Функциональный анализ МИ-31

[Оставьте этот титульный лист для дисциплины, закрепленной за одной кафедрой]
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а к у л ь т е т прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Функциональный анализ
(второй семестр 2-го курса)
для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра
Автор программы: Парусникова Анастасия Владимировна, канд.физ.-мат.наук,
[email protected]
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ
Одобрена на заседании кафедры высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ
«___»____________ 20 г
Зав. кафедрой _______________________________________Л.И.Кузьмина
Утверждена УС факультета прикладной математики и кибернетики
«___»_____________20 г.
Ученый секретарь ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Функциональный анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС ВПО для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра;
 рабочим учебным планом университета по направлению 010400.62 «Прикладная
математика и информатика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012г. (2-й
курс).
2
Цели освоения дисциплины «Функциональный анализ»:


3
ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализа;
знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать элементарную теорию погрешностей; методы отыскания приближенных решений некоторых инженерных задач;
 уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы;
 приобрести опыт применения современного инструментария дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Код по Дескрипторы – основные признаФГОС/ ки освоения (показатели достиНИУ
жения результата)
Способность решать проблемы в
ОНК-1 профессиональной деятельности на
основе анализа и синтеза.
Способность учиться, приобретать
ОНК-2 новые знания, умения, в том числе в
области, отличной от профессиональной.
Способность применять профессиОНК-3 ональные знания и умения на практике.
Умение работать на компьютере,
ИК-1 используя основные классы прикладного программного обеспечения.
Способность решать задачи произПК-2 водственной и технологической деятельности на профессиональном
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционносеминарские)
Стандартные (лекционносеминарские)
Стандартные (лекционносеминарские)
Стандартные (лекционносеминарские)
Стандартные (лекционносеминарские)
Компетенция
Код по Дескрипторы – основные признаФГОС/ ки освоения (показатели достиНИУ
жения результата)
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является вариативной.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 математический анализ и дополнительный главы математического анализа;
 аналитическая геометрия и линейная алгебра;
 дифференциальные уравнения;
 комплексный анализ,
 математическая логика.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 навыками решения типовых задач этих дисциплин.
5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Элементы теории множеств
Метрические и нормированны пространства
Теория меры
Интеграл Лебега
Гильбертовы пространства
Линейные функционалы
Линейные операторы
4
36
16
16
24
20
28
Аудиторные часы
Се- ПрактиЛекмина- ческие
ции
ры
занятия
1
9
4
4
6
5
7
1
9
4
4
6
5
7
Самостоятельная
работа
2
18
8
8
12
10
14
6
Формы контроля знаний студентов
2-й курс
Тип контроля
Кафедра
Форма контроля
4-й семестр
Текущий
(неделя)
Коллоквиум
10
Параметры **
Высшей
математики МИЭМ
НИУ ВШЭ
Два теоретических вопроса по разделам 1-4.
10
Задача по 1-ой части курса.
Домашнее задание 1
Домашнее задание 2
Контрольная
Итоговый
6.1
8
Задачи по 1-ой части курса.
Исполнение в течение недели.
14
Задачи по 2-ой части курса.
Исполнение в течение недели.
17
Задание по разделам 6 и 7.
Устный экзамен.
Экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, продемонстрировать знания основных
определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских
занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется
перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
6.2
Онакопленная= 0,5* Отекущий + 0,5* Опромежуточный
где
Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля, предусмотренных в РУП:
Отекущий = 0,2*Окол.+0,2*Од.р1+0,2*Од.р.2 +0,2*Окн.р. + 0,2*Оауд..
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,6*Оэкзамен +0,4*Онакопленная .
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине.
Примечание: студент получает на экзамене дополнительный вопрос к экзаменационному билету, если он не сдал коллоквиум.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Элементы теории множеств
Эквивалентные множества, понятие мощности множества. Конечные множества,
счётные множества, континуальные множества, примеры. Мощность не более чем счётного
объединения не более чем счётных множеств. Теорема Кантора-Бернштейна. Существование
множества большей мощности.
Раздел 2. Метрические и нормированные пространства
Метрическое пространство (МП): определение, примеры. Окрестность. Открытые и замкнутые множества в МП (связь). Замыкание множества. Теорема о структуре открытых множеств вещественной прямой. Сходимость последовательности элементов МП. Полнота. Сепарабельность МП (примеры). Теорема о пополнении МП. Теорема о вложенных шарах. Теорема
о неподвижной точке сжимающего отображения. Нормированные пространства, примеры. Банаховы пространства. Эквивалентные нормы. Теорема об эквивалентности любых двух норм в
конечномерном линейном пространстве. Оператор, норма оператора. Ограниченные операторы,
свойства нормы суммы и произведения операторов. Применение теоремы о неподвижной точке
сжимающего отображения (в том числе, к интегральным уравнениям). Ограниченные множества, вполне ограниченные множества, связь между ними. Компактность в МП. Теорема Арцела. Теоремы Вейерштрасса и Кантора. Теорема о непрерывном образе компакта. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном банаховом пространстве.
Раздел 3. Теория меры
Алгебры и сигма-алгебры множеств: определение, примеры. Мера. Схема построения меры
Лебега. Примеры множеств нулевой меры Лебега (в качестве одного из примеров --- канторово
множество). Пример неизмеримого множества. Мера Стильтьеса. Измеримые функции.
Раздел 4. Интеграл Лебега
Интеграл Лебега. Его связь с интегралом Римана. Теоремы Леви, Лебега, Фату. Теорема
Фубини. Пространства суммируемых и квадратично суммируемых функций: нормы, сепарабельность, вложенность.
Раздел 5. Гильбертовы пространства
Предгильбертовы (евклидовы) пространства: определение, примеры. Неравенство КошиБуняковского. Равенство параллелограмма. Примеры линейных нормированных пространств,
нормы в которых не порождаются скалярным произведением. Ортонормированные системы.
Теорема Пифагора в гильбертовом пространстве (ГП). Теорема об ортогональном дополнении.
Разложение Фурье. Проекция. Строго нормированные пространства. Элемент наилучшего приближения (ЭНП). Решение задачи о нахождении ЭНП в ГП.
Раздел 6. Линейные функционалы
Теорема о полноте пространств непрерывных отображений в банахово пространство. Теорема о продолжении ограниченного линейного оператора. Сопряжённое пространство. Теорема
Рисса. Ограниченные линейные функционалы в пространстве C[a,b]: примеры, дельтафункционал. Два вида сходимости в сопряженном пространстве, связь между ними. Теорема
Банаха-Штейнгауза. Критерий слабой сходимости в сопряжённом пространстве. Слабая компактность единичного шара сопряжённого пространства.
Раздел 7. Линейные операторы
Примеры линейных непрерывных операторов в различных пространствах, их нормы. Обратимый и обратный операторы. Теорема Банаха об обратном операторе. Обратимость оператора, близкого к обратимому. Условие обратимости диагонального оператора. Спектр. Резольвента. Теорема о ряде Неймана. Конечномерные, компактные операторы: определение, примеры, интегральные операторы. Метод решения уравнения Фредгольма. Теорема о спектре компактного оператора. Сопряжённый оператор: определение, примеры (сопряжённые ограниченному диагональному, интегральному операторам в соответствующих пространствах). Самосопряжённый оператор; норма, спектральный радиус, теорема Гильберта-Шмидта о компактном
самосопряжённом операторе.
8
8.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего и промежуточного контролей
Коллоквиум (пример)
В ходе коллоквиума проверяется усвоение теоретического материала разделов 1-4, а
также умение решать задачи, использующие теоретический материал перечисленных
разделов. Билет коллоквиума состоит из двух теоретических вопросов и одной задачи.
Домашнее задание 1 (пример)
1. Дано некоторое множество и некоторая неотрицательная функция, заданная на декартовом
произведении множества на себя. Доказать, что множество является полным метрическим
пространством.
2. Задача на применение теоремы о неподвижной точке сжимающего отображения.
3. Задача на компактность множеств.
4. Задана мера Стильтьеса. Найти меру множества.
Домашнее задание 2 (пример)
1.
Найти норму линейного функционала.
2.
Исследовать последовательность функционалов на сходимость (слабую и по норме).
3.
Дана система функций в некотором конкретном гильбертовом пространстве. Найти линейную комбинацию элементов этой системы, наилучшим образом приближающую данный
элемент в этом ГП.
Контрольная работа
Контрольная работа проводится по разделам 6-7. В неё входят задачи на нахождение норм
функционалов и операторов, исследование компактности операторов, нахождение обратного оператора и спектра конкретного оператора. В задание контрольной входят два вопроса на знание формулировок теорем курса, входящих в разделы 6 и 7.
9
9.1
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Изд-во «Наука». - 1976 (а также более поздние издания).
[2] Кирилллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.
Изд-во «Наука». - 1988.
9.2
Дополнительная литература
[3] Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А. Задачи по функциональному анализу.- М.
Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010.
[4] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 1 «Функциональный анализ», «Мир», 1977.