а) Производственная задача, максимизация прибыли. Имеются

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ)
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìåòîäû îïòèìèçàöèè, âåñíà 2014
Ñåìèíàð 7, çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
Îáùåé çàäà÷åé
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âèäà
hc, xi → inf,
xj > 0, j ∈ I+ ,
hai , bi 6 bi , i = 1, . . . , m,
hai , bi = bi , i = m + 1, . . . , s,
ãäå I+ ⊂ {1, . . . , n}.
1. Ïåðåïèøèòå îáùóþ çàäà÷ó â ìàòðè÷íîé ôîðìå, ñ÷èòàÿ ÷òî I+ = {1, . . . , k}.
Êàíîíè÷åñêîé çàäà÷åé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âèäà
hc, xi → inf,
x > 0,
Ax = b.
Îñíîâíîé (ñòàíäàðòíîé) çàäà÷åé
âèäà
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à
hc, xi → inf,
x > 0,
Ãx 6 b̃.
2. Ïîêàæèòå, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ è îñíîâíàÿ çàäà÷à ñâîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó, à îáùàÿ ê ëþáîé èç íèõ.
3. Ôîðìàëèçóéòå â âèäå çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñëåäóþùèå òåõíèêîýêîíîìè÷åñêèå çàäà÷è:
a) Ïðîèçâîäñòâåííàÿ çàäà÷à, ìàêñèìèçàöèÿ ïðèáûëè. Èìåþòñÿ n òîâàðîâ è m ðåñóðñîâ. Íà÷àëüíûå çàïàñû j -ãî ðåñóðñà ðàâíû xj . Öåíà i-ãî òîâàðà ðàâíà pi . Äëÿ
ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû i-ãî òîâàðà íóæíî aij åäèíèö j -ãî ðåñóðñà. Òðåáóåòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñóììàðíóþ ñòîèìîñòü ïðîèçâåä¼ííîãî òîâàðà.
b) Ïðîèçâîäñòâåííàÿ çàäà÷à, ìèíèìèçàöèÿ èçäåðæåê. Èìåþòñÿ n òîâàðîâ è m ðåñóðñîâ. Öåíà j -ãî ðåñóðñà ðàâíà qj . Äëÿ ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû i-ãî òîâàðà íóæíî
aij åäèíèö j -ãî ðåñóðñà. Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü îáùóþ ñòîèìîñòü ïðîèçâîäñòâà yi åäèíèö i-ãî òîâàðà.
c) Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à. Èìååòñÿ n ïðîèçâîäèòåëåé è m ïîòðåáèòåëåé íåêîòîðîé
ïðîäóêöèè. Ïðîèçâîäèòåëü i ìîæåò ïðîèçâåñòè íå áîëåå xi åäèíèö, ïîòðåáèòåëþ
j òðåáóåòñÿ íå ìåíüøå yj åäèíèö. Äîñòàâêà îäíîé åäèíèöû îò ïðîèçâîäèòåëÿ i
ê ïîòðåáèòåëþ j ñòîèò aij . Òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü âñå ïîòðåáíîñòè, çàòðàòèâ íàèìåíüøóþ ñóììó.
d) Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à â ñåòè. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, íî ïðîèçâîäèòåëè è ïîòðåáèòåëè ñîåäèíåíû â ñåòü (îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç öèêëîâ), íà êàæäîì ðåáðå
êîòîðîé çàäàíà ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü, êîòîðóþ íåëüçÿ ïðåâûøàòü.
Ëèíåéíûå ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà çàäàþò íåêîòîðîå ìíîãîãðàííîå ìíîæåñòâî (ïîëèýäð) X . Òî÷êà v íàçûâàåòñÿ óãëîâîé òî÷êîé X , åñëè èç v = αu + (1 − α)w, u ∈ X ,
w ∈ X , α ∈ (0, 1) ñëåäóåò u = w = v . Åñëè X îïðåäåëåíî èç êàíîíè÷åñêîé çàäà÷è,
ò.å. X = {x | x > 0, Ax = b}, òî òî÷êà v ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ j1 < · · · < jr âûïîëíåíî Aj1 vj1 + · · · + Ajr vjr = b è vj = 0, j 6= jl ,
ãäå r = rank A, à Aj1 , . . . , Ajr ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû ìàòðèöû A. Â ýòîì
ñëó÷àå ñèñòåìó Aj1 , . . . , Ajr íàçûâàþò áàçèñîì óãëîâîé òî÷êè, à vj1 , . . . , vjr áàçèñíûìè êîîðäèíàòàìè. Åñëè âñå áàçèñíûå êîîðäèíàòû ïîëîæèòåëüíû, òî òî÷êà íàçûâàåòñÿ
íåâûðîæäåííîé, èíà÷å âûðîæäåííîé.
4. Ïóñòü X = {x | ha1 , xi 6 b, . . . , ham , xi 6 b}. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà ìíîæåñòâà
ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåé îáðàùàþòñÿ â òî÷íûå ðàâåíñòâà íå
ìåíüøå n íåðàâåíñòâ hai , xi 6 b, ñðåäè êîòîðûõ n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ. Ñôîðìóëèðóéòå ïîíÿòèå íåâûðîæäåííîé òî÷êè, ñîõðàíÿþùååñÿ ïðè ñâåäåíèè ê êàíîíè÷åñêîé çàäà÷å
è äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà íåâûðîæäåíà, åñëè â ðàâåíñòâî îáðàùàþòñÿ ðîâíî n íåðàâåíñòâ.
5. Íàéäèòå âñå óãëîâûå òî÷êè è èõ áàçèñû äëÿ ìíîæåñòâ:
a) X1 = {x ∈ R4 | x > 0, x1 − 2x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 + x4 = 1};
b) X2 = {x ∈ R5 | x > 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 1, −x1 + 2x2 + x3 + x5 = 1}
6. Ïðè êàêèõ ai è b ìíîæåñòâî {x | x > 0, a1 x1 + · · · + an xn = b} íåïóñòî? Ñêîëüêî
óãëîâûõ òî÷åê îíî ìîæåò èìåòü?
7. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ óãëîâàÿ òî÷êà äëÿ ìíîæåñòâà {x | x > 0, Ax = b} ÿâëÿåòñÿ
óãëîâîé è äëÿ ìíîæåñòâà {x | x > 0, Ax 6 b}.