Методы оптимизации - Томский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И
РАДИОТЕХНИКИ
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по курсу «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»
Факультет экономический
Профилирующая кафедра
каф. ЭМИС
2010
1.
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
Цель дисциплины – изучение основных категорий и методов оптимизации как
современного научного направления, возможностей и особенностей использования
оптимизационных методов в решении практических задач оптимального управления.
Задачи дисциплины – научить студентов классифицировать задачи оптимизации;
выбирать метод решения задач оптимизации; проверять выполнение условий сходимости
методов; использовать компьютерные технологии реализации методов исследования
операций и методов оптимизации.
Для изучения дисциплины необходимы знания по следующим дисциплинам: «Высшая
математика», включая дифференциальное исчисление, математический анализ и линейную
алгебру, «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы».
2.
Содержание дисциплины
Лекции
Лекция 1. Основы теории оптимизации
Начальные сведения о задачах оптимизации: постановка и классификация задач,
существование оптимального решения. Прямые условия оптимальности. Понятия о методах
оптимизации. Классификация методов оптимизации. Примеры задач из области
оптимизации.
Лекция 2-3. Методы одномерной и многомерной оптимизации
Определение производной и ее геометрический смысл. Правила дифференцирования.
Экстремумы функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия минимума
гладких функций одной переменной. Геометрическое и математическое доказательство.
Дифференциал функции одной переменной.
Экстремумы функции многих переменных. Условия первого и второго порядков.
Квадратические формы. Условия положительной определенности квадратических форм.
Частные производные, градиент, дифференциал. Необходимые и достаточные условия
минимума гладких функций нескольких переменных.
Лекция 4-5. Оптимизационные задачи с ограничениями
Задачи на условный экстремум. Решение задач с ограничениями типа равенств. Метод
исключения. Метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа. Градиентные методы.
Решение задач на условный экстремум с ограничениями типа неравенств. Приближенные
методы нахождения экстремума. Вычислительные процедуры.
Лекция 6-13. Прикладные задачи оптимизации
Задачи линейного программирования (ЗЛП). Постановка задачи линейного
программирования. Формализация задачи. Методы решения задач линейного
программирования: геометрический, симплекс-метод, искусственного базиса.
Теория двойственности. Общие правила построения двойственной задачи. Лемма о
взаимной двойственности. 1-ая и 2-ая теоремы двойственности. Одновременное решение
прямой и двойственной задач. Использование 2-ой теоремы двойственности для проверки на
оптимальность решения ЗЛП. Двойственный симплекс-метод. Анализ устойчивости ЗЛП.
Транспортная задача, ее свойства, модификации. Постановка транспортной задачи.
Закрытые и открытые модели. Транспортные задачи с ограничениями. Метод потенциалов
решения транспортной задачи.
Задачи целочисленного линейного программирования. Постановка задачи
целочисленного программирования. Метод отсечения. Метод Гомори. Метод ветвей и
границ.
Задачи выпуклого программирования. Производная по направлению и градиент.
Выпуклые функции. Постановка задачи выпуклого программирования. Приближенное
решение задачи выпуклого программирования методом кусочно-линейной аппроксимации.
Методы спуска. Приближенное решение задачи выпуклого программирования градиентным
методом. Понятие о параметрическом и стохастическом программировании.
Задачи динамического программирования. Общая постановка. Принцип оптимальности
и уравнение Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема
применения метода динамического программирования. Задача об оптимальном
распределении ресурсов. Задача о замене оборудования. Оптимизация на графах.
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Лекция 14-16. Численные методы оптимизации
Задачи одномерной оптимизации. Методы дихотомии, Фибоначчи, «золотого сечения».
Методы поиска с использованием квадратичной аппроксимации, метод кубической
аппроксимации. Многомерная оптимизация без ограничений. Модели и условия сходимости
численных методов. Градиентные и квазиньютоновские методы в R n. Методы сопряженных
градиентов.
Многомерная оптимизация с ограничениями. Метод проекции градиента. Метод
условного градиента. Метод возможных направлений. Методы внешних штрафных функций,
методы внутренних штрафных функций, комбинированные методы штрафных функций,
модифицированные методы штрафных функций. Основные численные методы безусловной
оптимизации (методы нулевого, первого и второго порядка).
Практические занятия
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Экстремумы функции одной переменной.
Экстремумы функции многих переменных.
Метод исключения.
Метод множителей Лагранжа.
Градиентные методы.
Приближенные методы нахождения экстремума.
Выпуклые и вогнутые множества. Дифференцируемость по направлению.
Постановка задачи математического программирования. Постановка задачи
выпуклого программирования.
Постановка задачи линейного программирования. Свойства ЗЛП.
Опорные решения. Базис опорного плана.
Геометрическая интерпретация и графическое решение ЗЛП.
Симплекс-метод решения ЗЛП.
Метод искусственного базиса .
Определение двойственной ЗЛП. Общие правила построения двойственной задачи .
Одновременное решение прямой и двойственной задач. Двойственный симплексметод.
Транспортная задача. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
17. Анализ устойчивости ЗЛП.
18. Задачи целочисленного линейного программирования. Метод отсечения Гомори.
Метод ветвей и границ.
19. Задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение
Беллмана.
20. Задача об оптимальном распределении ресурсов. Задача о замене оборудования .
21. Постановка задачи одномерной оптимизации .
22. Метод дихотомии. Метод Фибоначчи. Метод «золотого сечения» .
23. Методы поиска с использованием квадратичной и кубической аппроксимации .
24. Задача многомерной оптимизации без ограничений.
25. Модели и условия сходимости численных методов.
26. Градиентные и квазиньютоновские методы в Rn .
27. Методы сопряженных градиентов.
28. Задача многомерной оптимизации с ограничениями.
29. Метод проекции градиента. Метод условного градиента.
30. Метод возможных направлений.
31. Методы внешних и внутренних штрафных функций. Комбинированные методы
штрафных функций.
32. Модифицированные методы штрафных функций.
3.
Учебно-методические материалы по дисциплине
3.1. Основная литература
1. Курс методов оптимизации : Учебное пособие для вузов / А. Г. Сухарев, А. В.
Тимохов, В. В. Федоров ; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. 2-е изд. - М. : Физматлит, 2005. - 367 с. - ISBN 5-9221-0559-0 (30 экз)
2. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие для
втузов. - М.: Высшая школа, 2002. - 544 с. ISBN 5-06-004137-9 (71 экз)
3.2. Дополнительная литература
1. Мицель А.А. Методы оптимизации : Учебное пособие / А. А. Мицель, А. А.
Шелестов - Томск : ТУСУР, 2004. - 255с. - ISBN 5-86889-208-9 (5 экз)