Задания по математике для первого тура олимпиады

Задания по математике для первого (заочного) тура областной олимпиады
школьников в 2007 – 2008 уч. г..
Задача 1. Докажите, что при любом натуральном n
1
1
1
1


 ... 
 2.
2 3 2 4 3
( n  1) n
Задача 2. Функция f такова, что для всех действительных x
f ( x  1 )  f ( x  1 )  2 f ( x ). Докажите, что f – периодическая функция.
1
1
Задача 3. Докажите, что при любых a  , b  справедливо неравенство
2
2
2
2
2
 a2  b2 

  a b  a b.
 2 
2
2


Задача 4. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
соотношением:
1
1
y  x2  y  x2  2  x .
2
2
Задача
5.
Найти
наибольший
отрицательный
корень
уравнения
cos(  ( x 2  x  1 ))  cos(  ( x  1 )).
Задача 6. Натуральные числа a, b, с, взятые в указанном порядке, образуют
возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым
числом. Числа 2240 и 4312 делятся без остатка на b и с соответственно.
Найдите числа a, b, с, если известно, что при указанных условиях сумма a+b+с
максимальна.
Задача 7. Решить систему уравнений:
2 y 3  2 x 2  3x  3  0,
 3
2
2 z  2 y  3 y  3  0,
 3
2
2 x  2 z  3z  3  0.
Задача
8.
При
каких
значениях
параметра
a
неравенство
sin6 x  cos 6 x  a sin x  cos x  0 справедливо для всех значений x?
Задача 9. Известно, что многочлен 2 x 3  60 x 2  ax принимает в трех
последовательных целых точках три последовательные целые значения. Найдите эти
значения.
1  x2
 2arctg x при 0  x  .
Задача 10. Доказать, что arccos
1  x2
Задача 11. На клетчатой бумаге нарисован многоугольник, все вершины
которого находятся в узлах сетки квадратов (см. чертеж). Доказать, что площадь S
k
этого многоугольника может быть подсчитана по формуле S  N   1, где N есть
2
число узлов сетки квадратов, расположенных внутри многоугольника, а k – число
узлов этой сетки, расположенных на его границе; за единицу площади здесь
принимается площадь квадрата сетки (так, площадь изображенного на чертеже
16
многоугольника равна 4   1  11 ).
2
Задача 12. Шарообразная планета окружена 37 точечными астероидами.
Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдется точка, из которой
астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов. (Астероид, расположенный на
линии горизонта, не виден.)