Задача № 24. Частица массы m находится в основном состоянии

Задача № 24.
Частица массы m находится в основном состоянии в двумерной
квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти
энергию частицы, если максимальное значение плотности вероятности
местонахождения частицы равно Р max.
Решение:
Рисунок 1
Потенциальная энергия имеет вид:
0, M  
U ( x)  
 , M  
0  x  a

0  y  a
M ( x, y )
Составим уравнение Шредингера для области  :
 2  2 2m

 2 E  0
x 2 y 2
(1)
Запишем уравнение (1) в виде:
 2  2
 2  k 2  0
2
x
y
где k 2 
2m
2
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
 ( x, y)  A sin(k1 x  1 )sin(k2 y   2 )
(2)
На волновые функции, решения дифференциального уравнения (1), накладываются
стандартные условия: непрерывность, гладкость, однозначность и конечность. Используя
условие непрерывности волновой функции вида (2) на краях потенциальной ямы,
получим:
 (0,0)  A sin 1 sin  2  0  1  0,  2  0
(3)
 (a, a)  A sin(k1a)sin(k2a)  0
(4)
Из выражения (4), получим:
k1a   n1 , n1  1, 2,3,...
(5)
k2 a   n2 , n2  1, 2,3,...
В этом случае уравнение (2) примет вид:

 

n1 x  sin  n2 y 
a
 a

 ( x, y )  A sin 
(6)
Продифференцируем выражение (6) в виде  ( x, y)  A sin(k1 x)sin(k2 y) дважды по x и по
y , и подставим в уравнение Шредингера (1):
 2
  k12 A sin(k1 x) sin( k 2 y )  k12
2
x
 2
  k22 A sin(k1 x) sin( k2 y )  k22
2
y
 k12  k22  k 2  0
Учитывая, что k 2 
k 
2
2m
2
2m
E k k 
2
1
2
2
2
E , получим:
2
a
2
n 
2
1
2
a
2
n 
2
2
2
a
2
(n12  n22 )
(7)
Отсюда получим, что энергия частицы в потенциальной яме величина дискретная.
Энергетический спектр частицы:
En1 ,n2 
2
2
2ma
2
n
2
1
 n22 
(8)