Леции по ТФДП - Математический факультет БГПУ

Элементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега.
(разработчики Г. И. Кабак, Г.Е. Хурсевич)
Предисловие.
Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций по важному
разделу теории функций действительной переменной "Мера и интеграл Лебега",
который читался авторами на протяжении ряда лет на математическом факультете
БГПУ имени М.Танка.
Цель, которую ставили авторы, - помочь студентам дневного и заочного
отделений
физико-математических
специальностей
педуниверситета
самостоятельно изучить теорию меры Лебега линейных множеств и интеграла
Лебега.
Пособие состоит из трех глав. В первой главе освещается теория меры Лебега:
в кратком изложении приводятся основные определения и утверждения из курса
математического анализа; рассматривается вопрос о строении открытых и
замкнутых множеств и их мере; вводится понятие внешней и внутренней меры
множества, а также понятие множеств измеримых по Лебегу (даются примеры
таких множеств); указываются свойства меры Лебега, которые играют важную
роль в теории интеграла Лебега.
Во второй главе излагается теория измеримых функций: дается определение и
приводятся примеры измеримых функций; рассматриваются операции над
измеримыми функциями, которые не выводят из класса измеримых функций.
В третьей главе излагается теория интеграла Лебега: вводится понятие
интеграла Лебега; определяются свойства интеграла Лебега; выясняется связь
между интегралами Римана и Лебега, а также выделяется весь класс функций,
интегрируемых по Риману.
В настоящее время имеется ряд учебников, как по теории функций
действительной переменной, так и по функциональному анализу, в которых
содержится изложение теории интеграла Лебега. Именно поэтому для желающих
изучить полную теорию меры и интеграла Лебега в конце пособия приводится
список литературы.
Глава 1. Мера Лебега
§1. Предварительные сведения
В этом параграфе мы напомним те определения и утверждения из курса математического
анализа, которые будут использоваться в пособии. Некоторые из них доказаны. Все множества,
рассматриваемые в пособии, являются числовыми, т.е. являются подмножествами множества
действительных чисел (подмножествами множества точек числовой прямой). Расстояние между
точками числовой прямой определяется стандартным образом: ρ(х,у)=|х-у|.
Определение 1.1. Если для множества А={х} существует число b(a) такое, что
х≤b(x≥a)  x  A, то множество А называется ограниченным сверху (снизу), при этом число b(a),
называется верхней (нижней) границей множества А.
Если множество А ограничено как с низу, так и сверху, то оно называется ограниченным.
1
Ограниченность множества эквивалентна тому, что существует отрезок [а;b], содержащий
множество А:[a;b]  A.
Определение 2.1. Наименьшая верхняя граница ограниченного сверху множества А
называется верхней гранью (точной верхней границей) множества А и обозначается sup А.
Свойство верхней грани:   0 x  A x  sup A   .
Наибольшая нижняя граница ограниченного снизу множества А называется нижней гранью
(точной нижней границей) множества А и обозначается inf А.
Свойство нижней грани:   0 x  A x  inf A   .
Грани множества могут, как принадлежать ему, так и не принадлежать.
Определение 3.1. Интервал (a;b), содержащий точку õ0 , называется окрестностью
точки õ0 , а интервал ( õ0 - δ; õ0 +δ), δ>0 называется δ-окрестностью точки õ0 и обозначается
В( õ0 ;δ).
Определение 4.1. Точка õ0 называется предельной точкой множества А, если любая её
окрестность содержит бесконечное подмножество множества А.
Предельные точки множества могут, как принадлежать ему, так и не принадлежать. Точки,
принадлежащие множеству и не являющиеся для него предельными, называются
изолированными точками этого множества.
Определение 5.1. Если множество содержит все свои предельные точки, то оно называется
замкнутым.
ТЕОРЕМА 1.1. Объединение конечного множества замкнутых множеств и пересечение
любого множества замкнутых множеств есть замкнутые множества.
ТЕОРЕМА 2.1. Ограниченное замкнутое множество F содержит свои грани: sup F F, inf
F  F.
Доказательство. Пусть β= sup F не принадлежит множеству F. Тогда по свойству верхней
грани число β является предельной точкой множества F. Значит, при сделанном предположении
множество F не является замкнутым. Противоречие. Аналогично для нижней грани.
Теорема доказана.
Определение 6.1. Если множество А содержит некоторую окрестность точки õ0 , то точка õ0
называется внутренней точкой множества А.
Определение 7.1. Если каждая точка множества G является внутренней точкой множества
G, то множество G называется открытым.
ТЕОРЕМА 3.1. Объединение любого множества открытых множеств и пересечение
конечного множества открытых множеств есть открытые множества.
Определение 8.1. Разность R\A называется дополнением множества А и обозначается СА.
ТЕОРЕМА 4.1. Дополнение замкнутого множества есть открытое множество, а дополнение
открытого множества есть замкнутое множество.
Определение 9.1. Расстоянием между точкой õ0 и множеством А называется число
inf{ ( x0 , x) x  A}   ( x0 , A).
Из определения предельной точки и замкнутого множества следует, что если точка õ0 не
принадлежит замкнутому множеству F, то  ( x0 , F )  0.
ТЕОРЕМА 5.1. Если два непустые замкнутые ограниченные множества F1 и F2 не
пересекаются (F1  F2  Ø), то существуют такие открытые множества G1 и G2 , такие что
G1  F1 , G2  F2 , G1  G2  Ø.
r1 ( x)   ( x, F2 )  0 и для каждого
Доказательство. Для каждого x0  F1 имеем
y  F2 r2 ( y)   ( x, F1 )  0 .
1
1
Рассмотрим два множества G1 
B( x, r1 ( x)), G2 
B( y, r2 ( y)).
2
2
x  F1
y  F2
2
Эти множества по теореме 3.1. являются открытыми. Докажем, что они не пересекаются.
Допустив противное: G1  G2  Ø и пусть а  G1  G2 . Тогда существует точка x0  F1 , что
1
1
 ( x0 , a)  r1 ( x0 ) и существует точка y0  F2 , что  (a, y0 )  r2 ( y0 ) . Пусть для определенности
2
2
1
r2 ( y0 )  r1 ( x0 ) , тогда  ( x0 , y0 )   ( x0 , a)   (a, y0 )  (r1 ( x0 )  r2 ( y0 ))  r1 ( x0 ) .
2
А это противоречит определению числа r1 ( x0 ) . Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 6.1. Числовой знакоположительный ряд

 a (a
n 1
n
0
 0) сходиться тогда и только
тогда, когда последовательность его частичных сумм ( S n ) , Sn  a1  a2  ...  an ограничена
сверху: K | Sn  K , n .
ТЕОРЕМА 7.1. Если числовой ряд

 an сходится, то предел его остатка Rn 
n 1

a
k  n 1
n
при
n   равен нулю.
Определение 10.1. Говорят, что система интервалов S  {( ,  )} покрывает множество А
(является покрытием множества А ), если A 
( ,  ) , т.е. любой элемент х множества А
( ,  )S
содержится по крайней мере в одном из интервалов системы S. Часть системы S, которая сама
является покрытием множества А, называется подпокрытием.
ЛЕММА БОРЕЛЯ-ЛЕБЕГА*. Из любого покрытия отрезка [a,b]=I интервалами можно
выбрать конечное подпокрытие.
Доказательство. Допустим, что в данном покрытии S отрезка I не существует конечного
подпокрытия отрезка I. Разделим отрезок I пополам и обозначим через I1 ту половину, которая
не допускает конечного подпокрытия. Такая половина существует в силу сделанного
предположения. Отрезок I1 разделим пополам и обозначим через I 2 ту его половину, которая
не допускает конесного подпокрытия. Этот процесс продолжим неограниченно. В результате
построим последовательность вложенных отрезков I  I1  I 2  ... , каждый из которых не
допускает не допускает конечного подпокрытия. Очевидно, что предел последовательности
длин I n отрезков равен нулю. Поэтому, по принципу Кантора вложенных отрезков, существует
точка с, принадлежащая всем отрезкам.
Так как с  I, то в силу определения 10.1. существует интервал ( ,  )  S , содержащий
точку с, т.е.   c   .
Пусть   min{c   ,   c} . Найдем в построенной последовательности отрезок I n с длиной
I n   . Поскольку с  I, I n   , то I n  ( ,  ) . Но это противоречит тому, что отрезок I n
нельзя покрыть конечным набором интервалов системы S.
Лемма доказана.
§2. Мера открытых и замкнутых множеств.
1. Строение открытых и замкнутых множеств.
Пусть G – открытое множество. Если интервал ( ,  ) содержится во множестве G, но его
концы множеству G не принадлежат, то интервал ( ,  ) называется составляющим интервалом
множества G.
ТЕОРЕМА 1.2. Составляющие интервалы одного непустого открытого множества не
пересекаются и их множество является конечным или счетным.
Доказательство. Пусть G – непустое открытое множество и, (1 , 1 ) и ( 2 , 2 ) два его
составляющие интервала. Если эти интервалы пересекаются, т.е. (1, 1 )  ( 2 , 2 )  Ø, то по
3
крайней мере один из концов одного интервала принадлежит другому интервалу, а поэтому
принадлежит и множеству G. Что невозможно по определению составляющего интервала.
Выберем теперь на каждом составляющем интервале по одной рациональной точке и множество
выбранных точек обозначим через Q0 . Так как Q0 является подмножеством множества Q
рациональных точек, которое является счетным множеством, то множество Q0 является
конечным или счетным. Но множество составляющих интервалов эквивалентно множеству Q0 .
Значит, оно также конечно или счетно.
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.2. Каждое ограниченное непустое множество G есть объединение конечного
или счетного множества составляющих его интервалов.
Доказательство. Докажем, что каждая точка õ0 множества G принадлежит некоторому
составляющему интервалу множества G. Тогда, отсюда, с учетом теоремы 2.1., и будет
следовать справедливость теоремы 2.2. Обозначим  x0 ,   CG  F . Множество F является
замкнутым по теореме 1.1., как пересечение двух замкнутых множеств и непустое в силу
неограниченности сверху множества CG . Так как множество F ограничено снизу, то оно имеет
нижнюю грань inf F=α, которая по теореме 2.1. принадлежит F. Из условия, что   x0 и õ0 
F, следует, что   õ0 . Значит, полуинтервал [ õ0 ,β) включается в множество G, а его правый
конец β не принадлежит G. Аналогично доказывается, что существует полуинтервал (α, õ0 ],
который включается в G, а его левый конец α не принадлежит G. Значит, интервал ( ,  )
являются составляющим интервалом множества G и точка õ0 ему принадлежит. Теорема
доказана.
ЛЕММА 1.2. Пусть F – ограниченное замкнутое непустое множество и α=inf F, b=sup F.
Тогда множество [a,b]\F= GF является открытым.
Доказательство. Очевидно, что GF  CF  (a, b) . По теореме 4.1. множество CF открытое.
Поэтому по теореме 3.1. множество GF открытое.
ТЕОРЕМА 3.2. Каждое непустое ограниченное замкнутое множество F есть или отрезок
или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно
непересекающихся интервалов, концы которых принадлежат множеству F.
Доказательство. Обозначим
α=inf F, b=sup F. По лемме 1.2. множество
GF  [a, b] \ F является открытым. Представим теперь множество F в виде F  [a, b] \ GF . Если
GF = Ø, то F  [a, b] . Если GF  Ø, то, учитывая теорему 2.2. о строении открытых множеств,
получим справедливость теоремы 3.2.
Теорема доказана.
Определение 1.2. Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется
совершенным множеством.
Следствие. Каждая точка совершенного множества является предельной для него.
Примерами совершенного множества являются [a, b] , [a, ) , R, Ø.
Из теоремы 3.2. следует справедливость следующей теоремы о строении совершенных
множеств.
ТЕОРЕМА 4.2. Непустое ограниченное совершенное множество есть или отрезок, или
получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно
непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с
отрезком.
Интересным примером совершенного множества является множество Кантора. Рассмотрим
его.
1
2
Разделим отрезок [0,1]=F точками
и
на три равные части и вычтем из отрезка F
3
3
1 2
1
2
средний интервал ( , ) = G1 . Обозначим F1 = F \ G1 = [0, ]  [ ,1] . Каждый из оставшихся
3 3
3
3
4
1 2
отрезков [0, ],[ ,1] опять разделим на три равные части и из каждого вычтем средний
3 3
2 1 2 2
1 2
интервал, т.е. из F1 вычтем множество (  ,  )  ( , ). Получим множество F2  F \ G2 .
3 9 3 9
9 9
Этот процесс продолжим неограниченно. В результате из отрезка F вычтем открытое множество
G  G1  G2  ... , являющееся объединением счетного множества интервалов, которые попарно
не пересекаются и не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком F. Оставшееся
множество
F \ G называется множеством Кантора и обозначается P. По теореме 4.2.
множество Кантора является совершенным. Оно не пусто, т.к., например, концы выброшенных
1 2 1
интервалов , , , … не могут оказаться внутри оставшихся отрезков и не будут выброшены
3 3 9
ни на каком шаге. Более того, покажем, что множество Кантора имеет мощность континуума.
Для этого воспользуемся представлением числа из отрезка [0,1] в виде троичных дробей
a a
a
x  1  22  ...  nn  ...  0, a1 , a2 ,..., an {0,1,2}n . С помощью этого определения опишем
3 3
3
числа, которые попали в множество Кантора. Каждое число х  [0,1] при разложении в троичную
1
1 2
дробь характеризуется тем, что: 1) если х  [0, ) , то a1  0 ; 2) если х  ( , ) , то цифра a1  1 ; 3)
3
3 3
2
1
2
если х  ( ,1) , то a1  2 . При этом числа
и
имеют по два представления
3
3
3
1
2
=0,1000…=0,0222…, =0,122222…=0,2000…. Для них будем пользоваться представлением, в
3
3
котором не используется цифра 1. Таким образом, на первом шаге построения множества F1 из
отрезка F выброшены те числа, у которых в троичном представлении a1  1 . Аналогично на
втором шаге выбрасываются те числа, у которых a2  1 и т.д. Значит, числа, принадлежащие
множеству кантора характеризуются тем, что в троичной записи их 0, a1 , a2 ,...an ... отсутствует
число 1, т.е. ak  {0,2}k .
Но множество таких чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
чисел отрезка [0,1] , записанных в двоичной системе (числу a1 , a2 ,...an ... в троичной системе
a a
ставится в соответствие число 0, 1 2 ... в двоичной системе). Известно, что множество точек
2 2
отрезка [0,1] имеет мощность континуума. Поэтому и множество Кантора, эквивалентное ему,
имеет мощность континуума.
2. Мера открытых и замкнутых множеств.
Мерой интервала (a, b) будем называть его длину b-a и обозначать  ((a, b))  b  a .
Определение 2.2. Пусть G – непустое ограниченное открытое множество. Если G является
объединением конечного множества составляющих его интервалов
G
n
( k ,  k ) , то сумма
k 1
n
 (
k 1
k
  k ) длин составляющих интервалов называется мерой открытого множества G и
обозначается  (G).
Если G является объединением счетного множества составляющих его интервалов
G
n
( k ,  k ) , то сумма числового ряда
k 1
n
 (
k 1
k
 k )
(1)
5
называется мерой открытого множества G и обозначается  (G).
ТЕОРЕМА 5.2. Открытое ограниченное множество G всегда имеет меру, причем  (G)  0.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно обосновать сходимость ряда (1) и
независимость его суммы от способа нумерации составляющих интервалов множества G. Так
как G ограниченное множество, то существует отрезок [a, b]  G . Но тогда последовательность
частичных сумм ряда (1) ограничена сверху числом b-a . Поэтому по теореме 6.1. ряд (1)
сходится. Далее, ряд (1) является знакоположительным, поэтому его сумма неотрицательна и не
зависит от перестановки членов ряда, т.е. от способа нумерации составляющих интервалов.
Теорема доказана.
Замечание. Для удобства, учитывая теорему 5.2., определение меры открытого множества G
( k ,  k ) )=
будем кратко записывать так  ( G 
k 1
 (
k 1
k
  k ) , при этом будем иметь в виду два
варианта определения 2.2. Остановимся на некоторых свойствах меры открытого множества.
ТЕОРЕМА 6.2. Пусть G1 , G2 -- ограниченные открытые множества. Если G1  G2 , то
 (G1 )   ( G2 ).
Доказательство. Так как G1  G2 , то составляющие интервалы множества G1 являются
частями составляющих интервалов множества G2 . Поэтому непосредственно из определения
меры открытого множества следует, что  (G1 )   ( G2 ).
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 7.2. Если ограниченное открытое множество G является объединением
конечного или счетного множества взаимно непересекающихся открытых множеств
G= (Gk );(Gk  Gi  Ø ; k  i ) , то  (G )   Gk .
(2)
k
k
( ki ,  ki )
Доказательство.
Пусть
составляющие
интервалы
множества
Gk
(i=1,2,….;k=1,2,…). Так как множества Gk попарно не пересекаются и Gk  G , то интервалы
( ki ,  ki ) также не пересекаются, а поэтому они и только они являются составляющими
интервалами множества G, а причем их множество, очевидно, является конечным или счетным.
По определению меры открытого множества на основании теоремы о допустимости
 (G)=
перестановки
членов
сходящегося
знакоположительного
ряда
имеем
 (
k ,i
ki
  ki )   ( ( ki   ki ))    (Gk ) .
k
i
k
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 8.2. Если ограниченное открытое множество G является объединением
конечного или счётного множества открытых множеств GK (k= 1,2, …), то  (G)    (Gk ) .
k
Для доказательства нам понадобиться следующая лемма.
ЛЕММА. Пусть объединение
Gk открытых множеств является интервалом (a; b) . Тогда
b  a    (Gk ) .
k
k
Доказательство леммы. Обозначим составляющие интервалы множеств Gk через
ba
) произвольное число  и на
( ki ,  ki ) (i=1,2,….;k=1,2,…). Возьмем на интервале (0;
4


интервале (a; b) выберем отрезок I  [a  ; b  ] .
2
2
Тогда отрезок I покрыт системой интервалов ( ki ,  ki ) (i=1,2,….;k=1,2,…), из которой, по
лемме Бореля-Лебега, можно выбрать конечную систему интервалов ( 1;1 );( 2 ; 2 );....( n ; n ) ,
которая также покрывает I.
6
n
Но тогда длина отрезка I удовлетворяет неравенству b  a     ( i   i ) , так как в
i 1
противоположном случае оказалось бы, что отрезок I покрыт конечным числом интервалов,
суммарная длина которых меньше, чем
b  a   , что невозможно. Отсюда вытекает, что
n
b  a     ( i   i )   (ki   ki )    (Gk ) . Значит, в силу произвольности числа   0 ,
i 1
k ,i
k
имеем b  a    (Gk ) .
k
Лемма доказана. Докажем теперь теорему 8.2.
Обозначим составляющие интервалы множества
представим их в виде I i  I i  (
Gk ) 
k
G
через
(i ; i )  I , (i=1,2,….)
и
( I i  Gk ) . Тогда, на основании леммы, имеем
k
 ( I i )    ( I i  Gk ) . Отсюда, по определению меры открытого множества с учетом теоремы
k
7.2, получаем  (G)    ( I i )    ( I i  Gk )    ( I i  Gk )    (Gk ) .
i
i
k
k
i
k
Теорема доказана.
Определение 3.2. Пусть F- ограниченное замкнутое непустое множество, α=inf F, b=sup F;
GF  [a, b] \ F . Число b  a   (GF ) называется мерой замкнутого множества F и обозначается
 (F ) .
ТЕОРЕМА 9.2. Ограниченное замкнутое множество всегда имеет меру, которая является
неотрицательным числом.
Доказательство. Если F=Ø , то по определению считаем  ( Ø)=0. Пусть F  Ø. Так как
множество GF является ограниченным и открытым, то оно имеет меру, которая, по теореме 6.2.,
удовлетворяет неравенству  (GF )  b  a . Отсюда и из определения 3.2. следует справедливость
теоремы.
Установим некоторые свойства меры замкнутого множества.
ЛЕММА 2.2. Пусть F – замкнутое ограниченное множество, α=inf F, b=sup F;   a;   b .
Тогда  ( F )   ( F  { ;  }) .
Доказательство. Множество F1  F   ,  
является замкнутым, как объединение двух
замкнутых множеств, причём inf Fi   ,sup Fi   . Тогда по определению меры замкнутого
множества имеем   Fi         GF       (a      b)   (GF )  b  a   (GF )   ( F ) .
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА 10.2. Если замкнутое множество F1 содержится в ограниченном замкнутом
множестве F2 , то  ( F1 )   ( F2 ) .
Доказательство. Пусть   inf F2 ,   sup F2 , F3  F1   ,   . По лемме 2.2  ( F1 )   ( F3 ) .
Кроме этого F3  F2 . Поэтому GF3  ( ,   \ F3 )  GF2   ,   \ F2 . Значит,  ( F1 )   ( F3 )   ( F2 ) .
Теорема доказана.
ЛЕММА 3.2. Пусть замкнутое множество F содержится в ограниченном открытом
множестве G . Тогда  ( F )   (G ) .
Доказательство. Пусть α=inf F, b=sup F, GF  [a, b] \ F .По лемме 1.2, множество
GF открытое.
Так
как
GF  F   a, b ,то
GF  G   a, b  (a, b) .Значит,
 (GF  G)  b  a .Отсюда следует, что  (GF )   (G)  b  a . Но, по определению 3.2, имеем
 (GF )   ( F )  b  a . Следовательно,  (G )   ( F ) .
Лемма доказана.
7
ТЕОРЕМА 11.2. Мера ограниченного замкнутого множества F есть нижняя грань
множества мер открытых ограниченных множеств G, содержащих множество F:
 ( F )  inf  (G) | G  F .
Доказательство. Пусть α=inf F, b=sup F. Тогда по лемме 3.2. F   a, b \
 k ,  k  .
k
Рассмотрим случай счётного множества интервалов ( k ,  k ) (он будет включать и случай
конечного множества интервалов). По определению меры замкнутого множества имеем:

 ( F )  b  a   ( k   k ). Пусть  - произвольное положительное число. В соответствии с
k 1
теоремой 7.1, выберем номер n так, чтобы

 (
k  n 1
Fn   a, b  \
n
( k ,  k ) .
Множество
k 1
является
Fn
k
 k ) 

и рассмотрим множество
2
замкнутым
m
 ( Fm )  b  a   (  k   k ) . Ясно, что F  Fn , причём  ( Fn )   ( F ) 
и
его
мера
равна

.
(1)
2
Кроме этого, множество Fn является объединением n+1 отрезка, которые попарно не
k 1
пересекаются:
Fn 
n 1
 ak , bk  .
 ak ; bk 
Отрезки
k 1
( Ak ; Bk )   ak ; bk  так, чтобы  (Gn 1 )   ( Fn ) 
где Gn 1 
n 1
 Ak , Bk  .
k 1
 (Gn 1 )   ( F )   .

2
включим
в
некоторые
,
интервалы
(2)
Ясно, что Gn 1  Fn . Поэтому Gn 1  F . Из неравенств (1) и (2) имеем
Отсюда,
inf  (G) | G  F   ( F ) .
в
Но,
силу
по
произвольности
лемме
3.2,
числа
,
вытекает,
inf  (G) | F  G   ( F ) .
что
Значит
 ( F )  inf  (G) .
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 12.2. Пусть
множества. Тогда  (
n
k 1
F1 , F2 ,..., Fn
-- ограниченные замкнутые непересекающиеся
n
Fk )    ( Fk ) .
k 1
Доказательство. Достаточно доказать теорему для n=2. Пусть F  F1  F2 , F1  F2 . По
G1 , G2 , такие, что
теореме 11.2 для
  0 существуют открытые множества

Gi  Fi ,  (Gi )   ( Fi )  (i  1, 2) . Тогда открытое множество G  G1 G2 содержит множество
2
F и по теоремам 11.1 и 8.2, имеем  ( F )   (G)   (G1 )   (G2 )   ( F1 )   ( F2 )   . Отсюда, в
силу произвольности числа  , вытекает  ( F )   ( F1 )   ( F2 ) .
(3)
Докажем обратное неравенство. По теореме 5.1 существует два непересекающиеся открытые
множества G3 , G4 такие, что G3  F1 , G4  F2 . Для произвольного   0 по теореме 11.2
существует открытое множество G  F и такое, что  (G )   ( F )   . Обозначим
.
Тогда
на
основании
теоремы
7.2,
имеем
G3 G  G10 , G4 G  G20
 ( F1 )   ( F2 )   (G10 )   (G20 )   (G10 G20 )   (G)   ( F )   . Отсюда в силу произвольности
 , следует, что  ( F )   ( F1 )   ( F2 ) . А это неравенство в совокупности с неравенством (3) и
доказывает теорему.
ТЕОРЕМА 13.2. Множество Кантора имеет меру равную нулю:  ( P)  0 .
8
Доказательство. Множество Кантора является ограниченным замкнутым множеством.
Поэтому
по
определению
меры
замкнутого
множества
имеем
1


2k 1
 ( P)  1  0   ( 0;1 \ P)  1   (  k ;  k )  1   k  1  3  1  1  0 .
2
k 1 3
k 1
1
3
§3. Мера Лебега множества.
В §2 введено понятие меры открытого и замкнутого множества. Возникает вопрос о мере
произвольного числового множества. Существует несколько понятий мер множеств.
Познакомимся с понятием меры множества, которое ввёл французский математик Анри Лебег
(1875-1941).
1. Внешняя и внутренняя меры множества.
Определение 1.3. Пусть A – ограниченное множество. Нижняя грань множества мер
ограниченных открытых множеств, содержащих множество A, называется внешней мерой
множества A и обозначается m* ( A) , таким образом,
m* A  inf{ (G) | G  A, G -- открытое}.
ТЕОРЕМА 1.3. Каждое ограниченное множество A имеет внешнюю меру, причём
*
0  m A   .
Доказательство.
Справедливость
теоремы
следует
из
того,
что
множество Ï n  Ï k  Ï k  Ï m
ограничено снизу числом нуль.
Следствие 1.3. Для каждого   0 существует открытое множество G  A такое, что
 (G)  m* A   .
Определение 2.3. Пусть A – ограниченное множество. Верхняя грань множества мер
замкнутых множеств, содержащихся в множестве A, называется внутренней мерой множества
A и обозначается m* ( A) , таким образом, m* A  sup{ ( F ) | F  A, F -- замкнутое}.
ТЕОРЕМА 2.3. Каждое ограниченное множество A имеет внутреннюю меру, причём
0  m* A  m* A .
Доказательство. Пусть замкнутое множество F  A , а ограниченное закрытое
множество G  A . Тогда по лемме 3.2, имеем  ( F )   (G ) . Значит, множество
 ( F ) | F  A ограничено сверху и, следовательно, оно имеет верхнюю грань m* A, причём
m* A   (G) .
Теорема доказана.
Следствие 2.3. Для каждого   0 существует замкнутое множество F  A такое, что
 ( F )  m* A   .
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть ограниченное множество A является объединением конечного или
счётного множества множеств Ak : A  Ak . Тогда m* A   m* Ak .
(1)
k
k
Доказательство. Теорема очевидна в случае, когда в правой части (1) стоит
расходящийся ряд. Пусть этот ряд сходится или число слагаемых в правой части конечное.
Возьмём произвольное число   0 и для каждого hn по следствию 1.3 построим открытое

Ak  Gk , то A  Gk . Тогда
множество Gk так, что Gk  Ak и  (Gk )  m* Ak  k . Так как
2
k
k
k
9
Gk )   m* Ak   . Учитывая теперь произвольность числа  ,
по теореме 8.2, имеем m* A   (
k
k
отсюда и вытекает справедливость теоремы.
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть ограниченное множество A является объединением конечного или
счётного множества попарно непересекающихся множеств Ak : A  Ak , Ak Ai  Ø, k  i .
k
Тогда m* A   m* Ak .
k
Доказательство. Докажем для случая счётного множества множеств hn , при этом
конечный случай охватится. Пусть n – произвольное натуральное число, а  -- произвольное
положительное число. Для множеств Ak , по следствию 2.3, существуют замкнутые множества

F1 ,..., Fn такие, что  hn ( x)dm и  ( Fk )  m* Ak  ,(k  1, n ) . Множества Fk не пересекаются и
n
A
n
объединение их замкнуто, причём A 
Fk . По определению внутренней меры и по теореме
k 1
n
12.2 имеем: m* A   (
k 1
n
n
k 1
k 1
Fk )    ( Fk )   m* Ak   .
Поэтому в силу произвольности числа   0
n
m A
k 1

Значит, ряд
*
k
 m* A .
 m* Ak сходится и выполняется неравенство
k 1

m A
k 1
*
k
 m* A .
Теорема доказана.
2.Измеримые по Лебегу множества
Определение3.3. Если внутренняя мера m* A ограниченного множества А равна внешней
мере m* A множества А, то множество А называется измеримым по Лебегу, а общее значение
внутренней и внешней мер называется мерой Лебега множества А и обозначается mA .
Рассмотрим несколько примеров множеств измеримых по Лебегу.
ТЕОРЕМА5.3. Ограниченное счетное множество измеримо по Лебегу и его мера Лебега
равна нулю.
Доказательство. Пусть А -счетное множество. Тогда его элементы можно
занумеровать A  a1, a2 ,..., an ,... . Возьмем произвольное   0 и для каждой точки an построим
ее окрестность Gn длиной
 / 2 n т.е.  (Gn )   / 2n . Обозначим G 

Gn . Тогда G  A и по
n 1


n 1
n 1
теореме 8.2 имеем неравенство  (G )    (Gn )  

 .
2n
Отсюда, в силу произвольности  , следует, что m* A =0. Но, по теореме 2.3,
0  m* A  m* A  0 . Значит m* A =0. Следовательно, m* A = m* A =0= mA . Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 5.3 следует, что любое конечное множество
измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нуль.
ТЕОРЕМА 5.4. Ограниченное замкнутое множество F измеримо по Лебегу и его мера
Лебега mF равна мере замкнутого множества  ( F ) .
Доказательство.
Из всех замкнутых множеств, содержащихся в множестве F ,
наибольшую меру имеет само множество F ( F  F ) . Поэтому m* F   ( F ) . По теореме 11.2 .
Значит, mF   ( F ) . Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 7.3. Ограниченное открытое множество G измеримо по Лебегу и его мера
Лебега равна мере открытого множества  (G ) .
10
Доказательство. Из всех открытых множеств, содержащих множество G , наименьшую
меру имеет множество G (G  G ) . Следовательно, m*G   (G ) .
Докажем, что m*G   (G ) . По теореме 2.2 G  ( k ;  k ) .Доказательство проведем для
k
случая счетного множества составляющих интервалов ( k ;  k ) ( он охватит и случай конечного
их множества). Зададим
произвольно   0 и по нему представим множество G в

виде G  Gn
n
( k ;  k )), Gn 
(
k  n 1
( k ;  k ),
(1)
k 1

 (
где n выбрано так ( см. теорем 7.1), что
k  n 1
k
 k ) 

2
Из (1) по теореме 7.2. следует, что
 (G)   (Gn ) 

2 (2)
На
составляющих
интервалах ( k ;  k )(k  1,2,..., n)
[ak ; bk ]  ( k ; k ), k  1,2,..., n так, чтобы
выберем
отрезки

 ( Fn )   ( [ak ; bk ])   (bk  ak )   (Gn )  .
n
n
(3)
2
Этого можно добиться, взяв точки ak и bk достаточно близко к точкам  k и  k (k  1, 2,..., n) .
k 1
k 1
Ясно, что множество Fn является замкнутым и Fn  Gn  G . Из неравенства(2) и (3) имеем
 (G )   ( Fn )  
Отсюда следует, что m*G   (G ) . Но m*G  m*G   (G ) . Значит, m*G  m*G   (G ) . Теорема
доказана.
Определение 4.3. Если множество А измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю, то
множество А называется нульмерным.
Примеры нульмерных множеств: конечное, ограниченное, счетное, множество Кантора.
Укажем свойства Лебега, которые играют важную роль в теории интеграла Лебега.
ТЕОРЕМА 8.3. (Полная аддитивность меры Лебега). Если ограниченное множество А
является объединением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся
измеримых по Лебегу множеств Àk (k  1,2,...) , то множество А измеримо по Лебегу и
mA   mAk .
k
Доказательство. По теоремам 3.3. и 4.3. имеем
m* A   m* Ak , m* A   m* Ak . Поэтому
k
 mA   m A
k
k
*
k
k
k
 m* A  m* A   m* Ak   mAk .
k
k
Отсюда следует, что m* A  m A   mAk . Теорема доказана.
*
k
Следствие 1.3. Если замкнутое множество F содержится в ограниченном открытом
множестве G , то m(G \ F )  mG  mF .
Доказательство. G \ F - открытое как пересечение открытых множеств G и CF .
Представим G в виде F  (G \ F ) , по теореме 8.3., получим справедливость следствия.
ЛЕММА 1.3. Пусть множество А содержится в интервале (a; b)  I .Тогда, если А
измеримо по Лебегу, то и множество I \ A измеримо по Лебегу.
Доказательство. Достаточно доказать равенство
m* A  m* ( I \ A)  b  a .
(4)
11
Так как тогда из него будет следовать, что m* ( I \ A)  m* A  b  a . А это в совокупности с
(4) дает, (m* ( I \ A)  m* ( I \ A)  m* A  m* A  0) измеримость по Лебегу множества I \ A .
Докажем (4). Пусть   0 . Построим такое замкнутое множество F  A , что mF  m* F   . Так
как множество I \ F открытое (как пересечение открытых множеств I и CF ) и сдержит
множество I \ À , то по определению внешней меры множества и по следствию 1.3 имеем
m ( I \ A)  m( I \ F )  mI  mF  b  a  m* A   .
Отсюда, в силу в силу произвольности  , вытекает, что m* A  m* ( I \ A)  b  a .
Докажем обратное неравенство к этому, тем самым будет доказано (4).
Для произвольного   0 существует такое ограниченное открытое множество G , что

G  ( I \ A) и mG  m* ( I \ A)  . Построим теперь интервал ( ;  )  ( a; b) , концы которого
3


b     b . Обозначим G  G (a; ) ( ; b) .
удовлетворяют условию 0    a  ,
3
3
Множество G является открытым, оно содержит I \ A и mG  m* ( I \ A)   . Кроме этого,
множество I \ G является замкнутым как пересечение двух замкнутых множеств [ ;  ] и ÑG .
( I \ A)  A .
Из
построения
множества
G
следует,
что
Поэтому
*
m* A  m( I \ G )  b  a  mG  b  a  m ( I \ A)   .
Отсюда, в силу произвольности числа  , вытекает неравенство
m* A  m* ( I \ A)  b  a .
ТЕОРЕМА 9.3. Пусть A1 , A2 - ограниченные измеримые по Лебегу множества. Тогда
множества 1) A1  A2 ,2) A1  A2 ,3) A1 \ A2 так же измеримы по Лебегу.
Доказательство. 1) Д ля произвольного   0 по следствиям 1.3, 2.3 существуют
открытые множества G1 , G2 и замкнутые множества F1 , F2 , что выполняются условия:

Fi  Ai  Gi , mGi  mFi  (i  1, 2) .
2
Обозначим F  F1  F2 , G  G1  G2 . Ясно, что F- замкнутое, G- открытое множество и
F  ( A1  A2 )  G . Отсюда по определению внешней и внутренней мер, следует, что
mF  m* ( A1  A2 )  m* ( A1  A2 )  mG .
Оценим
разность
По
mG  mF .
m(G \ F )  mG  mF , m(Gk \ Fk )  mGk  mFk (k  1,2) .
Кроме
этого
легко
видеть,
mG  mF  m(G1 \ F 1)  m(G2 \ F2 )   .
что
(5)
следствию
1.3
имеем
G \ F  (G1 \ F1 )  (G2 \ F2 ) .
Поэтому
Отсюда из неравенства (5) вытекает, что 0  m* ( A1  A2 )  m* ( A1  A2 )   . А это, в силу
произвольности  , дает, что m* ( A1  A2 )  m* ( A1  A2 ) .
Первая часть доказана.
2) Пусть интервал I  ( A1  A2 ) . Тогда множество I \ ( A1  A2 )  ( I \ A1 )  ( I \ A2 ) измеримо
по Лебегу по лемме 1.3 и первой части этой теоремы. Но тогда, по лемме 1.3, будет измеримым
по Лебегу множество A1  A2 .
3) Пусть интервал I  ( A1  A2 ) . Тогда множество I \ ( A1 \ A2 )  A1  ( I \ A2 ) измеримо по
Лебегу по лемме 1.3 и второй части теоремы. Следовательно, по лемме 1.3, измеримо по Лебегу
и множество À1 \ À2 .
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 10.3. Если ограниченное множество А является объединением счетного
множества измеримых по Лебегу множеств Ak , то множество А измеримо по Лебегу.
12
Пусть A 
Доказательство.

Ak .
Построим
множества
k 1
B1  A1, B2  A2 \ A1,..., Bk  Ak \ ( A1
A2
...
Ak 1 ) .
Они
не
пересекаются
и
являются

измеримыми по Лебегу, по теореме 9.3. Но A 
Bk . Следовательно, по теореме 8.3, множество
k 1
А измеримо по Лебегу. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 11.3. Пересечение счетного множества измеримых по Лебегу множеств
является измеримым по Лебегу множеством.
Доказательство.
A
Пусть

Ak .
Не
ограничивая
общности
рассуждений,
k 1
предположим,
I \ A  ( I \ A1 )
что
все
( I \ A2 )
множества
Ak
содержатся
в
интервале
I.
Тогда

... 
( I \ Ak ) .
k 1
Значит, по теореме 11.3, множество I \ A измеримо по Лебегу и, следовательно, по лемме
1.3, множество А измеримо по Лебегу.
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 12.3. Пусть на интервале I содержится последовательность измеримых по
Лебегу множеств ( An ) , причем A1  A2  ...  An  ... . Тогда m(

k 1
Ak )  limmAn .
n 
Доказательство.
На
основании
условия
теоремы
имеем
представление
A1 A2 ...  A1 ( A2 \ A1 ) ... ( An \ An 1 ) ... , в правой части которого множества An \ An 1 не
пересекаются.
Следовательно,
по
теореме
8.3,
имеем


m(
n 1
n
An )  mA1   m( An \ An 1 )  lim(mA1   m( Ak \ Ak 1 ))  limmAn .
n 
n2
n 
k 2
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 13.3. Пусть на интервале I содержится последовательность измеримых по
Лебегу множеств ( An ) , причем A1  A2  ...  An  ... . Тогда. m
Доказательство. Пусть A 


n 1
A n  limmAn .
An . Тогда I \ A1  I \ A2  ..., I \ A 
по
теореме

( I \ An ) .
n 1
n 1
Поэтому,
n 
12.3,
имеем,
что
m( I \ A)  lim( I \ An)
или
n 
mI  mA  lim(mI  mA ) .
n
n 
А это и доказывает теорему.
Глава I I.Измеримые функции
§4.Определение и примеры измеримых функций
Пусть действительная числовая функция f определена на множестве А, с - некоторое
действительное число.
Рассмотрим подмножество  õ  A f ( x)  c множества А. В дальнейшем для удобства
его будем кратко обозначать A( f  c) .
Отметим, что в зависимости от числа с
множество A( f  c) может быть пустым, а может совпадать со всем множеством А. Например,
для функции
13
f ( x) 
1
 , A( f  1/ 2)  (1; ),
, x  A  [0; ) имеем: A( f  c)  
1 x
А(f<2)= А.
В связи с теорией интегрирования нас будет интересовать вопрос оп измеримости но Лебегу
множества А(f<с). Если множество А нульмерное, то и любое его подмножество в силу полноты
меры Лебега также является нульмерным. Однако, если множество А измеримо по Лебегу и его
мера положительна, то оно всегда содержит неизмеримые по Лебегу подмножества.
Следовательно, из того, что множество А измеримо по Лебегу, следует что измеримы по Лебегу
и его подмножества А(f<с).
В связи с этим вводится понятие измеримой функции.
Определение 1.4 Числовая функция f : A 
 R , определенная на ограниченном множестве А,
называется измеримой на множестве А, если измеримо по Лебегу само множество А и для
любого действительного числа с измеримо по Лебегу множество А(f<с).
Примеры измеримых функций.
Пример 1. Функция, определенная на ограниченном нульмерном множестве, измерима на нем.
Пример 2. Постоянная функция f ( x)  ax  A , определенная на измеримом По Лебегу
множества А. измерима на множестве А.
Действительно, A( f  c)  A если c  a и A( f  c)  O если c  a .
Пример 3. Сужение f функции Дирихле на любой отрезок  a; b
0,
f ( x)  
если х — иррациональное число  a; b
1,
если х—рациональное число  a; b
измеримо на отрезке
Действительно,
A( f  c)   a; b , если с>1; A( f  c)   a, b \ Q ~
если
0  c  1,
и
A( f  c)  O если c  0 .
Отметим, что из этого примера следует, что измеримыми функциями могут быть и разрывные
функции.
Следующие примеры приведём в виде теорем.
ТЕОРЕМА 1.4. Функция f : G 
 R , определенная и непрерывная на ограниченном открытом
множестве G, измерима на нем.
Доказательство. Множество G измеримо но Лебегу как открытое ограниченное множество.
Установим измеримость во Лебегу множества G ( f  c )
при любом с. Если G ( f  c)  O , то оно измеримо по Лебегу. Пусть G ( f  c)  O и x0 произвольно взятая точка множества G ( f  c ) . По теореме о структуре открытого множества
существует составляющий интервал ( ;  )  G содержащий точку x0 . Учитывая непрерывность
функции f в точке x0 , и локальные свойства непрерывной в точке функции заключаем, что
существует окрестность B( x0 ; )  ( ;  ) точки x0 , во всех точках которой f ( x )  c . Значит
B( x0 ; )  G( f  c) .Следовательно, точка x0 , является внутренней точкой множества G ( f  c ) ,
а само множество G ( f  c )
является открытым и ограниченным, а поэтому является
измеримым по Лебегу.
Теорема доказана.
Следствие. Функция, определенная и непрерывная на интервале, является измеримой на этом
интервале.
 R измерима на множестве А, то при любом числе с
ЛЕММА 1.4. Если функция f : A 
будут измеримы по Лебегу следующие подмножества множества А:
(1)
A( f  c)  x  A | f ( x)  c
A( f  c)  x  A | f ( x)  c
14
(2)
A( f  c)  x  A | f ( x)  c
(3)
A(c1  f  c2 )  x  A | c1  f ( x)  c2  (4)
Доказательство. Измеримость по Лебегу указанных множеств следует из теорем 9.3., 11.3. на
основании представлений:
A( f  c)  A \ A( f  c), A( f  c) 

1
A( f  c  ),
k
k 1
A( f  c)  A \ A( f  c), A(c1  f  c2 )  A( f  c2 ) A( f  c1 )), .
Следствие. В определении измеримой функции вместо множества A( f  c) можно взять любое
из множеств (1)-(З), так как в соответствии с леммой из измеримости по Лебегу одного из них
при любом с вытекает измеримость по Лебегу остальных множеств.
ТЕОРЕМА 2.4. Функция f : F 
 R , определенная и непрерывная на ограниченном
замкнутом множестве F, измерима на нем.
Доказательство. Пусть с — произвольно взятое число, В соответствии с леммой 1.4 докажем
измеримость множества F ( f  c ) . Если F ( f  c)  O , то оно измеримо. Пусть G ( f  c)  O .
Докажем, что оно замкнуто. Тогда, в силу ограниченности, множество F ( f  c ) будет
измеримым по Лебегу. Пусть x0 -предельная точка множества F ( f  c ) . Ясно, что x0  F . Тогда
в множестве F ( f  c ) имеется последовательность ( xn ) , сходящаяся к точке x0 . Так как
 f ( x0 ) и по теореме о предельном
f ( xn )  c и функция f непрерывна в точке x0 , то f ( xn ) 
переходе в неравенствах имеем f ( x0 )  c. Следовательно, x0  F ( f  c) и множество F ( f  c )
замкнуто.
Теорема доказана.
Следствие. Функция определенная и непрерывная на отрезке, измерима на этом отрезке.
Определение 2.4. Пусть X  A . Будем говорить, что функция f : A 
 R измерима на
множестве Х, если на этом множестве измеримо сужение функции
 R является измеримой на множестве А, то она
ТЕОРЕМА 3.4. Если функция f : A 
является измеримой и на любом измеримом подмножестве X  A .
Доказательство. Пусть  - сужение функции f на множестве X  A . Тогда справедливость
теоремы следует из равенства:
X (  c)  X A( f  c) .
ТЕОРЕМА 4.4. Пусть функция f определена на измеримом множестве А, которое является
объединением конечного или счетного множества измеримых множеств Ak : A  Ak . Если f
k
измерима на каждом множестве Ak , то она является измеримой на множестве А.
Доказательство. Справедливость теоремы следует из равенства
A( f  c) 
Ak ( f  c)
k
R
 R выполнено условие
Определение 3.4 Если для функций f : A 
и g : A 
m{x  f ( x)  g ( x)}  0 , то функции f и g эквивалентными на множестве А, при этом пишут
f ~g
3амечание. Принято говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве
А, если оно выполняется во всех точках множества А, кроме точек, образующих множество
меры нуль. Учитывая эту терминологию, теперь можно сказать, что функции f и g
эквивалентны на множестве А, если их значения равны почти всюду на множестве А.
 R эквивалентна измеримой на множестве А функции
ТЕОРЕМА 5.4. Если функция f : A 
15
g : A 
 R , то функция f измерима на множестве А.
Доказательство. Пусть X  {x  A | f ( x)  g ( x)} и mX  0 , У=А\Х. Множество У измеримо по
Лебегу как разность измеримых множеств. По теореме 3.4 функция g измерима на У, а
следовательно, и функция f измерима на У, но тогда по теореме 4.4 функция f измерима на
множестве A  Y X .
Теорема доказана.
Опреде.ление 4.4. Функция f : A 
 R называется простой, если она измерима на множестве
А и принимает не более, чем счетное множество значений y1 , y2 ,..., yk  yi (k  i) .
Структуру простых функций описывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6.4. Функция f : A 
 R определенная на ограниченном множестве А и
принимающая не более чем счетное множество различных значений y1 , y2 ,..., yn , измерима
тогда и только тогда, когда все множества Ak  {x  A | f ( x)  yk } измеримы по Лебегу.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f
измерима на множестве А и
 yk  -
Ak  {x  A | f ( x)  yk } .
множество
ее
значений,
Тогда
множества
Ak  {x  A | f ( x)  yk } \ {x  A | f ( x)  yk } измеримы по теореме 9.3.
Достаточность теоремы следует непосредственно ю теоремы 4.4.
IIример. Сужение функции Дирихле на любой отрезок является простой функцией.
ТЕОРЕМА 7.4. Если f : A 
 R , g : A 
 R - простые функции, то функции
f
g  f , f  g , ( g  0) также являются простыми.
g
Доказательство. Пусть Ak  {x  A | f ( x)  yk } , Bk  {x  A | g ( x)  zk }
Cki  Ak
Bi
Тогда A 
Ak 
k
Bk , а также A 
k
Cki .
k
i
Учитывая это, имеем
( f  g )( x)  yk  zi , x  Cki
( f  g )( x)  yk  zi , x  Cki
f
y
( )( x)  k , x  Cki
g
zi
А это доказывает, что указанные функции являются простыми.
§5. Действия над измеримыми функциями
Рассмотрим операции над измеримыми функциями, которые не выводят из класса измеримых
функций. Вначале остановимся на операции предельного перехода. Будем пользоваться
следующими тремя типами сходимости функциональных последовательностей.
1) Точечная сходимость. Функциональная последовательность ( f n ) сходится точечно на
множестве А к функции f , если для любого x  A lim f n ( x)  f ( x) . Обозначение : f n  f
n 
2) Равномерная сходимость. Функциональная последовательность ( f n ) сходится равномерно на
множестве А к функции f , если для любого   0 существует номер n0 ( ) такой, что при
n  n0 ( ) выполнено f n ( x)  f ( x)   для любых x  A .
З)
Сходимость почти всюду. Функциональная последовательность ( f n ) сходится почти
всюду на множестве А к функции f если для почти всех x  A выполнено lim f n ( x)  f ( x) .
n 
16
ïâ
f
Обозначение: f n 
R
ТЕОРЕМА 1.5. Если функциональная последовательность ( f n ) , где все функции f n : A 
измеримы на множестве А, сходится точечно на множестве А к функции f то функция f
измерима на множестве А.
Доказательство.. Пусть с- произвольно взятое действительное число. докажем, что множество
A( f  c) измеримо по Лебегу.
1
Для этого установим равенство A( f  c) 
A( f m  c  ) .
k
k
n
mn
1
Из которого, в силу измеримости но Лебегу множеств A( f m  c  ) , по теоремам 10.3, 11.3
k
будет следовать измеримость по Лебегу множества A( f  c) . Пусть x  A( f  c) , т.е f ( x )  c .
1
Тогда существует такое натуральное число k, что f ( x)  c  . Для этого k существует такой
k
1
номер n, что при m>n выполняется неравенство f m ( x)  c  . — а это означает, что х
k
принадлежит правой части равенства (1).
Пусть теперь х принадлежит правой части равенства (1). Тогда существует такое число k, что
1
при всех достаточно больших номерах m выполняется неравенство f m ( x)  c  . Отсюда
k
f ( x )  c , т.е. х принадлежит левой части равенства (1).
Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность измеримых функций ( f n ) сходится почти всюду на
множестве А к функции f : A 
 R , то функция f измерима на множестве А.
Доказательство. Пусть функциональная последовательность сходится точечно на множестве
Х к функции f и m( A \ X )  0 . Тогда множество A( f  c) можно представить в виде
A( f  c)  ( A( f  c) X ) ( A( f  c) ( A \ X )) ,
из которого и следует его измеримость по Лебегу.
 R существует
ТЕОРЕМА 2.5. Для любой измеримой на множестве А функции f : A 
равномерно сходящаяся на множестве А к ней последовательность простых функций.
Доказательство. Построим явно эту последовательность простых функции. Положим
m
m
m 1
f n ( x)  . , если  f ( x) 
. (здесь m — целые числа, а n — натуральные числа).
n
n
n
m
Множества {x  A | f ( x)  }, на которых функция f n принимает постоянное значение
n
m
, измеримо по Лебегу по лемме 1.4. Тогда по теореме 6.4 функции f n являются простыми. По
n
1
построению | f n ( x)  f ( x) |  0, x  A, т.е. функциональная последовательность ( f n )
n
сходится равномерно на множестве A к функции f. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 3. 5. Пусть функция f : A  R è g : A  R измеримы на множестве A. Тогда
f
( g ( x)  0) .
измеримы на множестве A каждая из функций f+g, f-g, f*g,
g
Доказательство. В соответствии с теоремой 2.5 выберем две функциональные
последовательности простых функций ( f n ) и ( g n ) , которые сходятся равномерно на множестве
A к f и g соответственно. Ясно, что f n  f , gn  g точечно на множестве A. Отсюда следует,
17
что f n  g n  f  g , f n  gn  f  g ,
теореме 1.5 функции f  g, f  g,
f
g
fn
f

gn
g
точечно на множестве A. Следовательно по
измеримы на множестве A.
Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь между понятиями сходимости почти всюду и
равномерной сходимостью.
ТЕОРЕМА 4. 5. (Егорова) Пусть последовательность измеримых функций f n сходится
почти всюду на множестве a к функции f. Тогда для любого   0 существует измеримое
множество A  A такое, что 1). m( A \ A )   ; 2). на множестве A последовательность ( f n )
сходится к f равномерно.
Доказательство. По следствию из теоремы 1.5 функция f измерима на A. Пусть f n  f
точечно на множестве E  A . Для любой точки x  E и любого натурального m существует
1
такой номер n(x) такой, что неравенство | f k ( x)  f ( x) |
выполняется для всех k>n .
m
1


Обозначим Enm   x  E | | f i ( x)  f ( x) | , i  n  , тогда из предыдущего следует, что
m


E

Enm . Так как E1m  E2m  ...  Enm  ... и множества Enm измеримы в силу измеримости
n 1
функций f i и f , то по теореме 12.3 lim mEnm  mE , и ,
n 
значит, m( E \ Enm )  0, n  . Выберем номер n(m) так, чтобы m( E \ Enm( m ) ) 

. Тогда
2m


m 1
m 1
( A \ Enm( m ) , m( E \ A ))   m( E \ Enm( m ) )  

 .
2m
По условию m(A\E)=0 и, значит, m( A \ A )  m( A \ E )  m( E \ A )   . Покажем , что на
Enm( m ) имеем E \ A 
для множества A 
m
m
построенном множестве A последовательность ( f n ) сходится равномерно к f. По ε>0 выберем
1
  . Тогда для k>n(m) получаем A  Enm( m) , т.е. для x  A
номер m так, чтобы
m
1
выполняется неравенство | f k ( x)  f ( x) |   .
m
Теорема доказана.
Глава 111. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§6. Понятие интеграла Лебега
1. Интеграл Лебега от ограниченной функции
Как известно из курса математического анализа определенный интеграл Римана
b
 f ( x)dx от функции
f :  a; b  R определяется следующим образом. Производится разбиение
a
отрезка [a; b] точками a  x0  x1  ...  xn  b на n частичных отрезков [ xk 1; xk ] = I k , на каждом
из которых выбирается по одной точке k и составляется интегральная сумма Римана
n
 R   f ( k )( xk  xk 1 ) .
k 1
Далее интеграл Римана определяется как предел интегральных сумм  R при
n  max ( xk  xk 1 )  0 . Если интеграл существует, т.е. существует предел lim  R , то функция f
n  0
k
называется интегрируемой по Римону на отрезке [a; b]. Отсюда легко следует, что
18
ограниченность функции f на отрезке [a; b] является необходимым условием интегрируемости
функции по Римону. Однако не каждая ограниченная функция на отрезке является
интегрируемой на нем. Например, сужение функции Дирихле на отрезок [a; b] не является
интегрируемой на [a; b]. В курсе математического анализа устанавливается критерий
интегрируемости функции. Приведем его в терминах сумм Дарбу, которые определяются
формулами
n
n
k 1
k 1
Sn   mk ( xk  xk 1 ) , Sn   M k ( xk  xk 1 ) , где mk  inf f ( x) , M k  sup f ( x)
xI k
xI k
ТЕОРЕМА 1. 6. Ограниченная функция f :  a; b  R интегрируема по Римону на отрезке
[a; b] тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой пределы I   lim Sn ,
n  0
I   lim S n .
n  0
b
При этом их общее значение равно интегралу
 f ( x)dx .
a
В курсе математического анализа с помощью теоремы 1.6 выделяются некоторые классы
функций, интегрируемых по Римону. Ниже в пособии будет выделен весь класс функций,
интегрируемых по Римону.
Перейдем к рассмотрению интеграла Лебега. Вначале рассмотрим ограниченную
функцию.
Пусть измеримая на множестве A функция f :  a; b  R является ограниченной. В этом
случае существуют два числа c и d , что c<f(x)<d x  A .
Разобьем отрезок [c; d] на n частей точками c  y0  y1  ...  yn  d и обозначим
n  max ( yk  yk 1 )
k
Рассмотрим множество Ak  x  A | yk 1  f ( x)  yk  .
Они обладают свойствами:
1). Все множества Ak измеримы по Лебегу ( лемма1.4 );
2). Множества Ak попарно не пересекаются: Ak  Ai  Ǿ, k≠i (по построению);
3). A 
n
k 1
Ak (по определению Ak );
n
4). mA   mAk (теорема 8.3).
k 1
На каждом частичном отрезке [ yk 1; yk ] выберем по одной точке k и составим сумму
n
 r    k mAk .
(2)
k 1
Сумма (2) называется интегральной суммой Лебега функции f.
Определение 1. 6. Число I называется пределом интегральных сумм Лебега  r при
n  0 и обозначается lim  r ( lim  r ), если для любого ε >0 существует δ >0 , что при любом
n  0
n
разбиении отрезка [c; d] и при любом выборе точек k выполняется неравенство |  r  I |  как
только n   .
Определение 2. 6. Если существует конечный предел I интегральных сумм Лебега, то
функция f называется интегрируемой по Лебегу на множестве A, число I называется интегралом
Лебега и обозначается I   f ( x)dm .
A
Теперь рассмотрим вопрос о существовании интеграла Лебега.
19
Для этого составим следующие суммы Ï
n
n
  yk 1mAk , Ï
k 1
n
n
  yk mAk , которые
k 1
называются соответственно нижней и верхней суммами Лебега.
Суммы Лебега обладают следующими свойствами:
1). При любом разбиении отрезка [c; d] выполняется неравенство Ï
n
 r  Ï
2). При любом разбиении отрезка [c; d] выполняется неравенство 0  Ï
n
Ï
n
.
 n mA .
n
Доказательство. Левая часть неравенства следует из св-ва 1).
Правая часть неравенства устанавливается следующим образом:
Ï
n
Ï
n
n
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
  yk mAk   yk 1mAk   ( yk  yk 1 )mAk    k mAk  n  mAk  n mAk .
3). При добавлении к разбиению отрезка [c; d] новых точек разбиения нижняя сумма
Лебега может только увеличиться, а верхняя сумма Лебега – только уменьшиться.
Доказательство. Докажем утверждение для нижней суммы при добавлении одной точки
разбиения (для верхней суммы – аналогично). Пусть yk 1  y  yk .
Тогда в новой нижней сумме Лебега вместо слагаемого
yk 1mAk  yk 1mA ( yk 1  f  y  )  yk 1mA ( y   f  yk ) присутствует большее слагаемое, равное
сумме yk 1mA ( yk 1  f  y  )  y  mA ( y   f  yk ) .
Свойство доказано.
4). Нижняя сумма Лебега не превосходит верхнюю сумму Лебега, отвечающую даже
другому разбиению.
Доказательство. Пусть Ï n , Ï n  суммы Лебега, отвечающие одному разбиению, а
Ï m, Ï
m
 суммы Лебега, отвечающие другому разбиению. Докажем, что Ï
Ï
n
m
. Обозначим
через Ï k , Ï k  суммы Лебега, отвечающие третьему разбиению, полученному из объединения
точек разбиения двух данных разбиений. Тогда по свойствам 1), 3) имеем Ï
n
Ï
k
Ï
k
Ï
m
.
Свойство доказано.
ТЕОРЕМА 2. 6. Ограниченная и измеримая на множестве A функция f : A  R является
интегрируемой по Лебегу на множестве A
Доказательство. Если mA=0 , то любая интегральная сумма Лебега равна нулю и,
следовательно, существует предел lim  r  0 .
n 0
Пусть mA>0. Множество нижних сумм Лебега в силу свойства 4) ограничено сверху.
Обозначим sup Ï n  I  и докажем, что lim  r  I  .
 
n  0
Для ε >0 возьмем 0<δ <ε /mA. Тогда при любом разбиении отрезка [c; d], подчиненном
условию n   , при любом выборе точек k имеем

|  r  I  | Ï n  Ï n  n mA   mA 
mA   .
mA
Теорема доказана.
Замечание. Сравнивая определения интегральных сумм Римана (1) и Лебега (2) легко
видеть отличия в их построении. Так, в интегральных суммах Римана точки x группируются по
признаку их близости на оси Ox , а в интегральных суммах Лебега – по признаку близости
значений функции в этих точках. Преимущество второго определения уже видно - любая
измеримая ограниченная функция интегрируема по Лебегу. Так, в частности , интегрируемой по
Лебегу является сужение функции Дирихле на любой отрезок.
Как будет показано ниже, класс функций , интегрируемых по Лебегу , содержит в себе
класс функций, интегрируемых по Римону.
20
2. Общее определение интеграла Лебега
В этом пункте обобщим понятие интеграла Лебега от ограниченной функции на
произвольные измеримые функции, которые могут быть и неограниченными. С этой целью
запишем определение 2.6 в эквивалентной форме на языке простых функций.
По интегральной сумме Лебега (2) составим последовательность простых функций с
конечным числом значений hn ( x)   k , x  Ak ,
n
Ak  A .
k 1
Заметим, что как бы ни выбрать разбиение отрезка [c; d] и точки k последовательность
(hn ) в силу неравенства | f ( x)  hn ( x) | n x  A при условии n  0 сходится равномерно на
множестве A к функции f.
Далее, если определить интеграл Лебега от простых функций hn равенством
n
 hn ( x)dm  k mAk   r , то , учитывая теорему 2.6 , можно утверждать, что существует предел
k 1
A
последовательности интегралов  hn ( x)dm при n  0 и он не зависит от выбора
A
последовательности простых функций hn .
Поэтому определение интеграла Лебега от ограниченной функции эквивалентно
следующему определению.
Определение 3.6. Интегралом Лебега от ограниченной измеримой функции f : A  R на
множестве A называется предел lim  hn ( x)dm, ãäå (hn )  последовательность простых функций,
n 
A
принимающих конечное число значений, равномерно сходящаяся к функции f.
Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции определим аналогично.
Предварительно определим интеграл Лебега от простой функции h : A  R , принимающий
счетное множество значений 1 ,  2 , . . . .
Определение 4. 6. Простая функция h : A  R , принимающая значения k на множествах

Ak , k=1,2,…, называется интегрируемой , если ряд
  mA
k 1
k
k
сходится абсолютно.
Если простая функция h : A  R интегрируема, то сумма этого ряда называется
интегралом Лебега функции h и обозначается  h ( x)dm .
A
Отметим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.
1).  (h  g )( x)dm   h ( x)dm   g ( x)dm .
A
A
A
Доказательство.
Пусть h(x)= k при x  Ak , A 
при x  Ak
Bi и A 
( Ak
Bi , тогда h(x)+g(x)= k + γ,
Ak ; g(x)=γ, при x  Bi , A 
k
i
Bi ) .
i,k
По определению имеем:
 h ( x)dm  g ( x)dm    mA    mB
k
A
  ( k   i )m( Ak
i
k
A
k
i
k
i
i
    k  m( Ak
k
Bi )   ( f  g )( x)dm .
A
2).  ch ( x)dm  c  h ( x)dm
A
c  R .
A
Равенство следует из определения 4. 6.
21
i
Bi ) 
   m( A
i
i
k
k
Bi ) 
3). Ограниченная простая функция
 h ( x)dm
h : A  R интегрируема на множестве A, причем
 sup h( x)  mA .
A
Доказательство. Интегрируемость функции h следует из теоремы 2. 6. Докажем
неравенство
 h ( x)dm   mA
k
k
k
A
 sup  k   mAk  sup k  mA .
k
ЛЕММА 1. 6. Пусть последовательность простых интегрируемых на множестве A
функций (hn ) равномерно сходится на множестве A к функции f : A  R . Тогда
1). Существует предел lim  hn ( x)dm ;
n 
A
2). Предел не зависит от выбора последовательности (hn ) .
Доказательство. Для доказательства сходимости последовательности I n   hn ( x)dm
A
установим ее фундаментальность. В силу свойств 1). – 3). имеем
I n  I m   (hn ( x)  hm ( x))dm  sup hn ( x)  hm ( x) mA  0, m, n   что и означает
x A
A
фундаментальность последовательности ( I n ) и , следовательно, ее сходимость.
Пусть теперь ( g n ) - другая аналогичная последовательность, равномерно сходящаяся к f.
Тогда
h
n
( x)   gn ( x)dm =  (hn ( x)  g n ( x))dm  sup hn ( x)  g n ( x) mA  0, n  , а это и
A
x A
A
A
означает, что предел последовательности интегралов не зависит от выбора последовательности
(hn ) . Лемма доказана.
Учитывая теперь лемму 1. 6. , обобщим определение 3. 6. На произвольные измеримые
функции.
Определение 5. 6. Измеримая функция f : A  R называется интегрируемой по Лебегу
(суммируемой) на множестве A, если существует равномерно сходящаяся на множестве A к
функции f последовательность простых интегрируемых на множестве A функций hn .
Интегралом Лебега от функций f на множестве A называется предел интегралов Лебега от
функций hn :  f ( x)dm  lim  hn ( x)dm .
n 
A
A
§7. Свойства интеграла Лебега
В этом параграфе рассмотрим основные свойства интеграла Лебега.
ТЕОРЕМА 1. 7. Если mA=0, то  f ( x)dm  0 .
A
Доказательство. Для простых функций это свойство следует непосредственно из
определения интеграла от простых функций.
Пусть f : A  R - произвольная функция. Тогда она является измеримой на множестве A,
так как mA=0. Следовательно, по теореме 2. 5. Существует последовательность простых
функций (hn ) равномерно сходящаяся на множестве A к функции f. Поэтому по определению
интеграла Лебега
 f ( x)dm  lim  h
A
n 
n
( x)dm  0 .
A
Теорема доказана.
22
ТЕОРЕМА 2. 7. Если f и g – интегрируемые по Лебегу функции на множестве A, то
функция f+g интегрируема по Лебегу на множестве на множестве A и справедливо равенство
 ( f  g ) ( x)dm   f ( x)dm   g ( x)dm .
A
A
A
Доказательство. Пусть hn' и hn'' равномерно сходящиеся к f и g соответственно
последовательности простых интегрируемых функций. Тогда последовательность ( hn' + hn'' )
равномерно сходится на множестве A к функции f+g , следовательно, f+g интегрируема по
Лебегу на множестве A. Переходя к пределу в равенстве  (hn'  hn'' ) ( x)dm   hn' ( x)dm   hn'' ( x)dm
A
A
A
получаем доказываемое равенство. Теорема доказана.
Аналогично доказывается следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3. 7. Если f - интегрируемая по Лебегу функция на множестве A, то для
любого числа c  R функция c·f также является интегрируемой по Лебегу на множестве A и
справедливо равенство  c  f ( x)dm  c   f ( x)dm .
A
A
Непосредственно из определения интеграла Лебега вытекает справедливость следующего
свойства.
ТЕОРЕМА 4. 7. Для любого измеримого по Лебегу множества A выполняется
равенство  I dm  mA .
A
Следствие 1. 7.  c dm  c  mA
(A - измеримое по Лебегу множество , c  R ).
A
ТЕОРЕМА 5. 7. Если функция f является интегрируемой по Лебегу на множестве A и
f ( x )  0 x  A , то  f ( x)dm  0 .
A
Доказательство. Для простых функций утверждение теоремы следует из определения
интеграла от простых функций. Пусть теперь f - интегрируемая и неотрицательная функция на
множестве A. Тогда по теореме 2. 5. существует равномерно сходящаяся к функции f
последовательность неотрицательных простых интегрируемых функций. Учитывая теперь
утверждение теоремы для простых функций, из определения интеграла Лебега получаем
справедливость теоремы. Теорема доказана.
Следствие 2. 7. Если функции f и g интегрируемы по Лебегу на множестве A и
f ( x)  g ( x) x  A , то  f ( x)dm   g ( x)dm .
A
A
Следствие 3. 7. Если функция f интегрируема по Лебегу на множестве A и a  f ( x)  b
x  A , то a  mA   f ( x)dm  b  mA .
A
Из определений 4. 6. И 5. 6. Интегралов Лебега следует справедливость следующей
теоремы.
ТЕОРЕМА 6. 7. Если функция f интегрируема по Лебегу на множестве A, то функция
| также интегрируема по Лебегу на множестве A и выполняется неравенство
 f ( x)dm  
A
|f
f ( x) dm .
A
ТЕОРЕМА 7. 7. Если функция g интегрируема по Лебегу на множестве A, а для
измеримой на A функции f выполняется неравенство f ( x)  g ( x) , то функция f интегрируема
по Лебегу на множестве A .
Доказательство. Проверим сначала утверждение теоремы для простых функций h и φ .
Пусть A  Ak , Ak Ai  Ǿ ( k≠i ) и h( x)  k ,  ( x)  Z k , если x  Ak , причем  k  Z k .
k
Тогда по определению интеграла от простых функций имеем
23
 h( x)dm =  mA   Z mA .
k
k
k
k
A
k
k
Так как последний ряд сходится абсолютно, то ряд
  mA , который им мажорируется,
k
k
k
также сходится абсолютно. Для простых функций утверждение теоремы доказано. Отсюда по
определению интеграла Лебега предельным переходом получается утверждение теоремы для
произвольных функций. Теорема доказана.
Следствие 4. 7. Если функция f1 è f 2 интегрируемы на множестве A , а для измеримой на
A функции f выполняется неравенство f1 ( x)  f ( x)  f 2 ( x) x  Ak , то функция f интегрируема
на множестве A .
Доказательство. Справедливость утверждения следует из теоремы 6. 7 на основании
неравенства f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) .
ТЕОРЕМА 8. 7. (Полная аддитивность интеграла Лебега)
Если функция f является интегрируемой по Лебегу на множестве A и множество A
является объединением
An конечного или счетного множества попарно не пересекающихся
n
измеримых по Лебегу множеств An , то функция f является интегрируемой по Лебегу на каждом
множестве An и
 f ( x)dm    f ( x)dm , причем ряд ,
стоящий в правой части, сходится
n An
A
абсолютно.
Доказательство. Проверим сначала это свойство для простой функции h: A→R,
принимающий значения k на множествах Bk (k=1,2,…).
Обозначим через Bnk следующие множества x  An | f ( x)  k  .
Тогда, по определению интеграла от простой функции на основании теоремы о
перестановке членов абсолютно сходящегося ряда, имеем
 h( x)dm  k mBk  k  mBnk  k mBnk    h( x)dm .
A
k
k
n
n
n An
k
Утверждение теоремы для простых функций доказано.
Пусть теперь f - произвольная интегрируемая по Лебегу функция на множестве A. Тогда ,
по определения интегрируемости функции f , для произвольно взятого ε >0 существует простая
интегрируемая на A функция h, удовлетворяющая условию | f ( x)  h( x) |  x  A .
(1)
По доказанному выше для функции h выполняется равенство  h( x)dm 
A
  h( x)dm
,
n An
(2)
причем h интегрируема на каждом множестве An и ряд (2) сходится абсолютно.
Отсюда, и из оценки (1), вытекает, что функция f также интегрируема по Лебегу на каждом
множестве An ,и
  f ( x)dm   h( x)dm    mA
n
n
An
  mA ,
n
An
 f ( x)dm   h( x)dm   mA .
A
Отсюда на основании равенства (2)получаем , что ряд
A
  f ( x)dm
сходится абсолютно и
n An
выполняется неравенство
  f ( x)dm   f ( x)dm  2 mA
n An
ε, следует, что
, из которого, в силу произвольности
A
  f ( x)dm   f ( x)dm .
n An
A
Теорема доказана.
Следствие 5. 7. Если функция f интегрируема по Лебегу на множестве A, то она
интегрируема по Лебегу на любом измеримом по Лебегу подмножестве B  A .
Следствие 6. 7. Если почти всюду на множестве A f(x)=0, то  f ( x)dm  0 .
A
24
Доказательство. Пусть X  x  A | f ( x)  0 . Тогда mX=0 и f(x)=0 x  A / X .
Поэтому имеем
 f ( x)dm   f ( x)dm  
A
X
0  dx  0  0  0 .
A/ X
Следствие 7.7. Пусть функции f и g эквивалентны на множестве А, и функция f
интегрируема на множестве А. Тогда функция g также интегрируема по Лебегу на множестве А
и выполняется равенство  g ( x)dm   f ( x)dm .
A
A
Доказательство. Интегрируемость функции g вытекает из определения интеграла
Лебега. Докажем равенство интегралов. Пусть X={x  A|f(x)  g(x)}
Тогда mX=0, g(x)=f(x)  x  A\X .
 g ( x)dm   g ( x)dm   g ( x)dm   f ( x)dm   f ( x)dm   f ( x)dm .
A
X
A X
X
A X
A
Следствие доказано.
Замечание. Утверждение из последнего следствия позволяет усилить некоторые
предыдущие свойства. В условиях можно предполагать выполнения неравенств почти всюду и
при этом выводы сохранятся. Так, теорема 5.7. справедлива, если неравенство f(x)  0
выполняется почти всюду.
ЛЕММА 1.7. Пусть неотрицательная функция f : A  R интегрируема на множестве A,
1
c>0 и X={x  A|f(x)  c}. Тогда выполняется неравенство Чебышева mX   f ( x)dm .
cA
Доказательство. На основании рассмотренных свойств интеграла Лебега имеем:
 f ( x)dm   f ( x)dm   f ( x)dm   f ( x)dm  c  mX .
A
X
A X
X
Отсюда, разделив неравенство на c, получаем неравенство Чебышева.
ТЕОРЕМА 9.7. Если

f ( x) dm  0 , то f(x)=0 почти всюду на A.
A
Доказательство.
Представим

1
{x  A | f ( x )  }  X n .
n
n 1
n 1
множество
X={x  A||f(x)|>0}
в
виде

Докажем, что mX=0. По неравенству Чебышева имеем
mX
n

1
| f ( x) | dm  0 .
1 X
n

Следовательно, mX   mX n  0 . Теорема доказана.
n 1
§8. Предельный переход под знаком интеграла
В курсе математического анализа для интеграла Римана устанавливается, что достаточным
условием предельного перехода под знак интеграла является равномерная сходимость
соответствующей функциональной последовательности. Нетрудно видеть достаточность этого
условия и для интеграла Лебега. Однако для интеграла Лебега существуют более общие условия
возможности предельного перехода под знаком интеграла. Рассмотрим одно из них.
25
ТЕОРЕМА 1.8. (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега) Пусть f- интегрируемая
функция на множестве А. Тогда для каждого   0 существует такое   0 , что
 f ( x)dm  
X
для всякого измеримого по Лебегу множества X  A такого, что mX   .
Доказательство. Сначала докажем утверждение теоремы для простой функции
h( x) 
, x  Ak ( Ak  A ) . По определению интеграла от простой функции имеем

k
k
 h( x)dm   m A
  mA
k  N 1
k
k
k
A
k
k


2
где ряд сходится абсолютно. Выберем номер
,
k  N 1
A
k
и c  max   max h( x) .
1 k  N

Возьмём
h( x) dm 
X B
X
так, что
.
Пусть B 
 h( x)dm  
N

2c

k
AB
.
Пусть
h( x) dm 
( AB )  X

2
mX   ,
далее
тогда
 c   .
Для простых функций утверждение доказано. Пусть теперь f – произвольная
интегрируемая по Лебегу функция на множестве А. Выберем простую функцию h так, чтобы
f ( x)  h( x)   2mA . Для простой функции h , по доказанному, можно выбрать   0 , чтобы
выполнялось

 h( x)dm  2 , если
неравенство
только
mX   .
Тогда
X
 h( x)dm   h( x)dm  
X
X
f ( x)  h( x) dm 
X

2mA
mX 

2
 .
Теорема доказана.
(f
n
ТЕОРЕМА 2.8. (Теорема Лебега) Пусть последовательность измеримых функций
) почти всюду на множестве А сходится к функции f. Если существует такая интегрируемая
f ( x)   ( x) почти всюду, то предельная функция
и  f ( x)dm  lim  f ( x )dm .
по Лебегу на множестве А функция  , что
f интегрируема по Лебегу на множестве А
n
n 
A
Доказательство. По теореме 6.7 все функции
f
n
n
A
интегрируемы на множестве А, а по
теореме 1.5 функция f измерима на А. Далее, в силу неравенства
f
–
интегрируема
по
  0
n N | n  n ,  f ( x)dm   f
A
Лебегу
n
f
функция.
n
( x)   ( x) заключаем, что
Покажем,
что
( x)dm   .
A
По свойству абсолютной непрерывности выберем   0 так, чтобы выполнялось неравенство
  ( x)dm   3 , если mX   .
X
Тогда
 f
X
n
( x) dm   3 и

f ( x) dm   3.
X
26
По теореме Егорова для   0 найдётся множество
на
такое, что m( A \
последовательность ( f ) сходится равномерно. Выберем номер
A
n
n  n
выполнялось
sup f
x
 f ( x)dm   f
A
n
A
n  n
Тогда для
 f
n
n
( x)  f ( x) 

3mA
 f
( x)dm 
( x) 
f
n
A A
\
и
так, чтобы для
n
.

3mA
 f
( x) dm 
A
( x) dm 
A )  
имеем
A

A  A
( x) dm 
A A
\
m A 


3

3
 .
Теорема доказана.
§9. Сравнение интегралов Римана и Лебега
В этом параграфе выясним связь между интегралами Римана и Лебега. Кроме этого,
выделим весь класс функций интегрируемых по Риману.
b
ТЕОРЕМА 1.9. Если существует интеграл Римана
 f ( x)dx  I ,
то функция
a
f :[a; b]  R интегрируема по Лебегу на отрезке   [ a; b] и её интеграл Лебега
 f ( x)dm
равен
A
интегралу Римана I .
n
Доказательство.
Рассмотрим
разбиение
отрезка
[a;b]
на
2
k ( a  b)
n
соответствующие этому разбиению суммы
x k  a  2n ,0  k  2 и
2n
2n
ba
ba
f ( x) , M nk  sup f ( x) .
S n   m nk 2n , S n   M nk 2n , где mnk  inf
xk 1  x  xk
xk 1  x  xk
k 1
k 1
частей
Дарбу
Построим функции
f
S
n
( x)  m nk при
n

f
A
С
( x)dm ,
n
x
S
n
ростом
k 1

f
A
f
n
( x)  M nk при
x
k 1
 x  x k . Это простые функции и
( x)dm .
n
отрезок,
n
следовательно,
 x  xk ;
inf
по
которому
увеличивается.
f ( x)
вычисляется
Поэтому
число
m
nk
последовательность
xk 1  x  xk
f
монотонно возрастает:
убывает:
lim
n 
f
f
( x) 
n
( x) 
n
f
f
( x) 
( f ( x))
n
( x) 
n
f
( x) . Аналогично последовательность ( f ( x)) монотонно
n 1
( x) . Так как
n 1
f
, уменьшается,
( x) , lim
n 
f
n
f
( x) 
n
( x) 
n
f
f
( x) и
( x) 
27
f
f
( x) .
( x) 
n
f
( x) , то существуют пределы
( x)  sup
f
В силу неравенств
n
f
f
( x) ,
предельном переходе заключаем, что функции
( x)  sup
f
n
по теореме Лебега о
( x)
f и f интегрируемы по Лебегу на отрезке
[a;b] и
f
( x)dm  lim 
f
f
( x)dm  lim 
f
n 

n 

( x)dm  lim S n  I ,
*
n

n

n 
( x)dm  lim S  I * .
n 
Отсюда по теореме 1.6 имеем
I
Следовательно, по теореме 8.7
Но
( x) 
f
( x) 
f
( x) и
f
интегрируема по Лебегу на  и
*
 I * и lim 
n 
f
( x) 
( x) 
f
n
f

f
( x) 
n
f
n
( x ) dm  

f
(x ) 
f
(x ) dm  0 .
( x) почти всюду на  .
f
( x) почти всюду на  . Значит, функция f
 f ( x)dm  I .
A
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.9. Ограниченная функция f :[a; b]  R интегрируема по Риману на отрезке
  [ a; b] тогда и только тогда, когда она почти всюду непрерывна на отрезке  , т.е. множество
точек разрыва имеет меру Лебега равную нулю.
Доказательство. Пусть функция f интегрируема по Риману на  . Как показано в
доказательстве теоремы 1.9,
f
f (x )  f (x ) .
Пусть
0
0
( x) 
0
n
( x k 1; x k )   k
,
n
( x) почти всюду.
Тогда для произвольно взятого   0 существует номер
f (x )  f (x )   .
такой, что
f
Поэтому, если
0
полученному
при
разбиении
x
0
n
принадлежит некоторому интервалу

отрезка
на
2
n
частей,
то
sup f ( x)  inf f ( x)   .
k
x
k
x
Отсюда
f (x )  f (x )  
0
для
x 
k
. Значит, функция f непрерывна в точке
x
0
.
Таким образом, доказана непрерывность функции f во всех точках, кроме тех точек, где
k ( a  b)
, т.е. всюду, кроме множества меры нуль.
f ( x)  f ( x) , и точек вида x  a 
2n
Проведя рассуждения в обратном порядке, получаем, что если функция f непрерывна
почти всюду, то
f
( x) 
f
( x) почти всюду. Тогда
limS   f ( x)dm   f ( x)dm  limS
n 
n

Значит, по теореме 1.6 функция f интегрируема по Риману на  .
Теорема доказана.
28

n 
n
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Мн.,
1984.
2. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М., 1973.
3. Колмогоров А. Н. Фолин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М., 1972.
4. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.
5. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. М., 1967.
Оглавление
Предисловие.
1
Глава 1. Мера Лебега
§1. Предварительные сведения
§2. Мера открытых и замкнутых множеств.
1.Строение открытых и замкнутых множеств.
2.Мера открытых и замкнутых множеств.
§3. Мера Лебега множества.
1. Внешняя и внутренняя меры множества.
2.Измеримые по Лебегу множества
1
1
3
3
5
9
9
10
Глава II. Измеримые функции
§4.Определение и примеры измеримых функций
§5. Действия над измеримыми функциями
13
13
16
Глава 111. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§6. Понятие интеграла Лебега
1. Интеграл Лебега от ограниченной функции
2. Общее определение интеграла Лебега
§7. Свойства интеграла Лебега
19
19
19
22
24
§8. Предельный переход под знаком интеграла
28
§9. Сравнение интегралов Римана и Лебега
30
Литература.
31
29