Задача № 4. Частица находится в двумерной прямоугольной

Задача № 4.
Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками.
Координаты х, у частицы лежат в
пределах 0<х<а, 0<у<b, где а и b - cтороны ямы. Найти вероятность
нахождения частицы с наименьшей энергией в области а/3<x<а/2.
Решение:
Потенциальная яма, в которой находится частица, имеет следующий вид (рисунок 1):
Рисунок 1 (Вид потенциальной ямы)
Потенциальная энергия частицы:
0  x  a

, M  
, где
U ( x, y )  
0  y  b
0, M  
M ( x, y )
Составим уравнение Шредингера для области  :
 2  2 2m

 2 E  0
x 2 y 2
(1)
Запишем его в следующем виде:
 2  2
 2  k 2  0
2
x
y
где k 2 
2m
2
(2)
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
 ( x, y)  A sin(k1 x  1 )sin(k2 y   2 )
(3)
На волновую функцию вида (3), которая является решением дифференциального
уравнения (2), накладываются естественные условия. Учитывая, что за границами области
 частица не может быть обнаружена, так как её энергия вне области  равняется
бесконечности, получим, что плотность вероятности нахождения частицы вне области 
равняется нулю. Кроме того, так как физический смысл волновой функции состоит в том,
что квадрат её модуля есть плотность вероятности местонахождения частицы, тогда,
следовательно, и волновая функция вне области  равняется нулю. Воспользовавшись
условием непрерывности волновой функции, имеем, что на границе области  она также
равняется нулю. Таким образом, получим:
 (0, y )  0  sin 1  0  1  0
 ( x, 0)  0  sin  2  0   2  0
(4)
Отсюда следует, что волновая функция имеет вид:
 ( x, y)  A sin(k1 x)sin(k2 y)
(5)
Кроме того, другие два условия непрерывности волновой функции на границе области  :
 (a, y)  0  sin k1a  0  k1a   n1 , ãäån1  1, 2,3,...
 ( x, b)  0  sin k2b  0  k2b   n2 , ãäån2  1, 2,3,...
(6)
Чисто формально, условиям (6) удовлетворяют и значения k1 и k2 при n1  0 или n2  0 .
С физической же точки зрения это означает, что волновая функция в этом случае во всех
точках равняется нулю, что эквивалентно факту отсутствия частицы в потенциальной яме.
Мы этот случай рассматривать не будем. Продифференцируем выражение (5) дважды по x
и по y и подставим в уравнение Шредингера (2):

 k1 A cos(k1 x) sin(k2 y )
x
 2
  k12 A sin(k1 x) sin( k 2 y )  k12
x 2

 k2 A sin(k1 x) cos(k 2 y )
y
(7)
 2
  k22 A sin(k1 x) sin( k2 y )  k22
y 2
Подставим вторые производные в уравнение Шредингера (2) и получим:
k12  k22  k 2  0  k 2  k12  k22
Учитывая, что k 2 
2m
2
(8)
E , и используя выражение (8) получим энергетический спектр
частицы в заданной потенциальной яме:
k2 
2m
2
 n2 n2 
E  k12  k22   2  12  22 
a b 
Отсюда следует, что энергия частицы равняется:
(9)
En1 ,n2 
2
 n12 n22 
  
2m  a 2 b 2 
2
(10)
Таким образом, энергия частицы зависит от двух квантовых чисел n1  1, 2,3,... и
n2  1, 2,3,... , следовательно, энергетический спектр частицы является дискретным.
Волновая функция частицы имеет вид:

 

n1 x  sin  n2 y 
a
 b

 ( x, y )  A sin 
(11)
Постоянную A определим из условия нормировки. То есть, физический смысл волновой
функции состоит в том, что квадрат её модуля является плотностью вероятности
местонахождения частицы. Как мы выяснили, в области  частица находится достоверно,
то есть вероятность её нахождения в данной области равняется единице, таким образом,
интеграл от плотности вероятности местонахождения частицы по всей области  должен
равняться единице. Плотность вероятности нахождения частицы:




n1 x  sin 2  n2 y 
a

b

 ( x, y )    A2 sin 2 
2
(12)
Таким образом, по условию нормировки получим:
a b
4
2
 2 

2
2 
2 1

dxdy

1

A
0 0
0 0 sin  a n1x  sin  b n2 y  dxdy  1  A  4 ab  1  A  ab
a b
(13)
Таким образом, волновые функции собственных состояний частицы в заданной
потенциальной яме имеют вид:
 n , n ( x, y ) 
1
2
4

 

sin  n1 x  sin  n2 y 
ab
a
 b

(14)
Учитывая, что энергетический спектр частицы определяет выражение (10), имеем, что
наименьшую энергию частица имеет в собственном состоянии при значениях квантовых
чисел n1  1 и n2  1 . В этом состоянии волновая функция частицы имеет вид:
 1,1 ( x, y ) 
4
   
sin  x  sin  y 
ab
a  b 
Волновая функция (15) графически представлена на рисунке 2:
(15)
Рисунок 2 (Волновая функция  1,1 ( x, y ) )
Так как физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат её модуля есть
плотность вероятности местонахождения частицы, то плотность вероятности в состоянии,
описываемом волновой функцией (15), равняется:
1,1 ( x, y ) 
4

sin 2 
ab
a


x  sin 2 

b

y

(16)
Графически функция плотности вероятности представлена на рисунке 3:
Рисунок 3 (Плотность вероятности
1,1 ( x, y ) )
a
a
 x  . Для этого проинтегрируем
3
2
выражение (16) по x в указанных пределах, а по y – в пределах потенциальной ямы:
Найдём вероятность нахождения частицы в области
a
2 b
a
3
3
4 2

P    1,1 ( x, y )dxdy 
sin 2 


ab a 0
a
a 0
b


x  sin 2 

b
2  3 3

y  dxdy 
 0.304  30.4%
12

Ответ: вероятность нахождения частицы в области
a
a
 x  равняется 30.4 %.
3
2