Алгебра.

Алгебра.
Все числа в этом листке целые, если не оговорено иное.
Разделить число a на число b ̸= 0 с остатком означает найти такие целые q(неполное частное) и r (остаток ), что a = bq + r и 0 6 r < |b|.
1. Разделите с остатком а) −25 на 6 б) −10 на −3.
2. Докажите, что частное и остаток если существуют, то определены однозначно:
если a = q1 b + r1 = q2 b + r2 и 0 6 r1 , r2 < |b|, то q1 = q2 , r1 = r2 .
Определение 1. Наибольшим общим делителем чисел a, b, одновременно не равных нулю, называется наибольшее натуральное число, делящее как a, так и b. Обозначение: НОД(a, b). Числа
a и b называются взаимно простыми, если НОД(a, b) = 1. Другими словами, числа взаимно
просты, если у них нет общих делителей, кроме ±1.
Определение 2. Наименьшим общим кратным чисел a, b, одновременно не равных нулю, называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b. Обозначение: НОК(a, b).
3. Найти НОД и НОК (в зависимости от n) а) n и 0; б) n и n + 1.
Докажите следующие утверждения:
4. Еcли НОД(a, b) = d, то ad и db взаимно просты.
5. НОД(a + kb, b) =НОД(a, b) для любого k.
6. Если r — остаток от деления a на b, то НОД(a, b) =НОД(b, r).
7. (Алгоритм Евклида.) Алгоритм Евклида (АЕ) состоит из последовательности шагов. На
каждом шаге по паре (a, b) целых чисел строится пара (b, r), где r — остаток от деления a на b.
Если r = 0, то алгоритм останавливается, иначе он применяется к паре (b, r).
Докажите, что
а) для любой пары (a, b) АЕ когда-нибудь остановится.
б) если (d, 0) — пара, полученная на последнем шаге, то d = НОД(a, b).
8. Вычислите НОД(187, 221), НОД(6188, 4709), НОД(−314, 159).
9. Для пары чисел a, b найти при помощи АЕ такие m, n ∈ Z, что am+bn = d, где d = НОД(a, b).
Докажите следующие утверждения:
10. Число НОД(a, b) делится на любой общий делитель чисел a и b.
11. Любое общее кратное чисел a и b делится на их наименьшее общее кратное (обозначаемое
НОК(a, b)).
12. Для положительных чисел a, b верна следующая формула:
НОК(a, b)·НОД(a, b) = ab.
13. (Соизмеримость и несоизмеримость). Два отрезка прямой называются соизмеримыми, если
существует третий отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Докажите,
что отрезки a и b (a, b ∈ R) соизмеримы титтк (тогда и только тогда, когда) а) ab рационально;
б) АЕ для пары (a, b) остановится (как он работает?).
14. От прямоугольника со сторонами a и b (a > b) отрезают квадрат со стороной b. С оставшимся прямоугольником операция повторяется, и т.д.
а) На какие квадраты будет разрезан прямоугольник 141 × 324?
б) Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами можно разрезать на
квадраты. Найдите площадь наименьшего из них.
15. Какие прямоугольники можно таким образом разрезать на квадраты?
Линейные диофантовы уравнения.
Линейное диофантово уравнение — уравнение вида ax + by = c с целыми коэффициентами
a, b, c.
Докажите, что
Алгебра.
Страница 2
16. Данное уравнение разрешимо в целых числах x, y тогда и только тогда, когда c кратно
d = НОД (a, b).
17. а) Если (x0 , y0 ) — одно из решений данного уравнения, то (x0 + tbd , y0 − tad ) является решением для любого t ∈ Z; б) других решений нет.
18. Решите в целых числах уравнение а) 2007x+555y = 1; б) 5x+9y = 6; в) 7581x−1761y = 15.
Основная теорема арифметики.
Число p > 1 называется простым, если у него нет делителей, отличных от ±1, ±p.
19. (Евклид). Простых чисел бесконечно много.
20. Докажите, что: а) если c|ab и НОД(b, c) = 1, то c|a; б) если p|ab, p — простое, то p|a или
p|b; в) если b|a,c|a, и НОД(b, c) = 1, то bc|a.
21. (ОТА). а) Любое целое число, отличное от 0 и ±1 разлагается в произведение простых.
б) Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и умножения их на ±1.
22. Верна ли следующая теорема: число нечётных делителей числа есть делитель числа чётных делителей этого числа, причём частное равно число чётных делителей числа, не имеющих
нечётных делителей, больших 1?
Докажите следующие утверждения:
23. Простых чисел вида а) 4n + 3; б)* 4n + 1 бесконечно много.
24. Число 21 + 31 + · · · + n1 — не является целым.
25. Найдите формулы для НОК и НОД через разложение на простые.
Цепные дроби.
Выражение вида (∗), где n1 > 0, n2 , . . . , nk > 0 называется цепной дробью. Она обозначается
[n1 ; n2 ; . . . ; nk ].
1
(∗) n1 +
n2 +
1
n3 + .
..
+
1
nk−1 +
1
nk
26. Пусть q1 , . . . , qk — частные, получающиеся при применении АЕ к паре (a, b). Докажите, что
[q1 ; q2 ; . . . ; qk ] = ab .
27. Отбросим в [q1 ; . . . ; qk ] последнее слагаемое q1k и запишем полученное число как несократимую дробь xy . Тогда ax − by = ± НОД (a, b).
28. Разложить в цепную дробь 190
, 89 .
33 55
√
29. Разложить в цепную дробь число 2.
Остатки.
30. Отметить на числовой оси целые числа, которые при делении на 7 дают остаток 2. (На
рисунке должны поместиться числа от −20 до 20.)
31. Книги на столе пытались связывать в пачки по 2, по 3, по 4 и по 5 книг, и каждый раз
оставалась одна лишняя. Сколько книг было на столе? (Известно, что их было не больше 100.)
32. Найти число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 остаток 2, при
делении на 4 остаток 3, при делении на 5 остаток 4, при делении на 6 остаток 5 и при делении
на 7 даёт остаток 6.
Алгебра.
Страница 3
33. а) Квадрат целого положительного числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Что это за цифра? (Указать все возможности.) б)* Квадрат целого положительного числа
оканчивается на те же две цифры, что и само число. Что это за цифры? (Указать все возможности.) в)* Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Почему?
Для каких ещё степеней это верно?
34. Доказать, что для любого целого a число 10a даёт при делении на 9 тот же остаток, что и
само a.
35. Число a даёт остаток 5 при делении на 9, число b даёт остаток 7 при делении на 9. Можно
ли по этим данным определить, какой остаток дают числа a + b и ab при делении на 9?
36. Доказать, что число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 и 9.
37. Сформулировать и доказать признаки делимости на а) 2, б) 3, в) 4, г) 5, д) 9, е)* 11.
38. Верен ли такой признак делимости на 27: число делится на 27 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 27?
39. Целое положительное число увеличили на 1. Могла ли сумма его цифр а) возрасти на 8?
б) Уменьшиться на 8? в) Уменьшиться на 10?
40. Какие остатки может давать точный квадрат при делении на 4?
41. Последняя цифра точного квадрата равна 6. Доказать, что его предпоследняя цифра нечётна.
42. Остаток от деления простого числа на 30 — простое число или 1. Почему?
43. Какое наибольшее число различных целых чисел можно выбрать, если требуется, чтобы
сумма и разность любых двух из них не делились на 15?
44. Существуют ли целые x, y, для которых а) x2 +y 2 = 99? б) x2 +y 2 = 33333? в)* x2 +y 2 = 5600?
45*. Докажите, что из любых n целых чисел всегда можно выбрать несколько, сумма которых
делится на n (или одно число, делящееся на n).
Сравнения
Говорят, что числа a и b сравнимы по модулю m, если их разность делится на m. (Числа предполагаются целыми; мы считаем, что модуль m положителен.) Обозначение: a ≡ b (mod m).
46. Доказать, что a ≡ b (mod m) в том и только том случае, когда a и b дают одинаковые
остатки при делении на m.
47. Доказать, что сравнения по одному модулю можно складывать и перемножать: если a ≡ b
(mod m) и c ≡ d (mod m), то а) a + c ≡ b + d (mod m); б) ac ≡ bd (mod m).
48. Доказать, что если a≡b (mod m), то an ≡bn (mod m) при n = 1, 2, 3, 4, . . .
49. а) Найти остатки от деления 16101 и 18101 на 17. б) Доказать, что 77772222 + 22227777
делится на 9.
50. Найти остаток от деления (n2 − 1)101 (n + 1)100 на n.
51. а) Какие остатки может давать точный квадрат при делении на 3, 5 и 7? б) Известно,
что сумма двух точных квадратов делится на 3. Доказать, что она делится на 9. в) Известно,
что сумма двух точных квадратов делится на 21. Доказать, что она делится на 441.
52. Даны 20 целых чисел, ни одно из которых не делится на 5. Докажите, что сумма двадцатых
степеней этих чисел делится на 5.
53. а) Известно, что 7a ≡ 3 (mod 13). Найти остаток от деления a на 13. (Сколько есть возможностей?); б) Известно, что 8a ≡ 4 (mod 14). Найти остаток от деления a на 14. (Сколько
есть возможностей?)
54. Доказать, что а) 199 + 299 + 399 + 499 + 599 + 699 б)* 1100 + 2100 + 3100 + 4100 + 5100 + 6100
делится на 7.
Алгебра.
Страница 4
55. Найти остаток от деления числа 1234567891011. . . 99100 на 9.
56. Для любого c ̸= 0 доказать, что a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда ac ≡ bc
(mod mc).
57. Найдите все числа, сравнимые с 6 по модулю 11 и с 8 по модулю 13.
58. а) Найдите число, сравнимое с 5 по модулю 7, с 7 по модулю 13 и с 13 по модулю 17.
б)* Найдите все такие числа.
59. Пусть p — простое, a,b — произвольные неотрицательные целые числа.
а) Доказать, что p| Cpk при 1 6 k 6 p − 1.
б) Доказать, что (a + b)p ≡ ap + bp (mod p). Верно ли это при составном p?
60. (Малая теорема Ферма.)
а) Для любого a и простого p выполнено ap ≡ a(mod p).
б) Для простого p и любого a, не делящегося на p, выполнено ap−1 ≡ 1(mod p).
61. Является ли простым число 2571092 + 1092?
Перестановки.
Перестановкой чисел 1, 2, . . . , n называется биективное отображение множества {1, 2, . . . , n}
на себя. Перестановки записывают
например, перестановка 1 7→ 3, 2 7→ 4, 3 7→ 1,
в виде таблиц;
1 2 3 4
4 7→ 2 записывается как σ =
. В верхней строке числа обычно располагают в
3 4 1 2
порядке возрастания; под ними
пишутся их образы, так
что произвольная перестановка σ чисел
1
2
...
n
1, 2, . . . , n запишется как σ =
.
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
Произведение перестановок определяется как композиция отображений: (στ )(i) = σ(τ (i)).
Перестановки σ и τ коммутируют, если στ = τ σ. Единичная перестановка (обозначается id)
— это тождественное отображение, при котором все элементы остаются на месте. Обратная к
перестановке σ перестановка определяется соотношением σσ −1 = σ −1 σ = id.
62. Найти произведение
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
◦
4 5 2 1 3
3 5 4 1 2
63. Указать две некоммутирующие перестановки.
64. а) Сколько существует перестановок чисел 1, 2, . . . , 5? Сколько из них оставляют число 1
на месте? б) Сколько из них переводят 1 в 5? в) Для скольких из них σ(1) < σ(2)? г) Для
скольких из них σ(1) < σ(2) < σ(3)?
65*. Для скольких перестановок чисел 1, 2, 3, 4 выполнено равенство а) σ 2 = id? б) σ = σ −1 ?
в) σ 2 = σ −1 ?
66. Докажите, что обратная перестановка существует и единственна.
Перестановку, при которой a1 7→ a2 7→ a3 7→ . . . 7→ ak−1 7→ak 7→a1 (а остальные элементы
остаются на месте), называют циклом длины k и обозначают (a1 , a2 , . . . , ak ). Циклы длины 2
называют транспозициями.
67. Пусть σ = (123), τ = (34). Чему равно τ στ −1 ?
68. Два цикла (a1 , a2 , . . . , ak ) и (b1 , b2 , . . . , bm ) коммутируют, если они не пересекаются (среди
a1 , . . . , ak и b1 , . . . , bm нет общих элементов). Верно ли обратное?
69. а) Доказать, что каждая перестановка представима в виде произведения попарно непересекающихся циклов, причем единственным (с точностью до порядка циклов) образом. б) Найти
это разложение для перестановок из задачи 62.
70. Сколько различных перестановок встречается среди степеней перестановки (123)(4567)?
Алгебра.
Страница 5
71. а) Докажите, что произвольный цикл в некоторой степени даст тождественную перестановку. б) Докажите, что любая перестановка в некоторой степени даст тождественную.
Наименьшая из таких степеней называется порядком. в) Найти порядок цикла длины m.
г) Найти все возможные порядки перестановок множества из 7 и 8 элементов.
72. Доказать, что порядок любой перестановки n элементов делит n!. Может ли он быть равен
(n!)?
73. Доказать, что каждая перестановка представима в виде произведения транспозиций.
74. (Продолжение) Доказать, что в предыдущей задаче можно обойтись только транспозициями (1, 2), (2, 3),. . . , (n − 1, n).
Назовём беспорядком в перестановке σ пару (i, j), для которой i < j, но σ(i) > σ(j). Перестановка σ называется чётной (соответственно нечётной), если общее число беспорядков чётно
(соответственно, нечётно).
75. а) Докажите, что чётность перестановки при домножении на транспозицию меняется.
б) Пусть перестановка σ разложена в произведение транспозиций. Докажите, что чётность σ
совпадает с чётностью числа транспозиции.
76. Доказать, что чётных перестановок столько же, сколько нечётных.
77*. Докажите, что если в игре в ’пятнашки’ поменять местами фишки с номерами 14 и 15, то,
следуя правилам, невозможно получить первоначальное расположение фишек.
Множество перестановок из n элементов будем обозначать через Sn .
78. Найти хотя бы одну перестановку x ∈ Sn , такую что x2 = a, или доказать, что это невозможно, если а) n = 3, a = (1 2 3); б) n = 4, a = (1 2 3 4); в) n = 4, a = (1 2)(3 4); г) n = 6,
a = (1 2)(3 4 5 6).
79. Пусть a, b, ∈ Sn , a = (i1 , i2 , . . . , ik ), b = (j1 , j2 , . . . , jl ). Доказать, что a и b коммутируют тогда
и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
1) циклы a и b— непересекающиеся (т. е. {i1 , i2 , . . . , ik } ∩ {j1 , j2 , . . . , jl } = ∅);
2) k = l и am = b для некоторого m, взаимно простого с k.
80. Какие перестановки погут быть представлены в виде произведения:
а) транспозиций (1 2), (1 3), . . . , (1 n); б) циклов (1 2) и (1 2 . . . n)?
(Каждый сомножитель можно использовать несколько раз.)
81. Каков максимально возможный порядок перестановки из S13 ?
82. а) Как выражается чётность ab через чётность a и b?
б) Как выражается чётность an через чётность a и n?
83. Пусть в разложении a ∈ Sn на непересекающиеся циклы число циклов длины i равно mi .
а) Выразить чётность a через m2 , . . . mn .
б) При каких значениях m2 , . . . mn найдётся такая подстановка x, что x2 = a?
84. (Задача Н. Н. Константинова об обмене квартир) В некотором городе разрешены лишь
«простые» обмены квартир (в которых участвуют две квартиры); более длинные цепочки обменов (например, если А въезжает в квартиру Б, который въезжает в квартиру В, который
въезжает в квартиру А) не разрешены. Предположим, что каждый владелец квартиры может
участвовать в день не более чем в одном обмене. Докажите, что тем не менее любой обмен
может быть осуществлён за два дня. (В первый день производится какое-то число простых обменов, во второй — тоже, после чего все оказываются в тех квартирах, которые им назначены.)
85*. Доказать, что любая чётная перестановка представима в виде произведения циклов длины
3.
86. Пусть σ — произвольная перестановка. Доказать, что перестановки σ и τ στ −1 раскладываются в произведение циклов одних и тех же длин.
Алгебра.
Страница 6
87*. Пусть σ1 и σ2 — две перестановки, фигурирующие в задаче 1 листка 13 в качестве сомножителей. Найдётся ли такая перестановка τ , что τ σ1 τ −1 = σ2 ?
88*. Дана перестановка σ=(123)(67)(89) из S9 . Сколько перестановок τ с ней коммутируют?
89*. Дана произвольная перестановка mn элементов, записанных в таблицу m × n. Доказать,
что её можно представить в виде композиции трёх перестановок, в которой первая и третья
происходят по столбцам (новое положение любого элемента находится в том же столбце, что и
старое), а вторая — по строкам.
90*. В словах, составленных из букв R и S, разрешается вычёркивать и дописывать (в любом
месте) группы RRR и SS, а также заменять RRS на SR и наоборот. Сколько неэквивалентных
(не переводимых друг в друга такими заменами) слов существует?
91*. (Продолжение) Тот же вопрос, если слова составлены из букв a и b, разрешается вычёркивать и добавлять aa и bb, а также заменять aba на bab.
Введение в теорию полей.
Рассмотрим множество F с двумя выделенными элементами: нулём 0 и единицей 1, и двумя
(бинарными) операциями — отображениями из F ×F в F , называемыми сложением и умножением. Образ пары (a, b) при этих отображениях называют соответственно суммой (обозначение:
a + b) и произведением (обозначения a · b или ab) элементов a и b. Такое множество называется
полем, если выполнены следующие условия (аксиомы):
∀a, b a + b = b + a (коммутативность сложения);
∀a, b, c (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);
∀a a + 0 = a;
∀a ∃b a + b = 0, элемент b называется противоположным к a и обозначается −a;
∀a, b a · b = b · a (коммутативность умножения);
∀a, b, c (a · b) · c = a · (b · c)(ассоциативность умножения);
∀a a · 1 = a;
1 ̸= 0;
1
9. ∀a ̸= 0 ∃b a · b = 1, элемент b называется обратным к a и обозначается или a−1 ;
a
10. ∀a, b, c a · (b + c) = a · b + a · c (дистрибутивность умножения относительно сложения).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Сумму a + (−b) обозначают a − b и называют разностью a и b.
1
a
Произведение a · обозначают и называют отношением (частным) a и b.
b
b
В следующих задачах надо доказать различные утверждения про элементы a, b, c, d из поля
F.
92. ((a + b) + c) + d = a + (b + (c + d)).
93. Если ∀a a + b = a, то b = 0.
94. У каждого a существует лишь один противоположный.
95. а) a = −(−a); б) −(a + b) = (−a) + (−b).
96. Уравнение a + x = b имеет в поле единственное решение.
97. ((a · b) · c) · d = a · (b · (c · d)).
98. Если ∀a a · b = a, то b = 1.
99. У каждого a ̸= 0 существует лишь один обратный.
100. Уравнение a · x = b при a ̸= 0 имеет в поле единственное решение.
101. 0 · a = 0.
102. Если a · b = 0, то хотя бы один из элементов a и b равен 0.
103. −(a · b) = (−a) · b = a · (−b).
Алгебра.
Страница 7
104. (−1) · a = −a.
a·c
a c
.
105. · =
b d
b·d
a·d+b·c
a c
.
106. + =
b d
b·d
107. В каких множествах с операциями сложения и умножения выполнены все аксиомы поля,
кроме аксиомы 8?
108. Существует ли поле из а) двух элементов; б) трёх элементов; в) p элементов, где p
— простое число; (Подсказка: рассмотрите множество остатков по модулю p. Полученное поле
обозначается через Zp .) г)* четырёх элементов; д)* шести элементов?
Определение 3. Подмножество F0 поля F называется подполем поля F , если F0 содержит 0, 1
и является полем относительно операций сложения и умножения поля F (подразумевается, что
эти операции корректно определены на F0 ).
1
109. Пусть F0 — подполе поля F . Тогда а) ∀a ∈ F0 − a, ∈ F0 . б) Пусть F0 такое подмноa
a
жество F , что 0, 1 ∈ F0 и ∀a, b ∈ F0 a − b, ∈ F0 . Тогда F0 — подполе поля F .
b
110. Найти все подполя следующих полей: а) Q ;б) Zh p.
√
√
111. Рассмотрим множество
Q[
2]
⊂
R,
состоящее
из
элементов
вида
q
+
q
2, где q1 , q2 ∈ Q.
1
2
√
√
а) Доказать, что Q[ 2] — подполе R. б) Найти все подполя Q[ 2].
Определение 4. Поля F и F ′ называются изоморфными, если существует такое взаимно-однозначное
отображение ϕ : F → F ′ , что ∀a, b ∈ F ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) и ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b). Обозначение: F ≃ F ′ . Отображение ϕ называется изоморфизмом.
112. Докажите, что при изоморфизме полей F и F ′ ноль переходит в ноль, а единица в единицу.
113. Всякое поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное Q или Zp .
Определение 5. Поле F называется полем характеристики p (соответственно полем характеристики 0), если оно содержит подполе, изоморфное Zp (соответственно Q). Обозначение:
char F = p. (соответственно char F = 0).
114. Докажите, что характеристика поля определяется однозначно.
√
115. Какие из полей Q, Q[ 2], Zp , R изоморфны друг другу?
√
116. Найти все автоморфизмы (изоморфизмы поля на себя) следующих полей:а) Q;б) Q[ 2];
в) Zp .
117. Верно ли, что в любом поле F уравнение x2 = a при a ̸= 0 имеет ровно два решения или
ни одного?
√
118. Пусть F — поле, a ∈ F . Обозначим через F [ a] множество F × F с определенными на нем
следующими операциями:
1) (s1 , t1 ) + (s2 , t2 ) = (s1 + s2 , t1 + t2 );
2) (s1 , t1 ) · (s2 , t2 ) = (s1 s2 + at1 t2 , s1 t2 + s2 t1 ).
√
а) Докажите, что если F = Q, a = 2, то полученное поле изоморфно полю Q[ 2], определённому выше.
√
При каких a множество F [ a] будет полем, если б) F = R; в) F = Q; г) F = Zp , p = 2, 3, 5, 7?
119*. Какие из полей предыдущей задачи изоморфны между собой?
120. а) Пусть F — поле, x ∈ F удовлетворяет равенству xk = 0 для некоторого k. Тогда x = 0.
б) Для конечного поля характеристики p отображение x 7−→ xp — автоморфизм. в) Для поля
Zp отображение x 7−→ xp тождественно (малая теорема Ферма).
121*. а) Пусть F — конечное поле из k элементов. Тогда char F |k. б) Пусть p — простое
число. Доказать, что любые два поля из p элементов изоморфны.
√
122*. При каких p множество Zp [ −1] будет полем?
Алгебра.
Страница 8
√
123*. Для любого нечетного простого p найдется такое a, что Zp [ a] будет полем.
***
124*. Для любого простого p существует и единственно (с точностью до изоморфизма) поле
из p2 элементов.
125*. Конечное поле характеристики p имеет pn элементов.
126*. В любом конечном поле найдется такой элемент x, что ∀a, a ∈ F , a ̸= 0, ∃n ∈ N : a = xn .
127*. Для любого простого p и любого натурального n существует и единственно (с точностью
до изоморфизма) поле из pn элементов.
128*. Найти все автоморфизмы поля из pn элементов.
129*. Привести пример бесконечного поля характеристики p.
130*. Привести пример поля, изоморфного своему подполю, отличному от него самого.
Группы.
Множество G с операцией ∗ называется группой, если
1. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) для любых f, g, h ∈ G (ассоциативность);
2. существует единичный элемент e ∈ G, для которого e ∗ g = g ∗ e = g при любом g ∈ G
(существование единичного элемента);
3. для любого элемента g ∈ G существует обратный элемент g −1 ∈ G, для которого верно
равенство
g −1 ∗ g = g ∗ g −1 = e (существование обратного элемента).
Группа G с операцией ∗ обозначается через (G, ∗) или просто через G. Операцию ∗ иногда
называют «умножением» и вместо g ∗ h пишут просто gh. Порядком группы G называется
количество элементов в G. Если порядок конечен, то группа называется конечной.
Группы, в которых g ∗ h = h ∗ g для любых g, h ∈ G, называются коммутативными или
абелевыми. (Иногда при этом групповую операцию называют «сложением».)
131. Выяснить, являются ли группами следующие множества (с указанными операциями) и какие из этих групп коммутативны: а) (N, +); (Z, +); (Z, ·); б) (F, +); (F, ·); (F \{0}, ·), где F —
поле. в) (Zm , +); (Zm , ·); (Zm \{0}, ·), где Zm — множество остатков по модулю m; г) ({z ∈ C||z| = 1}, ·);
({z ∈ C||z| = 2}, ·); д) движения плоскости; повороты; параллельные переносы (всё с операцией композиции); е) перестановки чисел 1, . . . , n; только чётные перестановки; циклы длины 3
(всё с операцией произведения); ж) фигуры (множества точек) на плоскости с операцией симметрической разности (множество A∗B = A△B состоит из точек, принадлежащих ровно одной
из фигур A и B).
132. Доказать а) правило сокращения: если x ∗ y = x ∗ z, то y = z; б) что в группе не может
быть двух единичных элементов; в) что у каждого элемента есть единственный обратный.
133. Как найти (ab)−1 , зная a−1 и b−1 ?
134. Определить an (где a — элемент группы, n — целое число) и проверить равенство am+n = am an .
135. Доказать, что для любого элемента a конечной группы а) найдётся целое положительное
n, для которого an равно e (единичному элементу). б) обратный элемент к a является степенью
a.
Наименьшее число n с таким свойством называется порядком элемента a; оно обозначается ord(a).
136*. Доказать, что в группе из 2n элементов всегда есть элемент порядка 2.
137. а) Пусть ord(g) = 179. Чему равно ord(g 6 )?
Сформулировать и доказать общее утверждение для б) простого порядка ord(g) в) произвольного
порядка ord(g).
138. Найти все элементы конечного порядка в группе а) (Z, +); б) движений плоскости.
Алгебра.
Страница 9
Если любой элемент группы является (положительной или отрицательной) степенью элемента a, элемент a называется образующей группы, а группа называется циклической.
139. Бывают ли нециклические группы из 1, 2, 3, 4, 5 и 6 элементов?
Подмножество H группы G называют подгруппой, если оно само является группой относительно той же операции, то есть содержит единицу, произведение любых двух своих элементов
и обратный к любому своему элементу.
140. Какие имеются подгруппы в группе перестановок из трёх элементов?
141. Верно ли, что пересечение подгрупп — подгруппа? А объединение?
142. Доказать, что любая подгруппа группы (Z, +) имеет вид nZ, то есть состоит из всех кратных некоторого числа n.
143. Рассмотрим все повороты плоскости с центром в данной точке A. а) Доказать, что они
образуют группу. б) Описать все конечные подгруппы этой группы. в)* Описать все конечные подгруппы группы движений плоскости, не содержащие симметрий.
144. Множество элементов gh, где g — фиксированный элемент G, а h пробегает все элементы
H, называется левым смежным классом G по H и обозначается gH. Доказать, что а) все
левые смежные классы содержат одно и то же количество элементов; б) любые два левых
смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.
145. (Теорема Лагранжа) Пусть G — конечная группа, H — ее подгруппа. Доказать, что порядок H делит порядок G. (Указание: G разбивается на смежные классы.) Как вывести отсюда,
что порядок группы делится на порядок любого её элемента?
146. Пусть a — фиксированный элемент конечной группы G. Доказать, что операция «левого
умножения» на a (переводящая x в ax) является перестановкой элементов группы и состоит из
циклов одинаковой длины. Будет ли операция «правого умножения» на a состоять из циклов
той же длины?
147. а) Доказать, что любая группа простого порядка является циклической. б) Сколько
элементов циклической группы порядка n имеют порядок k?
148. Доказать малую теорему Ферма: если целое число a взаимно просто с целым положительным числом n, то aϕ(n) ≡ 1 (mod n). (Здесь ϕ(n) — количество чисел от 1 до n, взаимно
простых с n.)
149*. Существует ли бесконечная группа, любой элемент которой имеет конечный порядок?
150. а) Подмножество H конечной группы G замкнуто относительно умножения (произведение любых двух элементов из H лежит в H). Доказать, что H — подгруппа. б) Верно ли это
утверждение, если G не конечна?
Гомоморфизмом группы G1 с операцией ∗ в группу G2 с операцией ◦ называется отображение ϕ : G1 → G2 такое, что для любых a, b ∈ G1 ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b). Если при этом ϕ
— биективно, то оно называется изоморфизмом. Группы, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. Обозначение: G1 ∼
= G2 .
151. Доказать, что у любой конечной группы G существует подгруппа H ⊂ Sn , изоморфная G.
152. Пусть ϕ задаёт изоморфизм групп G и H, g ∈ G. а) Докажите, что ord(ϕ(g)) = ord(g).
б) Пусть G1 ⊂ G — подгруппа. Верно ли, что ϕ(G1 ) — подгруппа H?
153. Пусть G — группа, f, g ∈ G. Докажите, что ord(f g) = ord(gf ).
154. а) Пусть X ⊂ R2 — некоторое множество. Докажите, что движения, сохраняющие X,
образуют подгруппу группы движений плоскости. Она называется группой симметрий X.
б) Нарисуйте плоскую фигуру с группой симметрий из 5 элементов.
Если X — правильный n-угольник, то группа симметрий обозначается через Dn и называется
группой диэдра.
Алгебра.
Страница 10
155.а) Опишите все элементы Dn . б) Докажите, что D3 ∼
= S3 . в) Верно ли это при n > 3?
г) Докажите, что все повороты из Dn образуют подгруппу, изоморфную (Zn , +) и группе
{z ∈ C|z n = 1}.
Подгруппа H группы G называется нормальной, если ∀ g ∈ G gH = Hg (множество левых
и правых смежных классов совпадают).
156. Доказать, что пересечение нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
157. Пусть H ⊂ G — нормальная подгруппа. Введите на множестве смежных классов G/H
умножение, и докажите, что G/H является группой относительно этой операцией.
158. В конечной группе квадрат любого элемента равен единице. а) Докажите, что она коммутативна. б) Докажите, что порядок этой группы равен 2n . в)* Для каждого n есть только
одна такая группа.
159. Какие из подгрупп нормальны: а) An ⊂ Sn (An — подгруппа чётных перестановок);
б) D3 ⊂ D6 (треугольник вписан в шестиугольник); в) {e, z} ⊂ D4 (z — симметрия относительно центра квадрата); г) {e, s} ⊂ D8 (s — осевая симметрия)?
160. Найдите все нормальные подгруппы а) в S3 ; б) в A4 ; в) в S4 ; г) в D4 ; д) в Dn .