Задача 1. Доказать, что множество B является (замкнутым)

Задание 5 (1.10.05)
(Указания в отдельном файле)
Задача 1. Доказать, что множество B является (замкнутым) единичным
шаром некоторой нормы тогда и только тогда, когда B удовлетворяет условиям
(1) B выпукло, т. е. λB + µB ⊂ B, λ + µ = 1, 0 ≤ λ, µ ≤ 1;
(2) B уравновешено, т. е. λB ⊂ B, |λ| ≤ 1;
(3) множество Ux = {λ ∈ C | λx ∈ B} замкнуто и содержит окрестность 0;
и дополнительно
(4) множество Ux ограничено.
Задача 2. Пусть p, q — функционалы Минковского конических отрезков S,
T (конический отрезок — это выпуклое множество содержащее ноль). Выразить множество {x | p(x) + q(x) ≤ 1} через S и T .
Задача 3. Доказать, что если пространство несепарабельно, то в нем существует несчетное множество попарно непересекающихся шаров одинакового
радиуса.
Решить одну из слеующих задач на выбор:
Задача 4. Доказать, что пространство C[a, b] сепарабельно.
Задача 40 . Доказать, что пространство L∞ (a, b) несепарабельно.
1