Лекция 8. Формула Стокса Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля: Определение. Назовем ротором i j k R Q P R Q P величину: rotF ; ; x y z y z z x x y P Q R (Существует и другое обозначение ротора: rotF F F F . По существу, ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор F в данной точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля. S Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий. Формула Стокса имеет вид: n Γ+ F dr rot F ds S Связь ориентации нормали n с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали n . Другой способ: если смотреть из конца вектора n , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде: Pdx Qdy Rdz rotF n ds S Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода. Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочногладкий. Представим поле в виде суммы: F F1 F2 F3 ; F1 P;0;0 ; F2 0; Q;0 ; F3 0;0; R . Доказательство проведем для каждого из полей F1 , F2 и F3 по отдельности. P P Ротор поля F1 : rotF1 0; ; . Будем считать, что поверхность S задается системой z y x xu, v , уравнений: S : y y u, v , Обход контура ∂D+ z z u, v . осуществляется против часовой стрелки – область D остается слева от контура. P z y u y v 0 Правая часть формулы: rot F S 1ds D xu xv F Левая часть - 1 dr P y z u dudv z v Pdx , в пространстве переменных u,v будет иметь вид: x x x x P du du P du P dv . u D u v u D Pdx x x x Отсюда по формуле Грина x P u du P v dv u P v v P u dudv D D P x x P x 2x P x P x dudv P P dudv u v u v v u u v u v v u D D Вычислим производные по u и v. P x P y P z x P x P y P z x P x P x dudv D u v v u D x u y u z u v x v y v z v u du 2 0 P x z x z P x y x y z v u u v y u v u v dudv x u D D xv P z y u y v P y z u dudv z v Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей F2 и F3 . Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты n 0,0,1 Q P rotF n x y Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве. При каких условиях справедливо Fdr Fdr ? 1 2 Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия: 1. Fdr Fdr 1 2. 2 Fdr 0 rotF 0 (отличие случая пространства от плоскости) Существует такая функция u ( x, y, z ) , что du Pdx Qdy Rdz . Функцию u ( x, y, z ) называют потенциалом данного поля. F gradu u 3. 4. В этом случае Fdr uB u A - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона- AB Лейбница). Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл F dr не AB зависит от траектории. Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости). xdy ydx Вычислить (интеграл берется по окружности). Попробуем применить 2 2 x y 2 2 x y 1 формулу Грина: P y x ;Q 2 ; R 0 . Вычислим произведение ротора поля 2 x y x y2 2 Q P x 2 y 2 2 x 2 x 2 y 2 2 y 2 F на вектор нормали: 0 . Следует ли отсюда, x y x2 y2 x2 y2 что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию: 2 2 x cos t , xdy ydx (cos td sin t sin td cos t ) (cos 2 t sin 2 t )dt 2 0 2 2 2 2 y sin t x y cos t sin t 0 0 x 2 y 2 1 Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть Q P непрерывны. Но P, Q C (0,0) и , C (0,0) . Чтобы интегрировать, нужно удалить из x y рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).