Теоретико-множественное введение

Òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå ââåäåíèå
Ìíîæåñòâî ýòî îäíî èç íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîíÿòèé, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ çäàíèå ïî÷òè âñåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî âñå ÷èòàåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ óíèâåðñèòåòñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå êóðñû âïîëíå óñïåøíî ôîðìàëèçóåìû â ðàìêàõ
ìèðà ìíîæåñòâ.
Èíòóèòèâíî, ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñåìåéñòâà, ñîâîêóïíîñòè, êîëëåêöèè îáúåêòîâ, êîòîðûå ìû ìûñëèì, ïðåäñòàâëÿåì ñåáå êàê
åäèíûå îáúåêòû.
Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ñòóäåíòîâ â
äàííîé àóäèòîðèè, ìíîæåñòâî âñåõ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
0, 1, 2, . . .
è ò.ï.
Îñíîâíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ïðèíàä-
ëåæíîñòè, òî åñòü áûòü ýëåìåíòîì, îáîçíà÷àåìîå çíà÷êîì
îçíà÷àåò, ÷òî
a
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
∈. Òàê a ∈ B
B.
Âîçìîæíî, íå ñîâñåì ïðàâèëüíî áûëî áû ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ìíîæåñòâî, êàê íàáîð åãî ýëåìåíòîâ, ñëîæåííûõ â íåêèé ìåøîê. Êàæäîå ìíîæåñòâî ýòî íîâûé îòäåëüíûé àáñòðàêòíûé îáúåêò, ñâÿçàííûé ñî ñâîèìè ýëåìåíòàìè îòíîøåíèåì
∈.
Ïðèìåðû. Còóäåíò Èâàíîâ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ â
äàííîé àóäèòîðèè; Èâàí Ãðîçíûé íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ â äàííîé àóäèòîðèè; êàðàíäàø íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ
ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû; 2002 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëü-
√
íûõ ÷èñåë;
2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ò.ï.
Ñâîéñòâà ìíîæåñòâ â ìàòåìàòèêå çàäàþòñÿ àêñèîìàòè÷åñêè, òî åñòü
ìû èõ ÿâíî ôîðìóëèðóåì è äîãîâàðèâàåìñÿ â äàëüíåéøåì íå ïîäâåðãàòü
íèêàêîìó ñîìíåíèþ. Çäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì è îáñóäèì ëèøü íåêîòîðûå
èç ýòèõ ñâîéñòâ, êîòîðûå íàì áóäóò íóæíû â äàëüíåéøåì.
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâà ìíîæåñòâà ðàâíû â òîì
è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû.
Èíà÷å ãîâîðÿ,
A = B
æåñòâà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñÿêèé ýëåìåíò ìíî-
A
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
âñÿêèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
ñòâà
B
A.
1
B,
è íàîáîðîò,
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæå-
Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ.
Ìíîæåñòâà ìîæíî çàäàâàòü íåñêîëü-
êèìè ñïîñîáàìè. Îäèí èç íèõ ÿâíîå ïåðå÷èñëåíèå âñåõ åãî ýëåìåíòîâ,
çàêëþ÷åííûõ â ôèãóðíûå ñêîáêè. Íàïðèìåð:
{0}, {a, b, c}, {0, 1, 2, . . .}.
Äðóãèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå óñëîâèÿ, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò âñå ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà è íå óäîâëåòâîðÿåò
íè îäèí ýëåìåíò íå èç äàííîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî
A âñåõ
÷åòíûõ ÷èñåë ìîæíî çàäàòü êàê
A = {x | x
÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.}.
 îáùåì ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ óñëîâèå
Φ,
êîòîðîå áûâàåò ëèáî èñòèí-
íûì ëèáî ëîæíûì äëÿ äàííîãî ýëåìåíòà, ìîæåò áûòü îáðàçîâàíî ìíî-
æåñòâî âñåõ
x,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
Φ1 .
Ýòî ìíîæåñòâî îáû÷íî
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
{x | x
îáëàäàåò ñâîéñòâîì
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ
âëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
Φ,
Φ}.
x, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A è óäî-
òàêæå óïîòðåáëÿåòñÿ çàïèñü âèäà
{x ∈ A | x
îáëàäàåò ñâîéñòâîì
Φ}.
Ïðèìåðû.
{a, a} = {a},
{x | x
íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå áîëåå 2}
= {0, 1, 2}.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå âîîáùå íè
2
îäíîãî ýëåìåíòà. Ñóùåñòâóåò âñåãî îäíî ìíîæåñòâî ñ òàêèì ñâîéñòâîì.
Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ó ïóñòîãî ìíîæåñòâà èìååòñÿ
ñîáñòâåííîå îáîçíà÷åíèå:
∅.
{∅} =
6 ∅, ïîñêîëüêó â ïåðâîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ
ýëåìåíò (à èìåííî ∅), à âî âòîðîì íè îäíîãî.
Çàìåòèì, ÷òî
æèòñÿ îäèí
1
ñîäåð-
Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî íåîãðàíè÷åííîå èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ñïîñîáà îáðàçîâàíèÿ
ìíîæåñòâ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èÿì è ïàðàäîêñàì. Ïðè èçó÷åíèè ìàòåðèàëà äàííîãî ó÷åáíèêà ýòà ïðîáëåìà íå âîçíèêàåò è ïîýòîìó çäåñü íå îáñóæäàåòñÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ â ëèòåðàòóðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè
ìíîæåñòâ.
2
Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûâîäèìî èç ïðèâåäåííîãî âûøå ñâîéñòâà ðàâåíñòâà ìíî-
æåñòâ, íî äëÿ ïîíèìàíèÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ îáñóæäåíèå íåêîòîðûõ ïðèíöèïîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, âûõîäÿùåå çà ðàìêè ýòîé êíèãè.
2
Ïîíÿòèå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü
A è B äâà ìíîæåñòâà. Ìû ãîâîðèì,
A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B , åñëè âñÿêèé ýëåìåíò èç A ÿâëÿåòñÿ
ýëåìåíòîì èç B . Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àåòñÿ òàê: A ⊆ B . Åñëè íåîáõîäèìî
ïîä÷åðêíóòü, ÷òî A ⊆ B è ïðè ýòîì A 6= B , òî óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå
çàïèñü A ⊂ B . Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî
÷òî
ìíîæåñòâà.
Ïðèìåðû.
∅ ⊆ A, {0, 1} ⊆ {0, 1}, {0, 1} ⊆ {0, 1, 2, 3}.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà
A⊆B
òîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííî
è
A
B ⊆ A.
è
B
ðàâíû òîãäà è òîëüêî
Íà ìíîæåñòâàõ îïðåäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå îïåðàöèè, îïèñûâàåìûå íèæå.
Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî
îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ
B
C,
è
åñëè
A
A
ÿâëÿåòñÿ
ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëå-
B, C .
B ∪ C , òî
ìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâ
îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ
B
è
C
èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå
Äëÿ
åñòü
A = B ∪ C.
Ïîíÿòèå îáúåäèíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è äëÿ ñåìåéñòâ ìíîæåñòâ.
Ïóñòü
A
ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî. Òî-
ãäà îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà
A
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå è
òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâ
B ∈ A.
Îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâà
A
îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî, êàê
S
A.
Ïðèìåðû.
[
{A, B} = A ∪ B,
[
{{0}, {0, 1}, {1, 2}} = {0, 1, 2}.
Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî
A ÿâëÿåòñÿ
C , åñëè A ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B , C . Äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ
ìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå B ∩ C , òî åñòü A = B ∩ C .
ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ
B
è
Ïîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è äëÿ ñåìåéñòâ ìíî-
A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî.
A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå
è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B ∈ A.
T
Ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî
A.
æåñòâ. Ïóñòü
Òîãäà ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà
3
Ïðèìåðû.
\
{A, B} = A ∩ B,
\
Åñëè äëÿ ìíîæåñòâ
{{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} = {0}.
A è B âûïîëíåíî A∩B = ∅, òî A è B íàçûâàþòñÿ
íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè.
Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ. Ïóñòü
A\B
A
è
B
äâà ìíîæåñòâà. Èõ ðàçíîñòüþ
A
{0, 1, 2} \ {2, 3, 4} = {0, 1}.
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò
îäíîâðåìåííî íå ïðèíàäëåæàò
B.
Ïðèìåð:
è
Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà.  ñëó÷àå, êîãäà ÿâíî èëè íåÿâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû, ñ êîòîðûìè ìû èìååì äåëî â äàííûé ìîìåíò,
ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî îáúåìëþùåãî ìíîæåñòâà
R,
è âñå ðàñ-
ñìàòðèâàåìûå íàìè â äàííûé ìîìåíò ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæå-
R,
A ìíîæåñòâà A, ïîä êîòîðûì
ïîäðàçóìåâàåòñÿ íà ñàìîì äåëå ðàçíîñòü R \ A, èíà÷å ãîâîðÿ, A = R \ A.
ñòâàìè
ìîæíî ãîâîðèòü î äîïîëíåíèè
Ïðè óïîòðåáëåíèè ïîíÿòèÿ äîïîëíåíèÿ íóæíî âñåãäà ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ìíîæåñòâà
R
ðàññìàòðèâàåòñÿ ýòî äîïîëíå-
íèå.
Ïîíÿòèå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà. Ñåìåéñòâî
æåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà
A
R,
åñëè
ñîñòîÿùåå èç ìíî-
A =
S
R
è ëþáûå
B, C ∈ R ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òî
B, C ∈ R âåðíî â òî÷íîñòè îäíî èç äâóõ óñëîâèé: ëèáî
B = C ëèáî B ∩ C = ∅.
ýëåìåíòû
åñòü äëÿ ëþáûõ
Ïðèìåð. Ïóñòü
ðàçáèåíèå
R = {{0, 1}, {2}, {3, 4, 5}}
è
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Òîãäà
R
A.
Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ïî÷òè âñþ ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó. Íà ýòîì
ïóòè âàæíî óìåòü èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Îäíà èç íèõ ýòî óïîðÿäî÷åííûå ïàðû.
Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
ìåíòîâ
a
è
b
a
è
êàê ìíîæåñòâî
b îïðåäåëèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó èç ýëå{{a, b}, {a}}, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî (a, b).
Ýòî îïðåäåëåíèå ñïåöèàëüíî âûáðàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð:
4
Ïðåäëîæåíèå 0.1 Èç ðàâåíñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
ñëåäóåò, ÷òî
a0 = a1
è
(a0 , b0 ) = (a1 , b1 )
b0 = b1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
(a0 , b0 ) = (a1 , b1 ).
Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî
{{a0 , b0 }, {a0 }} = {{a1 , b1 }, {a1 }}.
(1)
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
Ñëó÷àé 1.
a0 = b0 .
Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò ðîâíî
{{a0 }}). Çíà÷èò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ýëåìåíò. Îòñþäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâî {a1 , b1 } = {a1 }.
Èç ýòîãî âûâîäèì, ÷òî a1 = b1 , è (1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
îäèí ýëåìåíò (à èìåííî
{{a0 }} = {{a1 }},
Îòêóäà ïîëó÷àåì
a1 = b1 ,
{a0 } = {a1 }
a0 = a1 .
è íàêîíåö
Ýòî âëå÷åò
b0 = a0 =
÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.
Ñëó÷àé 2.
a0 6= b0 .
Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò äâà
ýëåìåíòà, îäèí èç êîòîðûõ äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à âòîðîé îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàåò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè (1). Åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñëó÷àåì
çäåñü ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ
a0 = a1
è
b0 = b1 .
Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà ìîæíî çàáûòü êîíêðåòíóþ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííóþ ñòðóêòóðó óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
(a, b)
è ïîìíèòü òîëüêî îñ-
íîâíûå ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ, âûðàæàåìûå ïðåäëîæåíèåì 0.1.
Óïîðÿäî÷åííûå
ïî èíäóêöèè
nêè. Ïî àíàëîãèè ñ óïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè ìîæíî
ââåñòè è óïîðÿäî÷åííûå nêè äëÿ ëþáîãî n = 2, 3, 4, . . .,
ïîëàãàÿ
(a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) = ((a1 , a2 , . . . , an ), an+1 ).
Èç ñâîéñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñëåäóåò ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî
óïîðÿäî÷åííûõ
nîê:
äâå óïîðÿäî÷åííûå
nêè (a1 , a2 , . . . , an )
è
(b1 , b2 , . . . , bn )
ðàâíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîïàðíî ðàâíû èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû:
a1 = b1 , a2 = b2 ,
. . . an
Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. Ïóñòü
êàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ
A
è
B
AB
ìíîæåñòâà. Äå-
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A × B = {(a, b) | a ∈ A
5
= bn .
è
b ∈ B}.
Ïðèìåð. Ïóñòü
A = {0, 1}, B = {1, 2}.
Òîãäà
A × B = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.
Ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî
n
ìíîæåñòâ,
n > 2,
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
A1 × A2 × . . . × An+1 = (A1 × A2 × . . . × An ) × An+1 .
Ìîæíî óáåäèòüñÿ ïî èíäóêöèè, ÷òî
A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1
Óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå
äëÿ
n > 1.
Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
An
è
...
è
an ∈ An }.
äëÿ ìíîæåñòâà
. . × A},
|A × .{z
n ðàç
A1 = A.
Îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî
R ⊆ A1 × A2 × . . . × An
íàçîâåì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ
A1 × A2 × . . . × An .
(x1 , . . . , xn ) ∈ R, òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíòû x1 , . . . , xn
R è â ðÿäå ñëó÷àåâ çàïèñûâàòü ýòîò ôàêò òàê:
R(x1 , . . . , xn ).
n
Îòíîøåíèå R ⊆ A íàçûâàåòñÿ nàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A. Ïðè n = 1 îíî íàçûâàåòñÿ óíàðíûì , ïðè n = 2 áèíàðíûì ,
ïðè n = 3 òåðíàðíûì .
Ïóñòü R0 ⊆ A × B è R1 ⊆ B × C . Òîãäà êîìïîçèöèåé îòíîøåíèé R0
è R1 íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
Åñëè
íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè
R0 ◦ R1 = {(x, z) | äëÿ
íåêîòîðîãî
y , (x, y) ∈ R0
è
(y, z) ∈ R1 }.
Ó íåêîòîðûõ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ñâîéñòâ áèíàðíûõ îòíîøåíèé åñòü ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç íèõ. Ïóñòü
R ⊆ A2 .
Ðåôëåêñèâíîñòü. Îòíîøåíèå
âûïîëíåíî
R
ðåôëåêñèâíî, åñëè äëÿ ëþáîãî
(a, a) ∈ R.
Ñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå
A
èç
a∈A
(a, b) ∈ R
ñëåäóåò
R ñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈
(b, a) ∈ R.
6
Òðàíçèòèâíîñòü. Îòíîøåíèå
A
èç
(a, b), (b, c) ∈ R
R òðàíçèòèâíî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈
(a, c) ∈ R.
ñëåäóåò
Àíòèñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå R àíòèñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ
a, b ∈ A
èç
(a, b), (b, a) ∈ R
ñëåäóåò
a = b.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî áèíàðíîå îòíîøåíèå
R⊆A
ÿâëÿåòñÿ îòíîøå-
íèåì ýêâèâàëåíòíîñòè åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî.
Ïóñòü
R
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå
a ∈ A
ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòà
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A. Êëàññîì
[a]R = {x ∈
A | (x, a) ∈ R}.
Âàæíûì ñâîéñòâîì îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ
Òåîðåìà 0.2 (Òåîðåìà î ðàçáèåíèè) Ïóñòü
âàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå
íîñòè
{[a]R | a ∈ A}
A.
R
îòíîøåíèå ýêâè-
Òîãäà ñåìåéñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíò-
îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà
A.
Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûå äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòîâ ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è îáúåäèíåíèå âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè
åñòü âñå ìíîæåñòâî
A. Áèíàðíîå îòíîøåíèå
A,
R ⊆ A2
íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íà
åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. ×àñòè÷íûé
ïîðÿäîê íà
A
a, b ∈ A
(a, b) ∈ R, (b, a) ∈
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì åñëè äëÿ ëþáûõ
âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé:
R.
Ïðèìåðû.
R = {(x, y) | x, y ∈ N è x 6 y} ëèíåéíûé ïîðÿäîê, à
D = {(x, y) | x, y ∈ N è x äåëèò y} ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, êîòîðûé íå
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.
Ïóñòü
R ⊆ A2
áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå
A.
Îáðàòíûì ê
íåìó íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.
Ïðèìåð. Ïóñòü
R = {(1, 2), (2, 3)}.
Òîãäà
Îòîáðàæåíèÿ, ôóíêöèè. Îòíîøåíèå
íûì îòîáðàæåíèåì èç
áîëåå îäíîãî
b∈B
A
â
B
òàêîãî, ÷òî
R−1 = {(2, 1), (3, 2)}.
F ⊆ A×B
åñëè äëÿ êàæäîãî
(a, b) ∈ F .
7
íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷-
a ∈ A
Ïðè ýòîì, åñëè
ñóùåñòâóåò íå
(a, b) ∈ F ,
òî
b
a è, ïîñêîëüêó b îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ïî
F (a), ò.å., b = F (a).
Åñëè ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî (x, y) ∈ F , òî ãîâîðÿò, ÷òî çíà÷åíèå
F (x) îïðåäåëåíî è çàïèñûâàþò ýòî êàê F (x) ↓. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî
çíà÷åíèå F (x) íå îïðåäåëåíî çàïèñûâàåòñÿ, êàê F (x) ↑.
Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F íàçûâàåòñÿ ìíîíàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì
a,
F
íà
îíî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ
æåñòâî
dom (F ) = {a | F (a)
ïðåäåëåíî}.
Åãî îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
range (F ) = {F (a) | F (a)
Åñëè
dom (F ) = A,
òî
F
íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç
òðåáëÿåòñÿ òàêæå òåðìèí ôóíêöèÿ èç
f
îïðåäåëåíî}.
A
â
A
â
B.
Óïî-
B.
An
A, òî îáû÷íî
ãîâîðÿò, ÷òî f nàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå A (îáû÷íî ïðè n =
1 ãîâîðÿò óíàðíàÿ, ïðè n = 2 áèíàðíàÿ, ïðè n = 3 òåðíàðíàÿ
Åñëè
îòîáðàæåíèå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà âèäà
â
îïåðàöèÿ).
F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì íà B .
F èç A â B íàçûâàåòñÿ ðàçíîçíà÷íûì åñëè
äëÿ ëþáîãî b ∈ B ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî a ∈ A òàêîãî, ÷òî b = F (a).
Åñëè
range (F ) = B ,
òî
×àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå
Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå
F
èç
A
â
B
ÿâëÿ-
−1 ÿâëÿåòñÿ
åòñÿ ðàçíîçíà÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòíîøåíèå F
÷àñòè÷íûì îòîáðàæåíèåì èç
Åñëè
F
B
â
A.
ðàçíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç
âçàèìíîîäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì èç
−1
A
A íà B ,
íà B . Â
òî îíî íàçûâàåòñÿ
ýòîì ñëó÷àå ëåãêî
F
âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç B íà A.
F : A → B áóäåò îáîçíà÷àòü,÷òî F îòîáðàæåíèå èç A â B ,
F : A 99K B áóäåò îáîçíà÷àòü, ÷òî F ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå
ïîêàçàòü, ÷òî
Çàïèñü
à çàïèñü
èç
A
â
B.
F : A 99K B
Ïóñòü
è
G : B 99K C
êîìïîçèöèåé íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
ñëó÷àå îòíîøåíèå
F ◦G
äâà ÷àñòè÷íûõ îòîáðàæåíèÿ. Èõ
F ◦ G. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì
A â C . Çàìåòèì,
÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå èç
÷òî êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé âñåãäà ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì.
f , çíà÷åíèÿìè êîòîðîãî
x
∈
A
ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà Bx , ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü
S
S
{Bx | x ∈ A}.
x∈A Bx äëÿ ìíîæåñòâà
Åñëè èìååòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå
ýëåìåíòîâ
çíà÷åíèå
8
äëÿ
îáî-
1
Àëôàâèòû è ÿçûêè
×òî òàêîå ÿçûê âîîáùå âîïðîñ î÷åíü íåïðîñòîé, ýòîìó âîïðîñó ïîñâÿùåíû èññëåäîâàíèÿ â öåëîì ðÿäå íàóê. ßçûêè áûâàþò ðàçíûìè. Ýòî
è îáû÷íûå ÿçûêè, ñëóæàùèå äëÿ îáùåíèÿ ëþäåé, áþðîêðàòè÷åñêèå âàðèàíòû åñòåñòâåííûõ ÿçûêîâ, ïðîôåññèîíàëüíûå æàðãîíû, ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ÿçûêè äëÿ ñâÿçè ìåæäó êîìïüþòåðàìè, ÿçûêè æåñòîâ,
ÿçûêè èêîíîê íà äèñïëåå êîìïüþòåðà, ÿçûê äîðîæíûõ çíàêîâ, âèäèìî
ìîæíî â êàêîìòî ñìûñëå ãîâîðèòü î ÿçûêå èñêóññòâà è ò.ï.
Çäåñü ìû áóäåì èçó÷àòü ôîðìàëüíûå ÿçûêè. Ê íàì îòíîñÿòñÿ â ïåðâóþ
î÷åðåäü ÿçûêè, èñïîëüçóåìûå ïðè ðàáîòå ñ êîìïüþòåðîì (â ÷àñòíîñòè
ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ) è ÿçûêè, èñïîëüçóåìûå â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ýòè ÿçûêè ïîääàþòñÿ èçó÷åíèþ ñòðîãèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ãîâîðèòü î ÿçûêå â òî÷íûõ òåðìèíàõ, íåîáõîäèìî
ïðåæäå âñåãî çàôèêñèðîâàòü àëôàâèò êîíå÷íîå (îáû÷íî íåïóñòîå)
A = {a0 , a1 , . . . , an }. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû çàôèêàëôàâèò A. Ïîä ñëîâîì â àëôàâèòå A ìû áóäåì
ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ
ñèðîâàëè íåêîòîðûé
ïîíèìàòü ëþáóþ êîíå÷íóþ öåïî÷êó ñèìâîëîâ èç ýòîãî àëôàâèòà, âêëþ÷àÿ ïóñòîå ñëîâî, íå ñîäåðæàùåå ñèìâîëîâ, è îáîçíà÷àåìîå
ëÿåòñÿ òàêæå âûðàæåíèå ñëîâî íàä àëôàâèòîì
ñëîâà â àëôàâèòå
{a, b},
A.
Λ.
Íàïðèìåð,
Óïîòðåá-
a, abba, Λ
à
íóáûâàþòæåòàêèåñòðàííûåñëîâà, àáðàêàäàáðà, áâãæþðñò
{à, á, â,. . . , ý, þ, ÿ}. Ïóñòü A∗ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî
+
âñåõ ñëîâ íàä àëôàâèòîì A, à A îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ
+
ñëîâ íàä àëôàâèòîì A, ò.å., A
= A∗ \ {Λ}. Áóäåì îáîçíà÷àòü äëèíó
ñëîâà α ÷åðåç |α| (ïðè ýòîì êîíå÷íî æå |Λ| = 0).
∗
Ëþáîå ìíîæåñòâî L ⊆ A áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíûì ÿçûêîì íàä
àëôàâèòîì A.
ñëîâà â àëôàâèòå
Îïðåäåëèì íåêîòîðûå îïåðàöèè íàä ñëîâàìè è ÿçûêàìè.
Êîíêàòåíàöèÿ ñëîâ
v
w ýòî áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå ñëîâ
(A∗ )2 â A∗ ), ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ êîòîðîé ê
ñëîâàì v è w ÿâëÿåòñÿ ñëîâî, ïîëó÷àþùååñÿ ïðèïèñûâàíèåì ê v ñëîâà w
ñïðàâà, òî åñòü ñëîâî vw . Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå v ◦ w .
è
(òî åñòü îòîáðàæåíèå èç
Ïðèìåðû. Êîíêàòåíàöèÿ ñëîâ àáðà è êàäàáðà åñòü ñëîâî àáðàêàäàáðà.
Îòìåòèì íåêîòîðûå äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûå ñâîéñòâà êîíêàòåíàöèè:
9
•
êîíêàòåíàöèÿ ñ ïóñòûì ñëîâîì íå èçìåíÿåò ïåðâîíà÷àëüíîå ñëîâî:
Λ ◦ v = v ◦ Λ = v.
•
êîíêàòåíàöèÿ àññîöèàòèâíà: äëÿ ëþáûõ ñëîâ
ðàâåíñòâî
u, v , w
âûïîëíåíî
u(vw) = (uv)w.
Îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñøèðÿåòñÿ íà ÿçûêè. Êîíêàòåíàöèÿ ÿçûêîâ
L0
è
L1
îïðåäåëÿåòñÿ, êàê
L0 L1 = {uv | u ∈ L0 , v ∈ L1 }.
Ïîíÿòèå ïîäñëîâà. Ñëîâî
β
íàçûâàåòñÿ ïîäñëîâîì ñëîâà
γ0
è
γ1
â ñëîâî
α
íàçîâ¼ì òðîéêó
α,
åñëè ñó-
α = γ0 βγ1 . Ïðè ýòîì âõîæäåíèåì
hγ0 , β, γ1 i. Íàçîâ¼ì ñàìûì ëåâûì
âõîæäåíèåì ïîäñëîâà β â ñëîâî α òàêóþ òðîéêó hγ0 , β, γ1 i ñ íàèìåíüøèì
âîçìîæíûì çíà÷åíèåì äëèíû ñëîâà γ0 . Íàïðèìåð ñëîâî áàîáàá èìååò äâà
ðàçíûõ âõîæäåíèÿ ïîäñëîâà áà: Λ ◦ áà ◦ îáàá è áàî ◦ áà ◦ á. Ïåðâîå èç
ùåñòâóþò ñëîâà
ïîäñëîâà
β
òàêèå, ÷òî
íèõ áóäåò ñàìûì ëåâûì âõîæäåíèåì.
Ïî àíàëîãèè ñ óìíîæåíèåì ìîæíî îïðåäåëèòü ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äëÿ ñëîâ, à èìåííî:
w0 = Λ;
wn+1 = wn w,
Èëè ìåíåå ôîðìàëüíî:
wn = w
. . w}.
| .{z
n ðàç
Îïåðàöèÿ çâåçäî÷êà Êëèíè (èëè ïðîñòî çâåçäî÷êà ). Îíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
L∗ = {w|w = w1 w2 . . . wn ,
è äëÿ íåêîòîðûõ
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ÿçûêà
äëÿ íåêîòîðîãî
n = 0, 1, 2, . . .
w1 , . . . , wn ∈ L}.
L
âûïîëíåíî
Λ ∈ L∗ .
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ
è äîïîëíåíèÿ ÿçûêîâ. Ïîñêîëüêó â ýòèõ ñëó÷àÿõ ÿçûêè âûñòóïàþò êàê
îáûêíîâåííûå ìíîæåñòâà, ñïåöèàëüíî îïðåäåëÿòü ýòè îïåðàöèè íåò ñìûñëà. Ñòîèò òîëüêî îòìåòèòü, ÷òî äîïîëíåíèå ÿçûêà
L ⊆ A∗
îáû÷íî ïîíè-
∗
ìàåòñÿ êàê äîïîëíåíèå îòíîñèòåëüíî A , òî åñòü êàê ìíîæåñòâî
10
A∗ \ L .