ПРОГРАММА КУРСА «Дискретная математика» для студентов 1 курса специальностей «Компьютерные науки»

ПРОГРАММА КУРСА
«Дискретная математика»
для студентов 1 курса специальностей «Компьютерные науки»
и «Компьютерная безопасность»
1 семестр
I. Теория множеств
1. Понятие множества. Равенство и включение множеств. Пустое и
универсальное множества. Булевы операции, их свойства.
Упорядоченные пары и кортежи. Декартово произведение, свойства.
Булеан множества, свойства. Индексные множества. Бесконечные
объединения, пересечения и произведения.
2. Отношения между множествами. Бинарные отношения (БО) на
множестве. Матрица БО. Свойства БО: рефлексивность,
транзитивность, симметричность, антисимметричность, линейность.
Связь свойств матрицы и свойств БО.
3. Операции над БО: булевы операции, обращение, умножение,
симметричное, транзитивное и рефлексивно-транзитивное замыкания.
Связь с операциями над булевыми матрицами. Свойство транзитивного
замыкания. Критерий транзитивности.
4. Отношения эквивалентности. Разбиения множества и порождаемые
ими БО. Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях.
5. Отношения порядка. Упорядоченные множества (ЧУМ). Отношение
покрытия, диаграммы Хассе. Минимальные и максимальные,
наименьшие и наибольшие элементы ЧУМ, их свойства. Условия
индуктивности, минимальности и обрыва убывающих цепей, их
эквивалентность. Отношения линейного и полного порядка.
6. Отображения (функции) как отношения, их матрицы. Инъективность,
сюръективность, биективность, их сохранение при суперпозиции.
7. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества, критерий
бесконечности множества. Мощности числовых множеств. Сравнение
мощностей. Теорема Бернштейна-Кантора. Теорема Кантора о булеане.
Иерархия алефов, континуум-гипотеза.
8. Изоморфизм ЧУМ. Понятие об ординалах. Прямое произведение ЧУМ.
9. Парадоксы теории множеств. Система аксиом Цермело-Френкеля.
II. Комбинаторика и элементы общей алгебры
1. Количество элементов множества и число способов выбора. Правила
сложения и умножения. Построение биекций. Принцип двойного
подсчета. Принцип Дирихле.
2. Перестановки. Формулы для числа перестановок без повторений / с
повторениями. Перестановка как функция. Орбиты элементов. Циклы.
Теорема о разложении на циклы. Симметрические группы. Группа
симметрий квадрата. Изоморфизм групп. Теорема Кэли.
3. Биномиальные коэффициенты. Примеры: число подмножеств, число
инъекций, число врезок, число решений диофантова уравнения, число
путей в решетке. Свойства: симметрия, суммы и взвешенные суммы,
четные/нечетные подмножества, бином Ньютона, треугольник Паскаля.
Полиномиальные коэффициенты.
4. Наддиагональные пути в квадратной решетке. Числа Каталана, вывод
формулы. Правильные расстановки скобок, триангуляции выпуклых
многоугольников.
5. Принцип включения-исключения (ПВИ). Число сюръекций. Разбиения:
числа Стирлинга второго рода, числа Белла. Функция Эйлера. Число
перемещений.
6. Рекуррентные соотношения. Теорема Лагранжа о линейных
рекуррентных соотношениях (без д-ва). Вывод явной формулы для
чисел Фибоначчи.
7. Порядок роста функции. Сравнение функций, O-, Ω- и Θ-символика.
Примеры вычисления порядка роста: число правильных расстановок
скобок, число бинарных слов без подслова 00 и без подслов 00,111.
8. Конкатенация и ее свойства. Коммутирующие слова. Свободная
полугруппа. «Вложение» N* в {0,1}*. Гомоморфизм. Гомоморфный
образ. Теорема о гомоморфных образах свободной полугруппы.
9. Построение свободной группы: эквивалентность слов, операция на
классах слов, редуцированные слова, единственность редуцированного
слова в классе.
10.Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные
подгруппы.
Примечание. Вопросы по общей алгебре (2, 8-10 из второго раздела) входят
и в программу летнего экзамена.