Первообразные корни и индексы. 03.12.2012 Первообразные корни. 1. Найти порядок а) 1 ∈ Zm ; б) −1 ∈ Zm ; в) 2 ∈ Z3 ; 2. Выпишите порядки элементов Zm при m = 4, 5, 6, 7. 3. Пусть ord(g) = k, g ∈ Zm . Докажите, что а) 1, g, g 2 , . . . , g k−1 ∈ Zm — попарно различные ′ числа б) Если k|l − l′ , то g l = g l в Zm . в) g s = 1 ⇔ k|s. ord(g) . 4. Докажите, что ord g l = (l, ord(g)) Обозначим через ϕ(m) (функция Эйлера) количество чисел, меньших m и взаимно простых с m. 5. а) Найдите ϕ(p) для p — простого. б) Докажите, что ϕ(m) = m · (1 − p11 ) . . . (1 − p1s ), где m = pl11 . . . plss . Определение 1. Число g называется первообразным корнем по модулю m, если ord(g) = ϕ(m). 6. Найдите первообразные корни для Zm , m 6 7. 7. Может ли быть квадратичный вычет в Zp быть первообразным корнем? 8. Существует ли m такое, что не существует первообразных корней по модулю m? 9. Если ord(g) = k, то k|ϕ(m). 10. Найти первообразный корень по модулю а) 11; б) 17. 11. Пусть g — первообразный корень по модулю m. Докажите, что g l — первообразный корень тогда и только тогда, когда (l, ord(g)) = 1. 12. Найти количество первообразных корней по модулю p. 13. Найдите все первообразные корни по модулю а) 11; б) 17; в) 23; г) 27; д) 49; е) 289. 14. Составьте таблицы индексов по модулям 17, 23. 15. Решите сравнения x8 ≡ 5 (mod 17), x4 ≡ 4 (mod 17). Дополнительные задачи. Здесь и далее везде p — нечётное простое число. 16. Пусть a ∈ Z, a > 1. Доказать, что простые нечётные делители числа ap − 1 делят a − 1 или имеют вид 2px + 1. n 17. Пусть n ∈ Z, n > 0. Доказать, что простые делители числа 22 + 1 имеют вид 2n+1 x + 1. 18. Пусть a, n ∈ Z, a > 1, n > 0. Доказать, что ϕ(an − 1) кратно n. 19. Доказать, что 3 — первообразный корень простого числа 2n + 1 при n > 1. 20. Доказать, что 2 — первообразный корень простого числа вида 4p + 1. 21. Пусть n — целое, n > 0, S = 1n + 2n + · · · + (p − 1)n . Доказать, что −1 (mod p) , если n кратно p − 1 S≡ 0 (mod p) , иначе 22. Докажите теорему Вильсона, используя предыдущую задачу.