4. Ñõåìà Áåðíóëëè-1 4.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ñõåìà Áåðíóëëè ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ n íåçàâèñèìûõ ñëó- ÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äâà èñõîäà, íàçûâàåìûõ (óñëîâíî) ¾óñïåõîì¿ è ¾íåóäà÷åé¿. Âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ íå ìåíÿåòñÿ îò ýêñïåðèìåíòà ê ýêñïåðèìåíòó è ðàâíà ñòîÿííà è ðàâíà p. Âåðîÿòíîñòü ¾íåóäà÷è¿ òàêæå ïî- q = 1 − p. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè èç íûõ¿ îáîçíà÷àåòñÿ Pn (k) n ýêñïåðèìåíòîâ áóäåò ðîâíî k ¾óñïåøCnk pk q n−k . â ñåðèè èç n ýêñïåðèìåíòîâ áóäåò îò k1 äî k2 k2 P Cnk pk q n−k . Pn (k1 , k2 ) è ðàâíà è ðàâíà Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ¾óñïåøíûõ¿ îáîçíà÷àåòñÿ k=k1 Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåøíûõ èñõîäîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé [np + p], åñëè np + p íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, è ïàðà np − q è np + p, np + p öåëîå ÷èñëî. ðàâíî åñëè Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ðåêîìåíäóåòñÿ ÷åòêî ñôîðìóëèðîâàòü â ÷åì ñîñòîèò îòäåëüíûé ýêñïåðèìåíò, êàêîé èç äâóõ èñõîäîâ âû íàçûâàåòå ¾óñïåõîì¿, è òîëüêî ïîñëå ýòîãî ïðèñòóïàòü ê âû÷èñëåíèÿì. 4.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. Ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèÿ âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ îäíîãî çíàêà ðàâíà 1/10. Êàêîâû âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñîîáùåíèå èç 10 çíàêîâ 1) íå áóäåò èñêàæåíî; 2) ñîäåðæèò ðîâíî òðè èñêàæåíèÿ; 3) ñîäåðæèò íå áîëåå òðåõ èñêàæåíèé? Îòâåò. 2. 1) ≈ 0.349; 2) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 3. ≈ 0.057; 3) ≈ 0.987. Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â êàæäîì èñïûòàíèè ñõåìû Áåðíóëëè ðàâíà p. Íàéòè k -é ïî ïîðÿäêó óñïåõ ïðîèñõîäèò ïðè l-ì èñïûòàíèè. Êàæäóþ ñåêóíäó ñ âåðîÿòíîñòüþ p íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ìîìåíòîâ âðå- ìåíè ïî äîðîãå ïðîåçæàåò àâòîìîáèëü. Ïåøåõîäó äëÿ ïåðåõîäà äîðîãè íåîáõîäèìî 3 ñåêóíäû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîäîøåäøèé ê äîðîãå ïåøåõîä áóäåò îæèäàòü âîçìîæíîñòè ïåðåõîäà 1) 3 ñåêóíäû; 2) 4 ñåêóíäû; 3) 5 ñåêóíä? Îòâåò. 4. 1) pq 3 ; 2) (1 − q 3 )pq 3 ; 3) (1 − q 3 − pq 3 )pq 3 . Äëÿ òîãî, ÷òîáû óçíàòü, ñêîëüêî â îçåðå ðûá, îòëàâëèâàþò 1000 ðûá, ìåòÿò èõ è âûïóñêàþò îáðàòíî â îçåðî. Ïðè êàêîì ÷èñëå ðûá â îçåðå áóäåò 1 íàèáîëüøåé âåðîÿòíîñòü âñòðåòèòü ñðåäè âíîâü ïîéìàííûõ 150 ðûá 10 ïîìå÷åííûõ? Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïîñëå ïîèìêè ðûáà âíîâü îòïóñêàåòñÿ â îçåðî. 13728 ≤ N ≤ 15100. S = {1, 2, . . . , N } ñëó÷àéíî è íåçàâèñèìî âûáèðàþòñÿ äâà ïîäìíîæåñòâà A1 è A2 òàê, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò èç S íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ýëåìåíòîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ p âêëþ÷àåòñÿ â ïîäìíîæåñòâî Ai è ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 − p íå âêëþ÷àåòñÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî A1 ∩ A2 = ∅. Óêàçàíèå. Íàéòè P(x 6∈ A1 ∩ A2 ). 2 N Îòâåò. (1 − p ) . Îòâåò. 5. Èç ìíîæåñòâà 4.3. Äîìàøíåå çàäàíèå 6. Ïðîáëåìà Äæîíà Ñìèòà, 1693 ã. Îäèíàêîâû ëè øàíñû ó òðåõ ÷åëî- âåê, åñëè ïåðâîìó íóæíî ïîëó÷èòü õîòÿ áû îäíó øåñòåðêó èç 6 áðîñàíèé èãðàëüíîé êîñòè, âòîðîìó õîòÿ áû äâå øåñòåðêè èç 12 áðîñàíèé, òðåòüåìó íå ìåíåå òðåõ øåñòåðîê â 18 áðîñàíèÿõ? Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè. Îòâåò. 7. ≈ 0.665, ≈ 0.619, ≈ 0.597.  æþðè, ñîñòîÿùåì èç íå÷åòíîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ, êàæäûé íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ ïðèíèìàåò ïðàâèëüíîå ðåøåíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.7. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ÷ëåíîâ æþðè, ïðè êîòîðîì îáùåå ðåøåíèå, âûíîñèìîå áîëüøèíñòâîì ãîëîñîâ, áóäåò âåðíûì ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé 0.9? 8. Çàäà÷à Áàíàõà. Íåêèé êóðÿùèé ìàòåìàòèê íîñèò ñ ñîáîé äâå êîðîáêè ñïè÷åê. Ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîé èç íèõ áûëî ïî n ñïè÷åê. Êàæäûé ðàç, êîãäà îí õî÷åò äîñòàòü ñïè÷êó, îí âûáèðàåò íàóãàä îäíó èç êîðîáîê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîãäà ìàòåìàòèê âûíåò â ïåðâûé ðàç ïóñòóþ êîðîáêó, â äðóãîé êîðîáêå îñòàíóòñÿ Óêàçàíèå. r ñïè÷åê. Ìàòåìàòèê âûíóë 2n − r ñïè÷åê; ñòîëüêî æå ðàç âûáèðàëàñü îäíà èç êîðîáîê. 9. Ñòîèìîñòü ïðîåçäà â àâòîáóñå ðàâíà x ðóáëåé, à êîíòðîëåð ïîïàäàåòñÿ â ñðåäíåì 3 ðàçà â ìåñÿö. Êàêîâ äîëæåí áûòü øòðàô çà áåçáèëåòíûé ïðîåçä, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0.9 ¾çàÿö¿, åçäÿùèé áåç áèëåòà åæåäíåâíî (60 ðàç â ìåñÿö), èìåë áû ðàñõîäû íå ìåíüøèå, ÷åì ó ¾÷åñòíîãî ÷åëîâåêà¿? Îòâåò. 60x. 2