f ( n )

§4. Дискретные преобразования
Z − преобразование
Пусть дана последовательность действительных или комплексных чисел
a0 , a1 , a2 , ..., an , ...  {an }
ОПР 1. Z − преобразованием последовательности
функция комплексного переменного
{ an } называется
F( z ), определенная рядом
an
a1 a2
F ( z )  a0 
 2  ...  n  ...
z
z
z
Обозначают ℱ [{a }]
n
Условие сходимости:
то (4.1) сходится при
| an | ≤ M ea n,
|z|>R, где R = ea
если
F( z ) аналитическая ф. и (4.1) – ее ряд Лорана.
z = ∞ - правильная точка F(∞) = a0.
Тогда
(4.2)
(4.1)
D − преобразование
Введем новую переменную в (4.1)
F (q)  a0  a1e
ОПР 2. Функция
q
 a2 e
F( q )
 2q
z = e q,
 ...  an e
ОПР 3. Рассмотрим функцию
t
 nq
F (z) = F (q).
 ... 

 nq
a
e
 n
Тогда
(4.3)
n 0
называется дискретным преобразованием Лапласа
(D − преобразование) последовательности
переменной
обозначим
f(t),
{ an }
t ∈ R, t ≥ 0
только целые значения.
Будем предавать
Полученная последовательность
{ f ( n )} называется решетчатой функцией.
Обозначают просто f (n)
Говорят: всякая функция – оригинал f ( t ) «порождает» решетчатую функцию
f ( n ) для которой определено дискретное преобразование Лапласа
F (q) 

 f (n)e  nq
n0
Записывают:
f (n)≓F(q)
или
f (n) F(q)
(4.4)
Условия существования оригинала (из сходимости ряда (4.1))
f (n) определена для n = 0, 1, 2,…
и
f (n) = 0
для
n = –1, – 2,…
| f(n) | ≤ M ea n
Условия существования изображения
z = e q = e q+2p k i => F ( q ) − периодическая с мнимым периодом 2p i
2. из сходимости z – преобразования: |z| > ea => |z|=|e q|=|es+iw| >ea
> F(q) аналитична в полуплоскости s>a
1.
Из 1) и 2)
F(q) аналитична в полуполосе
π
-π
 p  w  p

s > a
w
a
s
Свойства дискретного преобразования Лапласа
f(n)
g(n) ≓ G(q)
Пусть решетчатые функции
f(n) ≓ F(q)
и
g(n) –
оригиналы и
1. Свойство линейности
a f(n) + b j (n) ≓ a F(q) + b Ф(q).
Доказательство – из определения
2. Свойство затухания (смещение в аргументе изображения)
e
an
f (n) ≓ F(q – a ).
(4.5)
Доказательство – из определения
3. Свойство запаздывания и опережения (смещение в аргументе оригинала )
f (n – k) ≓ e - q k F(q )
(4.6)
k 1


qk
 qm
f (n  k ) ≓ e  F (q) 
f ( m) e 


m 0

(4.6*)
4. Свойство дифференцирования изображения
–n
f(n) ≓ F'(q)
(– n) k f (n) ≓ F (k) (q)
в общем случае:
(4.7)
Доказательство – из возможности почленного дифференцирования ряда
САМОСТОЯТЕЛЬНО !!!
5. Свойство интегрирования изображения
Пусть
f (0) = 0
и
f ( n)
 0,
n n 0
f (t )
0
В общем случае, если lim
k

t 0
t
f ( n)
≓
n
тогда
то
f (n)
n
k

 F (q) dq
(4.8)
q


q
q
≓  ... F (q) dq...dq
Конечные разности
f(t) − заданная функция,
Dt = h – фиксированное приращение (шаг) по t
Пусть
ОПР 4. Первой разностью, или разностью первого порядка называется
выражение
D f (t) = f (t + h) − f (t)
для решетчатой функции
Для решетчатой функции
f (n) h = 1 ,
(4.9)
т.е.
D f (n) = f (n+1) − f (n)
f (n) конечные разности играют роль производных
6. Изображение разностей решетчатой функции.
Если
f(n) ≓ F(q), то D f (n) ≓ ( e q – 1 )F(q) – e q f(0)
(4.10)
f(n) называется решетчатая функция
ОПР 5. Суммой решетчатой функции
g(n), определенная следующим образом:
g(0) = 0
g ( n) 
n 1
 f (k ) ,
(n=1,2,…)
(4.11)
k 0
7. Изображение суммы решетчатой функции
n 1
Если
f(n) ≓ F(q), то
 f (k )
≓
k 0
F (q)
(4.12)
e 1
ОПР 6. Сверткой решетчатых функций
q
f(n)
и
g(n) называется
n
f(n) * g(n) =
 f (n  k )g (k )
(4.13)
k 0
8. Теорема умножения изображений.
Произведению изображений соответствует свертка оригиналов
f(n) * g(n) = F(q) . G(q)
(4.14)