16. Сходимость почти наверное и сходимость по вероятности

16. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå è ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè
16.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξn ) ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ, åñëè
P{ω : ξn (ω) → ξ(ω) ïðè n → ∞} = 1.
Îáîçíà÷åíèå: ξn → ξ ï.í.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξn ) ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ, åñëè
äëÿ ëþáîãî ε > 0 èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü
P{ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε} → 0,
n → ∞.
Îáîçíà÷åíèå: ξn →P ξ.
Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå:
n
o
ξn → ξ ï.í. ⇔ ∀ε > 0 P ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε → 0,
n → ∞.
k≥n
16.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
Ïóñòü ξn → ξ è ξn → η ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî P{ξ = η} = 1. Ñïðàâåäëèâ ëè àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ
ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè?
Ïóñòü ξn → ξ è ηn → η ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî
a) aξn + bηn → aξ + bη ï.í. (a, b ∈ R);
á) |ξn | → |ξ| ï.í.;
â) ξn ηn → ξη ï.í.
Óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè.
Ïóñòü (ξn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñõîäèòñÿ ðÿä
∞
P
P{|ξn − ξ| > ε} < ∞. Äîêàçàòü, ÷òî ξn → ξ ï.í.
n=1
Èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå.
Ïóñòü
a) ξn èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì pn ;
á)∗ ξn ∼ Bin(n, pn ).
Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà pn äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ξn ) èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè?
à) pn → 0 èëè pn → 1; á) npn → 0.
Ïðèâåñòè è îáñóäèòü ïðèìåð, êîãäà ξn →P ξ, íî ξn 6→ ξ ï.í.
1.
2.
3.
Óêàçàíèå.
4.
Îòâåò.
5.
16.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
Ïóñòü (ξn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, P{ξn = eαn } = e−βn , P{ξn = e−αn } = 1 − e−βn .
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α è β ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ξn →P 0?
Åñëè β = 0, òî α < 0; åñëè β > 0, òî α > 0.
Ïóñòü ξn → a 6= 0 ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî ξ1 → a1 ï.í. Óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ñõîäèìîñòè
ïî âåðîÿòíîñòè.
∗
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξn ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàòü,
÷òî äèñïåðñèÿ ïðåäåëà ðàâíà 0.
6.
Îòâåò.
7.
n
8.
1