Типовые задачи к экзамену по математическому анализу БкЭЗ

Типовые задачи к экзамену по математическому анализу
БкЭЗ-100 (2 семестр)
I. Вычисление пределов
1. Найти предел: limπ
x→ 2
3x + 2π
.
cos x
3x2 + x − 1
.
x→∞ 5x2 − 3x + 8
2. Найти предел: lim
x2 − 5x − 14
.
x→−2 2x2 + x − 6
3. Найти предел: lim
sin(4x)
.
x→0 2x cos 3x
3x · cos 5x
.
5. Найти предел: lim
x→0
sin 3x
5+x 3
6. Найти предел: lim (
)x .
x→0 5 − x
4. Найти предел: lim
7. Найти предел: lim (
x→∞
x + 2 5x
) .
x+3
II. Вычисление производных
1. Найти производную функции: f (x) = √
x
.
1 − x2
2. Вычислить производную функции y = ln(sin 6x) в точке x =
π
.
12
3. Вычислить производную функции y = (x2 − x + 5) sin 2x в точке x = π.
III. Неопределенные интегралы
Z
sin(5x − 1)dx.
1. Найти неопределенный интеграл:
Z
dx
√
.
1+x
Z
(x − 2)dx
.
x2 − 4x + 3
Z
dx
√
√ .
x(1 + x)
Z
sin 2x
√
dx.
cos2 x + 1
2. Найти неопределенный интеграл:
3. Найти неопределенный интеграл:
4. Найти неопределенный интеграл:
5. Найти неопределенный интеграл:
1
IV. Определенные интегралы
Z1
1. Найти определенный интеграл:
(x3 − 2x + 3)dx.
0
π
Z4
sin 2xdx.
2. Найти определенный интеграл:
0
Z2
3. Найти определенный интеграл:
√
xdx
.
1 + 3x2
0
Z1
4. Найти определенный интеграл:
(x2 − 1)dx.
−1
5. Удельная производительность предприятия в течение первого года работы в каждый
момент t составляла 12t − 4t3 (тыс. усл. ед. /год). Найти объем произведенной продукции за
первый год.
V. Исследование функций
x2 + 3x
1. Задана функция y(x) =
. Найти интервалы монотонности и экстремумы.
x−1
2. Найти наибольшее значение функции y(x) =
x 2
+ на отрезке [1; 6].
8 x
3. Найти наибольшее значение y = x3 − 6x2 + 9x + 1 на отрезке [−1; 2].
x3
.
4. Исследовать на монотонность и экстремумы: y(x) =
1 + x2
x
5. Исследовать на монотонность и экстремумы: y(x) = 2
.
x −1
6. Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1.
7. Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z = x3 + y 3 − 3xy.
VI. Приложения интеграла
1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x(x − 1) и осью абсцисс.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 − 1 и осью абсцисс.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x − 5)(1 − x), y = 4, x = 1.
√
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x, y = 2 − x, y = 0.
2
VII. Приложения производной
1. Найти касательную к графику функции y = ln(x3 ) такую, которая проходит через начало
координат.
2. Составить уравнение касательной к кривой y = x2 − 2x в точках пересечения её с прямой
3x + y − 2 = 0.
3. Составить уравнение касательной к кривой y = ln(x − 1) в точке x = 2.
√
4. К графику функции f (x) = −4 x + 7 найти касательную, параллельную прямой y = 1−x.
VIII. Сходимость числовых и степенных рядов
1. Исследовать на сходимость числовой ряд:
∞
X
n · 5n
n!
n=1
2. Исследовать на сходимость числовые ряды:
∞
X
n=1
3. Исследовать на сходимость степенной ряд:
∞
X
∞
X
(−1)n
√
√
и
.
n2 + 1 n=1 n2 + 1
1
(−1)n+1
n=1
4. Исследовать на сходимость степенной ряд:
∞
X
xn
n=0
3
.
n!
.
(2x)n
.
n