О ЕВКЛИДОВОй СТРУКТУРЕ НА УЗЛЕ ВОСЬМЕРКА С МОСТОМ

Òåçèñû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Äèíàìèêà â Ñèáèðè¿
Î ÅÂÊËÈÄÎÂÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÍÀ ÓÇËÅ ÂÎÑÜÌÅÐÊÀ Ñ ÌÎÑÒÎÌ
ÄÀÐÜß ÞÐÜÅÂÍÀ ÑÎÊÎËÎÂÀ
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû èçó÷åíèå åâêëèäîâûõ ñòðóêòóð íà óçëàõ è çàöåïëåíèÿõ. Â
1975 ãîäó Ð. Ðàéëè [1] îáíàðóæèë ïðèìåðû ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñòðóêòóð íà íåêîòîðûõ óçëàõ è äîïîëíåíèÿõ çàöåïëåíèé â òðåõìåðíîé ñôåðå. Ïîçäíåå, âåñíîé 1977, Ó. Ï. Òåðñòîí
ïðåäñòàâèë òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêè ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé
êðèâèçíû íà òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ. Íà ïðàêòèêå îêàçàëîñü, ÷òî äîïîëíåíèÿ ïðîñòûõ óçëîâ, èñêëþ÷àÿ òîðè÷åñêèå è ñàòòåëèòíûå, äîïóñêàþò ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.
Îòìåòèì ñëåäóþùèé èçâåñòíûé ðåçóëüòàò: åâêëèäîâà ñòðóêòóðà íà óçëå âîñüìåðêà 41
2π
. Ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Òåðñòîâîçíèêàåò, êîãäà åãî êîíè÷åñêèé óãîë α ðàâåí
3
íîì [2]. ßâíàÿ êîíñòðóêöèÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ìíîæåñòâà äëÿ êîíè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ
41 (α) â E3 áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå À. Ä. Ìåäíûõ è À. À. Ðàññêàçîâà [3]. Ýòî ôóíäàìåíòàëüíîå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåâûïóêëûé äâàäöàòèãðàííèê, âåðøèíû êîòîðîãî
çàäàþòñÿ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè. Âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ åâêëèäîâîé ñòðóêòóðû
íà çàöåïëåíèè Óàéòõåäà èçó÷åí â ðàáîòå Ð. Í. Øìàòêîâà [4].  ðàáîòå àâòîðà [5] áûëî èññëåäîâàíî ñòðîåíèå ôóíäàìåíòàëüíîãî ìíîãîãðàííèêà äëÿ óçëà òðèëèñòíèê ñ ìîñòîì è
äàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åâêëèäîâîé ñòðóêòóðû ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.  äàííîé ðàáîòå ìû èññëåäóåì îñíîâíûå ãåîìåòðè÷åñêèå èíâàðèàíòû åâêëèäîâà êîíè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ñèíãóëÿðíûì ìíîæåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ óçåë âîñüìåðêà ñ ìîñòîì, à íîñèòåëåì òðåõìåðíàÿ ñôåðà. Ìû óñòàíîâèì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
òàêîãî îáúåêòà è âû÷èñëèì åãî îáúåì.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure in
Topology of Low-Dimension manifolds, LNM, 722, Springer, 99-133 (1979).
[2] Thurston W. The geometry and topology of 3-manifold. Lecture Notes. Princeton University,
(1980).
[3] Mednykh A., Rasskazov A. Volumes and degeneration of cone-structures on the gureeight knot. Tokyo J. Math. Vol. 29, No. 2, 445-464 (2006).
[4] Shmatkov R.N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds Sib. Adv. Math.,
Vol. 13, No. 1. 55-86 (2003).
[5] Ñîêîëîâà Ä.Þ. Î ñóùåñòâîâàíèè åâêëèäîâîé ñòðóêòóðû íà óçëå òðèëèñòíèê ñ ìîñòîì Ìàò. çàìåòêè ßÃÓ, Òîì 20, 1. 128-140 (2013).
Ñîêîëîâà Äàðüÿ Þðüåâíà,
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Ïèðîãîâà, 2, ã. Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà,
ïð. Êîïòþãà 4, ã. Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ
E-mail address :
from_dasha
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ÐÔÔÈ (ãðàíò 16-31-00138).
1