Ëîãèêà âûñøèõ ïîðÿäêîâ

Ëîãèêà âûñøèõ ïîðÿäêîâ
P ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé èç A â B
∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z)
∀x∃y A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y )
∀y ∃x A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y )
∀x∀y ∀zP(x, z) ∧ P(y , z) → Eq(x, y )
Ëîãèêà âûñøèõ ïîðÿäêîâ
P ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé èç A â B
∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z)
∀x∃y A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y )
∀y ∃x A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y )
∀x∀y ∀zP(x, z) ∧ P(y , z) → Eq(x, y )
Ðàâíîìîùíîñòü A è B :
∃P [∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z)] ∧ . . .
Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî
I
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x)
Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî
I
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x)
I
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x)
Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî
I
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x)
I
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x)
I
Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ
Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî
I
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x)
I
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x)
I
Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ
I
Ñëåäîâàòåëüíî, ∃xP(x)
Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî
I
Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x)
I
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x)
I
Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ
I
Ñëåäîâàòåëüíî, ∃xP(x)
Íî ÷åìó ðàâåí x ?
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
I
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
I
Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA
I
Ïî A3, K (A ∧ ¬KA)
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
I
Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA
I
Ïî A3, K (A ∧ ¬KA)
I
Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA))
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
I
Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA
I
Ïî A3, K (A ∧ ¬KA)
I
Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA))
I
Ïî À1, (KA ∧ ¬KA)
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA
Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû:
I
KA èçâåñòíî
I
A A âîçìîæíî
A1
A2
A3
Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ
Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè
Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà
I
Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA
I
Ïî A3, K (A ∧ ¬KA)
I
Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA))
I
Ïî À1, (KA ∧ ¬KA)
I
Ïðîòèâîðå÷èå. Âñå óæå ïîçíàíî.
KA → A
K (A ∧ B) → KA ∧ KB
A → KA