Функции нескольких переменных. Производные и

Лекция 20
Функции нескольких переменных. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных
П.1. Понятие о функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным
описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для
функций произвольного числа переменных.
Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из
некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько
значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
(20.1)
Определение. Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция
называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар (х,
у), при которых функция z существует.
Определение. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность
всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию
x  x0 2   y  y0 2
r.
Определение. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки
М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой
точки М(х, у), для которых верно условие
MM 0  r
также верно и условие f ( x, y)  A   .
f ( x, y )  A
Записывают: xlim
x
0
y  y0
Определение. Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции
f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если
lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 )
x  x0
y  y0
(20.2)
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (20.2) не выполняется, то эта точка называется
точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2) Не существует предел lim f ( x, y ) .
x  x0
y  y0
3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
1
П.2.Свойства функций нескольких переменных, непрерывных в замкнутой и ограниченной
области D.
Свойство 1. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …)  f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …)  f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее
значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает, по крайней
мере, один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство 2. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции
в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = .
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные
значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M
и m разных знаков, то в области D функция, по крайней мере, один раз обращается в ноль.
Свойство 3. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D,
ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно
неравенство f ( x, y,...)  K .
Свойство 4. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого
положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2)
области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство
f ( x1 , y1 )  f ( x2 , y2 )  
Приведенные выше свойства
непрерывных на отрезке.
аналогичны свойствам функций одной переменной,
2
П.3. Понятие частной производной для z = f(x, y)
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем
произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x +
x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
 x z f ( x  x, y)  f ( x, y)

x
x
(20.3)
xz
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
x 0 x
Обозначение:
Тогда lim
z
; z x ;
x
f ( x, y )
;
x
f x ( x, y ).
Аналогично определяется частная производная функции по у.
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim

y

0
y
y
(20.4)
z
) является тангенс
x
угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у
= у0.
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
П.4.Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f ( x, y  y )  f ( x, y  y )   f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y ) 
  f ( x, y  y )  f ( x, y )
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
f ( x, y  y)  f ( x, y )  y
f ( x, y )
y
f ( x , y  y )
x
x  ( x, x  x)
f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )  x
здесь y  ( y, y  y );
3
Тогда получаем
f ( x , y  y )
f ( x, y )
z  x
 y
x
y
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
f ( x , y  y ) f ( x, y )
lim

x 0

x
x
y 0
lim
x  0
y  0
f ( x, y ) f ( x, y )

y
y
f ( x, y )
f ( x, y)
x 
y  1 x   2 y называется
x
y
полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые
функции при х  0 и у  0 соответственно.
Определение. Выражение z 
Определение. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная
линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
(20.5.)
Для функции произвольного числа переменных:
df ( x, y, z,..., t ) 
f
f
f
dx  dy  ...  dt
x
y
t
(20.6.)
2
Пример 20.1. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
du 
u
u
u
dx 
dy 
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
 y 2 zx y z 1 ;
 x y z ln x  2 yz;
 x y z ln x  y 2 ;
x
y
z
2
2
2
du  y 2 zx y z 1dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz
Пример 20.2. Найти полный дифференциал функции z 
y
.
x  y2
2
z
 2 yx
 2
x ( x  y 2 ) 2
z y ( x 2  y 2 )  y (2 y ) x 2  y 2  2 y 2
x2  y2



y
(x 2  y 2 )2
(x2  y 2 )2
(x 2  y 2 )2
dz  
2 xy
x2  y2
dx

dy
(x2  y 2 )
(x2  y 2 )2
4
П.5.Геометрический смысл полного дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рисунок 20.1. Касательна плоскость к поверхности
Пусть N и N0 – точки данной поверхности (рис. 20.1). Проведем прямую NN0. Плоскость,
которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол
между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние
NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая
через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой-либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость,
либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция,
дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и
имеет уравнение (20.7):
z  f ( x0 , y 0 )  f x ( x0 , y 0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
(20.7.)
Уравнение нормали к поверхности в этой точке (20.8)
x  x0
y  y0
z  z0


f x ( x0 y 0 ) f y ( x0 , y 0 )
1
(20.8)
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x,
y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к
поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух
переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала
функции одной переменной.
5
Пример 20.3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z  x  2 xy  y 2  x  2 y
в точке М(1, 1, 1).
2
z
z
 2 x  2 y  1;
 2 x  2 y  2
x
y
z
z
 1;
 2;
x M
y M
Уравнение касательной плоскости:
z  1  ( x  1)  2( y  1);
x  2 y  z  0;
Уравнение нормали:
x 1 y 1 z 1


;
1
2
1
П.6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение
этой функции:
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  z
Если подставить в эту формулу выражение
f
f
z  dz 
x  y
x
y
то получим приближенную формулу (20.9):
f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) 
Пример 20.4.
f ( x, y )
f ( x, y )
x 
y
x
y
Вычислить приближенно значение
(20.9)
1,041,99  ln 1,02 , исходя из
значения функции u  x y  ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,
z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = 12  ln 1  1
Находим частные производные:
u
y  x y 1
2 1


1
y
x 2 x  ln z 2 1
u
x y ln x

0
y 2 x y  ln z
6
1
u
1
z


z 2 x y  ln z 2
Полный дифференциал функции u равен:
du  0,04 
u
u
u
1
 0,01 
 0,02 
 1  0,04  0  0,01   0,02  0,04  0,01  0,05
x
y
z
2
1,041,99  ln 1,02  u (1,2,1)  du  1  0,05  1,05
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
7