6)
n 1
n
n  3
2
2
e
;
n
n
.
Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) расходится;
5) сходится; 6) расходится.
16. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. ИДЗ: задача № 4
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
16.1.
1
7
13
19
25
31
1)
 2  3  4  5  6   ; 5)
10 10
10
10
10
10
 1n
 n ln n  1ln ln n  2  ;
n 1


  1n 
1 1 1
1
1
1
2
2)   2  2    n  n   ;____6)  n  arcsin n  ;


2 3 2
n 1
3
2
3
 3 

 1n1 n 3  7

3)

n 1 3n

4)

4
;

 1n 1
7) 
.
n  2 n ln n  1

 12 n  5
 1n  2 n ;
n 1
n
4 7
Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится абсолютно; 3) сходится
условно; 4) сходится абсолютно; 5) сходится условно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится условно.
16.2.
Исследовать на сходимость ряды, используя признаки Абеля и
Дирихле:

1)

n 1


2)
n2

 1n  arcsin 
n
n 1

5
ln n
 n 
 cos 
n
 5 ;
  1
3)


 1
1
4)  
 cos  cos n.
n
n 1  n sin 1


n


 
 5 ;
 n
n 1
arctg n
n ;
20
Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится условно; 3) сходится условно; 4) сходится абсолютно.
Вычислить сумму знакочередующегося ряда:
16.3.
1)
1
1
1
1
5



  с точностью до 10 ;
2!2 4!4 6!6 8!8
2
3
4
1
2
2
2
2
9
10
2)
с
точностью
до
.






10 3  10 3 2!5  10 5 3!7  10 7 4!9  10 9
Ответы: 1) 0,23981 ; 2) 0,099337315.
17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных
рядов. Признак Вейерштрасса
17.1. Найти область сходимости ряда (абсолютной и условной):
 37 n. / 2 sin 3n x
.
 5 3
n 1
n 1

x n2
17.2. Доказать равномерную сходимость ряда 
на множестве
n
n

3

ln
n
n2
X  [2;2] .
Найти область сходимости рядов:
17.3.

 (1)
n 1
n
cos
e x
;
n 1

 8n  x 3n  tg
n 1

( x  5 x  11)
.
4 n n 1 5 n  (n 2  5)
x
;
17.4. Найти сумму ряда

2
n

 (2n 2  8n  5)  x n .
n 0
18. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные
ряды. Ряды Тейлора, Маклорена. задачи из ИДЗ № 5-7
n 
1
;  x  3n tg
.
2
n
n

1
n 1
n 1
18.2. Написать разложение в степенной ряд относительно x функции
18.1. Найти область сходимости рядов:
2x  3
x  3x  2
2

 ( x  2) n  sin
.
18.3. Разложить функцию 3 x 2 в ряд Тейлора по степеням x  1 , найти область сходимости полученного ряда.
21
18.4. Написать разложение в степенной ряд относительно x функции
1  2x
.
ln 3
1  2x
18.5. Найти область сходимости степенного ряда

 sin 2 n  x  1
1
n
.
n 1
18.6. Функцию ln
ням x  1.
1
разложить по целым положительным степе2  2x  x2
19. Приложения степенных рядов. Задачи из ИДЗ № 8-10
19.1.
Число e  2,7182818284 590. Каково наименьшее число k , для
которого k -я частичная сумма ряда e  1 
1 1 1
1
       позволяет
1! 2! 3!
n!
вычислить десять верных знаков после запятой десятичного разложения числа
e?
19.2. Вычислить ln 5 с точностью до 0,0001.
1
с точностью до 0,001.
e
19.3. Вычислить
19.4. Вычислить
10
19.5. Вычислить
4
1029 с точностью до 0,0001.
7 с точностью до 0,01.
1  e 2 x
 x dx с точностью до 0,001, используя
0
разложение подынтегральной функции в степенной ряд.
0,1
19.6. Вычислить интеграл
0, 2
19.7. Вычислить интеграл

3
1  x 2 dx с точностью до 0,0001, используя
0
разложение подынтегральной функции в степенной ряд.
20. Контрольная работа: Ряды (Вариант 0)
1. Пользуясь определением, найти сумму ряда
5
5
5
5



 ....
3  8 8 13 13 18 18  23
22
Вычислить частичные суммы S для n  10, 100 . Для каждого случая найти абn
солютную погрешность  и относительную погрешность  приближённого
n
n
равенства S  S .
n
2. Используя необходимое условие сходимости ряда, выяснить, является ли
 n e1 n  1

ряд
сходящимся.
n 1
3. Исследовать сходимость следующих рядов:


a)
n 1


c)
n2
1
n ln  n

nn
;


1

n 1  cos  ;
n

b)
n!
n 1

1
 3n  1ln n  2 .
d)
;
n2
4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

a)

 3n1
n 1 3

c)
n
2
n 1
  1
n 1

n 1
b)
;
 2 n 1 ;
 2n  n3
n 1
ln 2 n
.
n
5. Найти область сходимости степенного ряда


n 1
6. Разложить функцию
1
2
x  3x  2
5 x n
n
Найти сумму ряда
.
в ряд Тейлора по степеням x  2 , найти
область сходимости полученного ряда.
7.
2
 1n с точностью 0,0001.

n 1 5  n  n!

23
2
4
x
x
8. Сколько нужно взять членов ряда cos x  1 

  , чтобы вы2! 4!
числить cos18 с точностью до 0,001?
0, 25
Вычислить интеграл
9.

ex
2
dx с точностью до 0,001, используя раз-
0
ложение подынтегральной функции в степенной ряд.
21. Двойной интеграл, вычисление, замена переменных в двойном интеграле
21.1. Изменить порядок интегрирования:
1
0
 dx 
 2  2 x 2
0
0
1
x
f ( x, y )dy   dx f ( x, y )dy.
21.2. Сделав подходящую замену переменных, вычислить площадь фигу x 2  y 2  2 x, y  x
ры, ограниченной кривыми  2
.
2
 x  y  4 x, y  0
21.3. Найти объем тела ограниченного поверхностями:
x2 y 2
2
2
x  y  5, xy  2, 
 z, z  0.
3
5
21.4. Перейти к полярным координатам и расставить в разных порядках
пределы интегрирования в интеграле
1
x
0
x
 dx 2 f ( x, y)dx .
2
21.5. Изменить порядок интегрирования в интеграле:

0
sin x
dx
 f ( x, y )dy.
0
a  x  a2 ,
21.6. Задать область с помощью полярных координат:  1
 0  y  b,
(a2  a1  0, b  0).
21.7. Вычислить:
а)
 (27 x
2 2
D
б)
3 3
2
y  48 x y )dxdy, D : x  1, y  x , y  3 x ;

 y  sin xydxdy, D : y  2 , y   , x  1, x  2;
D
в)
 x
2
 sh(3xy )dxdydz,V : x  1, y  2 x, y  0, z  0, z  36;
V
г)
 (1  2 x
3
)dxdydz,V : y  9 x, y  0, x  1, z  xy , z  0.
V
24
21.8. Найти площадь фигуры:
3
x
а) y  , y  8e , y  3, y  8;
x
x
2
2
2
2
, y  x 3.
б) y  8 y  x  0, y  10 y  x  0, y 
3
21.9. Найти массу пластинки D :
2
7x
 2 y (  - поверхностная плотность) ;
а) D : x  2, y  0, y  2 x,  
8
2
2
x
x
8y
2
б) D : 1 
 y  4, y  0, y  ,   .
3
4
2
x
21.10. Найти объем тела V :
1
а) x  20 2 y , x  5 2 y , z  0, z  y  ;
2
2
2
2
2
б) x  y  6 x, x  y  9 x, z 
в) z 
2
2
x  y , z  0, y  0 ( y  0);
16
2
2
2
2
 x  y , 2z  x  y .
9
22. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина. Условия
независимости криволинейного интеграла от формы пути

 
22.1. Вычислить циркуляцию вектора a  x 2 y 3i  j  zk вдоль окружности
x2  y 2  R2 , z  H .
22.2. Вычислить криволинейный интеграл  ( x 2  y 2 )dx  ( x 2  y 2 )dy вдоль

кривой  ; y  1  1  x
тания параметра.
(0  x  2), пробегаемой в направлении возрас-
22.3. Вычислить криволинейный интеграл:

x 2  y 2 dl , где  - окружность

x  y  ax.
2
2



22.4. Найти работу силы F  ( x 2  2 y )i  ( y 2  2 x) j при перемещении вдоль
линии L  [MN ], M (4;0), N (0;2) от точки M до точки N .
22.5. Найти производную поля u( x, y, z ) в точке М по направлению нормали к
поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz: u  4 ln( z  x 2 )  8 xyz , S : x 2  2 y 2  2 z 2  1, M (1;1;1).
22.6. Найти угол между градиентами полей u( x, y, z ) и v( x, y, z ) в точке М:
yz 2
x3
1 1
u 2 , v
 6 y 2  3 6 z 3 , M ( 2;
; ).
2
2 3
x
25