Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Уравнение Шредингера для
стационарных состояний

Если силовое поле не меняется с
течением времени (поле
стационарно)
U  U ( x, y, z ) E  const

Решение уравнения Шредингера
можно переписать
( x, y, z, t )   ( x, y, z )e
 it
2

it
it

  e  U  e 
2m
it 
i  (i )e
  E
t
2


  U  E   0
2m
Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Решение уравнения Шредингера
имеет смысл только при
определенном наборе значений
энергии E – собственные значения,
соответствующие решения –
собственные функции
Движение свободной
частицы
U ( x, y , z )  0
2


  U  E   0
2m
2

  E  0
2m

Рассмотрим одномерный случай
  Ae
ikx
d
d
ikx
  2  Ae ik 
dx
dx
2
 Ae (ik )
ikx
2
 k 
2
2

k
  E  0
2m
2 2
2 Px
k 
k

E


2m
2
Px – может принимать любые значения
2
P
E
2m
– может принимать любые значения,
энергетический спектр непрерывный

Найдем плотность вероятности
обнаружения частицы в некоторой
точке пространства
( x, t )   ( x)e
 i (t  kx )
 Ae
 it
ikx  it
 Ae e
i (t  kx )
 * ( x, t )  Ae
 i (t  kx )
i (t  kx )
2
*  Ae
Ae
A
вероятность обнаружения свободной частицы
не зависит от ее положения в пространстве
и везде одинакова
Частица в одномерной
прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими
стенками
U
U  , x  0, x  
U  0,
0
ℓ
0 x
x
2


  U  E   0
2m
U  0, 0  x  
 ( x  0)   ( x  )  0,
Так как частица не проникает за границы ямы
 d
 2  E  0
2m dx
2
2
d
2

k


0
2
dx
2
x0
2mE
k  2

2
 (0)  A sin 0  B cos 0
 0 B  0
B0
 ( x)  A sin kx
 ()  A sin k  0
x
sin k  0 k  n k  n

2mE
2
2 2
k  2
2mE  n


2
2


2
2 2
  n
En 
, n  1,2,3...
2
2m
-собственные значения энергии
-энергетические уровни имеют дискретные
значения – квантуются
n – главное квантовое число


 ( x)  A sin
n

x
- постоянная А ищется из условия
нормировки


2

(
x
)
dx

1

0

A
sin
(

2
2
n
x)dx  1

0

2
2 n
A  sin ( x)dx 

0

2n
2 1
A  (1  cos
x)dx 
2

0
1
1 
2n
2n
A (  
 (sin
  sin
 0)) 
2
2 2n


2
2 1
A
A   1

2
2
2
n
 n ( x) 
sin
x


n=3
n=2
n=1
0
 n (x)
ℓ
0
| n ( x) |
2
ℓ

Найдем расстояние между соседними
энергетическими уровнями
En  En 1  En
  (n  1)
  n


2
2
2m
2m
2
2
 

(
2
n

1
)
2
2m
2
2
2
2
2
2
En 1

En
n
-чем выше уровень энергии,
тем ближе они находятся друг к другу
Пример. Свободный
электрон в металле

Размер потенциальной ямы – размер
образца - ℓ =10-2 м
 
E n 
(
2
n

1
)
2
2m
2
34
2
(1,05 10 )  (3,14)

( 2n  1)
31
4
2  9,1 10 10
 10
33
n
2
Дж
2
Спектр можно считать
непрерывным
Пример. Электрон в атоме

размер атома - ℓ =10-10 м
 
E n 
(
2
n

1
)
2
2m
2
34
2
(1,05 10 )  (3,14)

( 2n  1)
31
 20
2  9,1 10 10
 10
17
n
2
2
Дж  100n эВ
Спектр дискретный
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
БПАРЬЕР
U
U  0, x  0, x  
U  U0 ,
0
ℓ
0 x
x
U
0
x
ℓ
Туннельный
эффект




В классическом случае, когда энергия
частицы меньше высоты потенциального
барьера она отразится от него
В квантовой механике – может проникнуть
через барьер – ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
В классическом случае, когда энергия
частицы больше высоты потенциального
барьера она беспрепятственно пролетит
над ним
В квантовой механике – может отразиться
от барьера – есть такая вероятность
КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР

Система, у которой потенциальная
энергия имеет вид
m0 x
U ( x) 
2
2
0
2
- Собственная частота осциллятора

Уравнение Шредингера

m0 x 
 d




E



0
2


2m dx
2


1
E  ( n  )  0
2
2
2
2
2
U(x)
5
E 2   0
2
3
E1  0
2
1
E 0   0
2
x



Существует минимально возможная
энергия – энергия нулевых колебаний
Частица никогда не может
находиться на дне потенциальной
ямы
Расстояние между соседними
уровнями одинаковое