КОС по МП (бакалавры) Миллер

Министерство образования и науки Красноярского края
Краевое государственное бюджетное
профессиональное образовательное учреждение
«Канский технологический колледж»
СОГЛАСОВАНО:
Заместитель директора по учебной работе
Одобрена цикловой комиссией
«__________________________»
___________________С.А.Гончарова
Протокол №___ от ___________2012г
Председатель ЦК_______/______________
Комплект контрольно-оценочных средств
для оценки результатов освоения
основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)
по специальности СПО
230401 Информационные системы (по отраслям)
Дисциплина «Математическое программирование»
Автор И.В. Миллер
Канск, 2015
1
I. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств
Комплект контрольно-оценочных средств
«Математическое программирование» .
предназначен
для
оценки
результатов
освоения
дисциплины
В результате оценки осуществляется проверка следующих объектов:
Объекты оценивания
Показатели
Критерии
Место в
рабочей
програм
ме
Форма
аттестации
Тип задания;
(в соответствии с
учебным планом)
уметь:
-составлять математическую
модель задачи линейного
программирования
- введены переменные задачи;
- построение математической модели к - составлена система ограничений;
задаче;
-задана целевая функция
- определен тип задачи, по
которому строится математическая
модель
Т1.1.1,
Текущий контроль
Пр.р №1
Итоговый
контроль ОБК
- перевод задачи линейного
программирования от одной формы
записи к другой
- представлен переход от одной
формы модели к другой
Т 1.1.2
-составление двойственной задачи к
исходной
-установлена связь при переходе к
двойственной задаче
Т 1.4.1
Текущий контроль
Пр.р №1
Итоговый конт
ОБК
Текущий контроль
Пр.р №5
Итоговый
контроль ОБК
2
-применять геометрический и
симплексный метод при
решении задач линейного
программирования
-решать транспортные,
целочисленные задачи
- решение систем линейных
неравенств геометрическим методом
-метод решения описан полно и
точно;
Т 1.2.1
- определение области решения задачи
-указана область решений и
определены вершины
Т 1.2.1
-нахождение экстремальных значений
-найдены
координаты
точки
экстремума (точки «входа» или
«выхода», в зависимости от условия
) и значение ЦФ в ней
Т 1.2.1
- решение задачи линейного
программирования симплекс-методом
-составлена модель задачи;
-заполнена симплекс-таблица
-найдено опорное решение
- проведено улучшение опорного
решения
-найдено оптимальное решение
Т 1.3.1
Т 1.3.2
Текущий контроль
Пр.р №3,4
-составление двойственного симплексметода
-составлена двойственная задача
-заполнена двойственная симплекс
таблица
- найдено оптимальное решение
- составлена математическая модель
- определен тип задачи (открытия
или закрытая)
-заполнена таблица стоимости
перевозок
- составлен опорный план
- применение и сопоставление
методов минимального элемента и
северо-западного угла при
Т 1.4.2
Текущий контроль
Пр.р №5
Т 1.5.1
Текущий контроль
Пр.р №6,7
Итоговый конт
ОБК
-построение транспортной задачи
Текущий контроль
Пр.р №2
Итоговый
контроль ОБК
Текущий контроль
Пр.р №2
Итоговый
контроль ОБК
Текущий контроль
Пр.р №2
Итоговый
контроль ОБК
3
-построение алгоритма метода
потенциалов
- построение задачи целочисленного
программирования
- описание методов решения
целочисленных задач
Знать:
основы
программирования
нахождении оптимального решения
-найдены потенциалы
- проверены оценки
-построен цикл пересчета
-указано решение
-составлена модель задачи
- определен ход решения
-методы решения (не меньше двух)
Т 1.5.2
Текущий контроль
Пр.р №6,7
Итоговый конт
ОБК
Т 1.6.1
Текущий контроль
Пр.р №8,9
Т 1.6.2
Текущий контроль
Пр.р №8,9
описаны точно и полно
линейного Перечисление видов математической
модели
Определение форм записи ЗЛП
Построение алгоритма решения
простейших задач линейного
программирования с двумя
переменными геометрическим
методом
Приведены примеры не менее трех
видов моделей;
составлены задачи по одной из трех
форм записи ЗЛП
-построены координатные оси
Х1ОХ2 и с учетом коэффициентов
математической модели, выбран
масштаб.
-Найдена область допустимых
решений (ОДР) системы
ограничений математической
модели.
- построена прямая целевой
функции и указано направление
наискорейшего ее изменения
(нормаль-gradL).
-определены точки экстремума ЦФ
Т 1.1.1
Т 1.1.2
Т 1.2.1
Устный опрос
Пр.р.№1
Устный опрос
Пр.р.№1
Пр.р.№2,3,4,8
4
-определение понятия оптимального
решения
-перечисление этапов построения
симплекс таблицы;
-перечисление этапов построения
таблиц транспортной задачи;
-методы
нахождения
опорного
решения транспортной задачи
- описание целочисленных задач
-сформулировано понятие
оптимального решения
-построение описано точно и полно
-построение этапов описано точно и
полно
-названо не менее трех методов
нахождения решения
-приведено не менее трех примеров
задач целочисленного решения;
составлена модель, перечислены
методы решения
основы
нелинейного Определение задачи нелинейного
-приведено не менее трех примеров
программирования
программирования
задач нелинейного
программирования,
сформулированы основные понятия
- перечисление методов решения задач -представлено не менее двух
методов решения задач
-построение
алгоритма
решения -геометрический метод описан
простейших
задач
нелинейного точно и полно
программирования
с
двумя
переменными
геометрическим
методом.
Т 1.2.1
Пр.р.№3,4,8
Т 1.3.1,
Т 1.3.2
Т 1.5.1
Пр.р.№3,4,8
Т 1.5.2
Пр.р. № 7
Т 1.6.1
Пр.р. № 8,9
Т 2.1.1
Устный опрос,
Пр.р.№10
Т 2.1.1
Устный опрос,
Пр.р. № 6
Пр.р.№10
Т 2.1.1
Устный опрос,
Пр.р.№10
5
Министерство образования и науки Красноярского края
краевое государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«КАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Разработано преподавателем:
_____И.В.Миллер
Рассмотрено и одобрено
цикловой комиссией
Математика и информатика
протокол № ____ от ___________20___г.
Председатель комиссии:
_________Ю.А.Хлебникова_
Составлено в соответствии
с основной профессиональной
образовательной программой прикладного
бакалавриата по специальности среднего
профессионального образования 230401
Информационные системы (по отраслям)
укрупненной группы направлений
подготовки и специальностей 230000
Информатика и вычислительная техника
Зам. директора по учебной работе
____________
С.А.Гончарова
ЗАДАНИЕ
для выполнения обязательной контрольной работы по дисциплине
Математическое программирование
для студентов 3 курса, обучающихся по специальности 230401
Информационные системы (по отраслям)
(код, название специальности)
Обязательная контрольная работа проводится в соответствии с учебным планом
230401 Информационные системы (по отраслям)
________________________________________________________________
______________________________________________________________________
(код, название специальности)
Цель обязательной контрольной работы______________проверка навыков, необходимых
для дальнейшего усвоения дисциплин, связанных с предметом.
Задание составлено по вариантам____ 4 вариантам
Включены темы Моделирование задач линейного программирования, Геометрический
метод решение задач линейного программирования, Двойственные задачи линейного
программирования, Транспортные задачи.
6
Обязательная контрольная работа
Текст контрольной работы
Вариант 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
1) Задачами целочисленного программирования (ЗЦП) называются:
1) ЗЛП с условием целочисленности переменных;
2) ЗНП с условием целочисленности переменных;
3) ЗЛП или ЗНП с условием целочисленности переменных;
4) ЗЛП или ЗНП с условием целочисленности значений ЦФ
2)Если в двойственной ЗЛП требуется максимизация ЦФ, то в исходной ЗЛП
требуется:
1) максимизация ЦФ;
2) минимизация ЦФ;
3) оптимизация ЦФ;
4) максимизация или минимизация ЦФ.
3) ЗЛП с ограничениями-неравенствами:
1) сводится к ЗЛП с ограничениями-равенствами;
2) не сводится к ЗЛП с ограничениями-равенствами;
3) имеет единственное решение;
4) имеет множество решений.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Решить графическим методом
L  3 x  2 y  max
 x  5 y  25,

4 x  y  24,
 x  0, y  0.

2. Записать в форме основной задачи ЛП
а) F=х1 -х2-3х3→min
 2 х1  х 2  х3  1
 3х  х  5

1
3

4 х1  2 х 2  х3  2
 х j  0, j  1,2,3
3. Заполнить таблицу транспортной задачи методом северо – западного угла. Записать
план решения
А – вектор мощностей поставщиков,
В – вектор мощностей потребителей,
С – матрица транспортных издержек.
Аi, i=1,2,3
52, 120, 95
B j, j=1,2,3,4
148, 81, 36, 2
9 3 5 7


Сij  1 6 5 9 
 6 9 5 5


7
4. Составить математическую модель
Для откорма цыплят в рацион необходимо включать не менее 28 ед. вещества А, 20 ед.
вещества В, 15 ед. в-ва С.для откорма используются 3 вида корма. Содержание веществ
А,В,С в первом корме 3 1 2 ед., во втором корме -4 2 1 ед. , в третьем - 4 1 5 ед.
соответственно. Стоимость 1 ед.-цы корма первого, второго, третьего25 , 20 , 20 ден.ед.
соответственно.
5. Записать задачу, двойственную данной
F = -x1 + x 2 + x 3  max
x 1 - 3x 2 + x 3  4

2x 1 + x 2 - 2x 3  1
x  0 x  0
3
 2
Вариант 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
1) Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной ЗЛП
получается из матрицы коэффициентов системы ограничений исходной ЗЛП:
1) обращением исходной матрицы;
2) транспонированием исходной матрицы;
3) без изменения исходной матрицы;
4) изменением исходной матрицы.
2) ЗЦП называется линейной целочисленной (ЦЗЛП), если:
1) ЦФ линейна;
2) ограничения линейны;
3) и ЦФ и ограничения линейны;
4) или ЦФ или ограничения линейны.
3) Если ОДР ЗЛП не ограничена, то:
1) минимального значения ЦФ не существует;
2) максимального значения ЦФ не существует;
3) оптимального значения ЦФ не существует;
4) экстремальное значение ЦФ не ограничено.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Решить графическим методом
L  4 x  5 y  max
5 x  2 y  75,
 x  y  22,


 x  2 y  40,
 x  0, y  0.
2. Записать в форме основной задачи ЛП
8
Z ( X )  4 x1  3 x 2  max,
 x1  x 2  5,
5 x  2 x  20,
 1
2

8 x1  3 x 2  0,
5 x1  6 x 2  0.
3. Заполнить таблицу транспортной задачи методом минимального элемента. Записать
план решения
А – вектор мощностей поставщиков,
В – вектор мощностей потребителей,
С – матрица транспортных издержек.
Аi, i=1,2,3
86, 49, 46
B j, j=1,2,3,4
31, 34, 53, 63
 9 4 6 3


Сij   5 5 2 8 
1 3 2 2 


4. Составить математическую модель
Фирма производит два вида изделия А и Б.Каждое изделие должно пройти обработку на
каждой из машин 1, 2 и 3. Время обработки (в часах) для каждого из изделий А на
машинах 1, 2 и 3 составляет 0,5 ч., 0,4ч. и 0,2 ч. соответственно, а для каждого из изделий
Б время обработки на этих машинах равно соответственно 0,25 ч., 0,3 ч. и 0,4 ч.
Ресурсы времени работы машин 1, 2 и 3 типов составляют 40; 36 и 36 часов в неделю
соответственно; прибыль от изделий А и Б равна соответственно 5 и 3 ден. Единиц за одно
изделие. Определить недельный план выпуска изделий А и Б, максимизирующий
прибыль.
5. Записать задачу, двойственную данной
F = -x1 + x 2 + x 3  max
x 1 - 3x 2 + x 3  4

2x 1 + x 2 - 2x 3  1
x  0 x  0
3
 2
Вариант 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
1) ЗЦП называется линейной целочисленной (ЦЗЛП), если:
1) ЦФ линейна;
2) ограничения линейны;
3) и ЦФ и ограничения линейны;
4) или ЦФ или ограничения линейны.
2) Количество переменных в двойственной ЗЛП в общем случае:
1) равно количеству переменных в исходной ЗЛП;
2) не равно количеству переменных в исходной ЗЛП;
3) равно количеству условий в системе ограничений исходной ЗЛП;
4) не равно количеству условий в системе ограничений исходной ЗЛП.
3) Если ОДР ЗЛП ограничена, то:
1) экстремальные значения ЦФ существуют и различны;
2) экстремальные значения ЦФ существуют и одинаковы;
9
3) экстремальные значения ЦФ существуют;
4) экстремальные значения ЦФ не существуют.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Решить графическим методом
L  x  3 y  min
 x  5 y  25,

4 x  y  24,
 x  0, y  2.

2. Записать в форме основной задачи ЛП
F=3х1 +х2-4х3→min
 2 х1  5 х 2  6 х3  10
 х  х  9x  5

1
2
3

 3 х1  8 х 2  12 х3  12

х j  0, j  1,2,3
3. Заполнить таблицу транспортной задачи методом северо – западного угла. Записать
план решения
А – вектор мощностей поставщиков,
В – вектор мощностей потребителей,
С – матрица транспортных издержек.
Аi, i=1,2,3
86, 148, 122
B j, j=1,2,3,4
131, 45, 12, 168
8 2 8 2 


Сij   9 8 9 8 
 4 9 4 8


4. Составить математическую модель
При подкормке посевов нужно внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического
вещества А, 21 единиц химического вещества Б и 16 единиц химического вещества В.
Агрофирма закупает комбинированные удобрения двух видов: М и К; содержание в
единице веса удобрений единиц веществ А, Б и В составляет для удобрения М 1,2 и 4, а
для удобрения К 5, 3 и 4 соответственно. Цена единицы веса удобрения М равна 5, а
удобрения К – 3 ден единиц. Составить наиболее экономичный план закупки удобрений в
расчете на 1 га почвы.
5. Записать задачу, двойственную данной
Z ( X )  2 x1  4 x2  min,
 5 x1  2 x2  0,

 x1  2 x2  8,
 x  3 x  3,
2
 1
x1  0, х2  0
10
Вариант 4
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
1) Наиболее известным методом для решения ЦЗЛП является:
1) симплекс-метод;
2) метод спуска;
3) метод ветвей и границ;
4) графический метод.
2 )Оптимальное значение ЦФ в исходной ЗЛП:
1) больше оптимального значения ЦФ в двойственной ЗЛП;
2) меньше оптимального значения ЦФ в двойственной ЗЛП;
3) равно оптимальному значению ЦФ в двойственной ЗЛП;
4) не равно оптимальному значению в двойственной ЗЛП.
.
3) Количество условий в системе ограничений исходной ЗЛП в общем случае:
1) равно количеству переменных в двойственной ЗЛП;
2) не равно количеству переменных в двойственной ЗЛП;
3) равно количеству условий в системе ограничений двойственной ЗЛП;
4) не равно количеству условий в системе ограничений двойственной ЗЛП
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Решить графическим методом
L  x  6 y  max
 x  5 y  25,

4 x  y  24,
6 x  5 у  30.

2. Записать в форме основной задачи ЛП
F=3х1+2х2-х3+x4→max
 х1  3 х 2  х3  15
 2х  х  х  5
1
2
3

3 х1  2 х 2  х 4  2
2 х  4 х  4 х  13
3
4
 1
х

0
,
j

1
,
2
,3,4
j

3. Заполнить таблицу транспортной задачи методом минимального элемента. Записать
план решения
А – вектор мощностей поставщиков,
В – вектор мощностей потребителей,
С – матрица транспортных издержек.
Аi, i=1,2,3
26, 1, 104
B j, j=1,2,3,4
63, 23, 28, 17
9 3 4 7


Сij   3 5 1 1 
8 9 4 2


4. Составить математическую модель
11
Предприятие имеет три группы станков, объемы загрузки которых ограниченны и
составляют соответственно 30, 24 и 3 станко-часов. Производительность каждой группы
станков по двум типам деталей А и Б составляет по деталям А 10, 15 и 20 деталей в час, а
по деталям Б – 20, 40 и 60 деталей в час. Найти время загрузки каждой группы станков,
чтобы получить максимальное общее количество деталей обоих типов, и
соответствующее число каждого типа.
5. Записать задачу, двойственную данной
Z ( X )   x1  4 x 2  min,
2 x1  3 x 2  24,
 8 x  3 x  24,

1
2

2 x1  3 x 2  12,
4 x1  3 x 2  12.
2. Комплект контрольно-оценочных средств
Тема 1.1. Моделирование задач линейного программирования
Теоретические задания
1.Определение математической модели экономической задачи.
2.Виды математических моделей ЛП.
3.Составление математической модели.
4. Формы записи ЗЛП.
5.Переход от одной формы к другой.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: Моделирование задач линейного программирования
1. Переменные задачи линейного программирования (ЗЛП) должны быть:
1) отрицательными;
2) неотрицательными;
3) положительными;
4) неположительными
2. Переменные ЗЛП могут входить в ее целевую функцию:
1) в первой степени;
2) во второй степени;
3) в третьей степени;
4) в любой степени.
3. Переменные ЗЛП могут входить в ее ограничения:
1) в первой степени;
2) во второй степени;
3) в третьей степени;
4) в любой степени.
4. Целевая функция (ЦФ) ЗЛП должна:
1) минимизироваться;
2) максимизироваться;
3) стабилизироваться;
4) достигать экстремального значения.
5. Ограничения ЗЛП это:
1) система равенств;
12
2) система неравенств;
3) система равенств и неравенств;
4) система равенств или неравенств.
6. Система ограничений ЗЛП должна содержать хотя бы:
1) одно равенство;
2) одно неравенство;
3) одно равенство или неравенство;
4) одно равенство и одно неравенство.
Практическая работа №1 «Моделирование задач линейного программирования»
Текст практической работы №1
Вариант 1
1. Записать в форме основной задачи ЛП
а) F=х1 -х2-3х3→min
 2 х1  х 2  х3  1
 3х  х  5

1
3

4 х1  2 х 2  х3  2
 х j  0, j  1,2,3
б) F=3х1 -2х2→max
 7 х1  2 х 2  14
7 х  10 х  28
 1
2

 3 х1  8 х 2  24
 х j  0, j  1,2
2. Записать в форме стандартной задачи ЛП
а)F=2х1 +х2+6х3-12x4-9x5→max
 х1  х 2  7 х3  3 х 4  7 х5  13
 х  2 х  13 x  2 х  14 х  20
 1
2
3
4
5

х

3
х

20
х

6
х

23
х
2
3
4
5  19
 1

х j  0, j  1,2,3,4,5
б)F=-х1 +4х2+ 2х4 – х5→mах
 х1  5 х 2  х3  5
 х х x 4

1
2
4

 х1  х 2  х5  8
 х j  0, j  1,2,3,4,5
3. Составить математическую модель задачи.
Для откорма цыплят в рацион необходимо включать не менее 28 ед. вещества А, 20 ед.
вещества В, 15 ед. в-ва С.для откорма используются 3 вида корма. Содержание веществ
А,В,С в первом корме 3 1 2 ед., во втором корме -4 2 1 ед. , в третьем - 4 1 5 ед.
соответственно. Стоимость 1 ед.-цы корма первого, второго, третьего25 , 20 , 20 ден.ед.
соответственно.
Вариант 2
1. Записать в форме основной задачи ЛП
13
а)F=3х1 +х2-4х3→min
 2 х1  5 х 2  6 х3  10
 х  х  9x  5

1
2
3

 3 х1  8 х 2  12 х3  12

х j  0, j  1,2,3
б) F=-2х1 +5х2-x3→max
 6 х1  2 х3  14
 5 х  6 х  30
 1
2

 х 2  4 х3  2
 х j  0, j  1,2,3
2. Записать в форме стандартной задачи ЛП
а)F=-5х1 +х2-х3 →mах
 3 х1  х 2  х3  4
 х  х  х  x 1
 1
2
3
4

2 х1  х 2  2 х3  х5  7
 х j  0, j  1,2,3,4,5
б)
3. Составить математическую модель задачи.
Фирма производит два вида изделия А и Б.Каждое изделие должно пройти обработку на
каждой из машин 1, 2 и 3. Время обработки (в часах) для каждого из изделий А на машинах 1, 2 и
3 составляет 0,5 ч., 0,4ч. и 0,2 ч. соответственно, а для каждого из изделий Б время обработки на
этих машинах равно соответственно 0,25 ч., 0,3 ч. и 0,4 ч.
Ресурсы времени работы машин 1, 2 и 3 типов составляют 40; 36 и 36 часов в неделю
соответственно; прибыль от изделий А и Б равна соответственно 5 и 3 ден. Единиц за одно
изделие. Определить недельный план выпуска изделий А и Б, максимизирующий прибыль.
Время на выполнение: 90 минут
Тема 1.2. Геометрический
программирования
метод
решение
задач
линейного
Теоретические задания.
1. Какие задачи решаются геометрическим методом?
2. Что показывает направление вектора N и в каких точках области допустимых решений
находится максимум и минимум?
3. В каком случае оптимальный план не является единственным?
ТЕСТ ПО ТЕМЕ Геометрический метод решение
программирования
1. Графическим методом можно решить ЗЛП:
1) с одной переменной;
2) с двумя переменными;
3) с тремя переменными;
4) с любым количеством переменных.
задач
линейного
2. Линия уровня ЦФ ЗЛП графически представляет собой:
1) прямую;
2) кривую;
3) ломаную прямую;
14
4) прямую или ломаную.
3. Область допустимых решений (ОДР) ЗЛП графически представляет собой:
1) точку;
2) отрезок;
3) треугольник;
4) многоугольник.
4. ОДР ЗЛП представляет собой в общем случае:
1) многоточие;
2) многоугольник;
3) многогранник;
4) многомерную фигуру.
5. Оптимальное значение ЦФ ЗЛП достигается:
1) в начальных точках ОДР;
2) в средних точках ОДР;
3) в крайних точках ОДР;
4) в угловых точках ОДР.
6. Вектор-градиент ЦФ ЗЛП направлен:
1) параллельно линии равных значений ЦФ;
2) перпендикулярно линии равных значений ЦФ;
3) по направлению линии равных значений ЦФ;
4) против направления линии равных значений ЦФ.
7. Вектор-градиент ЦФ ЗЛП направлен:
1) в направлении роста ЦФ;
2) против направления роста ЦФ;
3) в направлении убывания ЦФ;
4) по линии равных значений ЦФ.
8. Если система ограничений ЗЛП несовместна, то:
1) ОДР представляет собой точку;
2) ОДР представляет собой отрезок;
3) ОДР не ограничена;
4) ОДР не существует.
9. Если ОДР ЗЛП не ограничена, то:
1) минимального значения ЦФ не существует;
2) максимального значения ЦФ не существует;
3) оптимального значения ЦФ не существует;
4) экстремальное значение ЦФ не ограничено.
10. Если ОДР ЗЛП ограничена, то:
1) экстремальные значения ЦФ существуют и различны;
2) экстремальные значения ЦФ существуют и одинаковы;
3) экстремальные значения ЦФ существуют;
4) экстремальные значения ЦФ не существуют.
11. Если линия уровня ЦФ ЗЛП параллельна стороне ОДР, то возможно:
1) ЗЛП не имеет решений;
2) ЗЛП имеет одно решение;
3) ЗЛП имеет два решения;
4) ЗЛП имеет множество решений.
15
12. ЗЛП с ограничениями-равенствами:
1) сводится к ЗЛП с ограничениями-неравенствами;
2) не сводится к ЗЛП с ограничениями-неравенствами;
3) имеет единственное решение;
4) имеет множество решений.
13. ЗЛП с ограничениями-неравенствами:
1) сводится к ЗЛП с ограничениями-равенствами;
2) не сводится к ЗЛП с ограничениями-равенствами;
3) имеет единственное решение;
4) имеет множество решений.
Практическая работа №2 «Решение ЗЛП графическим методом»
Текст практической работы №2
Вариант 1
1. Решить систему линейных неравенств
f  3x1  2 x2  max/ min
 4 x1  2 x2  12

 x1  2 x2  10
x  x  6
 1
2
x1 , x2  0
2. Составить математическую модель и решить графическим способом
Для откорма цыплят в рацион необходимо включать не менее 28 ед. вещества А, 20 ед. вещества
В, 15 ед. в-ва С.для откорма используются 3 вида корма. Содержание веществ А,В,С в первом
корме 3 1 2 ед., во втором корме -4 2 1 ед. , в третьем - 4 1 5 ед. соответственно. Стоимость 1
ед.-цы корма первого, второго, третьего25 , 20 , 20 ден.ед. соответственно.
Вариант 2
1. Решить систему линейных неравенств
f= х1  2х2  max
  х1  х 2  1
 х  2х  1
 1
2

х

х
2  3
 1
 х1  0, х 2  0
2. Составить математическую модель и решить графическим способом
. Предприятие производит полки для ванных комнат двух размеров А и Б. Служба маркетинга
определили, что на рынке может быть реализовано до 550 полок в неделю, а объем поставляемого
на предприятие материала, из которого делаются полки, равен 1200 м2 в неделю. Для каждой
полки типов А и Б требуется 2 м2 и 3 м2 материала соответственно, а затраты станочного времени
на обработку одной полки типа А и Б составляют соответственно 12 и 30 минут. Общий
недельный объем станочного времени равен 160 часов, а прибыль от продажи каждой полки типа
А и Б составляет 3 и 4 ден. единиц соответственно. Определить, сколько полок каждого типа
следует выпускать в неделю для получения наибольшей прибыли.
16
Время на выполнение: 90 минут
Тема 1.3.Симплексный - метод решения задач линейного
программирования
Теоретические задания
1. Сформулируйте основную идею симплексного метода. Какие этапы он в себя
включает?
2. Сформулируйте алгоритм симплексных преобразований.
3.Симплексный метод решения задач ЛП и его применение
4. Как по симплексной таблице записать компоненты опорного решения ЗЛП?
5. Как по симплексной таблице определить, что имеющееся опорное решение не является
оптимальным, но его можно улучшить ?
6. Как вычислить оценки свободных переменных в целевой функции ЗЛП по симплексной
таблице? Каков их экономический смысл.
Практическая работа №3 «Нахождение опорного решения ЗЛП симплекс-методом»
Практическая работа №4 « Улучшение опорного решения ЗЛП симплекс-методом»
Текст практической работы
1.
2.
3.
4.
Вариант 1
Задача 1
Составить математическую модель задачи.
Привести полученную ЗЛП к каноническому виду.
Решить ЗЛП симплекс-методом.
Дать экономическое истолкование оптимального решения и наибольшего значения
целевой функции.
Для изготовления трех видов продукции А,В и С используется три вида оборудования. Для
производства единицы изделия А требуется 15 ч оборудования №1, 30ч оборудования №2 и 30ч№3, для производства единицы изделия В требуется 30 ч оборудования №1, 15ч оборудования
№2 и 55 ч-№3, для производства единицы изделия С требуется 5 ч оборудования №1, 20 ч
оборудования №2 и 40ч-№3.Общий фонд рабочего времени каждого вида ограничен и составляет
250, 520 и 500ч соответственно. Прибыль от реализации единицы каждого вида продукции равна
15, 25 и 20 ден.ед. Необходимо найти оптимальный план выпуска продукции каждого вида,
который обеспечивал бы максимальную прибыль.
Задача 2
1. Составить математическую модель.
2. Решить задачу геометрически.
3. Решить задачу симплекс-методом
Торговое предприятие реализует товары двух видов. При реализации товаров первого и
второго вида на одну тысячу рублей затраты рабочего времени на обслуживание
покупателей составляют 5 часов и 3 часов , торговых площадей используется 5 м2 и 6 м2,
издержки обращения составляют 3 руб. и 9 руб.
Для реализации товара резерв времени составляет 225 часов, использованные площади и
издержки обращения не должны превышать 270 м2 и 324 рублей соответственно.
Прибыль от реализации на одну тысячу рублей для товаров первого и второго вида
составляет 50 руб. и 40 руб.
Определить наибольшую прибыль, которую может получить торговое предприятие
17
5.
6.
7.
8.
Вариант 2
Задача 1
Составить математическую модель задачи.
Привести полученную ЗЛП к каноническому виду.
Решить ЗЛП симплекс-методом.
Дать экономическое истолкование оптимального решения и наибольшего значения
целевой функции.
Продукция в цехе может производиться 3 способами. Для производства используется 3 вида
ресурсов, запасы которых ограничены и равны 80, 180 и 60 ед. Расход ресурса А за единицу
рабочего времени цеха по технологии I соответственно равна 4, 1, 2 ч, по технологии II – 6, 1 и 4,
по технологии III- 6,2 и 1. Производительность каждой технологии равна 15, 25 и 20 ден.ед.
Определить время работы цеха по каждой технологии, чтобы объем выпущенной продукции в
стоимостном выражении был наибольшим
Задача 2
1. Составить математическую модель.
2. Решить задачу геометрически.
3. Решить задачу симплекс-методом
Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти
партию товара. При этом арендовать для перевозки по железной дороге 5-и 7-тонные
контейнеры. Пятитонных имеется в наличии не более 6 штук, а 7-тонных –не более 18
штук. На перевозку всей продукции по смете выделено не более 60 тыс.рублей, причем
цена за аренду 5-тонного контейнера-2тыс.рублей, а 7-тонного-3тыс.рублей.Определить
сколько и каких контейнеров следует арендовать при условии, что общий объем
грузоперевозок должен быть максимальным.
Время на выполнение: 180 минут
Тема 1.4.Двойственные задачи линейного программирования
Теоретические задания.
1. Понятие двойственности в задачах линейного программирования/
2. Правило построения математической модели двойственной задачи.
3. Первая теорема двойственности.
4. Вторая теорема двойственности.
5. Третья теорема двойственности.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ. Двойственные задачи линейного программирования
1. Количество условий-ограничений в двойственной ЗЛП в общем случае:
1) меньше, чем у исходной ЗЛП;
2) больше, чем у исходной ЗЛП;
3) столько же, как у исходной ЗЛП;
4) не определено.
2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной ЗЛП
получается из матрицы коэффициентов системы ограничений исходной ЗЛП:
1) обращением исходной матрицы;
2) транспонированием исходной матрицы;
3) без изменения исходной матрицы;
4) изменением исходной матрицы.
3. Количество переменных в двойственной ЗЛП в общем случае:
1) равно количеству переменных в исходной ЗЛП;
18
2) не равно количеству переменных в исходной ЗЛП;
3) равно количеству условий в системе ограничений исходной ЗЛП;
4) не равно количеству условий в системе ограничений исходной ЗЛП.
4. Количество условий в системе ограничений исходной ЗЛП в общем случае:
1) равно количеству переменных в двойственной ЗЛП;
2) не равно количеству переменных в двойственной ЗЛП;
3) равно количеству условий в системе ограничений двойственной ЗЛП;
4) не равно количеству условий в системе ограничений двойственной ЗЛП.
5. Если в исходной ЗЛП требуется максимизация ЦФ, то в двойственной ЗЛП
требуется:
1) максимизация ЦФ;
2) минимизация ЦФ;
3) оптимизация ЦФ;
4) максимизация или минимизация ЦФ.
6. Если в двойственной ЗЛП требуется минимизация ЦФ, то в исходной ЗЛП
требуется:
1) максимизация ЦФ;
2) минимизация ЦФ;
3) оптимизация ЦФ;
4) максимизация или минимизация ЦФ.
7. Если в исходной ЗЛП требуется минимизация ЦФ, то в двойственной ЗЛП
требуется:
1) максимизация ЦФ;
2) минимизация ЦФ;
3) оптимизация ЦФ;
4) максимизация или минимизация ЦФ.
8. Если в двойственной ЗЛП требуется максимизация ЦФ, то в исходной ЗЛП
требуется:
1) максимизация ЦФ;
2) минимизация ЦФ;
3) оптимизация ЦФ;
4) максимизация или минимизация ЦФ.
9. Одна из пары двойственных ЗЛП имеет решение, то вторая:
1) имеет решение;
2) не имеет решения;
3) имеет множество решений;
4) не определена.
10. Оптимальное значение ЦФ в двойственной ЗЛП:
1) больше оптимального значения ЦФ в исходной ЗЛП;
2) меньше оптимального значения ЦФ в исходной ЗЛП;
3) равно оптимальному значению ЦФ в исходной ЗЛП;
4) не равно оптимальному значению в исходной ЗЛП.
11. Оптимальное значение ЦФ в исходной ЗЛП:
1) больше оптимального значения ЦФ в двойственной ЗЛП;
2) меньше оптимального значения ЦФ в двойственной ЗЛП;
3) равно оптимальному значению ЦФ в двойственной ЗЛП;
4) не равно оптимальному значению в двойственной ЗЛП.
19
12. Двойственную ЗЛП можно непосредственно сформулировать, только если
исходная ЗЛП есть:
1) ЗЛП с ограничениями-равенствами;
2) ЗЛП с ограничениями-неравенствами;
3) ЗЛП со смешанными ограничениями;
4) произвольная ЗЛП.
Практическая работа №5 «Решение двойственных задач ЛП»
Текст практической работы №5
Вариант 1
1. Записать двойственную ЗЛП
F(x)=−x1 +x2 +x3−max
x 1 - 3x 2  x 3  4

2x 1  x 2 - 2x 3  1
x  0, x  0
3
 2
Задание 2.
1. Составить двойственную задачу
2. Решить задачу симплекс-методом
3. Решить задачу геометрически.
Торговое предприятие реализует товары двух видов. При реализации товаров первого и
второго вида на одну тысячу рублей затраты рабочего времени на обслуживание
покупателей составляют 5 часов и 3 часов, торговых площадей используется 5 м2 и 6 м2,
издержки обращения составляют 3 руб. и 9 руб.
Для реализации товара резерв времени составляет 225 часов, использованные площади и
издержки обращения не должны превышать 270 м2 и 324 рублей соответственно.
Прибыль от реализации на одну тысячу рублей для товаров первого и второго вида
составляет 50 руб. и 40 руб.
Определить наибольшую прибыль, которую может получить торговое предприятие
Вариант 2
1. Записать двойственную ЗЛП
F(x)=. 2x1+4x2+x3− min
x 1 - 2x 2  x 3  4

2x 1  3x 2 - x 3  2
x  0 x  0
3
 1
Задание 2.
1. Составить двойственную задачу
2. Решить задачу симплекс-методом
3. Решить задачу геометрически.
Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти
партию товара. При этом арендовать для перевозки по железной дороге 5-и 7-тонные
контейнеры. Пятитонных имеется в наличии не более 6 штук, а 7-тонных –не более 18
штук. На перевозку всей продукции по смете выделено не более 60 тыс.рублей, причем
цена за аренду 5-тонного контейнера-2тыс.рублей, а 7-тонного-3тыс.рублей.Определить
20
сколько и каких контейнеров следует арендовать при условии, что общий объем
грузоперевозок должен быть максимальным.
Время на выполнение: 90 минут
Тема 1.5. Транспортные задачи
Теоретические задания
1. Экономико-математическая модель транспортной задачи (открытая и закрытая модели
транспортной задачи).
2. Получение исходного опорного решения транспортной задачи методом наименьших
затрат, северо-западным углом (вырожденные и невырожденные опорные решения)
3. Метод потенциалов нахождения оптимального плана транспортной задачи.
Практическая работа №6 «Построение опорного плана транспортной задачи»,
Практическая работа №7 «Улучшение опорного плана транспортной задачи»
Текст практической работы №6, 7
На заводах А1, А2,А3 производится однородная продукция в количестве а1, а2, а3 единиц.
Четырем потребителям В1,В2,В3,В4 требуется соответственно b1,b2,b3,b4 единиц готовой
продукции.
Известны расходы cij ден ед по перевозке единицы готовой продукции с
завода Аi потребителю Вj. Необходимо найти план перевозок, минимизирующий общие
затраты по изготовлению продукции на заводах А1, А2,А3 и ее доставке потребителям
В1,В2,В3,В4.
ЗАДАНИЕ.
1. Внести данные в таблицу
2. Составить математическую модель
3. Если задача «открытого» типа, то привести ее к «закрытой». Построить исходные
планы перевозок по методу «северо-западного» угла и по методу «минимального
элемента». Вычислить значения общих затрат для построенных планов и выявить,
какой из планов лучше.
4. Методом потенциалов проверить этот план на оптимальность.
5. Последовательно улучшая план перевозок с помощью циклов пересчета в таблице,
найти оптимальный план.
6. По оптимальному плану определить:
 Количество продукции, отправляемое из каждого завода А1, А2,А3 каждому
потребителю В1,В2,В3,В4;
 наименьшие общие затраты на производство продукции и доставку ее
потребителям;
 заводы Аi, в которых остается нераспределенная продукция, и указать ее объем;
 пункты потребления Вj, которые недополучают продукцию, и указать ее
количество.
Вариант 1
Вариант 2
a1
a2
a3
200
175
225
b1
b2
b3
b4
130
80
190
100
c11
c12
c13
c14
2
6
4
7
c21
c22
c23
c24
6
2
7
1
c31
c23
c33
c34
6
10
7
5
a1
a2
a3
200
350
250
b1
b2
b3
b4
125
325
250
200
c11
c12
c13
c14
1
6
5
3
c21
c22
c23
c24
4
3
5
7
c31
c23
c33
c34
5
8
10
4
Время на выполнение: 180 минут
21
Тема 1.6. Целочисленные задачи
Теоретические задания
1.Сформулируйте постановку задачи целочисленного программирования.
2. Математическая модель задачи целочисленного программирования, ее особенности.
3. Метод ветвей и границ. Применение.
4. Алгоритм графического решения задачи целочисленного программирования.
5. Построение графа целочисленной области возможных решений задачи.
6. Определение целочисленного плана и экстремального значения целевой функции.
7. Сформулируйте условие задачи коммивояжера
8. Что значит привести матрицу по строкам?
9. Что такое функция штрафа?
10. Как исключается досрочное завершение тура?
11. Что такое нижняя граничная оценка?
ТЕСТ ПО ТЕМЕ Целочисленные задачи
1. Задачами целочисленного программирования (ЗЦП) называются:
1) ЗЛП с условием целочисленности переменных;
2) ЗНП с условием целочисленности переменных;
3) ЗЛП или ЗНП с условием целочисленности переменных;
4) ЗЛП или ЗНП с условием целочисленности значений ЦФ.
2. ЗЦП называется полностью целочисленной, если условие целочисленности
наложено на:
1) значения ЦФ и всех переменных;
2) значения ЦФ и некоторых переменных;
3) значения ЦФ;
4) значения всех переменных.
3. ЗЦП называется частично целочисленной, если условие целочисленности
наложено на:
1) значения ЦФ и некоторых переменных;
2) значения ЦФ;
3) значения некоторых переменных;
4) значения всех переменных.
4. ЗЦП называется линейной целочисленной (ЦЗЛП), если:
1) ЦФ линейна;
2) ограничения линейны;
3) и ЦФ и ограничения линейны;
4) или ЦФ или ограничения линейны.
5. Наиболее известным методом для решения ЦЗЛП является:
1) симплекс-метод;
2) метод спуска;
3) метод ветвей и границ;
4) графический метод.
Практическая работа №8 «Решение задачи целочисленного программирования»,
Практическая работа №9 «Решение задачи о коммивояжере»
Текст практической работы №8, 9
22
Вариант № 1
Вариант № 2
1 Решить задачу целочисленного программирования
- целые,
- целые,
2. Решить задачу о коммивояжере(с помощью графа и методом ветвей)
.
1
2
3
4
5
6
1
∞
19
25
5
24
34
2
31
∞
43
50
24
26
3
15
22
∞
49
33
6
4
19
31
53
∞
5
3
5
8
7
57
39
∞
36
6
55
35
16
9
14
∞
1
2
3
4
5
1
∞
37
10
38
27
2
19
∞
50
39
9
3
25
26
∞
24
32
4
11
58
39
∞
9
5
2
21
22
38
∞
6
35
43
3
45
2
6
33
48
60
53
1
∞
Время на выполнение: 90 минут
Тема 2.1. Нелинейное программирование
Теоретические задания
1.Сформулируйте задачу нелинейного программирования. ( Приведите пример такой
задачи).
2. Каковы особенности нелинейных задач оптимизации: допустимой области, целевой
функции?
3. Когда применим и в чем заключается графический метод решения задачи нелинейного
программирования? Чем он отличается от графического метода решения задачи
линейного программирования?
4. Опишите этапы процесса нахождения оптимального решения задачи нелинейного
программирования с использованием ее геометрической интерпретации.
5. Как найти координаты точки оптимума, если оптимальное решение достигается: 1)
внутри допустимой области; 2) на границе области; 3) в угловой точке?
6. Назовите основные принципы метода ветвей и границ
Практическая работа №10 «Решение задач нелинейного программирования графическим
методом»
Текст практической работы №10
Вариант №1
Пример 1. Найти минимальное и максимальное значение сепарабельной функции
Пример 2. Найти максимальное значение функции
23
Вариант №2
Пример 1. Найти минимальное и максимальное значение функции
ограничениях
при
Пример 2
Найти минимальное и максимальное значение функции
Время на выполнение: 90 минут
24