исследование операций и методы оптимизации

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ
ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Программа дисциплины
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Москва
2003
Программа дисциплины «Исследование операций и методы оптимизации» составлена в
соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму
содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра)
по циклу «Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины»
государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования
второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и
модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках программы
«Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»
Инновационного проекта развития образования.
Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда
подготовки кадров в рамках программы «Совершенствование преподавания социальноэкономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования.
Автор (составитель)
д.ф.-м.н., проф. Ширяев В.И., Южно-Уральский государственный университет
к.ф.-м.н., доц. Турлакова Светлана Ульмджиевна, Южно-Уральский государственный
университет
Рецензенты: __________________________________________________________________
(ФИО, ученая степень, ученое звание, вуз)
Организационно-методический раздел
1. Цель курса
Дать представление студентам о принципах и методах математического
моделирования операций, познакомить с основными типами задач исследования операций
и методами их решения для практического применения.
I.
2. Задачи курса
Научить студентов использовать методологию исследования операций; выполнять все
этапы операционного исследования; внедрять результаты операционного исследования;
классифицировать задачу оптимизации; выбирать метод решения задач оптимизации;
проверять выполнение условий сходимости методов; использовать компьютерные
технологии реализации методов исследования операций и методов оптимизации.
3. Методическая новизна курса (новые методики, формы работы, авторские приемы в
преподавании курса)
Предлагаемая рабочая программа включает в себя изучение основ математического
программирования, при этом предполагается за счет самостоятельной работы студентов с
пакетами прикладных программ, сократить количество часов традиционно отводимых для
изучения темы «Задачи линейного программирования». Также представляется
необходимым включить в круг рассматриваемых вопросов задачи стохастического
программирования.
4. Место курса в системе социогуманитарного образования
Для успешного овладения дисциплиной требуется предварительное изучение
следующих дисциплин: «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Численные
методы», «Теория вероятности».
Является базовой для дисциплин «Теория систем и системный анализ»,
«Динамическая теория фирмы», «Модели финансовых рынков», «Математические методы
социально-экономического прогнозирования»,
«Теория организации»,
«Теория
экономической устойчивости», «Анализ инвестиционных проектов», «Международные
финансы», «Модели социально-экономического развития региона», «Математические
модели демографических процессов».
Предполагается изучение и использование в учебном процессе современных
прикладных программных продуктов, позволяющих решать рассматриваемые задачи.
5. Требования к уровню освоения содержания курса
В результате изучения данного курса студенты должны изучить:
Основные этапы операционного исследования, математическое моделирование операций
и математические модели типичных операций (производственного планирования,
сетевого планирования и управления, управления запасами); различные типы задач
исследования операций, основы выпуклого программирования, основные понятия и
методы теории линейного программирования, модели и условия сходимости численных
методов, применяемых для оптимизационных задач;
также студенты должны быть ознакомленными с постановкой и методами решения задач
стохастического, дискретного, квадратичного программирования.
II.
Содержание курса
1. Новизна курса (научная, содержательная; сравнительный анализ с подобными
курсами в России и за рубежом)
2. Разделы курса
Предмет исследования операций и его методология.
Элементы выпуклого анализа.
Основы математического программирования.
Задача линейного программирования.
Численные методы оптимизации.
Многокритериальные задачи исследования операций.
3. Темы и краткое содержание
Тема 1. Предмет исследования операций и его методология.
История и современный статус исследования операций (ИО). Основные понятия ИО.
Основные особенности ИО. Основные этапы ИО. Математическое моделирование
операций. Классификация экономико-математических моделей. Преимущества и
недостатки использования моделей. Принципы моделирования. Проверка и корректировка
модели. Подготовка модели к эксплуатации. Внедрение результатов операционного
исследования.
Тема 2. Элементы выпуклого анализа.
Понятие отрезка в n-мерном пространстве. Понятие выпуклого множества.
Выпуклость гиперплоскости и полупространства. Теорема о пересечении выпуклых
множеств. Проекция точки на множество. Понятие крайней точки выпуклого множества.
Теоремы отделимости. Выпуклые и вогнутые множества. Дифференцируемость по
направлению.
Тема 3. Основы математического программирования.
Основная задача математического программирования. Основная задача выпуклого
программирования. Возможные направления. Условие регулярности Слейтера. Функция
Лагранжа. Условия оптимальности. Теорема Куна-Таккера.
Тема 4. Задача линейного программирования.
Основная задача линейного программирования (ЗЛП). Свойства ЗЛП. Разрешимые и
неразрешимые ЗЛП. Опорные решения. Базис опорного плана. Геометрическая
интерпретация и графическое решение ЗЛП.
Симплекс-метод. Метод искусственного базиса. Вырожденность.
Теория двойственности. Определение двойственной ЗЛП. Общие правила построения
двойственной задачи. Лемма о взаимной двойственности. 1-ая и 2-ая теоремы
двойственности. Одновременное решение прямой и двойственной задач. Использование 2ой теоремы двойственности для проверки на оптимальность решения ЗЛП.
Экономические приложения. Двойственный симплекс-метод.
Анализ устойчивости ЗЛП.
Транспортная задача и ее свойства. Метод потенциалов для решения транспортной
задачи. Закрытые и открытые модели. Транспортные задачи с ограничениями.
Тема 5. Задачи целочисленного линейного программирования, экономические
приложения. Метод отсечения Гомори. Метод ветвей и границ.
Тема 6. Задачи стохастического программирования.
Тема 7. Численные методы оптимизации.
Задачи одномерной оптимизации. Методы дихотомии, Фибоначчи, «золотого
сечения». Методы поиска с использованием квадратичной аппроксимации, метод
кубической аппроксимации.
Многомерная оптимизация без ограничений. Модели и условия сходимости
численных методов. Градиентные и квазиньютоновские методы в Rn. Методы
сопряженных градиентов.
Многомерная оптимизация с ограничениями. Метод проекции градиента. Метод
условного градиента. Метод возможных направлений. Методы внешних штрафных
функций, методы внутренних штрафных функций, комбинированные методы штрафных
функций, модифицированные методы штрафных функций.
Тема 8. Многокритериальные задачи исследования операций.
Основные понятия и определения. Эффективные и слабоэффективные решения.
Построение множества эффективных решений и проверка эффективности выделенного
решения. Свертывание критериев.
4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной
работы
Тема 1
1. Что называется операцией?
2. Что составляет предмет исследования операций?
3. Назовите основные этапы операционного исследования и дайте их краткую
характеристику.
4. Классификация экономико-математических моделей.
5. Сформулируйте основные принципы моделирования.
Тема 2
1. Определение выпуклого множества.
2. Что называется проекцией точки на множество.
3. Что такое гиперплоскость?
4. Теорема о пересечении выпуклых множеств.
5. Понятие крайней точки выпуклого множества.
6. Теоремы отделимости.
7. Сформулируйте определения выпуклых и вогнутых множеств.
Тема 3
8. Сформулируйте основную задачу математического программирования.
9. Сформулируйте основную задачу выпуклого программирования.
10. Определение возможного направления.
11. Сформулируйте условие регулярности Слейтера.
12. Дайте определение седловой точки.
13. Сформулируйте достаточное условие оптимальности.
14. Теорема Куна-Таккера.
Тема 4
15. Сформулируйте основную задачу линейного программирования в канонической
форме.
16. Докажите эквивалентность различных форм записи ЗЛП.
17. Что такое опорные решения?
18. Как определяется базис опорного плана?
19. В чем состоит идея симплекс-метода?
20. Как осуществляется выбор переменной для вывода из базиса?
21. Как осуществляется выбор переменной для ввода в базис?
22. Сходимость симплекс-процедуры.
23. Признаки неразрешимости задачи линейного программирования.
24. В каких случаях применяется метод искусственного базиса?
25. Какой базисный план называется вырожденным?
26. Объясните экономический смысл двойственной задачи.
27. Какие существуют методы построения начального опорного плана транспортной
задачи?
Тема 5
28. Сформулируйте задачу целочисленного линейного программирования.
Тема 7
29. В чем состоит свойство унимодальности функции?
30. Являются ли методы исключения интервалов в целом более эффективными, чем
методы точечного оценивания?
31. Как принимается решение об окончании поиска при реализации поисковых методов?
Что понимается под принципиальным алгоритмом, реализуемым алгоритмом?
Какие точки называются желательными?
Сформулируйте условия сходимости градиентных и квазиньютоновских методов.
Какие методы одномерного поиска применяются в алгоритмах минимизации
выпуклых и невыпуклых функций?
36. Сформулируйте условия сходимости методов сопряженных градиентов.
37. Для чего и как осуществляется восстановление алгоритмов в методах сопряженных
градиентов?
38. Сформулируйте условия сходимости методов внешних и внутренних штрафных
функций.
39. Приведите примеры штрафных функций.
Тема 8
40. Какие решения задач многокритериальной оптимизации называются эффективными,
слабоэффективными.
41. Опишите метод последовательных уступок.
42. Поясните основные особенности процесса принятия решений в многокритериальных
операциях.
32.
33.
34.
35.
5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ
1. Задачи линейного программирования с параметрами в функционале.
2. Задачи линейного программирования с параметрами в системе ограничений.
3. Алгоритмы решения сетевых задач.
4. Транспортная задача в матричной постановке. Венгерский метод.
5. Задачи геометрического программирования.
6. Задачи стохастического программирования.
7. Задачи дискретного программирования.
8. Задачи квадратичного программирования
9. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцига-Вульфа.
10. Двойственные многокритериальные задачи.
6. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу
1. Основные понятия исследования операций. Основные особенности ИО. Основные
этапы ИО.
2. Математическое
моделирование
операций.
Классификация
экономикоматематических моделей. Преимущества и недостатки использования моделей.
3. Принципы моделирования. Проверка и корректировка модели. Подготовка модели к
эксплуатации. Внедрение результатов операционного исследования.
4. Понятие отрезка в n-мерном пространстве. Понятие выпуклого множества.
5. Выпуклость гиперплоскости и полупространства. Теорема о пересечении выпуклых
множеств.
6. Проекция точки на множество. Понятие крайней точки выпуклого множества.
Теоремы отделимости.
7. Выпуклые и вогнутые множества. Дифференцируемость по направлению.
8. Постановка задачи математического программирования. Постановка задачи выпуклого
программирования.
9. Возможные направления. Условие регулярности Слейтера.
10. Функция Лагранжа. Условия оптимальности.
11. Теорема Куна-Таккера.
12. Постановка задачи линейного программирования. Свойства ЗЛП. Разрешимые и
неразрешимые ЗЛП.
13. Опорные решения. Базис опорного плана.
14. Геометрическая интерпретация и графическое решение ЗЛП.
15. Симплекс-метод.
16. Метод искусственного базиса.
17. Вырожденность ЗЛП.
18. Определение двойственной ЗЛП. Общие правила построения двойственной задачи.
19. Лемма о взаимной двойственности.
20. 1-ая и 2-ая теоремы двойственности.
21. Одновременное решение прямой и двойственной задач.
22. Двойственный симплекс-метод.
23. Транспортная задача и ее свойства. Закрытые и открытые модели.
24. Метод потенциалов для решения транспортной задачи.
25. Транспортные задачи с ограничениями.
26. Анализ устойчивости ЗЛП.
27. Задачи целочисленного линейного программирования, экономические приложения.
Метод отсечения Гомори. Метод ветвей и границ.
28. Постановка задачи одномерной оптимизации.
29. Метод дихотомии.
30. Метод Фибоначчи.
31. Метод «золотого сечения».
32. Методы поиска с использованием квадратичной аппроксимации.
33. Методы поиска с использованием кубической аппроксимации.
34. Задача многомерной оптимизации без ограничений.
35. Модели и условия сходимости численных методов.
36. Градиентные и квазиньютоновские методы в Rn.
37. Методы сопряженных градиентов.
38. Задача многомерной оптимизации с ограничениями.
39. Метод проекции градиента.
40. Метод условного градиента.
41. Метод возможных направлений.
42. Методы внешних штрафных функций.
43. Методы внутренних штрафных функций.
44. Комбинированные методы штрафных функций.
45. Модифицированные методы штрафных функций.
46. Многокритериальные задачи исследования операций. Основные понятия и
определения.
47. Эффективные и слабоэффективные решения. Построение множества эффективных
решений и проверка эффективности выделенного решения.
III.
Распределение часов курса по темам и видам работ
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
9
10
11
12
Наименование
тем и разделов
ВСЕГО
(часов)
Предмет исследования операций и
его методология.
Построение математических моделей.
Элементы выпуклого анализа
Основная задача
математического
программирования. Основная задача выпуклого
программирования.
Задача линейного
программирования. Графическое
решение ЗЛП.
Симплекс-метод
Метод искусственного базиса.
Вырожденность.
Теория двойственности.
Двойственный
симплекс-метод.
Анализ устойчивости ЗЛП
Задачи целочисленного линейного программирования
Транспортная
задача
Задачи стохастического программирования
Задачи одномерной оптимизации.
Многомерная оптимизация без ограничений.
Многомерная оптимизация с ограничениями.
Многокритериаль
ные задачи исследования операций
ИТОГО:
10
Аудиторные занятия
(час)
в том числе
Лекции
Семинары
2
2
Самостоятель
ная работа
6
8
2
-
6
14
4
2
8
9
3
2
4
10
10
2
2
2
2
6
6
10
2
2
6
7
1
2
4
7
1
-
6
8
2
-
6
7
1
2
4
8
2
-
6
12
4
4
4
14
4
6
6
22
6
8
6
8
2
2
4
164
40
36
88
V.
V.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Форма итогового контроля - экзамен
Учебно-методическое обеспечение курса
1. Рекомендуемая литература (основная)
Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М.:Мир,1971. -534 с.
Вагнер Г. Основы исследования операций. Т.1.- М.:Мир,1972; Т.2,3, 1973.
Вентцель Е.С. Исследование операций.-М.: Наука, 1980.
Исследование операций в экономике. По ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 1997.
Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике. –
СПб.: Питер, 1999.
Конюховский П. Математические методы исследования операций. Пособие для
подготовки к экзамену. – СПб.: Питер, 2001.
Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.488 с.
Полак Э. Численные методы. Единый подход. -М.:Мир,1974. 376 с.
Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации.- М.: Наука,
1986.- 328 с.
2. Рекомендуемая литература (дополнительная)
1. Абрамов Л.Ф. Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-во Ленингр.
ун-та,1976. - 184 с.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1988.
3. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций.-М.: Наука, 1971.
4. Давыдов Э.Т. Исследование операций.- М.:Высш.шк., 1990.
5. Жуковский В.И., Молоствов В.С. Многокритериальное принятие решений в условиях
неопределенности.-М.:МНИИПУ.,1988.-131 с.
6. Зайченко Ю.П. Исследование операций.- Киев:Вища школа, 1975.
7. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория.М.:Прогресс, 1975.
8. Исследование операций: В 2-х томах. Под. ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби.М.:Мир,1981.Т.1. 712 с.
9. Исследование операций: В 2-х томах. Под. ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби.М.:Мир,1981.Т.2. 677 с.
10. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию.-М.:
Высш.школа, 1975.
11. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.,
1964. 839 с.
12. Карманов В.Г. Математическое программирование.- М.:Наука, 1975.
13. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и
замещения. Под. ред. И.Ф.Шахнова.-М.: Радио и связь,1981.-560 с.
14. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и
упражнениях: Учебное пособие для студентов вузов, обуч. по спец. «Прикладная
математика».-М.:Высш.шк.,1986.- 287с.
15. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных
задач.-М.: Наука, 1982, 256 с.
16. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн.-М.:Мир,
1986.
17. Современное состояние теории исследования операций/Под ред. Н.Н.Моисеева.-М.:
Наука, 1979.
18. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 1. -М.:Мир, 1985.- 496 с.
19. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 2. -М.:Мир, 1985.- 479 с.
20. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001.
21. Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации: Учебное
пособие.- Челябинск: ЧГТУ, 1993.- 88 с.
22. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и
приложения). М.,1969. 424 с.
6.Перечень обучающих, контролирующих компьютерных программ, кино- и телефильмов,
мультимедиа и т.п.
Пакеты прикладных программ – LINDO, LPP и др.