ÓÄÊ 519.8 Ä. Ñ. Ñìèðíîâà ÑÎÊÐÀÙÅÍÈÅ ÏÀÐÅÒÎÂÑÊÎÃÎ ÎÏÒÈÌÓÌÀ  ÇÀÄÀ×ÀÕ ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ

ÓÄÊ 519.8
Ä. Ñ. Ñìèðíîâà
ÑÎÊÐÀÙÅÍÈÅ ÏÀÐÅÒÎÂÑÊÎÃÎ ÎÏÒÈÌÓÌÀ
 ÇÀÄÀ×ÀÕ ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
1. Ìû èçó÷àåì çàäà÷è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè ñ êà÷åñòâåí-
íûìè êðèòåðèÿìè. Ôîðìàëüíî òàêàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü çàäàíà â âèäå
ñèñòåìû
G = hA, (qj )j∈J i ,
(1)
ãäå A íåïóñòîå ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ, (qj )j∈J ìíîæåñòâî êðèòåðèåâ,
J íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Êàæäûé êðèòåðèé qj ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà
àëüòåðíàòèâ
A â íåêîòîðîå ëèíåéíî óïî
j
ðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (öåïü) Cj , ≤ , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé øêàëó äëÿ
èçìåðåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèçíàêà. Îòîáðàæåíèå qj çàäàåò ðàíæèðîâàíèå ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ A ïî çàäàííîìó êðèòåðèþ. Äàëåå ìû
îòîæäåñòâëÿåì ëþáûå äâå àëüòåðíàòèâû, äëÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò çíà÷åíèÿ âñåõ ïðèçíàêîâ qj , ò. å. ïîëàãàåì a1 = a2 , åñëè äëÿ âñåõ j ∈ J èìååò
ìåñòî qj (a1 ) = qj (a2 ).
Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî àëüòåðíàòèâà a0 ÿâëÿåòñÿ íå ìåíåå ïðåäïî÷òèòåëüíîé ïî Ïàðåòî, ÷åì àëüòåðíàòèâà a (çàïèñûâàåòñÿ
a ≤P ar a0 ), åñëè a0 íå ìåíåå ïðåäïî÷òèòåëüíà, ÷åì a ñðàçó ïî âñåì êðèòåðèÿì (qj )j∈J :
a ≤P ar a0 ⇔ (∀j ∈ J)qj (a) ≤j qj (a0 ).
(2)
Îïðåäåëåíèå 2. Àëüòåðíàòèâà a∗ ∈ A íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé
ïî Ïàðåòî (èëè ýôôåêòèâíîé ), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé îòíîñèòåëüíî ïðåäïî÷òåíèÿ ïî Ïàðåòî. Ìíîæåñòâî âñåõ àëüòåðíàòèâ, îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî â ìîäåëè G, ñîñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìûé ïàðåòîâñêèé
îïòèìóì è îáîçíà÷àåòñÿ P arOptG.
Îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâû a∗ ∈ A îçíà÷àåò îòñóòñòâèå
â ìíîæåñòâå A òàêèõ àëüòåðíàòèâ, êîòîðûå äîìèíèðóþò åå ïî Ïàðåòîïðåäïî÷òåíèþ. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2 ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê îòñóòñòâèþ òàêîé àëüòåðíàòèâû a ∈ A, äëÿ êîòîðîé ïðè âñåõ j ∈ J èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ: qj (a) ≥j qj (a∗ ), ïðè÷åì õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ
ñîîòíîøåíèé äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ êàê ñòðîãîå. Ñîäåðæàòåëüíî Ïàðåòîîïòèìàëüíîñòü àëüòåðíàòèâû a∗ ∈ A îçíà÷àåò, ÷òî îíà íå ìîæåò áûòü
óëó÷øåíà íè ïî îäíîìó èç êðèòåðèåâ áåç óõóäøåíèÿ ïî êàêîìó-ëèáî
äðóãîìó êðèòåðèþ. Ïîýòîìó îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñòè äëÿ ìîäåëè (1), ò. å. OptG ⊆ P arOptG.
71
Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå îïòèìàëüíûõ àëüòåðíàòèâ äëÿ ìîäåëè (1)
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðîå ñîêðàùåíèå ïàðåòîâñêîãî îïòèìóìà. Â äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ äâà ñïîñîáà ñîêðàùåíèÿ ïàðåòîâñêîãî
îïòèìóìà, îñíîâàííûõ íà äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè îá óïîðÿäî÷åíèè
êðèòåðèåâ ïî îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè.
2. Ïóñòü èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ çàäàíà
ñ ïîìîùüþ îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà ω íà ìíîæåñòâå êðèòåðèåâ
(ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îòíîøåíèå ω çàäàåòñÿ íà ìíîæåñòâå èíäåêñîâ J ).
Ïðè ýòîì ñ÷èòàåì, ÷òî i >ω j òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êðèòåðèé qi
ÿâëÿåòñÿ áîëåå âàæíûì, ÷åì qj .
Ñëåäóÿ Ë. À. Ñêîðíÿêîâó [1], îïðåäåëèì îòíîøåíèå ω̂ íà ìíîæåñòâå
àëüòåðíàòèâ A ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
a1 ≤ω̂ a2 ⇔ (∀j ∈ J)(qj (a1 ) ≤j qj (a2 ) ∨ (∃i >ω j)qi (a1 ) <i qi (a2 )).
(3)
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå a1 ≤ω̂ a2 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî èíäåêñà j ∈ J
ëèáî a2 ïðåâîñõîäèò a1 ïî êðèòåðèþ qj , ëèáî íàéäåòñÿ áîëåå âàæíûé
êðèòåðèé i >ω j òàêîé, ÷òî a2 ñòðîãî ïðåâîñõîäèò a1 ïî êðèòåðèþ qi .
Èç ðàáîòû [1] ñëåäóåò, ÷òî ω̂ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà, åñëè J êîíå÷íîå ìíîæåñòâî.
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ω = ∆J (ò. å. äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ
îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ îòñóòñòâóåò), òî ω̂ =≤P ar .
Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå âòîðîé ÷ëåí äèçúþíêöèè â ôîðìóëå (3) áóäåò ëîæíûì, ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ ïåðâûé ÷ëåí äèçúþíêöèè,
ò. å. a1 ≤P ar a2 .
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü ω ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå J , òîãäà ω̂ ñîâïàäàåò ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì ω̂ = ω lex .
Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì J = {1, 2, ..., m} è 1 >ω 2 >ω ... >ω m.
Ïóñòü a1 ≤ω̂ a2 , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ïðàâàÿ ÷àñòü (3). Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî
lex
a1 ≤ω a2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî q1 (a1 ) = q1 (a2 ), ..., q(k−1) (a1 ) = q(k−1) (a2 ) è
qk (a1 ) 6= qk (a2 ), ãäå k = 1, 2, ..., m. Òîãäà âûïîëíåíî qk (a1 ) <k qk (a2 ) òàê
êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå qk (a1 ) >k qk (a2 ) è ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå
ñ (3) ïðè j = k . Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàëè, ÷òî ω̂ ⊆ ω lex .
lex
Ïîêàæåì îáðàòíîå âêëþ÷åíèå. Ïóñòü a1 ≤ω a2 è j1 = 1, ..., m ïåðâûé íîìåð, äëÿ êîòîðîãî qj1 (a1 ) 6= qj1 (a2 ), òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ
ïîðÿäêà ω lex qj1 (a1 ) <j1 qj1 (a2 ).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ j < j1 âûïîëíåíî
qj (a1 ) = qj (a2 ), äëÿ j = j1 âûïîëíåíî qj (a1 ) <j qj (a2 ), äëÿ j > j1 âûïîëíåí âòîðîé ÷ëåí äèçúþíêöèè ôîðìóëû (3). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (3)
âûïîëíåíà äëÿ âñåõ j ∈ J , ò. å. a1 ≤lex a2 .
Òåîðåìà 1. Ïðè ëþáîì îòíîøåíèè ïîðÿäêà ω íà ìíîæåñòâå J èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå M ax(ω̂) ⊆ P arOptG.
72
Äåéñòâèòåëüíî, ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (2) è (3) âèäèì, ÷òî ≤P ar ⊆ ω̂ , òàê
êàê ïðè óñëîâèè a1 ≤P ar a2 äëÿ âñåõ j ∈ J áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ïåðâûé
÷ëåí äèçúþíêöèè â ôîðìóëå (3). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáà îòíîøåíèÿ ≤P ar
è ω̂ ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ïîðÿäêà, ïîëó÷àåì, ÷òî <P ar ⊆<ω̂ . Äàëåå,
ïóñòü a ∈ M ax(ω̂). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a ∈
/ P arOptG. Òîãäà ñóùåñòâóP ar
åò a1 ∈ A òàêîé, ÷òî a1 >
a, â ñèëó äîêàçàííîãî âêëþ÷åíèÿ a1 >ω̂ a,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ a ∈ M ax(ω̂). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ äëÿ îòíîøåíèÿ ω̂ ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåíèåì ïàðåòîâñêîãî îïòèìóìà.
Ïðîñòûå ïðèìåðû, ïðèâåäåííûå â [2], ïîêàçûâàþò, ÷òî ýòî ñîêðàùåíèå ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííûì.
3. Åùå îäèí ìåòîä ñîêðàùåíèÿ ïàðåòîâñêîãî îïòèìóìà ñâÿçàí ñ ïåðåíîñîì êàíîíè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ω̃ ïîðÿäêà ω íà ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ. Ñîãëàñíî [2] îíî ìîæåò áûòü çàäàíî ôîðìóëîé
a1 ≤ωe a2 ⇔ (∀S ∈ M (ω))Hs (a1 ) ≤ Hs (a2 ).
(4)
ãäå M (ω)) ñåìåéñòâî âñåõ ìàæîðàíòíî ñòàáèëüíûõ îòíîñèòåëüíî ïîP
ðÿäêà ω ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà J , Hs (a) =
h(qj (a)), h(qj (a)) âûj∈S
ñîòà ýëåìåíòà qj (a) â ðåäóöèðîâàííîé øêàëå Cj (ñîñòîÿùåé èç ýëåìåíòîâ pr2 qj ).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ω ëèíåéíîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå J .  ýòîì ñëó÷àå ñåìåéñòâî ìàæîðàíòíî ñòàáèëüíûõ ïîäìíîæåñòâ
âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
{1} , {1, 2} , {1, 2, 3} , ..., {1, 2, 3, ..., m} .
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4) èìååì


h(q1 (a1 )) ≤ h(q1 (a2 )),





h(q1 (a1 )) + h(q2 (a1 )) ≤ h(q2 (a2 )) + h(q1 (a2 )),
ω
e
a1 ≤ a2 ⇔ ...



h(q1 (a1 )) + h(q2 (a1 )) + ... + h(qm (a1 )) ≤



≤ h(q (a )) + h(q (a )) + ... + h(q (a )).
1 2
2 2
m 2
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ω ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå êðèòå-
ðèåâ, òî ω
e âêëþ÷àåòñÿ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå
àëüòåðíàòèâ.
 ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì àëüòåðíàòèâû a1 , a2 ∈ A. Ïóñòü âûïîëíåíî
a1 ≤ωe a2 , íàäî ïîêàçàòü, ÷òî a1 ≤lex a2 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å.
73
q1 (a1 ) = q1 (a2 ), ..., qj−1 (a1 ) = qj−1 (a2 ), qj (a1 ) > qj (a2 ), ...  ýòîì ñëó÷àå,
ó÷èòûâàÿ èçîòîííîñòü ôóíêöèè h, ïîëó÷àåì

h(q1 (a1 )) = h(q1 (a2 )),



...

h(qj−1 (a1 )) = h(qj−1 (a2 )),



h(qj (a1 )) > h(qj (a2 )).
Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó Hs (a1 ) >
> Hs (a2 ), ãäå S ìàæîðàíòíî ñòàáèëüíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ïåðâûõ j êðèòåðèåâ {1, 2, 3, ..., j}. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ôîðìóëå (4). Ïîêàçàëè
âêëþ÷åíèå ω
e ⊆ ω lex .
Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå íåâåðíî.  ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé
ïðèìåð.
Ïðèìåð 1. Âîçüìåì ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ A = {a1 , a2 , a3 , a4 } è
äâà êðèòåðèÿ q1 è q2 , ãäå 1 >ω 2. Ïóñòü ðàíæèðîâàíèå àëüòåðíàòèâ ïî
êðèòèðèÿì q1 è q2 çàäàíû äèàãðàììîé:
a2
a1
a3
a4
a3
a1
a4
a2
r
r
r
r
r
r
r
r
q1
q2
Çäåñü a1 ≤lex a2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàõîäèì h(q1 (a1 )) + h(q2 (a1 )) =
= 2 + 2 > 3 + 0 = h(q1 (a2 )) + h(q2 (a2 )). Òàêèì îáðàçîì, a1 ≤ωe a2 íå
âûïîëíåíî.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Ñêîðíÿêîâ Ë. À. Ýëåìåíòû òåîðèè ñòðóêòóð. Ì. : Íàóêà, 1970.
2. Ðîçåí Â. Â. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïî êà÷åñòâåííûì êðèòåðèÿì. Ìàòåìàòè÷åñêèå
ìîäåëè. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 c.
ÓÄÊ 571.968
Ñ. Þ. Ñîâåòíèêîâà, Ã. Â. Õðîìîâà
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÌÅÒÎÄÅ ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈÈ
 çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ðàâíîìåðíûõ ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé 1-ãî ðîäà ñ îïåðàòîðîì äâîéíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
äàåòñÿ êîíêðåòèçàöèÿ è óòî÷íåíèå îáùèõ ïîëîæåíèé î ïðèìåíåíèè ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè Òèõîíîâà íóëåâîãî ïîðÿäêà ãëàäêîñòè.
74