задачник по Теории игр (Game Theory problems), 3 курс

...: Áîëüøîé Çàäà÷íèê Èãð
ÐÝØ-ÍÃÓ-ÂØÝ-ÅÓÑïá
Ñ. Êîêîâèí, A.Òîíèñ, A. Ñàââàòååâ è âñå-âñå-âñå :)
∗
24 íîÿáðÿ 2003 ã.
Êîíöåïöèÿ. Ýòîò çàäà÷íèê ñîñòàâëÿåòñÿ äëÿ íóæä ïðåïîäàâàíèÿ ñîñòàâèòåëåé
(ÐÝØ, ÍÃÓ, ÂØÝ, Åâðîï.Óí.ÑÏá) èç âñåõ çàäà÷, äîñòóïíûõ îòêóäà-òî. Òî åñòü,
çàäà÷íèê õî÷åòñÿ "ïîëíûé"ïî òåìàì, êàê ýíöèêëîïåäèÿ, èëè õîòÿ áû "áîëüøîé",
÷òîá íå ÷óâñòâîâàòü íåäîñòàòêà â çàäà÷àõ âñåõ òèïîâ. Öåëè çàäà÷íèêà: 1)çàäà÷è äëÿ
íàøèõ ñåìèíàðîâ, äîìàøíèõ è êîíòðîëüíûõ ðàáîò, 2)çàäà÷è äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè,
ïðåæäå âñåãî äëÿ íàøèõ êóðñîâ ëåêöèé, íî íå òîëüêî, for everybody.  òîì ÷èñëå,
ìîãóò áûòü çàäà÷è äëÿ äîìàøíåé ðàáîòû íà äåíü-äâà, òèïà ðåôåðàòà.
Ñòðóêòóðà: Åñòü ðàçäåëû çàäà÷íèêà ïî òåìàì: ðàâíîâåñèå Íýøà, è äð. Âíóò-
ðè òàêîãî ðàçäåëà çàäà÷è óñëîæíÿþòñÿ îò òèïîâûõ äî äîêàçàòëüíûõ. Òàêæå åñòü
òåìàòè÷åñêèå ðàçäåëû çàäà÷íèêà, ãäå êàæäûé êàñàåòñÿ íåêîòîðîé ñîäåðæàòåëüíîé
òåìû (ñþæåòà). Èáî ÷àñòî ðàçáèðàåìûé ñîäåðæàòåëüíûé ñþæåò ïðîñèòñÿ ïðîòÿíóòü
åãî ïî âñåì ïîíÿòèéíûì òåìàì (âñå òèïû ðåøåíèé). Òàê, ïîíÿòèéíàÿ òåìà ìîæåò
èäòè "ïóíêòèðîì"ïî ñîäåðæàòåëüíûì ðàçäåëàì, è íàîáîðîò. Äëÿ ãèïåðòåêñòîâîãî
îáðàùåíèÿ ê ïîäáîðêàì ïî ïîíÿòèéíûì òåìàì, èõ íàäî ðàçìå÷àòü óñëîâíûìè îáîçíà÷åíèÿìè.
Çàäà÷è (èëè âîïðîñû â çàäà÷àõ) áóäóò ðàçíîãî óðîâíÿ/íàçíà÷åíèÿ: 1 óðîâåíü/òèï:
Ïðîñòî íàõîäèòü ðàçíûå òèïû ðåøåíèé â êîíå÷íûõ è íåïðåðûâíûõ (ïî ìíîæåñòâó
ñòðàòåãèé) èãðàõ, âûáèðàòü ïîäõîäÿùóþ êîíöåïöèþ ïî êîíòåêñòó, ñîïîñòàâëÿòü
êîíöåïöèè ìåæäó ñîáîé. 2 óðîâåíü/òèï: Òðåáóåòñÿ âûâîäèòü ñóùåñòâîâàíèå è ñâîéñòâà ðåøåíèé èãðû (ìíîæåñòâåííîñòü, êîìïàêòíîñòü...) èç óñëîâèé. 3 óðîâåíü/òèï:
Ïî òåêñòîâîé ñèòóàöèè äîñòðàèâàòü ìîäåëü, ðåøàòü íåïîëíûå èëè íåêîððåêòíûå
çàäà÷è, äîïîëíÿÿ íåäîäàííûå óñëîâèÿ èëè êîíöåïöèè ðåøåíèé.
suggestions from S.Kok:
Êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ è åå îáîçíà÷åíèÿ.
0. Èìÿ èãðû è ïðîèñõîæäåíèå, íàïðèìåð, "Ïèðàòû"(Ìóëåí), èëè "Ïå÷åíüå"(ÐÝØ).
1. Ñîäåðæàòåëüíûé ñþæåò èãðû ôîðìóëèðóåòñÿ ïî ðàçäåëàì: àáñòðàêòíûå, ñïîðòèâíûå (äåòñêèå) è áûòîâûå, ïîëèòè÷åñêèå, Ýêîíîìè÷åñêèå: ñîâåðøåííûå ðûíêè è àóêöèîíû
(âêëþ÷àÿ ìîäåëü îáìåíà è âåðîÿòíîñòíûå), îëèãîïîëèè= ðûíêè ñ íåñîâåðøåíñòâîì êîíêóðåíöèè (âêëþ÷àÿ âåðîÿòíîñòíûå, êà÷åñòâî è ðåêëàìó), êîíòðàêòû, íåïîëíûå êîíòðàêòû.
∗
Áëàãîäàðíîñòü Àñå Êàìåíñêîé çà ïîìîùü â ïåðåâîäå è òåõíè÷åñêóþ.
1
2. Ïðîñòðàíñòâî ñòðàòåãèé (âðîäå êàê îöåíêà ñâåðõó ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà) êëàññèôèöèðóåì òàê:
Íàïðèìåð, 3[2(2*3*2)- (4*3*2)] îçíà÷àåò: 3(èãðîêà), [2(ñëîÿ äåðåâà) (2*3*2)- (4*3*2)
(óêàçàíî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ðàçâåòâëåíèé â êàæäîì ñëîå äëÿ êàæäîãî èãðîêà)].
Ýòó çàïèñü ìîæíî óïðîùàòü, îïóñêàÿ î÷åâèäíîå, íàïðèìåð:
"Ïåðåêðåñòîê- 2[2(2*2)]= [2*2] = "Äèëåììà çàêëþ÷åííûõ"
"Òåððîðèñò- 2[1(2-2)]= [2-2]
"Äåëåæ ïèðîãà ïî Ðóáèíøòåéíó- 2[N *(R*R)...]
3. Êîíöåïöèÿ ðåøåíèÿ (ïîíÿòèéíàÿ òåìà)
Ýòî òåñíî ñâÿçàíî ñ èíôîðìàöèîííîé ñòðóêòóðîé: èãðû ïîïóëÿöèîííûå, èëè ïîâòîðÿþùèåñÿ, èëè ñ èíôîðìàöèåé î öåëÿõ, è äð.
Íàïðèìåð, NForm, MM, NE, IND, Tree, SPE, Irrationality, Blu,
----------
2
Ñîäåðæàíèå
1 NSU Kokovin
1.1
1.2
1.3
1.4
Îáîçíà÷åíèÿ èãð è îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . .
Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ . . .
Çàäà÷è ñòàòè÷åñêèõ (îäíîâðåìåííûõ) èãð . .
Çàäà÷è ïîñëåäîâàòåëüíûõ èãð, SP E , IN DWΓ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 NES, A.Tonis, A.Savvateev
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Ðàçâåðíóòàÿ è íîðìàëüíàÿ ôîðìà . . . . . . . . . . . . .
Ðåøåíèå ïî äîìèíèðîâàíèþ . . . . . . . . . . . . . . . .
Èãðû ñ íóëåâîé ñóììîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ñîâåðøåííîé èíôîðìàöèåé . . . .
Ðàâíîâåñèÿ, ñîâåðøåííûå ïî ïîäûãðàì . . . . . . . . . .
Ïîâòîðÿþùèåñÿ èãðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòàòè÷åñêèå èãðû ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé . . . . . . .
Ñåêâåíöèàëüíûå (ñîâåðøåííûå áàéåñîâñêèå) ðàâíîâåñèÿ
Êîððåëèðîâàííûå ðàâíîâåñèÿ . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷à òîðãà (äëÿ äâóõ ó÷àñòíèêîâ) . . . . . . . . . . .
Êîîïåðàòèâíûå èãðû: ÿäðî è Øåïëè . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
7
7
17
17
19
19
20
23
24
24
26
27
29
30
30
3 P.Ordeshook: Political games
33
4 Ý.Ìóëåí
56
5 Ïðèëîæåíèå: Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ
57
Ëèòåðàòóðà
59
3
1 NSU Kokovin
1.1 Îáîçíà÷åíèÿ èãð è îïðåäåëåíèÿ
Äàëåå âñþäó
I := {1, ..., m} ìíîæåñòâî ó÷àñòíèêîâ i = 1, ..., m,
X := (Xi )i∈I := ×i Xi = (X1 × X2 × ... × Xm ) ïðîôèëü äîïóñòèìûõ ìíîæåñòâ
ñòðàòåãèé ó÷àñòíèêîâ,
u := (ui )I = (ui )i∈I íàáîð (ïðîôèëü) öåëåâûõ ôóíêöèé ó÷àñòíèêîâ (çàìåòèì:
êàæäàÿ öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ui : Xi 7→ IR çàâèñèò, âîîáùå ãîâîðÿ, îò âñåõ (xj )j∈I ).
Ïðîèëëþñòðèðóåì èñïîëüçóåìûå âñþäó äàëåå ïðèíöèïû îáîçíà÷åíèé â ïîñëåäîâàòåëüíûõ è îäíîâðåìåííûõ èãðàõ íà ïðèìåðå (èñïîëüçóåìîì âïîñëåäñòâèè). Â
÷àñòíîñòè, ââåäåì "îæèäàíèÿ", "äåðåâî èãðû"è "òàáëèöó âûèãðûøåé".
Ïðèìåð 1.1 (Ôóòáîë èëè êèíî ≈ Battle of Sexes: Luce, Raia, 1953)
Èãðàþò Àííà (ïåðñîíàæ, êîòîðûé äàëåå âî âñåõ îáñóæäàåìûõ äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ
õîäèò ïåðâûì è èíäåêñèðóåòñÿ êàê i = A) è Áîá èëè Âèêòîð (ïåðñîíàæè, êîòîðûå
â äðóãèõ èãðàõ, íå êàê çäåñü, õîäÿò ïîçæå Àííû è, ñîîòâåòñòâåííî, îáîçíà÷àþòñÿ
áóêâàìè B, V ñòîÿùèìè ïîçæå â ëàòèíñêîì àëôàâèòå). Çäåñü Àííà è Âèêòîð õîäÿò
îäíîâðåìåííî, ïîñëå õîäà "Ïðèðîäû", ñôîðìèðîâàâøåé ó íèõ êàêèå-òî "îæèäàíèÿ"(beliefs) î ïîâåäåíèè ïàðòíåðà. Îíè íå èìåþò âîçìîæíîñòè ïåðåãîâàðèâàòüñÿ
(âîçìîæíî, ýòî ïåðèîä óõàæèâàíèÿ ÄÎ çíàêîìñòâà :-) ), è êàæäûé âûáèðàåò, ïîéòè
ëè âå÷åðîì íà ôóòáîë èëè â êèíî. Îíè ïðåäïî÷ëè áû ïîéòè êóäà-íèáóäü âìåñòå,
÷òî îòðàæåíî â òàáëèöå âûèãðûøåé íà Ðèñ. 1. À èìåííî, ñîâìåñòíîå ïîïàäàíèå â
êèíî ( (xA , xV ) = (cA , cV ) = (cinemaA , cinemaV ) ) äàëî áû âåêòîð óäîâëåòâîðåíèÿ
èëè âûèãðûøåé ðàâíûé (uA (cA , cV ), uV (cA , cV )) = (3, 2), à ñîâìåñòíîå ïîïàäàíèå íà
ôóòáîë (f ootballA , f ootballV ) äàåò âûèãðûøè (uA (fA , fV ), uV (fA , fV )) = (1, 4).
 îâàëàõ "äåðåâà èãðû"îòìå÷åíû ó÷àñòíèêè ïðèíèìàþùèå ðåøåíèÿ â ýòîé ïîçèöèè, íà ñòðåëêàõ - ïåðåìåííûå, âûáðàííûå ó÷àñòíèêàìè.  êàæäîé êëåòêå "òàáëèöû
âûèãðûøåé", ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîìó èç 4-õ âîçìîæíûõ èñõîäîâ èãðû, ïîìåùåí
ñíà÷àëà ñóáúåêòèâíûé âûèãðûø ñòðî÷íîãî èãðîêà Àííû (èçìåðåííûé â íåêîòîðûõ åäèíèöàõ ïîëåçíîñòè), çàòåì - âûèãðûø ñòîëáöîâîãî èãðîêà - Âèêòîðà. Ñòðåëêè
îòðàæàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, â äàííîì ñëó÷àå - òî, ÷òî èãðîêè âûíóæäåíû
ïðèíÿòü ðåøåíèÿ îäíîâðåìåííî, íå çíàÿ âûáîðà äðóãîãî, à òîëüêî èìåÿ êàêèå-òî
îæèäàíèÿ (beliefs) îá ýòîì âûáîðå, ïðåäîïðåäåëåííûå ïðèðîäîé (ñëó÷àåì).
Äàëåå, êàê è çäåñü, ìû áóäåì áîëüøèìè áóêâàìè îáîçíà÷àòü ó÷àñòíèêîâ (èëè ìíîæåñòâà), ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ïåðåìåííûå ñòðàòåãèé, ñòàðàÿñü ñîõðàíÿòü ïðååìñòâåííîñòü: êàêàÿ ïåðåìåííàÿ êîìó ïðèíàäëåæèò. Ãðå÷åñêèå áóêâû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ
îæèäàíèé èëè âåðîÿòíîñòåé, â äàííîì ñëó÷àå β V - ýòî âåêòîð îæèäàíèé îá Àííå è î
4
Nature
Vic.'s belief (β V )
q
Victor
Ann's belief (β A ) cinemaN (c )jfootball (f )
V
V
cinema (cA ) 3, 2
U
0, 0
Anna
*
j
footb. (fA )
.
0, 0
1, 4
Payo matrix
Ðèñ. 1: Ïðèìåð îáîçíà÷åíèé â èãðàõ. Èãðà Ôóòáîë èëè êèíî (Battle of Sexes).
Ïðèíîñèì èçâèíåíèÿ çà àíãëèéñêèå íàäïèñè íà ðèñóíêàõ (îíè âûíóæäåíû è èñïîëüçóåìûìè ïðîãðàììíûìè ñðåäñòâàìè è ëàòûíüþ â îáîçíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ).
ñåáå (îæèäàíèÿ î ñåáå íåòðèâèàëüíû, òîëüêî åñëè ðàöèîíàëüíîñòü íåïîëíàÿ), à èíäåêñ
óêàçûâàåò ÷üå ýòî îæèäàíèå. Íå÷åòíûå öèôðû âûèãðûøåé âî ìíîãèõ íàøèõ ïðèìåðàõ
ñîîòâåòñòâóþò ïåðâîìó èãðîêó, ÷åòíûå - âòîðîìó.
 äàííîì ñëó÷àå, äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ èñõîäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîñòåéøóþ
êîíöåïöèþ ðåøåíèÿ ðåøåíèå ñ çàäàííûìè çàðàíåå îæèäàíèÿìè õîäîâ, èçâåñòíûìè îòêóäà-òî íàì ïðåäñêàçûâàþùåìó íàáëþäàòåëþ, ïðè÷åì îæèäàíèÿ ó÷àñòíèêîâ ìîãóò íå áûòü ñîãëàñîâàííûìè.  ÷àñòíîñòè, åñëè îáà îæèäàþò îò ïàðòíåðà âûáîð ôóòáîë, òî åñòü îæèäàíèÿ î ïàðòíåðå èìåþò çíà÷åíèÿ ν A = f ootbV ,
αV = f ootbA , òîãäà ðàöèîíàëüíûé âûáîð êàæäîãî - ïðèñîåäèíèòüñÿ ê âûáîðó ïàðòíåðà, è èñõîäîì áóäåò ñ÷àñòëèâàÿ (áîëåå ñ÷àñòëèâàÿ äëÿ Âèêòîðà) âñòðå÷à íà ôóòáîëå: xA = f ootbA , xV = f ootbV . Àíàëîãè÷íî, ñîâïàäàþùèå ãèïîòåçû î êèíî ïðèâåëè
áû ê ñ÷àñòëèâîé (îñîáåííî äëÿ Àííû) âñòðå÷å â êèíî, à íåñîâïàäàþùèå ãèïîòåçû ê ðàçâëå÷åíèÿì ïîðîçíü.
1.2 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ
Ìàêñèìèí (ÌÌ) - èñõîä èãðû (ïðîôèëü ñòðàòåãèé) ïðè îñòîðîæíîì ïîâåäåíèè
âñåõ, òî åñòü ïðè ìàêñèìèçàöèè ãàðàíòèðîâàííûõ âûèãðûøåé, íå ó÷èòûâàÿ â ñâîèõ
ðàñ÷åòàõ öåëåé è òåêóùèõ ðåøåíèé ïàðòíåðîâ.
Ðåøåíèå â (ñëàáî-) äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ (WDE) èëè ñëàáî-äîìèíèðóþùåå
ðàâíîâåñèå - èñõîä èãðû â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ó êàæäîãî "àáñîëþòíî-îïòèìàëüíîé"ñòðàòåãèè,
òî åñòü ñòðàòåãèè, (ñëàáî) äîìèíèðóþùåé íàä âñåìè äðóãèìè åãî ñòðàòåãèÿìè íåçàâèñèìî îò õîäîâ ïàðòíåðîâ, èõ öåëåé è òåêóùèõ ðåøåíèé. [Àíàëîãè÷íî è îïðåäåëåíèå ñèëüíî-äîìèíèðóþùåãî ðàâíîâåñèÿ SDE.]
Ðåøåíèå â èòåðàöèîííî- (ñëàáî-)íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèÿõ (INDW )
- èñõîä èãðû â ñëó÷àå îäíîâðåìåííîãî èòåðàöèîííîãî îòáðàñûâàíèÿ (ñëàáî-) äî5
ìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé êàæäûì èãðîêîì è ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåäóöèðîâàíèÿ èãðû:
èñêëþ÷åíèÿ îòáðîøåííûõ ñòðàòåãèé èç ðàññìîòðåíèÿ ÂÑÅÌÈ èãðîêàìè. Òðåáóåò
çíàíèÿ èëè öåëåé ïàðòíåðîâ èëè ôàêòà îòáðàñûâàíèÿ ñòðàòåãèé. [Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ Ðåøåíèå â èòåðàöèîííî- ñèëüíî-íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèÿõ (INDS ).]
Ðàâíîâåñèå Íýøà (NE) - èñõîä èãðû (ïðîôèëü ñòðàòåãèé), ïðè êîòîðîì íè
ó îäíîãî èãðîêà íåò ñòèìóëà îòñòóïèòü îò ñâîåé òåêóùåé ñòðàòåãèè, ïðè çíàíèè
òåêóùèõ ñòðàòåãèé ïàðòíåðîâ è ãèïîòåçå, ÷òî ïàðòíåðû íå îòñòóïÿò. [Ýêâèâàëåíòíûé âàðèàíò: Ðàâíîâåñèå Íýøà - èñõîä, êîãäà âñå ñõîäèëè îäíîâðåìåííî âñëåïóþ,
èìåÿ ëèøü íåêîòîðûå îæèäàíèÿ î çàïëàíèðîâàííîì õîäå ïàðòíåðîâ, à êîãäà êàðòû
îòêðûëèñü, òî âñå îæèäàíèÿ îïðàâäàëèñü.]
Ñîâåðøåííîå â Ïîäûãðàõ Ðàâíîâåñèå (Íýøà) (SPE = SPNE) - ýòî ðàâíîâåñèå Íýøà â ðàçâåðíóòîé ôîðìå èãðû, ÿâëÿþùååñÿ òàêæå ðàâíîâåñèåì Íýøà âî
âñåõ åå ïîäûãðàõ. (Âíèìàíèå: îíî ìîæåò íå ÿâëÿòüñÿ NE ýòîé æå èãðû â íîðìàëüíîé
ôîðìå, ïîýòîìó íå âñåãäà SP E ⊆ N E !)
Ñëàáûé îïòèìóì Ïàðåòî (W P ) - âîçìîæíûé èñõîä, êîòîðûé íåëüçÿ óëó÷øèòü äëÿ âñåõ èãðîêîâ ñðàçó, äàæå ñîãëàñîâàâ èõ õîäû. Ñèëüíûé îïòèìóì Ïàðåòî (P ) - èñõîä, êîòîðûé íåëüçÿ óëó÷øèòü äëÿ êîãî-òî, íå óõóäøèâ äëÿ äðóãèõ.
Ýëåìåíò (ñëàáîãî) ßäðà èãðû (C) - âîçìîæíûé èñõîä, êîòîðûé íå áëîêèðó-
åòñÿ íè îäíîé êîàëèöèåé â ïåðåãîâîðàõ. Êîàëèöèÿ áëîêèðóåò â ïåðåãîâîðàõ (îòâåðãàåò) âàðèàíò, åñëè èìååò äðóãîé, ñòðîãî áîëåå æåëàòåëüíûé äëÿ âñåõ ñâîèõ ÷ëåíîâ,
ñðåäè ÑÂÎÈÕ âîçìîæíîñòåé (ñðåäè âàðèàíòîâ, äîñòèæèìûõ íåçàâèñèìî îò äåéñòâèé âíå-êîàëèöèîííûõ èãðîêîâ). Ò.å. ßäðî - ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ, âíå êîòîðîãî
ñîãëàøåíèé áûòü íå ìîæåò.
Ñîêðàùåíèÿ: M M MaxiMin, DE Dominant Equilibrium, SDE Strong
Dominant Equilibrium, IN DW Iterative (Weakly) Non-Dominant Equilibrium, SoE
Sophisticated Equilibrium, N E - Nash Equilibrium, N Em Nash Equilibrium in
Mixed stratagies, SP (N )E Subgame Perfect (Nash) Equilibrium, StE Stackelberg
Equilibrium, P - Pareto, C Core.
6
Ïîêà ÷òî ñîðòèðîâêà ïî ðàçäåëàì è êëàññèôèêàöèÿ íå ïðîâåäåíû, çàäà÷è ñîáðàíû ïî ÏÐÎÈÑÕÎÆÄÅÍÈÞ.
Çàäà÷è èç ÍÃÓ:
1.3 Çàäà÷è ñòàòè÷åñêèõ (îäíîâðåìåííûõ) èãð
Ïðèìåð 1.2 : Àáñòðàêòíàÿ áèìàòðè÷íàÿ èãðà. Êàæäûé èç 2-õ èãðîêîâ
èìååò 3 ñòðàòåãèè: ai , bi , ci (i = 1, 2). Âçÿâ ñâîå èìÿ êàê áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ òèïà èâàíèâàíèâàí..., çàäàéòå âûèãðûøè ïåðâîãî èãðîêà
òàê: u1 (a1 , a2 ) =è, u1 (a1 , b2 ) =â,u1 (a1 , c2 ) =à, u1 (b1 , a2 ) =í , u1 (b1 , b2 ) =è,
u1 (b1 , c2 ) =â,u1 (c1 , a2 ) =à, u1 (c1 , b2 ) =í,u1 (c1 , c2 ) =è .
Ïîäñòàâüòå âìåñòî êàæäîé áóêâû èìåíè ÷èñëî = åå íîìåð â àëôàâèòå. Àíàëîãè÷íî èñïîëüçóÿ ñâîþ ôàìèëèþ, çàäàéòå âûèãðûøè âòîðîãî èãðîêà u2 (.). Íàéòè
âñå èçâåñòíûå âàì òèïû íåêîîïåðàòèâíûõ ðåøåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìå: DE , M M ,
N E , StE , SE , N Em (äëÿ N Em , äëÿ ïðîñòîòû ðåøåíèÿ, ïðåâðàòèòü èãðó â àíòàãîíèñòè÷åñêóþ, çàìåíèâ âûèãðûøè âòîðîãî èãðîêà âûèãðûøàìè ïåðâîãî ñ îáðàòíûì
çíàêîì), à èç êîîïåðàòèâíûõ êîíöåïöèé ñèëüíóþ è ñëàáóþ Ïàðåòî-ãðàíèöû P ,
P 0 è îáû÷íîå C -ÿäðî (çà óðîâåíü ïîëåçíîñòè äîñòèæèìûé èíäèâèäóàëüíî âçÿòü
ìàêñèìàëüíî-ãàðàíòèðîâàííûé âûèãðûø).
(Ñîêðàùåíèÿ: DE Dominant Equilibrium, M M MaxiMin, N E - Nash Equilibrium,
StE Stackelberg Equilibrium, SE Sophisticated Equilibrium, N Em Nash Equilibrium
in Mixed stratagies.)
1.4 Çàäà÷è ïîñëåäîâàòåëüíûõ èãð, SP E , IN DWΓ
Ïðèìåð 1.3 Ëàáèðèíò . 2-à èãðîêà èãðàþò íà ãðàôå (äåðåâå) èãðû: ïåðâûé
èãðîê ñ èìåíåì K âûáèðàåò ââåðõ èëè âíèç, çàòåì âòîðîé èãðîê ñ èìåíåì S - âëåâî
èëè âïðàâî, è ò.ä. Ýòî äåðåâî ñ êîðíåì < K1 >, ñ 12-þ âåðøèíàìè (òèïà up-righup-right), ãëóáèíîé 4 õîäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:
Âçÿâ ñâîå èìÿ êàê áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ òèïà êîêîâèíêîêîâè..., ñâîå èìÿ òèïà ñåðãåéñåðãåéñåð... çàäàéòå âûèãðûøè ïåðâîãî è âòîðãî
èãðîêîâ â âåðøèíàõ, êàê íà ðèñóíêå; ïàðà áóêâ â êàæäîé âåðøèíå.
Ïîäñòàâüòå âìåñòî êàæäîé áóêâû èìåíè ÷èñëî åå íîìåð â àëôàâèòå, ëèáî
ðåøàéòå íåïîñðåäñòâåííî â áóêâàõ: áîëåå ïîçäíÿÿ áîëüøå ñò'îèò.
1)Íàéòè SP E , SE . 2)Íàéòè P BE â àëüòåðíàòèâíîì ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âòîðîé
õîä (âåðøèíû S2d, S2u) ïðîèçâîäèò ïðèðîäà, ñëó÷àéíî, ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.5, è îáà
èãðîêà íå ñïîñîáíû îïðåäåëèòü, âëåâî èëè âïðàâî ïðîèçîøåë âûáîð.
Ïðèìåð 1.4 Ïîñòðîèòü ïðèìåð èãðû â ðàçâåðíóòîé è/èëè â íîðìàëüíîé ôîðìå,
ãäå IN DW 6⊆ SP E èëè äîêàçàòü, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî.
Ïðèìåð 1.5  çàäà÷å "òåððîðèñò"èç ó÷åáíèêà, ðàññìîòðèì, êàê âûãëÿäèò SPE
â áîëåå ñëîæíîì ñëó÷àå: ïðè ñîâïàäåíèè íåêîòîðûõ çíà÷åíèé âûèãðûøåé è/èëè
7
Ê
Ñ
Î
Ê
Î
Å
Ð
Ã
\ /
\ /
S4ulu
S4uru
|
|
|
|
K3ul<--S2u-->K3ur
|
|
|
Â
|
È
Å
|
É
|
< K1 >
Í
|
Ê
Ñ
|
Å
|
|
|
K3dl<--S2d-->K3dr
|
|
|
|
S4dld
S4drd
/ \
/ \
/
\
/
\
Î
Ê
Î
Â
Ð
Ã
Å
É
Ðèñ. 2: Ëàáèðèíò.
ïðè íåñîâåðøåííîé èíôîðìàöèè î õîäàõ. Ñëó÷àé Ñ"îïèñàííîé èãðû âîçìîæåí,
åñëè òåððîðèñò ïñèõè÷åñêè îñîáåííûé ÷åëîâåê (÷òî ñ íèìè áûâàåò): åìó âñå ðàâíî, æèòü èëè íåò, íî ïðèÿòíåå óìåðåòü èëè æèòü íà Êóáå. Òîãäà âîçíèêàåò ìíîãî
ðàâíîâåñèé SP E (âñå ñòðàòåãèè), íî íè îäíîãî SE , ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî IND èòåðàöèîííî (ñëàáî) íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé âêëþ÷àåò íåýêâèâàëåíòíûå èñõîäû:
IN D = {(NY , N B) ⇒ (2, 1); (NY , B) ⇒ (0, 1)}.
 ñëó÷àå D"âûèãðûøè ðàçëè÷íû, íî íåèíôîðìèðîâàííîñòü òåððîðèñòà ïîçâîëÿåò îæèäàòü îò íåãî ëþáûõ õîäîâ.  ðåçóëüòàòå ìíîãî ðàâíîâåñèé SP E (âñå
ñòðàòåãèè), íî íè îäíîãî SE , ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî IND èòåðàöèîííî (ñëàáî) íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé âêëþ÷àåò íåýêâèâàëåíòíûå èñõîäû: IN D = {(NY , N B) ⇒
(2, 0.5); (NY , B) ⇒ (0, 1)}.
Ïðèìåð 1.6 Ïèðàòû. (Ìóëåí, 1985,p.-85). Ïóñòü íà ïèðàòñêîì êîðàáëå 50 ðàç-
íîãî ñòàðøèíñòâà ïèðàòîâ äåëÿò 100 êóñêîâ çîëîòà ïî ñëåäóþùåìó îáû÷àþ. Ñòàðøèé ïðåäëàãàåò äåëåæ êîìó ñêîëüêî. Åñëè õîòÿ áû ïîëîâèíà êîìàíäû (âêëþ÷àÿ
åãî) ñîãëàñíà, òî òàê è áóäåò, èíà÷å åãî âûáðîñÿò çà áîðò, à îñòàâøèéñÿ ñòàðøèì
ïðåäëîæèò äåëåæ, è òàê äàëåå.
Ïðåäñêàæèòå, êòî ñêîëüêî ïîëó÷èò, âïëîòü äî ìëàäøåãî þíãè (SPE, INDW).
8
C. Case, when second
D. Case, when second player
can understand,
player can not understand, what the
1-st move was:
what the 1-st move was:
Pilot
. 2
Pilot
.
2
/ \ 1
/ \ 0.5
N-Y / \ Cuba
2, 0 N-Y /
\ Cuba 1 0
2 0 /
\ 1 0
0.5,1
/
\
2, 0
1, 1 .
. 2, 2
Terr-st
.........
NoBomb/ \B NB/ \Bombing
NB/ \B NB/ \Bombing
/ \ / \
/ \ /
\
UP= 2
0 1
0
UP= 2
0 1
0
UT= 1
1 2
2
UT= 0.5 1 2
0
(perfect information)
(imperfect information on moves)
Ðèñ. 3: Camicadze.
Ïðèìåð 1.7 Êàìåøêè. Ïóñòü Àííà è Áîðèñ äîãîâîðèëèñü, ÷òî èç ëåæàùèõ
ïåðåä íèìè 10 êàìóøêîâ Àííà âîçüìåò 1 èëè 2, ïî æåëàíèþ. Ïîòîì Áîðèñ 1 èëè 2,
è òàê äàëåå, à âçÿâøèé ïîñëåäíèé êàìåíü ïðîèãðàë.
Êòî âûèãðàåò ïðè èäåàëüíîé èãðå îáîèõ? Ñîõðàíèòñÿ ëè ðåçóëüòàò, åñëè ìîæíî
áðàòü 1 èëè 2 èëè 3? Êàêîâ îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ âñåõ òàêèõ çàäà÷?
Ïðèìåð 1.8 (SPE â íåïðåðûâíîé èãðå: Äåëåæ óáûâàþùåãî ïèðîãà) .
(A.Rubinstein, 1959, see also H.Varian Microec.Analysis").
Óåçæàÿ èç äîìà, ìàòü îñòàâèëà äâóì æàäíûì ñûíîâüÿì ïèðîã, ñ òàêèì óñëîâèåì.
Ñíà÷àëà Àíäðåé ïðåäëîæèò äåëåæ a1 ∈ [0, 1] (ñâîþ äîëþ), åñëè Áîðèñ ñîãëàñåí,
òî òàê è áóäåò, èíà÷å ÷åðåç ÷àñ Áîðèñ ïðåäëîæèò äåëåæ b2 ∈ [0, 1] (ñâîþ äîëþ).
Åñëè Àíäðåé íå ñîãëàñåí, îí ÷åðåç ÷àñ ïðåäëîæèò íîâûé äåëåæ a3 ∈ [0, 1], è òàê
äàëåå. Íî ñ êàæäûì ÷àñîì ïîëåçíîñòü ïèðîãà óáûâàåò (âîçìîæíî, îò íåòåðïåíèÿ
è îò çàñûõàíèÿ ïèðîãà) íåêîòîðûì òåìïîì, òî åñòü ÷åðåç ÷àñ îñòàåòñÿ α ∈ (0, 1)
äëÿ Àíäðåÿ è β ∈ (0, 1) äëÿ Áîðèñà. Òî åñòü, åñëè, ñêàæåì, íà òðåòüåé èòåðàöèè
îíè ñîãëàñèëèñü íà äåëåæ (a3 , b3 ); a3 + b3 = 1, òî ïîëåçíîñòü Àíäðåÿ îò íåãî áóäåò
A(a3 ) = α3 a3 , Áîðèñà B(b3 ) = β 3 b3 . Çíàÿ êîíå÷íûé ïåðèîä T , â òå÷åíèå êîòîðîãî
ïèðîã îñòàåòñÿ ñúåäîáåí, íóæíî ïðåäñêàçàòü, íà êàêîé èòåðàöèè è êàê (ðàöèîíàëüíûå è æàäíûå) áðàòüÿ ïîäåëÿòñÿ (ïîäîáíàÿ èãðà î÷åíü òèïè÷íà â ñèòóàöèè, êîãäà
äâå ôèðìû ñïîñîáíû îñóùåñòâèòü âçàèìîâûãîäíûé ïðîåêò, íî íàäî äîãîâîðèòüñÿ î
ðàçäåëå ïðèáûëè, à âðåìÿ ïåðåãîâîðîâ îçíà÷àåò óïóùåííóþ ïðèáûëü).
Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü α = β = 1/2, Ò=4, è íàðèñóåì äåðåâî (åñëè ìîæíî
òàê âûðàçèòüñÿ) ýòîé íåïðåðûâíîé ïî ñòðàòåãèÿì èãðû:
Ðåøåíèå èãðû â êîíå÷íîì ïðîñòîì ñëó÷àå (îáùèé ñëó÷àé, è áåñêîíå÷íûé âàðèàíò
èãðû ðàññìîòðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî) ëåãêî íàéòè ñ ïîìîùüþ ñòóïåí÷àòîé äèãðàììû
óðîâíåé ïîëåçíîñòåé, àëãîðèòìîì îáðàòíîé èíäóêöèè.
9
Óïðàæíåíèå. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî äèñêîíòû (êîôèöèåíòû òåðïåíèÿ") Àíäðåÿ
α è Áîðèñà β ðàçíûå, êàê è â ÷üþ ïîëüçó (òåðïåëèâîãî ëè) èçìåíèòñÿ ðåøåíèå?
Îáîáùèòå ðåøåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ Ò, è äëÿ áåñêîíå÷íîãî T = ∞,
íàïðèìåð, ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó. (Ïðîâåðüòå A = (1 − β)/(1 − αβ), B = (1 − α)β/(1 −
αβ).)
Ïðèìåð 1.9 Èãðà âõîäà â îòðàñëü.Ïóñòü åñòü îòðàñëü ñ ôóíêöèåé îáðàòíîãî
ñïðîñà (öåíîé îò ñóììàðíîãî îáúåìà) âèäà p(Y ) = 9 − Y è ìîíîïîëèñòîì - ñòàðîæèëîì â ýòîé îòðàñëè, ñ ïîñòîÿííûìè ïðåäåëüíûìè èçäåðæêàìè ċ1 (y1 ) = 1 (ïðîâåðüòå, ÷òî ìîíîïîëüíàÿ öåíà pM = 5). Ïóñòü ïîòåíöèàëüíûé íîâè÷îê âõîäÿ â îòðàñëü
äîëæåí ñäåëàòü íåâîçâðàòíûå íà÷àëüíûå êàïèòàëîâëîæåíèÿ K = 1 è îæèäàåò ïðåäåëüíûå èçäåðæêè ċ2 (y2 ) = 2. Ïóñòü îòðàñëü ìîæåò ïðîñóùåñòâîâàòü äâà ïåðèîäà
(ìîæíî îáîáùèòü íà n) è äèñêîíòà íåò: ïðèáûëè ñåãîäíÿ è çàâòðà ðàâíîöåííû,
àëüòåðíàòèâíîå âëîæåíèå êàïèòàëà K íåâîçìîæíî. Ñòàðîæèë îáåùàåò íîâè÷êó â
ñëó÷àå âõîäà äîáèòüñÿ (ïîâûøåíèåì âûïóñêà) ñíèæåíèÿ öåíû äîñòàòî÷íî íèçêî
(< 2), ÷òîáû çàñòàâèòü íîâè÷êà ïðåêðàòèòü ïðîèçâîäñòâî, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîñëå
ýòîãî íîâè÷îê áàíêðîò è âî âòîðîì ïåðèîäå ìîæíî ñîõðàíÿòü ìîíîïîëèþ. Åñëè æå
íîâè÷îê âîéäåò, òî îæèäàåòñÿ ðåøåíèå Øòàêåëüáåðãà (ò.å. SPEOld,N ew ): ëèäåð- ñòðàðîæèë óñòàíîâèò âûïóñê ðàíüøå. Ñòîèò ëè âåðèòü ýòîé óãðîçå èëè îí áëåôóåò è
ìîæíî âõîäèòü? Îáîáùèòå çàäà÷ó äëÿ ðàçëè÷íûõ ċ2 (y2 ) 6= 2, K 6= 1.
Ïðèìåð 1.10 Èãðà Âîçüìè èëè îñòàâü"(ñîðîêîíîæêà")(by Rosental):
Ïóñòü ïåðâûé èç äâóõ èãðîêîâ ìîæåò âçÿòü 4/5 îáùåé ïðèáûëè (òî åñòü $4 èç $5)
íà øàãå 1, òîãäà èãðà çàêîí÷èòñÿ, à âòîðîìó îñòàíåòñÿ $1. Íà øàãå 2 ïðèáûëü óäâàèâàåòñÿ (íàïðèìåð, âåäóùèì), è ÷åðåä 2-ãî âûáèðàòü: âçÿòü ëè 4/5 ïðèáûëè (òî åñòü
$8 èç $10-è) è çàêîí÷èòü òåì ñàìûì èãðó, èëè îñòàâèòü, è ò.ä. Ïðåäñêàçûâàÿ èñõîä
äëÿ êîíå÷íîé (ñêàæåì, ïî 3 õîäà êàæäîãî) èãðû ïî ïðèíöèïó SPE èëè PBE, ìû
óâèäèì, ÷òî èãðà òðèâèàëüíî çàêîí÷èòñÿ íà 1-ì øàãå ñ ñóììîé ïðèáûëè 3. À ïî
ïðèíöèïó ðåøåíèÿ P BE(ε) îíà ìîæåò äîéòè äî êîíöà ñ áîëüøîé ñóììîé ïðèáûëè. (Çäåñü ε âåðîÿòíîñòü íå íèæå êîòîðîé îæèäàåòñÿ îò ëþáîãî õîäà, áëàãîäàðÿ
ñëó÷àéíîìó ïîâåäåíèþ òèïà èððàöèîíàëüíîñòè).
1)Êàêîå ε äîñòàòî÷íî äëÿ ïðîäîëæåíèÿ èãðû äî êîíöà (òî÷íåå, ïðîäîëæåíèÿ
ðàöèîíàëüíûõ õîäîâ äî óçëà V3 )? Äîñòàòî÷íî ëè åãî òàêæå è â áåñêîíå÷íîé èãðå?
Êàêîå ε íåîáõîäèìî äëÿ ðàöèîíàëüíîñòè õîäîâ òèïà leavei â êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé
èãðàõ?
2)Ïóñòü, ñèòóàöèÿ èçìåíèëàñü: èãðîê Â ñëûøàë, ÷òî èãðîê À â ïîäîáíîé èãðå
èç 10-òè õîäîâ ñäåëàë 1 èððàöèîíàëüíûé (íåâûãîäíûé, îøèáî÷íûé), è îæèäàåò, ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòü èððàöèîíàëüíîñòè îêîëî α = 1/10. Àíàëîãè÷íî, èãðîê À
ñëûøàë, ÷òî èãðîê Â â ïîäîáíîé èãðå èç 30-òè õîäîâ ñäåëàë 2 èððàöèîíàëüíûõ õîäà è îæèäàåò âåðîÿòíîñòü èððàöèîíàëüíîñòè β = 2/30 (ýòî îêàæåòñÿ íå òî æå, ÷òî
1/15!). Ïðåäïîëîæèì, èãðîêè ñ÷èòàþò ðàöèîíàëüíûì áðàòü áàíê, êîãäà âåðîÿòíîñòü
îøèáêè ïàðòíåðà áîëüøå 1/7 è îæèäàþò îò ïàðòíåðà òàêîãî æå ìíåíèÿ. Î÷åâèäíî,
ïðè òàêîé "ïðîñòîâàòîé"ðàöèîíàëüíîñòè, ïåðâûé - À - íà ïåðâîì õîäó ÂÎÇÜÌÅÒ
(åñëè íå îøèáåòñÿ). Íî åñëè îí îøèáåòñÿ, âîçüìåò ëè âòîðîé? Îí ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòü âçÿòèå ïåðâûì êàê îøèáêó, è òîãäà ïîäïðàâèòü ñâîþ ñóáúåêòèâíóþ
10
âåðîÿòíîñòü îøèáîê À äî âåëè÷èíû (1+1)/(10+1)=2/11. Ëèáî ñ÷èòàòü ñëó÷èâøååñÿ
ÎÑÒÀÂËÅÍÈÅ ðàöèîíàëüíûì õîäîì, è ñäåëàòü îòñþäà âûâîä î òåêóùèõ ãèïîòåçàõ
(β =?) èãðîêà À îòíîñèòåëüíî ñåáÿ (îòíîñèòåëüíî Â). Íåçàâèñèìî îò òîãî, âåðíû ëè
ýòè ãèïîòåçû, âûãîäíî ëè òåïåðü èãðîêó Â ÁÐÀÒÜ è ïîéäåò ëè èãðà äî 6-ãî õîäà?
3)Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé ñèòóàöèåé, îñòàâèì èãðîêà  "ïðîñòûì", à ïåðâîãî èãðîêà ïðåäïîëîæèì ñïîñîáíûì ðàññ÷èòàòü ïðåäûäóùóþ ñèòóàöèþ. Ñòàíåò ëè
îí íà ïåðâîì øàãå ÎÑÒÀÂËßÒÜ, íåçàâèñèìî îò ñâîèõ ãèïîòåç î ïàðòíåðå (ÁËÅÔÎÂÀÒÜ)? Ïîéäåò ëè èãðà äî 6-ãî õîäà?
4)×òî åñëè òåïåðü îáà èãðîêà "ñëîæíûå", è  ïðîñ÷èòûâàåò âîçìîæíîñòü áëåôà
ïåðâîãî (ñ÷èòàþùåãî âòîðîãî ïðîñòûì), èçìåíèò ëè ýòî ðåçóëüòàò?
Ïðèìåð 1.11 Èãðà Âîçüìè èëè îñòàâü (ñîðîêîíîæêà - ïîâòîð):
A1
lA1
lV 1
lA2
lV 2
lA3
lV 3
tA1
tV 1
tA2
tV 2
tA3
tV 3
s
s
s
s
s
- V1
4, 1
- A2
2, 8
- V2
16, 4
- A3
8, 32
- V3
64, 16
- 256, 64
s
32, 128
Ðèñ. 4: Èãðà Âîçüìè èëè îñòàâü.
Ïóñòü ïåðâûé èç äâóõ èãðîêîâ (Àííà) ìîæåò âçÿòü 4/5 îáùåé ïðèáûëè (òî åñòü
$4 èç $5 íà âåòâè takea1 ) íà øàãå 1, òîãäà èãðà çàêîí÷èòñÿ, à âòîðîìó - Âèêòîðó
- îñòàíåòñÿ $1. Ëèáî ìîæíî îñòàâèòü áàíê íà ñòîëå (leavea1 ). Íà øàãå 2 ïðèáûëü
óäâàèâàåòñÿ (íàïðèìåð, âåäóùèì), è ÷åðåä 2-ãî âûáèðàòü: âçÿòü ëè 4/5 ïðèáûëè (òî
åñòü $8 èç $10-è) è çàêîí÷èòü òåì ñàìûì èãðó, èëè îñòàâèòü, è ò.ä. Ïðåäñêàçûâàÿ
èñõîä äëÿ êîíå÷íîé (ñêàæåì, ïî 3 õîäà êàæäîãî) èãðû ïî ïðèíöèïó SPE, PBE, èëè
THPE ìû óâèäèì, ÷òî èãðà òðèâèàëüíî çàêîí÷èòñÿ íà 1-ì øàãå takea1 ñ âûèãðûøàìè (1,4). À ïî ïðèíöèïó ðåøåíèÿ P BE(ε) îíà ìîæåò äîéòè äî êîíöà ñ áîëüøîé
ñóììîé ïðèáûëè. (Çäåñü ε âåðîÿòíîñòü íå íèæå êîòîðîé îæèäàåòñÿ îò ëþáîãî õîäà,
áëàãîäàðÿ ñëó÷àéíîìó ïîâåäåíèþ òèïà èððàöèîíàëüíîñòè).
Ïîêàæèòå, ÷òî ε > 1/7 äîñòàòî÷íî äëÿ ïðîäîëæåíèÿ èãðû äî êîíöà (òî÷íåå,
ïðîäîëæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ õîäîâ äî óçëà V3 ). Êàêîå ε íåîáõîäèìî äëÿ ýòîãî æå?
2)Ïóñòü, ñèòóàöèÿ èçìåíèëàñü: èãðîê Victor ñëûøàë, ÷òî Àííà â ïîäîáíîé èãðå
èç 10-òè õîäîâ ñäåëàëà 1 èððàöèîíàëüíûé (íåâûãîäíûé, îøèáî÷íûé), è îæèäàåò,
ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòü èððàöèîíàëüíîñòè îêîëî α = 1/10. Àíàëîãè÷íî, Àííà ñëûøàëà, ÷òî Âèêòîð â ïîäîáíîé èãðå èç 30-òè õîäîâ ñäåëàë 2 èððàöèîíàëüíûõ õîäà, îíà îæèäàåò âåðîÿòíîñòü èððàöèîíàëüíîñòè β = 2/30 (ýòî îêàæåòñÿ íå
òî æå, ÷òî 1/15!). Ïðåäïîëîæèì, èãðîêè ñ÷èòàþò ðàöèîíàëüíûì áðàòü áàíê, êîãäà âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïàðòíåðà áîëüøå 1/7 è îæèäàþò îò ïàðòíåðà òàêîãî æå
ìíåíèÿ. Î÷åâèäíî, ïðè òàêîé ïðîñòîâàòîé ðàöèîíàëüíîñòè, Àííà íà ïåðâîì õîäó
ÂÎÇÜÌÅÒ (åñëè íå îøèáåòñÿ). Íî åñëè îí îøèáåòñÿ, âîçüìåò ëè Âèêòîð? Îí ìîæåò
èíòåðïðåòèðîâàòü îñòàâëåíèå Àííîé êàê îøèáêó, è òîãäà ïîäïðàâèòü ñâîþ ñóáúåêòèâíóþ âåðîÿòíîñòü îøèáîê À äî âåëè÷èíû (1+1)/(10+1)=2/11. Ëèáî ñ÷èòàòü
11
ñëó÷èâøååñÿ îñòàâëåíèå ðàöèîíàëüíûì õîäîì, è ñäåëàòü îòñþäà âûâîä î òåêóùèõ
ãèïîòåçàõ (β =?) Àííû îòíîñèòåëüíî ñåáÿ (Âèêòîðà). Íåçàâèñèìî îò òîãî, âåðíû ëè
ýòè ãèïîòåçû, âûãîäíî ëè òåïåðü Âèêòîðó îñòàâëÿòü è ïîéäåò ëè èãðà äî óçëà V3 ?
3)Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé ñèòóàöèåé, îñòàâèì Âèêòîðà ïðîñòûì, à ïåðâîãî
èãðîêà ïðåäïîëîæèì ñïîñîáíûì ðàññ÷èòàòü ïðåäûäóùóþ ñèòóàöèþ. Ñòàíåò ëè îí
íà ïåðâîì øàãå ÎÑÒÀÂËßÒÜ, íåçàâèñèìî îò ñâîèõ ãèïîòåç î ïàðòíåðå (ÁËÅÔÎÂÀÒÜ)? Ïîéäåò ëè èãðà äî 6-ãî õîäà?
4)×òî åñëè òåïåðü îáà èãðîêà ñëîæíûå, è  ïðîñ÷èòûâàåò âîçìîæíîñòü áëåôà
ïåðâîãî (ñ÷èòàþùåãî âòîðîãî ïðîñòûì), èçìåíèò ëè ýòî ðåçóëüòàò?
.
Ïðèìåð 1.12 Êîëïàêè (ñì. R.Myerson). Öàðü ðåøèë èñïûòàòü ñâîèõ ÷åòûðåõ
ìóäðåöîâ. Îí ïðèêàçàë èì çàêðûòü ãëàçà è èç ìåøêà, ãäå áûëî ìíîãî ÷åðíûõ è
áåëûõ êîëïàêîâ, âûíóë ñëó÷àéíûì îáðàçîì è íàäåë íà ìóäðåöîâ 4 êîëïàêà. Ñêàçàë
èì îòêðûòü ãëàçà, ñîîáùèë, ÷òî â ìåøêå áûëè ÷åðíûå è áåëûå è ñïðîñèë: ìîæåò
ëè êòî íàâåðíÿêà óãàäàòü íà ñåáå êîëïàê ãëÿäÿ íà äðóãèõ? "Íåò - ýòî íåâîçìîæíîñêàçàëè ìóäðåöû (è áûëè ïðàâû). À ñëó÷èëîñü, ÷òî âñå êîëïàêè áåëûå. "À âåäü
ñðåäè îäåòûõ åñòü áåëûé êîëïàê, òîãäà ÷òî âû î ñåáå ñêàæåòå? ñêàçàë öàðü. Ìóäðåöû
ïðîìîë÷àëè. Âåäü íè÷åãî íîâîãî îí íå ñîîáùèë: êàæäûé óæå âèäåë òðîèõ ñîñåäåé
â áåëîì. "Ïîìîë÷èòå ìèíóòó, ïîòîì ìîæíî ãîâîðèòü ñêàçàë öàðü. Íî è âî âòîðîé
ðàç îíè ìîë÷àëè. È êîãäà òðåòèé ðàç îí ïðåäëîæèë ãîâîðèòü - ìîë÷àëè. À âîò íà
÷åòâåðòûé ðàç êàæäûé ñêàçàë, ÷òî îí â áåëîì êîëïàêå, è îäíîçíà÷íî îáúÿñíèë ýòî,
è öàðü âñåõ íàãðàäèë. 1)Îáúÿñíèòå ðåøåíèå (SPE).  ÷åì íîâèçíà ïîñòóïèâøåé
îò öàðÿ èíôîðìàöèè? 2)Ïîêàæèòå, ÷òî òàê æå ðåøàåòñÿ çàäà÷à äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
ìóäðåöîâ è ëþáîãî âàðèàíòà âûïàâøèõ ÷åðíûõ/áåëûõ êîëïàêîâ: êòî-òî îïðåäåëèò
ñâîé êîëïàê è ñêàæåò. 3)Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè âûïàëè íåîäèíàêîâûå êîëïàêè, òî áîëåå
ñëàáîé ïîäñêàçêè öàðÿ: "êîëïàêè íåîäèíàêîâû äîñòàòî÷íî äëÿ ðàçðåøåíèÿ èãðû ÍÅ
ÏÐÈ ÂÑßÊÎÌ ÷èñëå ÷åðíûõ è áåëûõ.
(=ïðåäûäóùóþ èãðó ìîæíî êàê=Êîíêóðñ. (òåìà "îáùåå çíàíèå") Òðîå èëè ÷åòâåðî ñòóäåíòîâ çàêðûâàþò ãëàçà è ýêçàìåíàòîð êëàäåò íà ãîëîâó êàæäîìó áåëûé
ïëàòîê. Èçâåñòíî, ÷òî ïëàòêè áûâàþò êðàñíûå èëè áåëûå. Ðàçðåøàåòñÿ îòêðûòü
ãëàçà. Óãàäàòü öâåò ïëàòêà íà ñåáå íåâîçìîæíî. Íî êîãäà ýêçàìåíàòîð ñêàæåò: "ñðåäè âàñ åñòü áåëûé ïëàòîê", óãàäàòü âîçìîæíî (õîòÿ îí íè÷åãî íîâîãî êàæäîìó íå
ñîîáùèë). Ïîòîì êîìàíäóåò: çàêðûòü ãëàçà, îòêðûòü ãëàçà (÷òîáû áûëè ýòàïû).
Âûèãðûâàåò óãàäàâøèé ïåðâûì è îáúÿñíèâøèé. Ïðèçåðîì òàêæå ÿâëÿåòñÿ - ïåðâûì ïîäàâøèé êîððåêòíóþ ìîäåëü èãðû.)
Ïðèìåðû êîíêóðñîâ. (Êîíêóðñ ïðåäëàãàåòñÿ âñåé àóäèòîðèè, ó÷àñòèå íåîáÿçàòåëüíî, íî 1-2 ïîáåäèòåëÿ ïîëó÷àþò çíà÷èòåëüíûå äîïîëíèòåëüíûå î÷êè ê çà÷åòó)
Êîíêóðñ 1. (òåìà: ðàöèîíàëüíîñòü ïîâåäåíèÿ è "îáùåå çíàíèå") Êàæäîìó ïðåäëàãàåòñÿ çàäóìàòü è ïîäàòü íà áóìàãå ÷èñëî îò 1 äî 100. Òîò, ÷üå ÷èñëî áëèæå âñåõ
ê ïîëîâèíêå îò ñðåäíåãî èç íàçâàííûõ - ïîáåäèòåëü. Ïðèçåðîì òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì ïîäàâøèé êîððåêòíóþ ìîäåëü èãðû. Êîíêóðñ 2. (òåìà: ðàöèîíàëüíîñòü ïîâåäåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå èãðû)
12
Àóêöèîí "Ëîõîòðîí". Íà ñòîëå ëåæèò 100 ðóá. - äàð ýêçàìåíàòîðà. Ëþáîé æåëàþùèé ó÷àñòâîâàòü â ðîçûãðûøå ýòîé êóïþðû âíîñèò íà ñòîë 1 ðóáëü (áåçâîçâðàòíî).
Æåëàþùèå ïðîäîëæàòü ðîçûãðûø âíîñÿò åùå ïî 1. È ò.ä. Ïîáåäèòåëü çàáèðàåò âñå
(âîçìåñòèâ ýêçàìåíàòîðó 100) è ïîëó÷àåò "îòë.". Ïðèçåðîì òàêæå ÿâëÿåòñÿ - ïåðâûì
ïîäàâøèé êîððåêòíóþ ìîäåëü èãðû. Êîíêóðñ 3. ("îáùåå çíàíèå") Òðîå èëè ÷åòâåðî
èç çàíÿâøèõ ëó÷øèå ìåñòà â äðóãîì êîíêóðñå çàêðûâàþò ãëàçà è ýêçàìåíàòîð êëàäåò íà ãîëîâó êàæäîìó áåëûé ïëàòîê. Èçâåñòíî, ÷òî ïëàòêè áûâàþò êðàñíûå èëè
áåëûå. Ðàçðåøàåòñÿ îòêðûòü ãëàçà. Óãàäàòü öâåò ïëàòêà íà ñåáå íåâîçìîæíî. Íî êîãäà ýêçàìåíàòîð ñêàæåò: "ñðåäè âàñ åñòü áåëûé ïëàòîê", óãàäàòü âîçìîæíî (õîòÿ îí
íè÷åãî íîâîãî êàæäîìó íå ñîîáùèë). Âèãðûâàåò óãàäàâøèé ïåðâûì è îáúÿñíèâøèé.
Ïðèçåðîì òàêæå ÿâëÿåòñÿ - ïåðâûì ïîäàâøèé êîððåêòíóþ ìîäåëü èãðû.
Ïðèìåð 1.13 Ìîñòû Öåçàðÿ: commitment. Öåçàðü ñ âîéñêîì ïåðåïðàâèëñÿ ïî
íàâåäåííûì ìîñòàì ÷åðåç ðåêó íà ñòîðîíó íåïðèÿòåëÿ, âîéñêî Öåçàðÿ ïðèãîòîâèëîñü ê áîþ. Íåïðèÿòåëü ïðèãîòîâèëñÿ ê áîþ. Öåçàðü ñæåã çà ñîáîé ìîñòû. Óâèäåâ
ýòî, íåïðèÿòåëü áåæàë.
Ñîñòàâèòü äâå èãðû, ãîäÿùèõñÿ äëÿ îáúÿñíåíèÿ ýòîé ñèòóàöèè: 1)Ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé î öåëÿõ òðåõ èãðîêîâ: Öåçàðü, âîéñêî Öåçàðÿ, íåïðèÿòåëü. 2)Ñ äâóìÿ
èãðîêàìè (Öåçàðü, íåïðèÿòåëü), íåïîëíîé èíôîðìàöèåé è âûÿâëåíèåì öåëåé Öåçàðÿ ÷åðåç åãî ïîâåäåíèå.
(Ñõîäíàÿ ñèòóàöèÿ commitment âîçíèêàåò ïðè êðåäèòå ñ çàëîãîì).
Ïðèìåð 1.14 Çàëîã èëè êëÿòâà: commitment.
Ïóñòü, ïîïóëÿöèÿ ðîññèéñêèõ áèçíåñìåíîâ èìååò îáûêíîâåíèå ïðîñèòü êðåäèò
ðàçìåðîì â $ 100 íà ãîä â áàíêå, è ïðè ãàðàíòèè âîçâðàòà áàíê ãîòîâ áû äàâàòü
êðåäèò ïîä 5%. Ïîëüçîâàíèå êðåäèòîì ïðèíîñèò ñðåäíåìó áèçíåñìåíó â ãîä A%.
 ñðåäíåì, ÷åòâåðòü áèçíåñìåíîâ êðåäèò áåç çàëîãà íå îòäàþò. Îñòàâëÿÿ â ãàðàæå
áàíêà ñâîé äæèï öåíîé â $ 120 â çàëîã íà ãîä, áèçíåñìåí èìååò ïîòåðþ ïîëåçíîñòè,
ðàâíóþ 10% ãîäîâûõ. Ïîëîâèíà áèçíåñìåíîâ äæèïîâ íå èìåþò, èì îñòàâèòü íå÷åãî.
Íî ïîëîâèíà èç âñåõ (ïîðîâíó ñðåäè äæèïî-âëàäåëüöåâ è áåçëîøàäíûõ) èçâåñòíû
êàê èñòûå ìóñóëüìàíå, êàæäûé ìîæåò ïîêëÿñòüñÿ Àëëàõîì, ÷òî êðåäèò îòäàñò, è
êëÿòâû ýòè âñåãäà èñïîëíÿþòñÿ.
Äîáàâèâ äàííûõ, ñîñòàâèòü èãðó, ãîäÿùóþñÿ äëÿ ñèòóàöèè, è íàéòè, ïðè êàêîì
ïàðàìåòðå A â ðàâíîâåñèè áàíê äàåò êðåäèò íå òîëüêî äæèïî-âëàäåëüöàì è ìóñóëüìàíàì è ïî÷åì. Åñëè áàíê ìîíîïîëèñò, òî äëÿ êàêîé êàòåãîðèè êðåäèò äåøåâëå, à
êàêîé äîðîæå (âûãîäíåå ëè áûòü ñîáñòâåííèêîì äæèïà èëè ðåïóòèðîâàííûì ìóñóëüìàíèíîì)?
Ïðèìåð 1.15 (Öåíà ðåïóòàöèè (êëÿòâà)) Ïðåäïîëîæèì, ðåëèãèîçíûé ðîñòîâùèê â ñðåäíåâåêîâîì Áàãäàäå íå ñ÷èòàåò áîãîóãîäíûì çàðàáàòûâàòü íà êàæäîé
ñäåëêå áîëüøå 1 ïðîöåíòà è íå îãðàíè÷åí â äåíüãàõ. Åãî êðåäèò ìîæåò ïðèíåñòè
ëþáîìó òîðãîâöó 20% ãîäîâûõ.  ãîðîäå îãðàíè÷åííîå ÷èñëî êóïöîâ òðåõ âåðîèñïîâåäàíèé. Ìóñóëüìàíå èçâåñòíû êàê èñïîëíÿþùèå êëÿòâó â m% ñëó÷àåâ, èóäåè
â j % ñëó÷àåâ, õðèñòèàíå â c% ñëó÷àåâ. Êòî èç êóïöîâ ïî÷åì ïîëó÷àåò êðåäèò
(åñëè ïîëó÷àåò)?
13
(Âàðèàíò: Ìóñóëüìàíå èìåþò íåóäîâîëüñòâèå îò íàðóøåíèå êëÿòâû ðàçìåðîì â m% ãîäîâûõ, èóäåè â j % ãîäîâûõ, õðèñòèàíå â c% ãîäîâûõ. Êòî èç êóïöîâ
ïî÷åì ïîëó÷àåò êðåäèò (åñëè ïîëó÷àåò)?)
Ïðèìåð 1.16 Âåðåâêè Îäèññåÿ: commitment, ìóëüòèïåðñîííîå ïðåäñòàâëåíèå,
èððàöèîíàëüíîñòü. Îäèññåé ïîäïëûâàÿ íà êîðàáëå ê îñòðîâó Ñèðåí, õîòåë ïîñëóøàòü èõ ñëàäêîå ïåíèå, íî çíàë, ÷òî âñÿêèé ñëóøàþùèé áðîñàåòñÿ â âîäó, ïëûâåò
ê íèì è íå âîçâðàùàåòñÿ. Ýòîãî îí íå õîòåë. Îí ïðèêàçàë ìàòðîñàì çàëåïèòü óøè
âîñêîì, à åãî ñàìîãî ïðèâÿçàòü ê ìà÷òå. Òàê îí óñëûøàë Ñèðåí, íî îñòàëñÿ êàïèòàíîì.
Ñîñòàâèòü èãðó, ãîäÿùóþñÿ äëÿ îáúÿñíåíèÿ ýòîé ñèòóàöèè.
be honest
µ
stole *
0, 0, 0
silence *
Seller
Thief
stole armedj Seller
1, -2, 0
catch 1
shout z Police
rest
shout 1 Police
silence
q
catch j
-2, 1, 2
-
1, -3, 0
- 1, -2, 0
-5, 1, -3
1, -1, 0
Ðèñ. 5: Èãðà Áàçàð: ðåøåíèÿ SBE.
Ïðèìåð 1.17 (Âîð íà áàçàðå) Íà Ðèñ.5 ïðåäñòàâëåíà èãðà ñ íåñîâåðøåííîé
èíôîðìàöèÿ î õîäàõ: âòîðîé è òðåòèé èãðîêè íå ñïîñîáíû ðàçëè÷àòü, êàêîé õîä ñäåëàí ïåðâûì. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîïóëÿöèÿ òðåõ ðîëåé: Âîðîâ, Òîðãîâîê, Ïîëèñìåíîâ.
Áàçàðíûé âîð ìîæåò èëè îòäûõàòü (áûòü ÷åñòíûì), èëè âîðîâàòü ïðîñòî, èëè âîðîâàòü ñ îðóæèåì. Òîðãîâêà ìîæåò êðè÷àòü èëè ìîë÷àòü, êîãäà ó íåå ñ ëîòêà òÿíóò
òîâàð. Ïîëèñìåí ìîæåò èëè áåæàòü íà êðèê è ëîâèòü, èëè ëåíèòüñÿ (îòäûõàòü). Çàïèñàííûå íà ðèñóíêå âûèãðûøè áåðóò çà òî÷êó îòñ÷åòà (0,0,0) âàðèàíò, êîãäà Âîð
îòäûõàåò, è îñòàëüíûå - òîæå. Êîãäà òîðãîâêà ÷òî-òî òåðÿåò, åé íåïðèÿòíî, íî íåïðèÿòíî âäâîéíå, åñëè îíà åùå è êðè÷èò ïðè ýòîì çðÿ (åùå, îíà ïîáàèâàåòñÿ êðè÷àòü,
êîãäà âîð âîîðóæåí, à íå êðè÷àòü î áåçîðóæíîì ñ÷èòàåò ñòûäíûì, ýòî îòðàæàåò
âûèãðûø -2 â ýòîì âàðèàíòå). Åñëè æå åå âðàãà-âîðà ïîéìàþò - îíà äîâîëüíà. Î
Ïîëèñìåíå, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îí ëþáèò ïðåìèè çà ïîèìêó âîðîâ, íî íå ëþáèò
ðèñêà ñ âîîðóæåííûìè, õîòÿ ñïðàâèòñÿ è ñ òàêèì. Î Âîðå - ÷òî îí áîëüøå îòñèäèò,
åñëè ïîéìàí ñ îðóæèåì.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñìåøàííûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ (σ thief ∈ [0, 1]3 , σ seller ∈
[0, 1]2 , σ police ∈ [0, 1]2 ) êàê âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðûìè ýòè õîäû â ñðåäíåì âñòðå÷àþòñÿ íà îïèñàííîì áàçàðå. Ðàçûñêèâàÿ ðàâíîâåñèå (òî åñòü ñòàáèëüíîå ïîâåäåíèå
êàæäîãî òèïà), ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÎÆÈÄÀÍÈß âñåõ èãðîêîâ (ïðåäïîëàãàåìûå âåðîÿòíîñòè õîäîâ ïàðòíåðîâ), à èìåííî: îæèäàíèÿ âîðà, îæèäàíèÿ òîðãîâêè, îæèäàíèÿ ïîëèñìåíà ñîîòâåòñòâóþò íàáëþäàåìûì ÷àñòîòàì äåëàåìûõ õîäîâ. Íî ýòîãî
14
ìàëî, ïîñêîëüêó íóæíî åùå è âíå ïóòè èãðû çàäàòü òàê íàçûâàåìûå ÂÅÐÛ, òî
åñòü îæèäàåìûå âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ â òîì èëè èíîì óçëå èíôîðìàöèîííîãî
ìíîæåñòâà, åñëè èãðà âäðóã, êàêèì-íèáóäü ÷óäîì, òóäà ïîïàäåò. Ñêàæåì, åñëè âñå
Âîðû îáû÷íî îòäûõàþò, òî Òîðãîâêå, à åùå áîëåå - Ïîëèñìåíó, âñå æå ëþáîïûòíî çíàòü, ñ íîæîì ëè òîò, êòî ñòàùèë ó íåå âåùü ñ ëîòêà, åñëè ýòî ñëó÷èòñÿ. Ýòî è
åñòü èõ (Òîðãîâêè è Ïîëèñìåíà) àïðèîðíûå, íå ïðîâåðåííûå æèçíüþ, âåðû, êîòîðûå
ìåæäó ñîáîé ìîãóò íå ñîâïàäàòü. Íàïðèìåð, Òîðãîâêà ìîæåò ïðåäïîëàãàòü ÷àñòîòû
âåðõíåãî è íèæíåãî óçëîâ ãðàôà òèïà (0.2, 0.8), à Ïîëèñìåí - (0.9, 0.1), è êàæäûé
îáúÿâëÿòü ñâîþ (âîçìîæíî, íåíàáëþäàåìóþ, íî èçâåñòíóþ ïàðòíåðàì) ñòðàòåãèþ,
èñõîäÿ èç ýòèõ àïðèîðíûõ âåð.
Îïðåäåëåíèå 1.4.1 Ñîâåðøåííîå Áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå (PBE, íàçûâàåìîå òàê-
æå ñëàáûì ñåêâåíöèàëüíûì ðàâíîâåñèåì) â èãðå n ëèö åñòü íàáîð (σ, µ) ñìåøàííûõ
ïîøàãîâûõ (ïîâåäåí÷åñêèõ) ñòðàòåãèé σ = (σ 1 , ..., σ n ) ∈ ∆X è âåð µ = (µ1 , ..., µn ) ∈
∆M âñåõ èãðîêîâ,1 òàêèõ ÷òî
1) ñòðàòåãèè σ ÿâëÿþòñÿ ñåêâåíöèàëüíî-ðàöèîíàëüíûìè (òî åñòü èòåðàòèâíî íåäîìèíèðóåìûìè ñòðîãî íà ãðàôå), ïðè äàííûõ âåðàõ µ;
2) âåðû µ ñëàáî (òîëüêî íà ïóòè èãðû) ñîãëàñîâàíû ñ íàáëþäàåìûì ñòðàòåãèÿì σ ,
â ñìûñëå Áàéåñîâñêîãî ïðàâèëà óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé.2
Ïðîâåðèì, ìîæåò ëè áûòü ðåøåíèåì (Îòäûõàòü,[Êðè÷àòü,Ëîâèòü]) (â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, êàê îáû÷íî, õîäû âíå ïóòè èãðû) õîòü ïðè êàêèõ-ëèáî âåðàõ. Çàìåòèì,
÷òî ñòðàòåãèÿ òîðãîâêè ÊÐÈ×ÀÒÜ ëó÷øå ïðîòèâîïîëîæíîé ïðè åå îæèäàíèè îò
Ïîëèñìåíà õîäà "Ëîâèòü". Ïîëèñìåí æå ìîæåò ïðîäîëæàòü îáúÿâëÿòü (òîëüêî íà
ñëîâàõ, ïîêà Âîð íå âîðóåò) ñòðàòåãèþ Ëîâèòü, òîëüêî åñëè îí âåðèò, ÷òî åñëè óæ
Âîð ñâîðóåò, òî áåç îðóæèÿ. Åñëè æå ñ âåðîÿòíîñòüþ áîëåå 2/5 îí âåðèò â ïðîòèâîïîëîæíîå, òî îòñòóïèò îò Ëîâèòü. Èíà÷å, ïðîâåðÿåìîå ðåøåíèå ìîæåò îñòàâàòüñÿ
SBE (à òàêæå SPE, NE) ïðè âåðå áîëåå 3/5 â áåçîðóæíîñòü, è ïðè ëþáûõ âåðàõ
Òîðãîâêè, âîçìîæíî è îòëè÷àþùèõñÿ îò âåð Ïîëèñìåíà!
Àíàëèçèðóÿ ýòó èãðó, ìîæíî íàéòè, ÷òî â íåé åñòü è äðóãèå Ñîâåðøåííûå Áàéåñîâñêèå ðàâíîâåñèÿ, íî íåñîâïàäåíèå âåð òîðãîâêè è Ïîëèñìåíà â ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì, åñëè Âîð õîòü èíîãäà âîðóåò: îïðåäåëåíèå PBE íå ïîçâîëÿåò íåñîîòâåòñòâèå âåð ïðàêòèêå íà ïóòè èãðû.
Óïðàæíåíèå. Ïðèìåð Ìàñòè è Êàðòèíêè.
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñòðî÷íûé èãðîê âûáåðåò: Ñòàðøèå èëè Ìëàäøèå, ïîòîì ñòîëáöîâûé - Êðàñíûå èëè ×åðíûå, ïîòîì ñòðî÷íûé - êîíêðåòíóþ êàðòèíêó
èç óæå íàçâàííîé ãðóïïû (èç Ñòàðøèõ èëè èç Ìëàäøèõ), ïîòîì ñòîëáöîâûé - êîíêðåòíóþ ìàñòü èç óæå íàçâàííîãî öâåòà. Íàéòè SPE, INDW.
Âàðèàíò 2: Óñëîæíåíèå çàäà÷è - íàéòè SPE, INDW, PBE åñëè ïîñëåäíèé õîä
ðåøàåòñÿ æðåáèåì - ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòêè.
1 Ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ïîøàãîâûõ ñòðàòåãèé ∆X
åñòü ñìåøàííîå ðàñøèðåíèå ÷èñòûõ ñòðàòåãèé - õîäîâ X . Îæèäàíèÿ ëþáîãî èãðîêà î ñåáå ñ÷èòàåì ðàâíûìè åãî ñòðàòåãèè: µii = σ i .
2  ÷àñòíîñòè, åñëè âñå õîäû èç íåêîòîðîãî óçëà îêàí÷èâàþòñÿ â îäíîì (ïîñëåäóþùåì) èíôîðìàöèîííîì ìíîæåñòâå, òî âåðû â íåì äîëæíû ñîâïàäàòü ñ âåðîÿòíîñòÿìè õîäîâ: µh = σ h−1 .
15
Òàáëèöà 1:
Ìàñòè:
Ñòàðøèå: Òóç
Ñòàðøèå: Êîðîëü
Ìëàäøèå: Äàìà
Ìëàäøèå: Âàëåò
Êðàñ×åðâè ↓
8
1
6
7
2
3
0
3
íûå
Áóáíû ↓
0
3
0
1
6
9
4
7
×åðÊðåñòè ↓
2
5
4
5
8
3
4
9
íûå
Ïèêè ↓
1
3
1
1
0
2
0
0
Âàðèàíò 3: Òî æå, íî ðåçóëüòàò ïîäáðàñûâàíèÿ èçâåñòåí äî õîäîâ âòîðîìó èãðîêó,
è òîëüêî åìó.
Âàðèàíò 4: Íàéòè SPE, INDW, PBE åñëè ïåðâûé õîä ðåøàåòñÿ æðåáèåì - ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòêè, è íèêòî íå âèäèò åãî.
Ïðèìåð Trivial quize (óïðîùåííûé ïîêåð)?? Ðàçûãðûâàÿ 1 ðóáëü, Àííà òÿíåò êàðòó èç êîëîäû, ñìîòðèò, è íå ïîêàçûâàÿ Áîðèñó (ó êîòîðîãî îòêðûò Âàëåò,
à êàðòû îò 10-êè äî Òóçà), èëè óäâàèâàåò ñòàâêó, èëè ïàñóåò è èìååò -1, à Áîðèñ
1. Åñëè óäâîåíî, Áîðèñ èëè ïàñóåò è èìååò -2, à Àííà 2, èëè óäâàèâàåò, è êàðòà
îòêðûâåòñÿ. Åñëè îíà áîëüøå, ÷åì Âàëåò, òî Àííà âûèãðàëà 4 ó Áîðèñà 4, èíà÷å
ïðîèãðûâàåò 4. Íàéòè SBE (÷àñòîòû õîäîâ ïðè êàæäîé êàðòå).
.
.
.
Çàäà÷è èç ÂØÝ (...):
From Alex Debelov : âî ÂØÝ äàëè Òèãð zadacha:
AD 1. Take-or-leave game - $ 100 äåëåæ. À ïðåäëàãàåò,  ðåøàåò. Ñîãëàñåí ïîëó÷àåò äîëþ, íåò - îáà ñ 0. Êàêîå ðåøåíèå - Subgame Perfect NE? Strictly speaking,
only (100,0) is a Subgame Perfect NE. Indeed, B has no reason to switch to another 0,
as well as A does not switch from 100. Any other partition can be improved for A and
B agree.(Why you ask easy questions?) However, more realistically is to suppose, that
A prefer to be sure that B strictly prefere taking his share than refusing. Then A can
get as much as $ 99.99, leaving B with 0.01 only (or $ 1 if it is the smallest portion
of money available). This may be formulated in the concept of "epsilon-Bayesian NE",
but not in "Trembling hand". Even more realistically is to expect (50,50), I have told
you, but this is captured by another model. AD> 2. À ïðåäëàãàåò ïðåäìåò Â. À çíàåò
öåííîñòü ïðåäìåòà, Â - íåò. Â AD> äóìàåò, ÷òî ïðåäìåò ñòîèò 0 ñ âåð-òüþ ð è 3 ñ
(1-ð). Ýòî îí ñòîèò äëÿ èãðîêà À, âèäèìî! AD> Îáà çíàþò, ÷òî AD> îöåíêà Â ðàâíà
îöåíêå À ïëþñ 4 (âîò ýòî ìåíÿ íåñêîëüêî ñòàâèò â AD> òóïèê). È ìåíÿ òîæå. Ëó÷øå
áû óçíàòü ó äðóçåé ÿñíóþ èíòåðïðåòàöèþ çàäàíèÿ, íî îäíà èç âîçìîæíûõ òàêàÿ.
16
Ïðåäìåò ïðèíîñèò èãðîêó À ïîëåçíîñòü (3) ñ âåð. (1-ð), è (0) ñ âåð-òüþ ð, òî åñòü,
îò íåãî õî÷åòñÿ èçáàâèòüñÿ. À ó Áîðè îæèä. ïîëåçíîñòü ð*4+(1-ð)*7. Ñêàæåì, åñòü
ó Àííû ñòàðûé äèâàí, êîòîðûé òî ëè òðåñíåò â ïåðâûé äåíü, òî ëè äîëãî ïðîñòîèò,
è Àííà çíàåò êà÷åñòâî, è õîòåëà áû, ÷òîá Áîá åãî âûâåç. Åñëè îíà îáúÿâèò öåíó
îêîëî 0 (âûâîçè äàðîì) - ýòî çíàê, ÷òî äèâàí ïëîõîé, è îí íå êóïèò. (ñèòóàöèÿ
òèïà Àêåðëîâà). Ìîæíî ïðåäëîæèòü öåíó ð*4+(1-ð)*7, òîãäà âîçìîæíî SPE, êîãäà
îí êóïèò, ïðè âåðîÿòíîñòè Ð: ð*4+(1-ð)*7>=3. Íî èñêàòü-òî, ñóäÿ ïî òåêñòó, íàäî
SPBayesianE (ïîïóëÿöèÿ èãðîêîâ òèïà Àíü è èãðîêîâ òèïà Áîðü). Îíî òîæå áóäåò
â ýòîé òî÷êå, è ÿâëÿåòñÿ òèïà pooling.(Äåéñòâèòåëüíî, âñå Àíè ãîòîâû îòäàâàòü ïî
ýòîé öåíå, è âñå Áîðè ãîòîâû áðàòü äèâàí, õîòÿ è ñ îæèäàåìûì âûèãðûøåì 0). À
ïîâûñèòü öåíó íåëüçÿ, Áîðè îòêàæóòñÿ. Íåòó out-of-equilibrium beliefs, òàê ÷òî ýòî
äåéñòâèòåëüíî SPBayesianE. À ðàçäåëÿþùåå (êîãäà õîðîøèå Àíè íå ïðîäàþò ïî 3
èëè äðóãîé <= îæèäàåìîé, à ïëîõèå ïðîäàþò) åñòü ïðè ð*4+(1-ð)*7<=3, íî íå ïðè
áîëüøåé öåíå. Âåäü åñëè áû Áîðè áðàëè ïî öåíå 7, òî ïëîõèå Àíè òîæå íà÷àëè
áû êîñèòü ïîä õîðîøèõ, è îíî áû ðàçðóøèëîñü. Ëþáîïûòíî, ÷òî ïðè ðàçíûõ beliefs
Áîðü (î òîì, ÷òî, ñêàæåì, äîëÿ=0.5 õîðîøèõ Àíü âûõîäèò íà ðûíîê) è ïîãðàíè÷íîé
öåíå ðàâíîé 3=(0.5+ð*0.5)*4+(1-ð)*0.5*7 ìîæíî òîæå êîíñòðóèðîâàòü ðàâíîâåñèÿ...
Íåêîòîðûå èç íèõ áóäóò ñ out-of-equilibrium beliefs, òîãäà ýòî âñåãî ëèøü SPE, íî
íå SPBayesianE. Òî åñòü, îíî ñëó÷èëîñü áû 1 ðàç, à íàçàâòðà ðàçðóøèëîñü áû â
ïîâòîðÿåìîé èãðå.
AD À ïðåäëàãàåò îäèí ðàç - Take-or-leave game.
AD à) Îïèñàòü èãðó è âîçìîæíûå ñòðàòåãèè À è Â.
AD á) Ñóùåñòâóåò ëè ðàçäåëÿþùåå ðàâíîâåñèå, â ê-ì âñåãäà ïðîèñõîäèò îáìåí
ïî öåíå, ðàâíîé îöåíêå ïðåäìåòà èãðîêîì Â?
AD â) Ñóùåñòâóåò ëè pooling ðàâíîâåñèå? Åñëè äà, òî ÷òî ìîæíî ñêàçàòü îá
AD out-of-equilibrium beliefs?
2 NES, A.Tonis, A.Savvateev
Çàäà÷è èç ÐÝØ (A.Tonis, A.Savvateev):
ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÈÃÐ
2.1 Ðàçâåðíóòàÿ è íîðìàëüíàÿ ôîðìà
1. Êðåñòèêè è íîëèêè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ èãðà â îáû÷íûå êðåñòèêè-íîëèêè
(3 × 3). Âñå ëè çíàþò åå ïðàâèëà? Äëÿ íàñ ñåé÷àñ íåâàæíî, êòî è êîãäà â
íåé âûèãðûâàåò, íàñ èíòåðåñóþò ëèøü ðàçëè÷íûå ôîðìû, â êîòîðûõ ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà èãðà. Äëÿ ïðîñòîòû ìîæåòå ñ÷èòàòü, ÷òî òåðìèíàëüíûìè
ïîçèöèÿìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî òå, â êîòîðûõ âñå 9 êëåòîê çàïîëíåíû, ò. å. èãðà
ïðîäîëæàåòñÿ äàæå åñëè óæå ÿñíî, êòî âûèãðàë.
17
(a) Ñêîëüêî ïîçèöèé èìååò èãðà, èíûìè ñëîâàìè, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàññòàíîâîê êðåñòèêîâ è íîëèêîâ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïî õîäó èãðû
(è â åå êîíöå)?
(b) Ñêîëüêî âåðøèí â äåðåâå èãðû (â ðàçâåðíóòîé ôîðìå)? Ñðàâíèòå ñ ï. 1a.
(c) Ïîäñ÷èòàéòå, õîòÿ áû ïðèáëèçèòåëüíî, ñêîëüêî ñòðàòåãèé èìååòñÿ ó êàæäîãî ó÷àñòíèêà â êàæäîì èç ðàññìîòðåííûõ ïðåäñòàâëåíèé èãðû (ñì.
ïï. 1a è 1b).
2. Çàõâàò ðûíêà. Äâå ôèðìû A è B ïðîèçâîäÿò íåêîòîðûé òîâàð. Â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè t = 1, . . . , 5 êàæäàÿ ôèðìà ìîæåò ïðîèçâåñòè åäèíèöó òîâàðà
ëèáî íè÷åãî íå ïðîèçâîäèòü. Çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî ðàâíû 3, à öåíà ïðîäàæè îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì n àêòèâíûõ ôèðì íà ðûíêå è ñîñòàâëÿåò 6 − 2n.
(a) Îïèøèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ýòîé èãðû, ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêîâ è ôóíêöèè âûèãðûøà. Ñêîëüêî ñòðàòåãèé ó êàæäîé ôèðìû?
(b) Òå æå âîïðîñû, åñëè, îäíàæäû âûéäÿ ñ ðûíêà, ôèðìà óæå íå ìîæåò âåðíóòüñÿ.
3. Ðàáî÷èé è óïðàâëÿþùèé.  èãðå èìåþòñÿ äâà ó÷àñòíèêà: ðàáî÷èé è óïðàâëÿþùèé. Åñëè ðàáî÷èé ðàáîòàåò, îí òåðÿåò 1, à óïðàâëÿþùèé ïîëó÷àåò 3. Èíà÷å ðàáî÷èé íè÷åãî íå òåðÿåò à óïðàâëÿþùèé òåðÿåò 1. Óïðàâëÿþùèé íàçíà÷àåò
ðàáî÷åìó çàðïëàòó w.
(a) Ïóñòü ðàáî÷èé è óïðàâëÿþùèé ïðèíèìàþò ñâîè ðåøåíèÿ îäíîâðåìåííî.
Íàðèñîâàòü ðàçâåðíóòóþ è íîðìàëüíóþ ôîðìó. Âíèìàíèå: ïðàâèëüíî ïîíÿòü è ôîðìàëèçîâàòü èãðó âõîäèò â çàäàíèå!
(b) Òîò æå âîïðîñ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ðàáî÷åìó èçâåñòíî, ñêîëüêî åìó áóäóò
ïëàòèòü. Êàê Âû äóìàåòå, ÷åì êîí÷èòñÿ èãðà è êòî ñêîëüêî âûèãðàåò?
4. Äåëèì ïèðîã. Ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè ñïðàâåäëèâîé äåëåæêè ïèðîãà ìåæäó
äâóìÿ ñîèñêàòåëÿìè.
(a) Îäèí ðåæåò ïèðîã íà äâå ÷àñòè, äðóãîé âûáèðàåò ñåáå ëþáóþ èç íèõ.
Îïèñàòü ðàçâåðíóòóþ è íîðìàëüíóþ ôîðìó. Êàêîâ íàèáîëåå âåðîÿòíûé
èñõîä èãðû?
(b) Îäèí ðåæåò ïèðîã íà äâå ÷àñòè è ïèøåò íà íèõ 1 è 2. Äðóãîé â ýòî
âðåìÿ, îòâåðíóâøèñü, ãîâîðèò, êàêóþ ÷àñòü åìó âûäàòü. Îïèñàòü ðàçâåðíóòóþ è íîðìàëüíóþ ôîðìó. Êàê Âû äóìàåòå, ìîæåò ëè ïðîèçîéòè
íåðàâíûé ðàçäåë? Êàê-íèáóäü îáîñíóéòå ñâîé îòâåò.
18
2.2 Ðåøåíèå ïî äîìèíèðîâàíèþ
1. Ðåøèòå ïî äîìèíèðîâàíèþ èãðó ñ

5, 2 2, 6
 4, 1 3, 4

 1, 0 1, 1
2, 3 0, 1
ìàòðèöåé âûèãðûøåé

1, 4 0, 3
2, 1 1, 2 

1, 5 5, 1 
0, 2 4, 4
2. Èòåðàöèîííûå èãðû. Èãðàþò n ó÷àñòíèêîâ. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ó÷àñòíèêà
ñ íîìåðîì k èìååò âèä uk (s1 , . . . , sk ). Ìîæíî ëè ðåøèòü èãðó ïî äîìèíèðîâàíèþ? Åñëè íàäî, ñäåëàéòå êàêèå-íèáóäü ðàçóìíûå ïðåäïîëîæåíèÿ.
2.3 Èãðû ñ íóëåâîé ñóììîé
1. Ïðèìåðû èãð ñ íóëåâîé ñóììîé. Íàéòè ìàêñèìèí α è ìèíèìàêñ β â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ, à òàêæå âñå ñåäëîâûå òî÷êè (îíè æå ðàâíîâåñèÿ Íýøà) è
öåíó èãðû â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ:
(a)
(b)

−1
2 −2
 5 −1
1
2
1
3


1
4
6
3
1
0
2
1
4


0
4
5
0
9 −3


2. Äâà ïàëüöà. Åñòü òàêàÿ çàìå÷àòåëüíàÿ èãðà. Ó÷àñòíèêè îäíîâðåìåííî ïîêàçûâàþò îäèí èëè äâà ïàëüöà. Ïîòîì ñ÷èòàþò ñóììó s (îíà ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ
îò äâóõ äî ÷åòûðåõ). Åñëè s ÷åòíî, òî âòîðîé èãðîê âûèãðàë ó ïåðâîãî s äîëëàðîâ, åñëè æå s íå÷åòíî, òî íàîáîðîò, âûèãðàë ïåðâûé.
(a) Íàéäèòå ñåäëîâóþ òî÷êó â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ è öåíó èãðû. Ñïðàâåäëèâà ëè èãðà, è, åñëè íåò, òî êîìó ëó÷øå?
(b) Òå æå âîïðîñû äëÿ èãðû òðè ïàëüöà (ìîæíî âûáðàñûâàòü îò îäíîãî äî
òðåõ ïàëüöåâ).
3. Åùå îäíà èãðà íà ïàëüöàõ. Äâîå èãðàþò íà äåíüãè. Ó÷àñòíèêè îäíîâðåìåííî ïîêàçûâàþò ñêîëüêî-òî ïàëüöåâ (îò 1 äî n). Åñëè îêàçàëîñü ïîðîâíó, òî
íè÷üÿ. Åñëè ÷èñëî ïàëüöåâ, ïîêàçàííûõ îäíèì è äðóãèì èãðîêîì, îòëè÷àåòñÿ
íà 1, òî òîò, ó êîãî ìåíüøå, âûèãðûâàåò $2.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ òîò, ó êîãî
áîëüøå, âûèãðûâàåò $1.
19
(a) Ìîæíî ëè, íå ïðîèçâîäÿ íèêàêèõ âû÷èñëåíèé, îïðåäåëèòü öåíó èãðû â
ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ? Ïðèâåäèòå ñîîáðàæåíèÿ, îáîñíîâûâàþùèå âàø
îòâåò.
(b) Ïóñòü n = 3. Êàê íàäî èãðàòü?
(c) Âåðíî ëè, ÷òî ïðè ëþáîì n â èãðå èìååòñÿ ðîâíî îäíî ñìåøàííîå ðàâíîâåñèå?
2.4 Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó
1. Çàäà÷à ïðî ëûæíèêîâ. Äâîå áåãóò ïî ëûæíîé òðàññå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó.
Ó êàæäîãî äâå ñòðàòåãèè: óñòóïèòü èëè íå óñòóïèòü (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëûæíèêè ðóêîâîäñòâóþòñÿ ïðèíöèïîì ïðàâîñòîðîííåãî äâèæåíèÿ). Óñòóïèâøèé äîðîãó òåðÿåò íà ýòîì 2 ñåê., à åñëè ñòîëêíóëèñü, òî áóäóò
ðàñïóòûâàòüñÿ 10 ñåê.
(a) Íàéäèòå âñå (è ÷èñòûå, è ñìåøàííûå) ðàâíîâåñèÿ â äàííîé èãðå, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðîèãðûø ó÷àñòíèêîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåðÿííûì âðåìåíåì.
Êàêèå èç ðàâíîâåñèé ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè (îïòèìàëüíûìè ïî Ïàðåòî
â ñèëüíîì èëè ñëàáîì ñìûñëå)?
(b) Ðåøèòü çàäà÷ó 1a â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ìîæíî åùå óñòóïèòü ïîëîâèíó
ëûæíè ìû âåäü áåãàåì êëàññèêîé! Ïðè ýòîì òåðÿåòñÿ 1 ñåê. (â äîïîëíåíèå ê âîçìîæíûì äåñÿòè). Ñêîëüêî áóäåò ðàâíîâåñèé? ×òî íà ñåé ðàç
ìîæíî ñêàçàòü îá èõ ýôôåêòèâíîñòè?
2. Òîðãîâöû íà ñòàíöèè. Íà ñòàíöèè Òàéãà òðîå ìåñòíûõ ïðåäïðèíèìàòåëåé,
Àëåêñàíäð, Âàñèëèé è Ñåìåí (A, B, C ), ïðîìûøëÿþò òåì, ÷òî ïðîäàþò ïàññàæèðàì, ñîîòâåòñòâåííî, ïèâî, âîáëó è ñîëåíûå îðåøêè. Óòðîì ïðèõîäÿò ñðàçó
äâà ïîåçäà, ïîýòîìó êàæäûé ñïåøèò ïîñòàâèòü ñâîþ òîðãîâóþ òî÷êó íà ïåðâîé èëè âòîðîé ïëàòôîðìå. Åñëè òîðãîâåö ðàáîòàåò íà ïëàòôîðìå â îäèíî÷êó,
åãî âûðó÷êà (â ðóáëÿõ) îò ïðîäàæè òîâàðîâ ïàññàæèðàì ñîîòâåòñòâóþùåãî
ïîåçäà îïðåäåëÿåòñÿ èç òàáëèöû:
Ïëàòôîðìà
1
2
A B C
80 60 60
100 40 40
Åñëè â îäíîì ìåñòå ïðîäàþòñÿ è ïèâî, è çàêóñêà, òî ýòèõ òîâàðîâ óäàåòñÿ
ïðîäàòü íà 50% áîëüøå èç-çà ýôôåêòà äîïîëíÿåìîñòè. Âïðî÷åì, åñëè ïðîäàâöû çàêóñêè íàõîäÿòñÿ íà îäíîé ïëàòôîðìå, òî âñëåäñòâèå êîíêóðåíöèè îáà
âûðó÷àþò âäâîå ìåíüøå, ÷åì êîãäà îíè íà ðàçíûõ ïëàòôîðìàõ.
(a) Ôîðìàëèçóéòå âçàèìîäåéñòâèå òîðãîâöåâ êàê èãðó â íîðìàëüíîé ôîðìå,
ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äî óñòàíîâêè òîðãîâîé òî÷êè íèêòî èç íèõ íå ìîæåò
ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î òîì, ãäå áóäóò äðóãèå.
20
A ¾
ï
ë ÿ æ
1êì
- B
(b) Íàéäèòå âñå ÷èñòûå è ñìåøàííûå ðàâíîâåñèÿ Íýøà â ýòîé èãðå.
(c) ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè Àëåêñàíäð áóäåò â îäèíî÷êó çàðàáàòûâàòü íà âòîðîé
ïëàòôîðìå íå 100, à 60 ðóáëåé?
3. Ãëàäêàÿ èãðà. Èãðàþò äâîå. Ñòðàòåãèè èãðîêîâ çàäàþòñÿ âåùåñòâåííûìè
ïàðàìåòðàìè s è t (s, t ∈ [−1, 1]). Âûèãðûøè ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, 2αst − s2
è t3 − 3st. Èçîáðàçèòå êðèâûå ðåàêöèè îáîèõ ó÷àñòíèêîâ (åñëè âîçìîæíî, ðàçíûìè öâåòàìè èëè ñòèëÿìè ëèíèé) è íàéäèòå âñå ðàâíîâåñèÿ Íýøà â ÷èñòûõ
ñòðàòåãèÿõ äëÿ α = − 34 , α = 14 è α = 2.
4. Ïðîäàâöû ìîðîæåíîãî íà ïëÿæå. Íà ãîðîäñêîì ïëÿæå ñòîÿò äâà ëàðüêà
(A è B ), òîðãóþùèå ìîðîæåíûì. Ïðîäàâöû íåçàâèñèìî óñòàíàâëèâàþò öåíû
pA , pB ∈ [0, ∞); èçäåðæêàìè ïðåíåáðåãàåì. Âñå âûãëÿäèò ïðèìåðíî òàê:
Íàðîä ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëèëñÿ ïî ïëÿæó è çàãîðàåò.  ýòîò äåíü î÷åíü æàðêî, ïîýòîìó êàæäûé èç îòäûõàþùèõ ãîòîâ ïåðåïëàòèòü çà ëàêîìñòâî ðóáëü,
òîëüêî áû íå èäòè ëèøíèå 100ì ïî ðàñêàëåííîìó ïåñêó.
(a) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé, âî ÷òî áû òî íè ñòàëî, ñòðåìèòñÿ ïðèîáðåñòè
ñåáå ñòàêàí÷èê ìîðîæåíîãî. Ïîëíîñòüþ îïèøèòå îòîáðàæåíèÿ íàèëó÷øåãî îòâåòà, èçîáðàçèòå íà ïëîñêîñòè (pA , pB ) êðèâûå ðåàêöèè è íàéäèòå âñå
ðàâíîâåñèÿ Íýøà. Åñòåñòâåííî, âñå â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.
(b) Âûïîëíèòå çàäàíèå ï. 4a â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî öåííîñòü ñòàêàí÷èêà ìîðîæåíîãî ñîñòàâëÿåò v ≥ 0, ò. å. êàæäûé ïîòðåáèòåëü áûë áû ãîòîâ çàïëàòèòü çà ìîðîæåíîå öåíó v , åñëè áû îíî ïðîäàâàëîñü ðÿäîì (êàê íåòðóäíî
âèäåòü, â ï. 5a v = ∞). Ðàññìîòðèòå âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè. Óêàçàíèå:
÷òîáû èçáåæàòü ëèøíåé âîçíè ñ íåñóùåñòâåííûìè êóñêàìè êðèâûõ, ìîæåòå èñêëþ÷èòü ÷òî-íèáóäü ïî äîìèíèðîâàíèþ.
5. Ïðîäàâöû ìîðîæåíîãî â Èãàðêå. Ãîðîä Èãàðêà âåñü ðàñïîëîæåí âäîëü
îäíîé óëèöû äëèíîé 3 êì. Äâà êîíêóðèðóþùèõ ïðîäàâöà ìîðîæåíîãî íåçàâèñèìî âûáèðàþò ìåñòà äëÿ ñâîèõ òîðãîâûõ òî÷åê. Ïîêóïàòåëè, åñòåñòâåííî,
èäóò ê áëèæàéøåìó ëàðüêó (â Èãàðêå −50o C). Åñëè ðàññòîÿíèÿ äî ëàðüêîâ
îäèíàêîâû (â ÷àñòíîñòè, åñëè ëàðüêè íàõîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå), òî ìåñòî ïîêóïêè ìîðîæåíîãî âûáèðàåòñÿ ïîêóïàòåëåì ñëó÷àéíî è ðàâíîâåðîÿòíî.
(a) Ïóñòü öåíà ìîðîæåíîãî ôèêñèðîâàíà è âñå õîòÿò åãî êóïèòü. Íàéòè âñå
ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.
21
(b) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â çàäà÷å 5a ïîêóïàòåëè èç-çà ðèñêà çàìåðçíóòü íå õîäÿò äàëüøå 1 êì îò äîìà. Íàéäèòå âñå ðàâíîâåñèÿ.
(c) À ÷òî áóäåò, åñëè â çàäà÷å 5a ïðîäàâöîâ íå äâà, à òðè?
(d) Ðåøèòü çàäà÷ó 5c, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî òðè ïðîäàâöà âûáèðàþò ñâîå ìåñòîïîëîæåíèå âäîëü Ìîñêîâñêîé êîëüöåâîé àâòîìîáèëüíîé äîðîãè.
6. Äóîïîëèÿ ñ äèôôåðåíöèðîâàííûìè òîâàðàìè. Äâå ôèðìû ïðîèçâîäÿò
äâà ðàçëè÷íûõ òîâàðà. Ýòè òîâàðû ÷àñòè÷íî âçàèìîçàìåíÿåìû è ñïðîñ íà íèõ
ôîðìèðóåòñÿ ïî çàêîíó
½ 1 − 2p + p ¾
1
2
q1 = max
,0 ;
3
(1)
½ 1 + p − 2p ¾
1
2
q2 = max
,0 ,
3
ãäå p1 , p2 ≥ 0 öåíû, à q1 , q2 ≥ 0 âûïóñêè. Çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî åäèíèöû
ïðîäóêöèè ñîñòàâëÿþò, ñîîòâåòñòâåííî, c1 è c2 (c1 , c2 ≥ 0).
(a) Ïóñòü ôèðìû íåçàâèñèìî óñòàíàâëèâàþò ñâîè öåíû, ïîñëå ÷åãî óäîâëåòâîðÿþò âîçíèêøèé íà ðûíêå ñïðîñ. Ïðè êàêèõ c1 è c2 ðåàëèçóåòñÿ ðàâíîâåñèå ñ ïîëîæèòåëüíûìè öåíàìè è âûïóñêàìè? Íàéäèòå äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ
ðàâíîâåñíûå p1 , p2 , q1 , q2 .
(b) À òåïåðü, íàîáîðîò, ïóñòü ôèðìû âûáèðàþò, ñêîëüêî îíè áóäóò ïðîèçâîäèòü, à öåíû íà ðûíêå ôîðìèðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ñïðîñà (1)
(åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü êàêîé-ëèáî èç ïîëó÷àþùèõñÿ ôîðìóë îòðèöàòåëüíà,
òî ñ÷èòàåì ñîîòâåòñòâóþùóþ öåíó íóëåâîé). Îòâåòüòå íà òå æå âîïðîñû,
÷òî â ï. 6a
(c) Ñðàâíèòå ðàâíîâåñèÿ, ðåàëèçóþùèåñÿ ïðè öåíîâîé è êîëè÷åñòâåííîé êîíêóðåíöèè. Îòäåëüíî ðàññìîòðèòå ñëó÷àé c1 = c2 .
7. Àóêöèîí ïå÷åíüÿ. Èìååòñÿ ïàêåò ñ ïå÷åíüåì, êîòîðûé íóæíî ïîäåëèòü ìåæäó n ó÷àñòíèêàìè. Êîëè÷åñòâî ïå÷åíüÿ â ïàêåòå âñåì èçâåñòíî. Êàæäûé ó÷àñòíèê òàéíî îò äðóãèõ ïèøåò íà ëèñòêå áóìàãè ñâîå èìÿ è ñêîëüêî ïðîäóêòà îí
õîòåë áû ïîëó÷èòü. Âñå çàÿâêè óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî âîçðàñòàíèþ, ïîñëå ÷åãî
âåäóùèé ïî î÷åðåäè âûäàåò êàæäîìó çàïðîøåííîå èì êîëè÷åñòâî, íà÷èíàÿ ñ
ñàìûõ ñêðîìíûõ. Åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò ïå÷åíüå êîí÷àåòñÿ, òî çàÿâèâøèå
ñëèøêîì ìíîãî, óâû, îñòàþòñÿ íè ñ ÷åì (åñëè îñòàâøåãîñÿ ïå÷åíüÿ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îáñëóæèòü íåñêîëüêî îäèíàêîâûõ çàÿâîê, òî äåëèì
ìåæäó íèìè ïîðîâíó). Åñëè æå îñòàëèñü ëèøíèå ïå÷åíüÿ, èõ ñúåäàåò âåäóùèé.
(a) Íàéäèòå âñå ñèììåòðè÷íûå ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ. Äèñêðåòíîñòüþ ïå÷åíüÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
(b) Åñòü ëè â ýòîé èãðå íåñèììåòðè÷íûå ÷èñòûå ðàâíîâåñèÿ? Åñëè åñòü, ïðèâåäèòå ïðèìåð, à åñëè íåò, òî îáúÿñíèòå, ïî÷åìó.
22
2.5 Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ñîâåðøåííîé èíôîðìàöèåé
1. Âàðèàíò èãðû Áàøå.  èãðå ó÷àñòâóþò äâîå, õîäÿ ïî î÷åðåäè (ïåðâûé,
âòîðîé, ïåðâûé è ò. ä.). Íà ñòîëå ëåæèò n êàìíåé. Â ñâîé õîä êàæäûé èç
ó÷àñòíèêîâ ìîæåò èçúÿòü 2k êàìíåé (k = 0, 1, 2, . . .; åñòåñòâåííî, íåëüçÿ ñíÿòü
ñî ñòîëà áîëüøå, ÷åì òàì åñòü). Âûèãðûâàåò òîò, êòî ñâîèì õîäîì îñòàâëÿåò
ïóñòîé ñòîë.
(a) Ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì Öåðìåëî, îïðåäåëèòå âûèãðûøíûå è ïðîèãðûøíûå ïîçèöèè â èãðå. Äëÿ ýòîãî, íàïðèìåð, ìîæíî èññëåäîâàòü íåñêîëüêî
ïåðâûõ ïîçèöèé è óãàäàòü çàêîíîìåðíîñòü. Îáÿçàòåëüíî îáîñíóéòå ñâîé
îòâåò.
(b) Îïèøèòå âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ èãðîêà (â ñëó÷àå, åñëè îíà ó íåãî åñòü).
Êîãäà âûèãðûâàåò ïåðâûé, à êîãäà âòîðîé? Ìîæåò ëè áûòü íè÷üÿ?
(c) Ïóñòü n = 50 è Âàì õîäèòü. Âàøè äåéñòâèÿ?
2. Âàðèàíò èãðû Íèì. Ñíîâà äâà ó÷àñòíèêà õîäÿò ïî î÷åðåäè. Òåïåðü íà ñòîëå
óæå äâå êó÷êè êàìíåé (m êàìíåé â ïåðâîé êó÷êå è n âî âòîðîé).  ñâîé õîä
èãðîê ìîæåò âçÿòü ñêîëüêî óãîäíî êàìíåé èç îäíîé êó÷êè, ëèáî îäèíàêîâîå
êîëè÷åñòâî èç îáåèõ. Íàäî îáÿçàòåëüíî âçÿòü õîòÿ áû îäèí êàìåíü. Êàê è
ðàíüøå, âûèãðûâàåò òîò, êòî ñâîèì õîäîì îñòàâëÿåò ïóñòîé ñòîë.
(a) Îïèøèòå ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ âûèãðûøíûõ è ïðîèãðûøíûõ ïîçèöèé â ýòîé èãðå. Íàéäèòå âûèãðûøíûå ñòðàòåãèè äëÿ ìàëûõ
m è n.
(b) Ïóñòü m = 15, n = 7 è Âàø õîä. Êàê íàäî ñûãðàòü?
(c) Òîò æå âîïðîñ, åñëè m = 8 è n = 13.
3. Ðóññêàÿ ðóëåòêà. Äâà îôèöåðà ðóññêîé àðìèè ïîâçäîðèëè èç-çà îäíîé áàðûøíè. Ïîðåøèëè òàê: â áàðàáàí øåñòèçàðÿäíîãî ðåâîëüâåðà ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïîìåùàåòñÿ îäíà ïóëÿ. Ïîñëå ÷åãî îíè ïî î÷åðåäè ïûòàþòñÿ âûñòðåëèòü â ñåáÿ. Âïðî÷åì, ìîæíî è ñïàñîâàòü, îòêàçàâøèñü òîãäà îò ïðèòÿçàíèé
íà íåâåñòó. Âûèãðàâøèé èäåò äåëàòü ïðåäëîæåíèå, ïðîèãðàâøèé îñòàåòñÿ ëåæàòü óáèòûì, ñïàñîâàâøèé âîçâðàùàåòñÿ â ñâîé ïîëê, ÷òî, êîíå÷íî, äëÿ íåãî
ïðåäïî÷òèòåëüíåé.
(a) Ôîðìàëèçóéòå ýòîò êîíôëèêò êàê èãðó ñ ñîâåðøåííîé èíôîðìàöèåé, ò. å.,
áåç èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâ. Ïðè ýòîì ñ÷èòàéòå, ÷òî çàñòðåëèâøèéñÿ ïîëó÷àåò ïîëåçíîñòü −1, ñïàñîâàâøèé 0, à âûèãðàâøèé ñîîòâåòñòâåííî, a èëè b, ò. å. ó÷àñòíèêè ïî-ðàçíîìó îöåíèâàþò êà÷åñòâà áóäóùåé
ñïóòíèöû æèçíè :-). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî a > 0 è b > 0.
23
(b) Ðåøèòå èãðó ïî äîìèíèðîâàíèþ, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì Öåðìåëî Êóíà.
Êàêèìè áóäóò ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ a è b?
Óäîáíî äàòü îòâåò â âèäå äèàãðàììû â êîîðäèíàòàõ (a, b), íà êîòîðîé
óêàçàíû ñîîòâåòñòâóþùèå îáëàñòè. Ãðàíè÷íûå ñëó÷àè (êîãäà êîìó-òî âñå
ðàâíî, êàê äåéñòâîâàòü) ðàññìàòðèâàòü íå íàäî.
4. Êîãäà àëãîðèòì Öåðìåëî ðàáîòàåò ïëîõî. Íàéäèòå âñå ñîâåðøåííûå ïî
ïîäûãðàì ðàâíîâåñèÿ â èãðå
1
2
1
-
-
w 3,2
w 4,1
- 2,0
w 2,3
Íå çàáûëè ïðî ñìåñè?
2.6 Ðàâíîâåñèÿ, ñîâåðøåííûå ïî ïîäûãðàì
1. Òðàãåäèÿ îáùèíû: äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü (ïîõîä áåç çàâõîçà). Èìååòñÿ
íåêèé îáúåì ÷àñòíûõ áëàã (íàïðèìåð, çàïàñ ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ â ïîõîäå),
êîòîðûé ìîæåò ïîòðåáëÿòüñÿ T ïåðèîäîâ.
Ïîëåçíîñòü îò ðàçîâîãî ïîòðåáëåíèÿ
√
c åäèíèö ïðîäóêòà ñîñòàâëÿåò c. Èíäèâèäóóì öåíèò áóäóùåå ïîòðåáëåíèå
íàðàâíå ñ íàñòîÿùèì, ò. å. äèñêîíòèðîâàíèå îòñóòñòâóåò. Êàê èçâåñòíî, â ýòîì
ñëó÷àå îí ñòðåìèòñÿ ðàçäåëèòü ïðîäóêò ïîðîâíó ìåæäó T ïåðèîäàìè.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ó÷àñòíèêîâ äâà, à íå îäèí, è ïîòðåáëÿþò îíè èç
îäíîãî çàïàñà. Â êàæäîì ïåðèîäå ïîòðåáëåíèå ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî, ò. å.
èãðîêè íåçàâèñèìî âûáèðàþò, ñêîëüêî ñúåñòü (íî íå áîëåå ïîëîâèíû îò èìåþùåãîñÿ).
(a) Ïðåäñòàâüòå ýòî â âèäå èãðû â ðàçâåðíóòîé ôîðìå. Êàê óñòðîåíî äåðåâî?
(b) Êàê áû âû èñêàëè ñîâåðøåííîå ïî ïîäûãðàì ðàâíîâåñèå â ýòîé èãðå?
Óêàçàíèå: èçîáðåòèòå ÷òî-íèáóäü òèïà ôóíêöèé Áåëëìàíà, íàéäèòå ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè ïîòðåáëåíèÿ è âûâåäèòå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
íà ïàðàìåòðû. ßâëÿåòñÿ ëè ðàâíîâåñèå îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî?
(c) Ïóñòü T = 3 è âíà÷àëå èìååòñÿ 290 åäèíèö ïðîäóêòà. Êàêèìè áóäóò ðàâíîâåñíûå òðàåêòîðèè ïîòðåáëåíèÿ?
2.7 Ïîâòîðÿþùèåñÿ èãðû.
1. Äâóêðàòíîå ïîâòîðåíèå. Ðàññìîòðèì îäíîâðåìåííóþ èãðó G0 ñ òàáëèöåé
âûèãðûøåé
x
y
X Y
5,5 1,6
6,1 0,0
24
Ïðåäñòàâèì òåïåðü, ÷òî ýòà èãðà ïîâòîðÿåòñÿ äâàæäû. Âñå, ÷òî ïðîèñõîäèëî
â ïåðâîì ïåðèîäå, ñòàíîâèòñÿ îáùèì çíàíèåì âî âòîðîì. Âûèãðûøè ïåðâîãî è âòîðîãî ïåðèîäîâ ñóììèðóþòñÿ (áåç äèñêîíòèðîâàíèÿ). Îáîçíà÷èì ýòó
äâóõïåðèîäíóþ èãðó G.
(a) Êàê óñòðîåíî äåðåâî ýòîé èãðû? Êàê çàäàþòñÿ ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêîâ?
(b) Ñêîëüêî èìååòñÿ ÷èñòûõ ñîâåðøåííûõ ïî ïîäûãðàì ðàâíîâåñèé â G? Óêàçàíèå: íóæíî ïåðåáðàòü âñåâîçìîæíûå âàðèàíòû ðàâíîâåñèé â ïîäûãðàõ
âòîðîãî ïåðèîäà, äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðèáàâèòü âûèãðûøè ê âûèãðûøàì
ïåðâîãî ïåðèîäà è èññëåäîâàòü ïîëó÷åííóþ îäíîïåðèîäíóþ èãðó (áóäåì
îáîçíà÷àòü åå G̃).
(c) Îáðàòèìñÿ ê ñìåøàííîìó ðàñøèðåíèþ èãðû G (â ïîâåäåí÷åñêèõ ñòðàòåãèÿõ). Ïóñòü ðàâíîâåñíûå èñõîäû ïîäûãð âòîðîãî ïåðèîäà çàôèêñèðîâàíû
è, òàêèì îáðàçîì, èãðà ñâåäåíà ê íåêîòîðîé îäíîïåðèîäíîé èãðå G̃. Ìîæåò ëè ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé, íåðàâíîâåñíûé â èñõîäíîé èãðå G0 ,
ó÷àñòâîâàòü íà ïåðâîì øàãå â ñîâåðøåííîì ðàâíîâåñèè èãðû G? Ìîæåò
ëè â îäíîé è òîé æå èãðå G̃ áûòü áîëåå îäíîãî ðàâíîâåñèÿ, îáëàäàþùåãî
òàêèì ñâîéñòâîì?
(d) Áîëåå ñëîæíûé âîïðîñ: ñêîëüêî âñåãî ÷èñòûõ è ñìåøàííûõ ñîâåðøåííûõ
ðàâíîâåñèé â èãðå G? Óêàçàíèå: äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü, êàêèå èç èãð G̃
èìåþò áîëåå îäíîãî ðàâíîâåñèÿ.  ýòîì ìîæåò ïîìî÷ü ïóíêò 1c.
2. Ñóïåððàâíîâåñèÿ. Ðàññìîòðèì èãðó ñ òàáëèöåé âûèãðûøåé
A
B
a
b
0,2 2,3
1,0 3,1
(a) Ïóñòü êàæäûé ó÷àñòíèê ïðèìåíÿåò ñòðàòåãèþ íàêàçàíèÿ Nash reversion
(îäèí ðàç îòêëîíèøüñÿ âïðåäü áóäó âñåãäà èãðàòü ðàâíîâåñèå Íýøà).
Êàêèå ïðîôèëè êîððåëèðîâàííûõ âûèãðûøåé ìîæíî ðåàëèçîâàòü òàêèì
îáðàçîì êàê ðàâíîâåñèÿ â áåñêîíå÷íî ïîâòîðÿþùåéñÿ èãðå?
(b) Èçîáðàçèòå íà ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî êîððåëèðîâàííûõ âûèãðûøåé, äîñòèæèìûõ â ñóïåððàâíîâåñèÿõ â ñèëó Íàðîäíîé òåîðåìû.
(c) Ðàññìîòðèì òàêóþ ïîïûòêó ðåàëèçîâàòü âûèãðûøè (2, 3): â íà÷àëüíûé
ìîìåíò èãðàåòñÿ (A, b), à äàëåå èãðîê 1 èãðàåò A, åñëè íà ïðåäûäóùåì
õîäó èãðîê 2 ñûãðàë b è B , åñëè a; èãðîê 2 äåéñòâóåò ñèììåòðè÷íûì îáðàçîì: a, åñëè B è b, åñëè A. ßâëÿåòñÿ ëè ýòà ïàðà ñòðàòåãèé ðàâíîâåñèåì
Íýøà â áåñêîíå÷íî ïîâòîðÿþùåéñÿ èãðå (ïðè δ , äîñòàòî÷íî áëèçêîì ê 1)?
Åñëè äà, òî ÿâëÿåòñÿ ëè ðàâíîâåñèå ñîâåðøåííûì ïî ïîäûãðàì?
25
2.8 Ñòàòè÷åñêèå èãðû ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé
1. Áàéåñîâñêèé ñåìåéíûé ñïîð èëè êàïðèçíàÿ æåíà. Ìóæ è æåíà ðåøàþò, êóäà ïîéòè íà ôóòáîë () èëè íà áàëåò (). Âñå îñëîæíÿåòñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî æåíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â õîðîøåì íàñòðîåíèè (è òîãäà
ñòðåìèòñÿ áûòü âìåñòå ñ ìóæåì), à ìîæåò è â ïëîõîì (è òîãäà âèäåòü åãî íå
ìîæåò). Êîðî÷å, âîò òàáëèöà èãðû. Ñòðîêè ñîîòâåòñòâóþò ìóæó, à ñòîëáöû æåíå, ÷åé âûèãðûø çàâèñèò îò íàñòðîåíèÿ (, ):
3; 2,0
0; 0,2
1; 1,3
2; 3,1
Íàéäèòå âñå áàéåñîâñêèå ðàâíîâåñèÿ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íàñòðîåíèÿ è íàñòóïàþò ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íå çàáóäüòå ïðî ñìåñè.
2. Rendez-vous-1. Àëåêñàíäðà è Âèêòîð æèâóò íà îäíîé óëèöå (ñ÷èòàåì, ÷òî èõ
ìåñòà æèòåëüñòâà ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè òî÷êàìè, ðàâíîìåðíî è íåçàâèñèìî
ðàñïðåäåëåííûìè íà îòðåçêå [−1, 1]). Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîãîâîðèòüñÿ î âñòðå÷å,
îíè ñîîáùàþò äðóã äðóãó, ãäå æèâóò, è âñòðå÷àþòñÿ ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó íàçâàííûìè òî÷êàìè. Ñîîáùåíèÿ äåëàþòñÿ îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî è
íåîáÿçàòåëüíî ïðàâäèâû (íî âñå æå â ïðåäåëàõ [−1, 1]). Ïîëåçíîñòü êàæäîãî
èç ó÷àñòíèêîâ ðàâíà ïðîéäåííîìó ðàññòîÿíèþ, âçÿòîìó ñî çíàêîì ìèíóñ.
(a) Íàéäèòå îïòèìàëüíûé îòâåò Àëåêñàíäðû íà ïðàâäèâóþ ñòðàòåãèþ Âèêòîðà (êîãäà îí â ëþáîì ñëó÷àå ñîîáùàåò ñâîå ôàêòè÷åñêîå ìåñòî æèòåëüñòâà).
(b) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàæäûé èç ó÷àñòíèêîâ áóäåò èãðàòü, êàê Àëåêñàíäðà
â ï. 2a, òî ïîëó÷èòñÿ áàéåñîâî ðàâíîâåñèå. Áóäåò ëè îíî ýôôåêòèâíûì?
(c) Ðàçðàáîòàéòå ìåõàíèçì íàïîäîáèå ñõåìû Ãðîâñà, äåëàþùèé ðàâíîâåñèå
ex-post ýôôåêòèâíûì.
3. Àóêöèîí ïåðâîé è âòîðîé öåíû. Íà àóêöèîíå, â êîòîðîì ó÷àñòâóþò äâà
ïîêóïàòåëÿ, ïðîäàåòñÿ êàðòèíà. Öåííîñòü åå äëÿ ïîêóïàòåëÿ i ñîñòàâëÿåò xi ,
i = 1, 2, ãäå x1 , x2 íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà îòðåçêå [0, 1]. Èíôîðìàöèÿ îá xi äîñòóïíà òîëüêî i-ìó ó÷àñòíèêó.
Èãðîê i òàéíî çàÿâëÿåò öåíó bi è çàïå÷àòûâàåò çàÿâêó â êîíâåðò, íà êîòîðîì
ïèøåò ñâîþ ôàìèëèþ.
(a) Ïóñòü êàðòèíà äîñòàåòñÿ òîìó, êòî íàçâàë íàèáîëüøóþ öåíó, êàêîâóþ
îí è ïëàòèò. Ïðåäïîëàãàÿ ñòðàòåãèè èãðîêîâ òàêèìè, ÷òî ðàçìåð çàÿâêè
ïðîïîðöèîíàëåí ñóáúåêòèâíîé öåííîñòè êàðòèíû, íàéòè áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå. Áóäóò ëè èãðîêè äåêëàðèðîâàòü ñâîè èñòèííûå îöåíêè êàðòèíû?
(b) Òîò æå âîïðîñ äëÿ àóêöèîíà âòîðîé öåíû, êîãäà êàðòèíà äîñòàåòñÿ òîìó,
êòî íàçâàë íàèáîëüøóþ öåíó, íî ïëàòèò îí öåíó, çàÿâëåííóþ ïðîèãðàâøèì àóêöèîí.
26
2.9 Ñåêâåíöèàëüíûå (ñîâåðøåííûå áàéåñîâñêèå) ðàâíîâåñèÿ
1. Ñîâìåñòíîå äåëî. Ó÷àñòíèêè äâà ãðàáèòåëÿ (1 è 2 ) è õîçÿèí (). Ãðàáèòåëü 1
ìîã áû çàáðàòüñÿ â äîì ê , íî ó íåãî ìàëîâàòî ñèëåíîê. Îí ìîæåò ïðåäëîæèòü 2
ïîéòè ñ íèì íà äåëî. Õîçÿèí âèäèò, ÷òî ê íåìó çàáðàëèñü, íî íå çíàåò, ñêîëüêî
èõ. Îí ìîæåò ñèäåòü òèõî èëè ïîäíÿòü øóì.
Ðàçâåðíóòàÿ ôîðìà âûãëÿäèò òàê:
0, 0, 4 ¾
Àóò
Ïðåäë. -2
1
Îòêàç -1
Àóò
Ãðàá.
Ñîãë.
Ãðàá.
?
?
?
- 0, 0, 4
ØóìÀ
Òèõî
^
À
^
À
^
−1, 0, 2 2, 0, 1 1, 1, −2 2, 2, 0 −1, 0, 2 2, 0, 1
Íàéäèòå âñå ñåêâåíöèàëüíûå ðàâíîâåñèÿ. À åñòü ëè äðóãèå ðàâíîâåñèÿ Íýøà?
2. Ñîìíèòåëüíîå âëîæåíèå. Èìååòñÿ áîëüøîå ÷èñëî n àãåíòîâ, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþò âîçìîæíîñòü âëîæåíèÿ ñâîèõ ñðåäñòâ â íåêèé ìàëîèçâåñòíûé áàíê.
Èçíà÷àëüíî âñå ñ÷èòàþò, ÷òî áàíê ìîæåò ñ ðàâíûìè øàíñàìè îêàçàòüñÿ íàäåæíûì èëè íåíàäåæíûì. ×èñòûé âûèãðûø îò âëîæåíèÿ â íàäåæíûé áàíê
ðàâåí ïðîèãðûøó îò âëîæåíèÿ â íåíàäåæíûé. Âñå àãåíòû íåéòðàëüíû ê ðèñêó.
Êàæäûé ó÷àñòíèê ïðèíèìàåò ðåøåíèå î âëîæåíèè ñðåäñòâ, îñíîâûâàÿñü íà
ëè÷íîì ìíåíèè î áàíêå è íàáëþäàÿ, êàê âåäóò ñåáÿ îñòàëüíûå. Ïðîáëåìà â
òîì, ÷òî ìîæíî îøèáèòüñÿ è ïðèíÿòü õîðîøèé áàíê çà ïëîõîé èëè íàîáîðîò.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè ëè÷íîé îöåíêå àêòèâà îøèáêà êàê â òó, òàê è â äðóãóþ
ñòîðîíó, ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ ε (ε < 1/2), ïðè÷åì îøèáêè ðàçëè÷íûõ
àãåíòîâ íåçàâèñèìû êàê ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ.
Èãðà ïðîòåêàåò òàê: ñíà÷àëà àãåíò 1 ñîñòàâëÿåò ñâîå (âîçìîæíî, îøèáî÷íîå)
ìíåíèå î áàíêå è âêëàäûâàåò èëè íå âêëàäûâàåò â íåãî äåíüãè. Çàòåì âêëþ÷àåòñÿ àãåíò 2: âèäÿ, ÷òî ñäåëàë àãåíò 1, è èìåÿ ñîáñòâåííóþ îöåíêó, îí òàêæå
ïðèíèìàåò ðåøåíèå, âêëàäûâàòü èëè íå âêëàäûâàòü. È òàê äàëåå: èíôîðìàöèÿ, íàáëþäàåìàÿ àãåíòîì k , ýòî åãî ñîáñòâåííàÿ îöåíêà è äåéñòâèÿ àãåíòîâ 1, . . . , k − 1 (íî íå èõ ëè÷íûå îöåíêè!).
(a) Êàê óñòðîåíî äåðåâî ýòîé èãðû? Äîðèñóéòå åãî äî êîíöà õîòÿ áû äëÿ
ñëó÷àÿ n = 2.
(b) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñëè àãåíòó áåçðàçëè÷íî, âêëàäûâàòü èëè íåò, òî îí íå
âêëàäûâàåò. Êàê áóäóò äåéñòâîâàòü èãðîêè â ðàâíîâåñèè? Óêàçàíèå: ðåøèòå èãðó ïî äîìèíèðîâàíèþ, âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî îíà èòåðàöèîííàÿ, è ïîêàæèòå, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 âñå èãðîêè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî,
áóäóò âåñòè ñåáÿ îäèíàêîâî.
27
(c) Âîçìîæåí ëè âñåîáùèé îáìàí? Áîëåå êîíêðåòíî: ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ
ïî÷òè âñå âëîæàò â ïëîõîé áàíê; ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïî÷òè íèêòî íå
âëîæèò â õîðîøèé? Ïðîêîììåíòèðóéòå.
3. Êòî ïîëó÷èò ïðèç? Äâîå ñîèñêàòåëåé, A è B , ïûòàþòñÿ âûèãðàòü íåêèé
ïðèç. Èãðà ïðîèñõîäèò â òå÷åíèå òðåõ äíåé (t = 1, 2, 3), ïðè÷åì öåííîñòü ïðèçà V âîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó V (t) = 2t + 2. Èìååòñÿ çàïå÷àòàííûé
êîíâåðò, â êîòîðîì íàïèñàíî, êîìó äîëæåí äîñòàòüñÿ ïðèç. Â ïåðâûé äåíü èãðîê A ìîæåò ñäåëàòü îäíî èç òðåõ äåéñòâèé: ëèáî ïðåäëîæèòü âñêðûòü êîíâåðò
(ïðè ýòîì ïðèç âûäàåòñÿ òîìó, ÷üå èìÿ íàïèñàíî â êîíâåðòå, ïîñëå ÷åãî èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ), ëèáî ïðåäëîæèòü ïîäåëèòü ïðèç ïîðîâíó (ïîñëå ÷åãî èãðà
òàêæå çàêàí÷èâàåòñÿ), ëèáî ïîäîæäàòü ñëåäóþùåãî äíÿ. Íà ñëåäóþùèé äåíü
â èãðó âñòóïàåò èãðîê B , êîòîðûé òàêæå ìîæåò âûáðàòü îäíî èç ýòèõ òðåõ
äåéñòâèé. Íàêîíåö, íà òðåòèé äåíü, åñëè ïðèç åùå íå íàøåë ñâîèõ îáëàäàòåëåé, ïðàâî ãîëîñà âíîâü ïåðåõîäèò ê èãðîêó A, êîòîðûé âûáèðàåò, âñêðûâàòü
êîíâåðò èëè ïîäåëèòü ïðèç ïîðîâíó.
(a) Ïóñòü êàæäûé èãðîê ðàñöåíèâàåò àïðèîðíûå øàíñû íà òî, ÷òî â êîíâåðòå îêàæåòñÿ åãî èëè ÷óæîå èìÿ, êàê ðàâíûå. Èçîáðàçèòå äåðåâî èãðû.
Êàê áóäóò èãðàòü ó÷àñòíèêè? Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìîæåòå ñ÷èòàòü, ÷òî
èãðîêè ïðîÿâëÿþò ìèíèìàëüíîå îòâðàùåíèå ê ðèñêó, à èìåííî, ñòðåìÿòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé âûèãðûø, è óæå
ïîòîì, ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ, ìèíèìèçèðîâàòü ðèñê (ò. å. ïðåäïî÷òåíèÿ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèå).
(b) À òåïåðü íåñêîëüêî áîëåå èíòåðåñíàÿ ñèòóàöèÿ: ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåä
èãðîé èãðîê B ïîäãëÿäåë, ÷òî íàïèñàíî â êîíâåðòå, è ýòî èçìåíåíèå èíôîðìàöèîííîé ñòðóêòóðû èãðû (íî íå ñàìà èíôîðìàöèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ
â êîíâåðòå!) ñòàëî îáùèì çíàíèåì. Íàéäèòå âñå ñèëüíûå ñåêâåíöèàëüíûå
ðàâíîâåñèÿ â ïîâåäåí÷åñêèõ ñòðàòåãèÿõ.
(c) Â ïðåäïîëîæåíèÿõ ï. 3b îòâåòüòå íà âîïðîñ: ñóùåñòâóþò ëè â èãðå ðàâíîâåñèÿ äèñêîîðäèíàöèè, êîãäà âñå õîäû ñåêâåíöèàëüíî ðàöèîíàëüíû, âñå
âåðû ñëàáî ñîãëàñîâàíû ñ ïðîôèëåì ñòðàòåãèé, íî ïîñëåäíèé íå ÿâëÿåòñÿ
ðàâíîâåñèåì Íýøà?
(d) À åñòü ëè â èãðå ï. 3b ñëàáûå ñåêâåíöèàëüíûå ðàâíîâåñèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ðàâíîâåñèÿìè Íýøà, íî íå ÿâëÿþùèåñÿ ñåêâåíöèàëüíûìè â ñèëüíîì
ñìûñëå?
(e) Ñîïîñòàâüòå ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ è ïðîêîììåíòèðóéòå. Âñåãäà ëè äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ ïðèíîñèò ïîëüçó òîìó, êòî åå ïîëó÷àåò?
4. Ñîñåäè. Àíòîí è Áîðèñ, ñîñåäè ïî îáùåæèòèþ, êàæäûé äåíü òðàòèëè ïî
20 ìèí. íà ïîõîä â ìàãàçèí çà ïðîäóêòàìè. Èì ýòî íàäîåëî è, ÷òîáû ñýêîíîìèòü âðåìÿ, îíè äîãîâîðèëèñü â òå÷åíèå áëèæàéøèõ ÷åòûðåõ äíåé õîäèòü
28
â ìàãàçèí ïî î÷åðåäè è ïîêóïàòü íà âñåõ: â ïåðâûé äåíü Àíòîí, çàòåì Áîðèñ
è ò. ä. Ïîêóïêà ïðîäóêòîâ äëÿ ñîñåäà îòíèìàåò ëèøíèå 5 ìèí, ïîýòîìó ó èäóùåãî â ìàãàçèí ïîÿâëÿåòñÿ ñîáëàçí íàðóøèòü ñîãëàøåíèå è êóïèòü ïðîäóêòû
òîëüêî ñåáå. Åñëè êòî-òî õîòü ðàç òàê ñäåëàåò, òî â ïîñëåäóþùèå äíè õîäèòü
â ìàãàçèí ñíîâà áóäóò ïî îòäåëüíîñòè (äà è â ýòîò äåíü îáìàíóòîìó ñîñåäó
ïðèäåòñÿ ïðîãóëÿòüñÿ).
Àíòîí âñåãäà äåéñòâóåò ñîîáðàçíî îáñòîÿòåëüñòâàì (â êàæäûé èç äâóõ ñâîèõ
äíåé ìîæåò âûáèðàòü, âûïîëíèòü èëè íàðóøèòü ñîãëàøåíèå), à âîò Áîðèñ
ìîæåò ÿâëÿòüñÿ îïïîðòóíèñòîì, êàê Àíòîí, à ìîæåò áûòü è ÷åñòíûì, ò. å.
âñåãäà âûïîëíÿòü ñîãëàøåíèå (â ýòîì ñëó÷àå ó íåãî îáà ðàçà ïî åäèíñòâåííîìó
âîçìîæíîìó äåéñòâèþ). Àíòîí âåðèò, ÷òî Áîðèñ ñ âåðîÿòíîñòüþ p > 0 ÿâëÿåòñÿ
÷åñòíûì.
(a) Êàê âûãëÿäèò ðàçâåðíóòàÿ ôîðìà èãðû, åñëè ïîëåçíîñòè ó÷àñòíèêîâ ðàâíû âûèãðàííîìó âðåìåíè?
(b) Ïðè êàêèõ p ñóùåñòâóåò ñåêâåíöèàëüíîå ðàâíîâåñèå, â êîòîðîì Àíòîí â
ïåðâûé äåíü èãðàåò ÷åñòíî (âûïîëíÿåò ñîãëàøåíèå)?
2.10 Êîððåëèðîâàííûå ðàâíîâåñèÿ
1. Ïðèìåðû íà êîððåëèðîâàííûå ðàâíîâåñèÿ. Èçîáðàçèòü íà ïëîñêîñòè
(u1 , u2 ) îáëàñòü êîððåëèðîâàííûõ ðàâíîâåñèé äëÿ ñëåäóþùèõ èãð:
(a) Ñåìåéíûé ñïîð:
·
(b) Ïðåñëåäîâàíèå:
·
4, 3 2, 2
0, 0 3, 4
2, 0 0, 1
0, 1 2, 0
¸
¸
2. Âîçìîæíîñòè íåîáÿçûâàþùèõ ñîãëàøåíèé. Èìåþòñÿ äâà ó÷àñòíèêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ìîæåò âåñòè ñåáÿ ýãîèñòè÷åñêè () èëè êîîïåðàòèâíî (). Åñëè
îáà èãðàþò , òî ïîëó÷àþò ïî c. Åñëè îäèí èãðàåò , à äðóãîé , òî âûèãðûøè ñîñòàâëÿþò, ñîîòâåòñòâåííî, a è b (0 < b < c < a). Åñëè îáà ýãîèñòû, òî ïî
íóëÿì.
(a) Ñ êàêèìè âåñàìè íàäî ñìåøèâàòü èñõîäû èãðû, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü êîððåëèðîâàííîå ðàâíîâåñèå? Çàäàéòå îòâåò â âèäå âûïóêëîé îáîëî÷êè íåñêîëüêèõ íàáîðîâ âåñîâ.
(b) Íàéäèòå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ñóììàðíûé âûèãðûø, ðåàëèçóåìûé â
êîððåëèðîâàííûõ ðàâíîâåñèÿõ.  êàêèõ ñëó÷àÿõ îí ïðåâûøàåò òî, ÷òî
äîñòèæèìî â ðàâíîâåñèÿõ Íýøà?
29
2.11 Çàäà÷à òîðãà (äëÿ äâóõ ó÷àñòíèêîâ)
1. Òîðã â ìîäåëè îáìåíà. Ó àãåíòà 1 åñòü åäèíèöà òîâàðà x, à ó àãåíòà 2 åäèíèöà òîâàðà y . Ïðåäïî÷òåíèÿ ó÷àñòíèêîâ
µ
¶çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè,
√
3
ñîîòâåòñòâåííî, u1 = xy è u2 = min x, y .
2
(a) Ïóñòü àãåíòû òîðãóþòñÿ çà ðàñïðåäåëåíèå òîâàðîâ x è y . Íàéòè (è èçîáðàçèòü íà ðèñóíêå â êîîðäèíàòàõ u1 , u2 ) îáëàñòü äîïóñòèìûõ âûèãðûøåé
(Ïàðåòî-ãðàíèöó) è ðåøåíèå Íýøà. Èçîáðàçèòü â ÿùèêå Ýäæâîðòà ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèé òîâàðîâ è òî÷êó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåøåíèþ Íýøà.
(b) Ïóñòü òåïåðü ïðåäìåòîì òîðãà ÿâëÿåòñÿ òîëüêî öåíà, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò îáìåí, à ðàçìåð ñäåëêè óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëå ýòîãî ïåðâûì èãðîêîì
åäèíîëè÷íî. Ñíîâà íàéòè îáëàñòü äîïóñòèìûõ âûèãðûøåé è ðåøåíèå Íýøà (îòîáðàçèòü íà òåõ æå ðèñóíêàõ).
(c) Óêàçàòü íà òåõ æå ðèñóíêàõ ðàñïðåäåëåíèå òîâàðîâ è ïàðó âûèãðûøåé,
ñîîòâåòñòâóþùèå îáùåìó ðàâíîâåñèþ â äàííîé ýêîíîìèêå îáìåíà. Ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû ïóíêòîâ 1a1c è ïðîêîììåíòèðîâàòü.
2. Rendez-vous-2. Äæîí è Ìýðè æèâóò íà îäíîé óëèöå (ñì. ðèñ.) è ïî óìîë÷àíèþ âñòðå÷àþòñÿ ó ôîíòàíà (x0 ). Îíè ìîãóò äîãîâîðèòüñÿ î âñòðå÷å â ëþáîì
äðóãîì ìåñòå óëèöû. Ïîëåçíîñòü ó÷àñòíèêà ðàâíà (ñî çíàêîì ìèíóñ) ðàññòîÿíèþ, êîòîðîå åìó íóæíî ïðîéòè.
(a) Íàðèñóéòå ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âûèãðûøåé (u1 , u2 ). Èçîáðàçèòå íà íåì
ïîëîæåíèÿ ñòàòóñ-êâî ïðè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà x0 .
(b) Ïóñòü xN ìåñòî âñòðå÷è, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèþ Íýøà ýòîé çàäà÷è
òîðãà. Íàéäèòå xN êàê ôóíêöèþ îò x0 ∈ IR è ïîñòðîéòå åå ãðàôèê.
(c) Òîò æå âîïðîñ äëÿ xK ðåøåíèÿ ÊàëàèÑìîðîäèíñêè.
(d) À ÷òî ìîæíî ñêàçàòü ïðî ýãàëèòàðíîå è óòèëèòàðíîå ðåøåíèÿ?
−1
Äæîí
0
1
x0
Ìýðè
Ôîíòàí
- x
2.12 Êîîïåðàòèâíûå èãðû: ÿäðî è Øåïëè
1. Ïîäçåìíûå ìóçûêàíòû. Îðêåñòð èç òðåõ ìóçûêàíòîâ (, , ) èãðàåò â ïîäçåìíîì ïåðåõîäå. Ïîîäèíî÷êå îíè ìîãëè áû çàðàáîòàòü, ñîîòâåòñòâåííî, 6, 18 è 30
ðóáëåé â ÷àñ. Èãðàÿ ïî äâîå, îíè áû ïîëó÷èëè: è 36, è C 48, B è C 54.
À âìåñòå îíè èìåþò 72.
(a) Áóäåò ëè îòâåðãíóò ðàâíûé äåëåæ, è åñëè áóäåò, òî êàêèìè êîàëèöèÿìè?
30
(b) Íàéäèòå ÿäðî èãðû, ò. å. âñå äåëåæè, êîòîðûå íå áóäóò îòâåðãíóòû.
(c) ßâëÿåòñÿ ëè èãðà ñóïåðàääèòèâíîé? Ñóïåðìîäóëÿðíîé?
(d) Íàéäèòå âñå òî÷êè Âåáåðà è âåêòîð Øåïëè. ×òî èç íàéäåííîãî ïðèíàäëåæèò ÿäðó?
2. Ïàðëàìåíò. Êîíãðåññ è Ñåíàò ñîñòîÿò èç òðåõ ÷ëåíîâ êàæäûé. Çàêîí ïðèíèìàåòñÿ òîëüêî åñëè â îáåèõ ïàëàòàõ íàáðàíî áîëüøèíñòâî.
(a) Íàéäèòå ÿäðî ýòîé êîîïåðàòèâíîé èãðû.
(b) Ïóñòü âäîáàâîê èìååòñÿ åùå ïðåçèäåíò, îäîáðåíèå êîòîðîãî îáÿçàòåëüíî.
Ñêîëüêî îí ïîëó÷èò â ÿäðå?  âåêòîðå Øåïëè?
(c) À ïîòîì äâå ïàëàòû îáúåäèíèëè. Òåïåðü íóæíî ïðîñòî 4 ãîëîñà èç 6
ïëþñ ïðåçèäåíòñêîå îäîáðåíèå. Âðîäå áû, ïàðëàìåíò ñòàë ñèëüíåå, òàê
êàê áîëüøå âûèãðûâàþùèõ êîàëèöèé, ÷åì â 2b. Êàê èçìåíèëàñü çàðïëàòà ïðåçèäåíòà?
3. Ñèììåòðè÷íûå èãðû. Íàçîâåì êîîïåðàòèâíóþ èãðó ñ òðàíñôåðàáåëüíîé ïîëåçíîñòüþ ñèììåòðè÷íîé, åñëè âûèãðûø v(K) êîàëèöèè K çàâèñèò òîëüêî îò
åå ÷èñëåííîñòè k = |K|. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî v(N ) = N .
Êàêîé äîëæíà áûòü ôóíêöèÿ v(k) äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿäðî áûëî íåïóñòûì? ÷òîáû èãðà áûëà ñóïåðìîäóëÿðíîé?
4. Ñòðîèòåëüñòâî äîðîãè. ×åòûðå ïîñåëêà A, B, C, D ðàñïîëîæåíû íà áåðåãó
áîëüøîãî îçåðà (ñì. ðèñ.). Êàæäûé ïîñåëîê íóæäàåòñÿ â àâòîìîáèëüíîì ñîîáùåíèè ñ òðåìÿ îñòàëüíûìè, ïðè÷åì êðàò÷àéøèì ïóòåì (òàê, íåçàìêíóòàÿ
äîðîãà BCDA íå óñòðàèâàåò æèòåëåé ïîñåëêà B , ïîñêîëüêó îíè õîòÿò åçäèòü
â A íàïðÿìèê). Ìåñòíûå âëàñòè ðåøèëè ñêèíóòüñÿ è ïîñòðîèòü êîëüöåâóþ
äîðîãó âîêðóã îçåðà, ñîåäèíÿþùóþ ïîñåëêè. Âîïðîñ ñîñòîèò â òîì, êàê ðàçäåëèòü ìåæäó ïîñåëêàìè èçäåðæêè ïî ñòðîèòåëüñòâó 120 êì äîðîãè.
(a) Äëÿ êàæäîé êîàëèöèè íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ ïðîòÿæåííîñòü íóæíîé åé
äîðîãè. Îïèøèòå ÿäðî èãðû. ßâëÿåòñÿ ëè èãðà ñóïåðìîäóëÿðíîé?
(b) Ïóñòü ïîñåëêè ðàâíîïðàâíû â ïåðåãîâîðíîì ïðîöåññå, à çàòðàòû äåëÿòñÿ,
èñõîäÿ èç âåêòîðà Øåïëè. Ñêîëüêî êèëîìåòðîâ äîðîãè äîëæåí ïðîôèíàíñèðîâàòü êàæäûé ïîñåëîê?
(c) Ïóñòü nA , nB , nC , nD ÷èñëî æèòåëåé â ïîñåëêàõ, ïðè÷åì íå îáÿçàòåëüíî
nA = nB = nC = nD . Êàê â ýòîì ñëó÷àå ðàçóìíî ðàñïðåäåëèòü çàòðàòû?
 êàêîì ñîîòíîøåíèè äîëæíû íàõîäèòüñÿ ÷èñëà nA , nB , nC , nD , ÷òîáû âñå
æèòåëè ïëàòèëè îäèí è òîò æå íàëîã íà ñòðîèòåëüñòâî äîðîãè?
31
A 12 êì B
Îçåðî
36 êì
D 48 êì
24 êì
C
Ïðîåêò äîðîãè.
5. Îõðàíà. Èìååòñÿ 6 ïðîèçâîäèòåëåé A, B, C, D, E, F , êàæäûé èç êîòîðûõ ìîæåò çàðàáîòàòü $1, è äâà îõðàííèêà P è Q, íå ïðîèçâîäÿùèõ íè÷åãî. Êîàëèöèÿ
ïîëó÷àåò ñóììàðíóþ âûðó÷êó åå ó÷àñòíèêîâ, íî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñðåäè íèõ åñòü õîòÿ áû îäèí îõðàííèê. Èíà÷å ïðèõîäÿò ãðàáèòåëè è âñå çàáèðàþò.
Ñêîëüêî íóæíî ïëàòèòü îõðàííèêàì? Îòâåòüòå íà ýòîò âîïðîñ ñ òî÷êè çðåíèÿ
ÿäðà è âåêòîðà Øåïëè.
6. ßäðî ýêîíîìèêè. Àëèñà, Áåðòà è Âèîëà èìåþò ïî åäèíèöå òîâàðà, êîòîðûé
îöåíèâàþò, ñîîòâåòñòâåííî, â 3, 6 è 8 äîëëàðîâ. Ãóñòàâ, Äàíèèë, Åâãåíèé è
Æîðæ ìîãëè áû êóïèòü ïî åäèíèöå ýòîãî òîâàðà è ãîòîâû çàïëàòèòü çà íåãî,
ñîîòâåòñòâåííî, 2, 4, 7 è 9 äîëëàðîâ.
(a) Ôîðìàëèçóéòå ýòó ñèòóàöèþ â âèäå êîîïåðàòèâíîé èãðû ñ ïîáî÷íûìè
ïëàòåæàìè (çàäàéòå âûèãðûøè êîàëèöèé).
(b) Ïóñòî ëè ÿäðî ýòîé èãðû?
7. Ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàðíûì èãðàì.  êîîïåðàòèâíîé èãðå v ñ ïîáî÷íûìè ïëàòåæàìè ó÷àñòâóþò èãðîêè 1, 2, 3. Âûèãðûøè êîàëèöèé çàäàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
v(1) = 4,
v(2) = 9,
v(3) = 4,
v(1, 2) = 15, v(1, 3) = 12, v(2, 3) = 13, v(1, 2, 3) = 20.
(a) Íàéäèòå ðàçëîæåíèå ýòîé èãðû ïî áàçèñó èç ýëåìåíòàðíûõ èãð vS , S ⊆
{1, 2, 3}.
(b) Êàê èç íàéäåííîãî ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷èòü âåêòîð Øåïëè?
A.Savvateev "áîëüøèå"çàäà÷è-ïðîåêòû ïî èãðàì:
1. Äóîïîëèÿ Áåðòðàíà ñ íåîäèíàêîâûìè èçäåðæêàìè, è/èëè ñ îãðàíè÷åíèåì öåëî÷èñëåííîñòè öåíû. Íàéòè âñå Íýøåâñêèå ðàâíîâåñèÿ. Êàêèå åùå ìîãóò áûòü ðàâíîâåñèÿ?
2. (Ïèîíåðëàãåðü=) Ñòîðîæ êîëõîçíîãî ïîëÿ è âîð. Íà ïîëå ìîæíî çàáðàòüñÿ 4
ïóòÿìè: A,B,C,D, óäàëåííûìè îò ñòîðîæêè íà ðàññòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, 2, 4, 6, 8
(ñîò ìåòðîâ).  ñëó÷àå ïîèìêè âîðà, ñòîðîæ îæèäàåò ñ íåãî øòðàô 10, 1. Õîòü îäèí
èç ïóòåé ñòîðîæ îáÿçàí ïîêàðàóëèòü â ëþáîì ñëó÷àå. Íàéòè âñå ñìåøàííûå ðàâíîâåñèÿ Íýøà: áóäåò ëè âîð ïîëüçîâàòüñÿ â ðàçíûå äíè ðàçíûìè ïóòÿìè, è ðàçíûå ëè
ïóòè áóäåò êàðàóëèòü ñòîðîæ?
32
3 P.Ordeshook: Political games
Çàäà÷è èç êíèãè P.Ordeshook ïî ïîëèòè÷åñêèì èãðàì
ñòð. 2
Âìåñòî îáçîðà ëèòåðàòóðû ïî ïîëèòè÷åñêîé òåîðèè, ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà òåõ
èäåÿõ, êîòîðûå äàþò êëþ÷ ê òåîðåòè÷åñêîìó ïîíèìàíèþ íåêîòîðûõ ñïåöèôè÷åñêèõ
ïîëèòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.  ÷àñòíîñòè, ìû ïîäîéäåì ê èññëåäîâàíèþ îòâåòîâ íà ñëåäóþùèå âîïðîñû:
1. Êàê äîëæíû äâå ãëàâíûå ïàðòèè â ñèñòåìå âûáîðîâ ïî ïðàâèëó áîëüøèíñòâà
îòâå÷àòü íà óãðîçó âõîäà òðåòüåé ïàðòèè?
2. Ïî÷åìó ïðîöåäóðà ïðàâèëà áîëüøèíñòâà â àìåðèêàíñêèõ âûáîðàõ ïðèâîäèò,
â ñóùíîñòè, ê êîíêóðåíöèè òîëüêî ìåæäó äâóìÿ ãëàâíûìè ïàðòèÿìè?
3. ßâëÿåòñÿ ëè ðåäêîñòü ñìåíû ïàðòèè ó âëàñòè îáÿçàòåëüíî ñèìïòîìîì ÷åãî-òî
íåïðàâèëüíîãî â äåìîêðàòèè?
4. Äîëæíû ëè ïàðòèè âñåãäà ïðåäïî÷èòàòü êàê ìîæíî áîëüøåå ÷èñëî ìåñò â
çàêîíîäàòåëüíîì îðãàíå?
5. Ñîçäàåò ëè ïëîõàÿ èíôîðìèðîâàííîñòü èçáèðàòåëåé íåèçáåæíîå ñìåùåíèå ïîâåäåíèÿ, âûãîäíîå äëÿ òåõ, êòî èìååò íóæíóþ èíôîðìàöèþ îòíîñèòåëüíî ïðàâèòåëüñòâåííîé ïîëèòèêè?
ñòð 3
6. Ìîãóò ëè ðåçóëüòàòû âçàèìîäåéñòâèÿ ëþäåé îêàçàòüñÿ èððàöèîíàëüíûìè, äàæå åñëè êàæäûé ÷åëîâåê â îáùåñòâå óäîâëåòâîðÿåò ïî÷òè ëþáîìó îïðåäåëåíèþ ðàöèîíàëüíîãî?
7. Ïî÷åìó Êîíãðåññ ÷àñòî ïîñâÿùàåò áîëüøå âðåìåíè è óñèëèé îáñóæäåíèþ ïðîöåäóð, ÷åì îáñóæäåíèþ ôàêòè÷åñêîãî çàêîíîäàòåëüñòâà íà ñâîèõ çàñåäàíèÿõ?
8. Âñåãäà ëè ïðåäïî÷òåíèÿ, ïðîäåìîíñòðèðîâàííûå çàêîíîäàòåëÿìè ïðè ãîëîñîâàíèè, ÿâëÿþòñÿ õîðîøèì îòðàæåíèåì ïðåäïî÷òåíèé èõ ýëåêòîðàòà, äàæå ñðåäè
çàêîíîäàòåëåé, ñòðåìÿùèõñÿ òîëüêî ê ïåðåèçáðàíèþ?
9. Êàêèå âèäû çàêîíîäàòåëüñòâà èìåþò òåíäåíöèþ ñòèìóëèðîâàòü çàêîíîäàòåëåé
òîðãîâàòü ãîëîñàìè ïðè ðåøåíèè âîïðîñîâ â êîíãðåññå?
10. Âåäåò ëè ñèñòåìà êîìèòåòîâ â Êîíãðåññå ê ðåçóëüòàòàì, êîòîðûå çàêîíîìåðíî
îòëè÷àþòñÿ îò ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå ïðåîáëàäàëè áû, åñëè áû Êîíãðåññ îáñóäèë
êàæäûé â îòäåëüíîñòè âîïðîñ â öåëîì?
11. Ïî÷åìó íàëîãîâàÿ ðåôîðìà ÿâëÿåòñÿ îñîáåííî ïðîáëåìàòè÷íîé òåìîé äëÿ
ðàññìîòðåíèÿ â Êîíãðåññå, îñîáåííî â ãîä âûáîðîâ?
12. Ïî÷åìó îäíè è òå æå êîíãðåññìåíû òàê ÷àñòî ïåðåèçáèðàþòñÿ â Êîíãðåññ,
íåñìîòðÿ íà òîò ôàêò, ÷òî Êîíãðåññ êàê ó÷ðåæäåíèå ìàëî óâàæàåòñÿ îáùåñòâîì?
13. Äîëæíû ëè ìû ðàññìàòðèâàòü êîíôëèêòû ìåæäó ïðåçèäåíòîì è ÷ëåíàìè
Êîíãðåññà ïðîñòî êàê ñòîëêíîâåíèÿ ëè÷íîñòåé, èëè ñóùåñòâóåò îáúÿñíåíèå, îñíîâàííîå íà ôàêòå, ÷òî ïðåçèäåíòû è ÷ëåíû Êîíãðåññà èçáèðàþòñÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè?
14. Ïîìèìî îáùåãî íåäîâåðèÿ èçáèðàòåëåé, êàêèå òåîðåòè÷åñêèå è ëîãè÷åñêèå
îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâóþò äëÿ ïðåäñòàâèòåëüíîé äåìîêðàòèè, çàâåùàííîé íàì Îòöàìèîñíîâàòåëÿìè Êîíñòèòóöèè ÑØÀ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ äâóõïàëàòíîé çàêîíîäàòåëüíîé
33
âëàñòè?
15. Ïî÷åìó ïðàâèòåëüñòâî ðåãóëèðóåò òàðèôû òàêñè è äàëüíèõ ïåðåâîçîê, â òî
âðåìÿ êàê ïîäîáíîå ðåãóëèðîâàíèå òåðïèò íåóäà÷ó â ñëó÷àå ðåãóëèðîâêè öåí íà
àâòîìîáèëè è áîëüøèíñòâî äðóãèõ ãëàâíûõ òîâàðîâ?
16. ×àñòî óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî "ãðóïïû âëèÿíèÿ ñ îñîáûìè èíòåðåñàìè"ïîêóïàþò
ïîëèòè÷åñêèõ äåÿòåëåé è ïîëèòèêó óïðàâëåíèÿ, íî êàê íàñ÷åò òî÷êè çðåíèÿ, ÷òî
â õîäå èçáèðàòåëüíîé êàìïàíèè ïîëèòèêè âûìîãàþò âçíîñû èç çàèíòåðåñîâàííûõ
ãðóïï?
17. Êîãäà âûãîäíåå ïðèíÿòü ðåøåíèå ïðåæäå äðóãèõ, à êîãäà âûãîäíåå ïîâðåìåíèòü?
ñòð 56
1. Ïóñòü ñâîáîäíàÿ êîíêóðåíöèÿ ïðåîáëàäàåò â îòðàñëè ïðîìûøëåííîñòè, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ôèðì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðîäàåò ïî 20 ìèëëèîíîâ åäèíèö èçäåëèé ñ
îáùåé ïðèáûëüþ $1/åäèíèöó. Íî åñëè îíè òàéíî ñãîâîðÿòñÿ, ÷òîáû óñòàíîâèòü öåíó
ïîâûøå, òî êàæäûé ïðîäàñò ïî 15 ìèëëèîíîâ åäèíèö ñ ïðèáûëüþ ïî äâà äîëëàðà çà
êàæäóþ. Åñëè æå îäíà ôèðìà îòñòóïèòñÿ îò äîãîâîðà è ïðîäàñò ñâîé òîâàð ïî áîëåå
íèçêîé öåíå, îíà âûðó÷èò $35 ìèëëèîíîâ, â òî âðåìÿ êàê äðóãàÿ ôèðìà íå ïðîäàñò
íè÷åãî. Ïðåæäå ÷åì êàæäàÿ ôèðìà óñòàíîâèò öåíó (÷òî îíè äåëàþò îäíîâðåìåííî),
Ñåíàòîð Ãèëëè Áîá ïðåäëàãàåò çàêëþ÷èòü ñîãëàøåíèå î ïàòåíòîâàíèè, ïî êîòîðîìó
êàæäûé ïëàòèò íàëîã $.20/ íà åäèíèöó, è ïðîèçâîäèò èçäåëèå ïî ôèêñèðîâàííûì
êàðòåëåì öåíàì - ÿâíî, ÷òîáû çàñòðàõîâàòüñÿ îò "ðàçðóøèòåëüíîé êîíêóðåíöèè",
êîòîðàÿ ìîãëà áû "îñòàâèòü òðóäîëþáèâûõ Àìåðèêàíöåâ áåçðàáîòíûìè."Ñîçäàéòå
ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ýòîé ñèòóàöèè, ãäå êàæäàÿ ôèðìà äîëæíà ñíà÷àëà îäîáðèòü
èëè íå îäîáðèòü ñîãëàøåíèå î ïàòåíòîâàíèè, êîòîðîå äåéñòâóåò, òîëüêî åñëè îáå
ôèðìû ñîãëàøàþòñÿ íà ýòî.
2. Äîïóñòèì, èìåþòñÿ òðè øòàòà (1, 2, è 3) ðàâíîãî ðàçìåðà, è ïîäñ÷åò ãîëîñîâ
ïðîõîäèò ñíà÷àëà â 1 øòàòå, çàòåì âî 2, à çàòåì â 3, è ÷òî ïîáåäèòåëü íà âûáîðàõ
äîëæåí ñîáðàòü áîëüøèíñòâî (äâà) øòàòîâ. Âûâåäèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó èãðû,
ïðåäñòàâëÿþùóþ ðåøåíèå îäíîãî ãðàæäàíèíà â ãîñóäàðñòâå 3, êîòîðûé äîëæåí ðåøèòü, ãîëîñîâàòü ëè è çà êîãî èç äâóõ êàíäèäàòîâ. Äîïóñòèì, ýòîò ÷åëîâåê ðàññìàòðèâàåò ðåøåíèÿ âñåõ äðóãèõ èçáèðàòåëåé è ðåçóëüòàòû ãîëîñîâàíèÿ â äðóãèõ
ãîñóäàðñòâàõ êàê ñëó÷àéíûå. (Äîïóñòèì, ÷òî ñâÿçè ìåæäó ãîñóäàðñòâàìè íåò.)
ñòð 57
3. Âûâåäèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ïîâåñòêè äíÿ "À ïðîòèâ Â, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ Ñ
"äëÿ çàêîíîäàòåëüíîãî îðãàíà èç òðåõ ëþäåé, â êîòîðîì çàêîíîäàòåëü 3 íàáëþäàåò
âûáîð 1-ãî, íî â êîòîðîì íè îäèí çàêîíîäàòåëü íå íàáëþäàåò íè çà êàêèìè äðóãèìè
âûáîðàìè.
4. Äîïóñòèì, èãðîêè 1 è 2 ïîñëåäîâàòåëüíî âûáèðàþò èç äâóõ âàðèàíòîâ õîäîâ
äâîè÷íûõ ðåøåíèé, ñíà÷àëà 1, çàòåì 2, çàòåì 1, çàòåì 2, è ò.ä, è ïðåäïîëîæèòå, ÷òî
âñå ðåøåíèÿ íàáëþäàþòñÿ îáîèìè ëþäüìè. Èçîáðàçèòå ìèíèìàëüíóþ ðàçâåðíóòóþ
äàëåêî èäóùóþ ôîðìó èãðû , êîòîðàÿ ïîçâîëèò Âàì ïðåäñòàâèòü ñèòóàöèþ, â êîòîðîé 1 èìååò ñîâåðøåííóþ ïàìÿòü, íî 2 ìîæåò âñïîìíèòü òîëüêî ñâîè ïîñëåäíèå
äâà øàãà è ïîñëåäíèé õîä 1-ãî.
34
5. Áþðîêðàò îòäåëà çàùèòû íàáëþäàåò çà äâóìÿ âçàèìîñâÿçàííûìè ïðîãðàììàìè X è Y. Ïðåâûøåíèå íåäàâíåé ñòîèìîñòè çàñòàâëÿåò åãî "õîðîíèòü"ýòè èçäåðæêè
ñ ó÷åòîì îäíîé èç ýòèõ ïðîãðàìì. Äâà àãåíòà èç âåäîìñòâà ó÷åòà ïðàâèòåëüñòâà,
çà êîòîðûì Âû íàáëþäàåòå, áóäóò â êîíöå ãîäà äåëàòü îáçîð åãî çàïèñåé. Êàæäûé
àãåíò ìîæåò áûòü íàçíà÷åí îòâåòñòâåííûì çà: (A) ðåâèçèþ çàïèñåé ïåðñîíàëà îáåèõ
ïðîãðàìì; (Â) ðåâèçèþ îïèñåé îáåèõ ïðîãðàìì; (Ñ) ðåâèçèþ ðàñõîäîâ ïîñòàâùèêîâ
÷àñòåé äëÿ îáåèõ ïðîãðàìì. Åñëè îäèí èç âàøèõ àãåíòîâ îáíàðóæèâàåò ïðåâûøåíèå, Âû ïîëó÷àåòå + 10, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, Âû ïîëó÷àåòå -10, â òî âðåìÿ êàê
ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëàòà äëÿ áþðîêðàòà - -10 è + 10. Âåðîÿòíîñòü, ÷òî èíäèâèäóàëüíûé ðåâèçîð îáíàðóæèò ïðåâûøåíèå, äàíà â öåíòðå åãî ðåâèçèè, è ïðîãðàììà,
â êîòîðîé ïðåâûøåíèå "ïîõîðîíåíî", ñëåäóþùàÿ:
X Y
A .5 .2
B .3 .6
C .1 .8
Äîïóñòèì, Âû ìîæåòå ðàñïðåäåëÿòü äâóõ ñâîèõ ðåâèçîðîâ, êàê Âàì óãîäíî è
÷òî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðåâèçîðû äåéñòâóåò íåçàâèñèìî, èçîáðàçèòå ýòó ñèòóàöèþ
â ðàçâåðíóòîé ôîðìå.
ñòð 58
7. Äîïóñòèì, òðîå ëþäåé (1, 2, è 3) äîëæíû âûáðàòü îäíîãî êàíäèäàòà èç ñïèñêà
A, Â, Ñ è D. Äîïóñòèì, âñå ëþäè íàáëþäàþò âñå ïðåäøåñòâóþùèå âûáîðû, âûâåäèòå
ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ïðîöåäóðû, â êîòîðîé ñíà÷àëà 1-ûé óäàëÿåò êàíäèäàòà, çàòåì
2, è çàòåì 3, è â êîòîðîé êàíäèäàò, êîòîðûé îñòàåòñÿ, èçáðàí.
8. Äîïóñòèì, ÷òî äî òîãî, êàê ñäåëàòü âûáîð, áðîñàåòñÿ æðåáèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç äâóõ ñëåäóþùèõ ñòðàòåãè÷åñêèõ ôîðì îïèñûâàåò âûèãðûøè Âàøè
è Âàøåãî ïðîòèâíèêà, (ïåðâûé íîìåð â êàæäîé ÿ÷åéêå îáîçíà÷àåò Âàø âûèãðûø
âûáîð èç ñòðîêè - â òî âðåìÿ êàê âòîðîé íîìåð îáîçíà÷àåò âûèãðûø Âàøåãî
ïðîòèâíèêà):
b1 b2
b1 b2
a1 9,5 1, -3
3,0 9, -2
a2 3,7 4,6
9,9 3,8
a. Äîïóñòèì, íèêòî íå íàáëþäàåò çà ðåçóëüòàòîì æðåáèÿ è Âû îáà äîëæíû âûáðàòü îäíîâðåìåííî, èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ñèòóàöèè.
b. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó, äîïóñêàþùóþ, ÷òî Âû ìîæåòå òàéíî çàïëàòèòü òðè äîëëàðà, ÷òîáû óçíàòü ðåçóëüòàò æðåáèÿ.
9. Èçîáðàçèòå ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ â ðàçâåðíóòîé ôîðìå: Âû èùåòå ñðåäè ìíîæåñòâà èñïîëüçóåìûõ ó÷åáíèêîâ êíèãó, êîòîðàÿ íàèáîëåå áëèçêî ñîîòâåòñòâóåò íîâîìó òåêñòó. Îäíàêî, Âû íå çíàåòå íè êàê âûãëÿäèò "íàèëó÷øèé "òåêñò, íè åãî
ñîñòîÿíèÿ, è ïîñêîëüêó âðåìÿ äîðîãî, Âû äóìàåòå, ÷òî íåáëàãîðàçóìíî ïëàíèðîâàòü ïðîñìîòðåòü âñþ ãðóäó ñ ñàìîãî íà÷àëà, ÷òîáû íàéòè íàèáîëåå ïîäõîäÿùóþ
êíèãó. Òàêèì îáðàçîì, Âû ïðîñìàòðèâàåòå êàæäóþ êíèãó îäèí ðàç, ïîêà íå íàõîäèòå òåêñò, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ "ïðèåìëåìûì". ×òîáû ñäåëàòü ýòó çàäà÷ó ðåøàåìîé,
35
äîïóñòèì, ÷òî åñòü òîëüêî òðè òåêñòà è ÷òî ãäå-òî îò íîëÿ äî òðåõ èç íèõ ÿâëÿþòñÿ
ïðèåìëåìûìè.
10. Äîïóñòèì, ÷òî öåííîñòü íåêîòîðîãî îáúåêòà = x1 + x2 , ãäå è x1 è x2 - ïðîèçâîëüíûå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Äîïóñòèì, îäèí
÷åëîâåê íàáëþäàåò x1 , íî íå x2 , â òî âðåìÿ êàê âòîðîé ÷åëîâåê íàáëþäàåò x2 , íî íå
x1 . Èçîáðàçèòå â ðàçâåðíóòîé ôîðìå àóêöèîí, â êîòîðîì ëþäè 1 è 2, ïîñëå íàáëþäåíèÿ çà x1 è x2 , ñîîòâåòñòâåííî, ïðåäëàãàþò öåíó 5 èëè 1.5 çà îáúåêò, ïðåäîñòàâëÿÿ
ñâîè ïðåäëîæåíèÿ íà ðàññìîòðåíèå â çàïå÷àòàííûõ êîíâåðòàõ. Äîïóñòèì, ÷òî ÷åëîâåê, ïðåäîñòàâëÿþùèé íà ðàññìîòðåíèå ñàìîå âûñîêîå ïðåäëîæåíèå, ïîëó÷àåò
îáúåêò, íî äîëæåí çàïëàòèòü öåíó, êîòîðóþ îí ïðåäëàãàë, è ó÷òèòå òàêæå, ÷òî â
ñëó÷àå ðàâåíñòâà ñòàâîê ïîáåäèòåëÿ îïðåäåëÿåò æðåáèé.
ñòð 59
11. Êîíãðåññìåí Ïîðê ïðåäñòàâëÿåò ðàéîí ñî çíà÷èòåëüíîé äîëåé ïðîìûøëåííîñòè ýëåêòðîíèêè, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ñòàäèè ðåçêîãî ýêîíîìè÷åñêîãî ñïàäà èççà èíîñòðàííîé êîíêóðåíöèè. Ñîîòâåòñòâåííî, îí ïðåäîñòàâëÿåò çàïðîñ íà ôåäåðàëüíóþ ñóáñèäèþ íà $100 ìèëëèàðäîâ äëÿ áûòîâîé ýëåêòðîíèêè, íî îí çíàåò, ÷òî
íåñêîëüêî ÷ëåíîâ êîìèòåòà âî ãëàâå ñ Êîíãðåññâóìàí Ïýì Ñîíèê ïðîòèâîñòîÿò åãî
çàïðîñó. Çàêîí áóäåò îáñóæäåí íà ñëåäóþùåé íåäåëå, è Ïîðê ìîæåò ïðåäëîæèòü
îäèí èç äâóõ àðãóìåíòîâ â ñâîþ ïîëüçó: (1) Ñîåäèíåííûå Øòàòû íóæäàþòñÿ â òåõíîëîãèè áûòîâîé ýëåêòðîíèêè äëÿ âîçìîæíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â âîåííûõ öåëÿõ, â
ýòîì ñëó÷àå $50 ìèëëèàðäîâ áûëè áû èñïîëüçîâàíû. Îäíàêî, åñëè Ñîíèê îæèäàåò ýòîò àðãóìåíò, îíà ìîæåò íàéòè ýêñïåðòîâ èçâíå, êîòîðûå çàñâèäåòåëüñòâóþò,
÷òî òàêàÿ òåõíîëîãèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò ïîòðåáíîñòÿì çàùèòû, îïðîâåðãàÿ àðãóìåíò
Ïîðêà è îòâåðãíóâ çàïðîñ. (2) Ïîðê ìîã áû ïîä÷åðêíóòü ðàáî÷èå ìåñòà, êîòîðûå
ôåäåðàëüíàÿ ñóáñèäèÿ îáåñïå÷èò â èçáèðàòåëüíûõ îêðóãàõ áîëüøèíñòâà ÷ëåíîâ êîìèòåòà.  ýòîì ñëó÷àå, îí ìîã áû ïîëó÷èòü $40 ìèëëèàðäîâ. Êîíòðàðãóìåíò Ñîíèê,
óïîìÿíóòûé âûøå, íå èìåë áû íèêàêîãî ýôôåêòà, íî Ïýì Ñîíèê ìîãëà áû îðãàíèçîâàòü àêöèþ ïðîòåñòà (ñîáðàòü ïîäïèñè) ïðîòèâ çàïðîñà.  ýòîì ñëó÷àå, êîìèòåò
ïîøåë áû íà êîìïðîìèññ íà $25 ìèëëèàðäîâ. Îäíàêî, àêöèÿ ïðîòåñòà íå èìåëà áû
íèêàêîãî ýôôåêòà, åñëè âîåííûé àðãóìåíò Ïîðêà áóäåò íåîñïîðèì, òàê êàê êîìèòåò
ïîíèìàåò, ÷òî äåíüãè íå èãðàþò ðîëè, êîãäà äåëî êàñàåòñÿ íàöèîíàëüíîé áåçîïàñíîñòè. Èçîáðàçèòå ýòó ñèòóàöèþ â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå, ïðèïèñûâàÿ ïðàâäîïîäîáíûå
âûèãðûøè (ïîëåçíîñòè) èñõîäîâ è äëÿ Ïîðêà, è äëÿ Ñîíèê.
12. ×òî êàñàåòñÿ çàêîíîäàòåëüíîãî ïðèìåðà ïîâûøåíèÿ ïëàòû â ðàçäåëå 1.6,
èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûå è ñòðàòåãè÷åñêèå ôîðìû äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâ:
a. Çàêîíîäàòåëü Ñ, à íå Â, íàáëþäàåò âûáîð A.
b. Çàêîíîäàòåëü Â, à íå Ñ, íàáëþäàåò âûáîð A.
ñ Çàêîíîäàòåëü Ñ, à íå A, íàáëþäàåò âûáîð B.
ñòð 90
1. Âû ÷ëåí êîìèòåòà èç òðåõ ÷åëîâåê, êîòîðûå äîëæíû âûáðàòü îäèí âàðèàíò
èç ñïèñêà (A,B,C,D). Äîïóñòèì, ó êîìèòåòà åñòü ñëåäóþùèå ïðåäïî÷òåíèÿ (óïîðÿäî÷åííûå îò ëó÷øèõ ê õóäøèì):
36
Âû:
A B C D
÷ëåí 2: D C A B
÷ëåí 3: C B D A
Êàêóþ èç ñëåäóþùèõ ïðîöåäóð Âû áû ïðåäïî÷ëè âèäåòü âûïîëíåííîé, åñëè Âû
ïîëàãàåòå, ÷òî äâà äðóãèõ ÷ëåíà êîìèòåòà áûëè õèòðû: (1) ïîâåñòêà äíÿ, êîòîðàÿ
ñíà÷àëà ñòàâèò  ïðîòèâ Ñ, ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ A, ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ D. (2) ïîâåñòêà
äíÿ, êîòîðàÿ ñíà÷àëà ñòàâèò Ñ ïðîòèâ A, ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ D, è ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ
Â; (3) ïîâåñòêà äíÿ, êîòîðàÿ ñíà÷àëà ñòàâèò  ïðîòèâ D, ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ Ñ,
ïîáåäèòåëÿ ïðîòèâ A; èëè (4), Âàì âñå ðàâíî, êòî âûáðàí.
ñòð 91
2. Äîïóñòèì, ïðåäïî÷òåíèÿ êîìèòåòà èç ïÿòè ÷ëåíîâ ñëåäóþùèå:
1 2 3 4 5
A B C C B
B C A A C
C A B B A
Êàêîâ áóäåò ðåçóëüòàò ïîâåñòêè äíÿ (A.B.C), åñëè òîëüêî èçáèðàòåëü 2 ñòðàòåãè÷åñêèé? Åñëè èçáèðàòåëü 2 ìîæåò îáó÷èòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî äðóãîãî ÷åëîâåêà
áûòü õèòðûì, êîãî äîëæåí îí îáó÷èòü, äîïóñòèâ, ÷òî èçáèðàòåëü 1 ñëèøêîì òóïîé,
÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî îò íåãî òðåáóåòñÿ?
3. Äîïóñòèì, áîëüøèíñòâî â çàêîíîäàòåëüíîì îðãàíå ïðåäïî÷èòàåò Â. Åñëè Âû
ïðîòèâîïîñòàâëåíû A, è åñëè çà À è  äîëæíû ïðîãîëîñîâàòü ñíà÷àëà, íåçàâèñèìî
îò ïîïðàâîê, è åñëè êàæäûé èçáèðàòåëü - õèòðûé, êàêîé âàðèàíò Âû áû ïðåäïî÷ëè
ïðåäñòàâëÿòü: Ñ èëè D? Ñ ñîçäàåò áîëüøèíñòâî öèêëîâ ïî ïðàâèëó "À ïðåäïî÷èòàåòñÿ Â, êîòîðûé ïðåäïî÷èòàåòñÿ Ñ, êîòîðûé ïðåäïî÷èòàåòñÿ À"â òî âðåìÿ êàê D
íàíîñèò ïîðàæåíèå è À, è Â. Âàøè ïðåäïî÷òåíèÿ: " ïðåäïî÷èòàåòñÿ D, êîòîðûé
ïðåäïî÷èòàåòñÿ Ñ, êîòîðûé ïðåäïî÷èòàåòñÿ A. "
4. Âû - ïîìîùíèê äåïóòàòà, ñîâåòóþùèé ãëàâå êîìèòåòà, êîòîðûé ñîáèðàåòñÿ
âûáðàòü ìåæäó âûäâèæåíèåì çàêîíîïðîåêòà À èëè Â èç êîìèòåòà. Åñëè À âûáðàí,
îí íàâåðíÿêà ïðîèãðàåò âàðèàíòó ñòàòóñ êâî Q, åñëè Â âûáðàí, îí áóäåò ðåäàêòèðîâàòüñÿ â õîäå ãîëîñîâàíèÿ (âîçíèêíåò âàðèàíò Ñ), è Âû ñìîæåòå ïðåäëîæèòü
àëüòåðàíòèâó D. Äîïóñòèì, îñòàâøèåñÿ ÷ëåíû çàêîíîäàòåëüíîãî îðãàíà ïîäåëÿòñÿ
íà òðè îäèíàêîâûå ãðóïïû ñî ñëåäóþùèìè ïðåäïî÷òåíèÿìè:
ãðóïïà 1: B D A C Q
ãðóïïà 2: C Q A D B
ãðóïïà 3: Q B C A D
Âû - ÷ëåí âòîðîé ãðóïïû. Äîïóñòèì, çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí ãîëîñóåò, èñïîëüçóÿ
ñëåäóþùóþ ïîâåñòêó äíÿ: "çàìåíèòåëü ïðîòèâ ïîïðàâêè, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ çàêîíà,
ïîáåäèòåëü ïðîòèâ ñòàòóñà êâî."Âû óâåðåííû, ÷òî ïðè ñëîæèâøåìñÿ ïîëîæåíèè
äåë, êàæäûé, êðîìå Âàñ, ïðîãîëîñóåò èñêðåííå. Äîïóñòèì, ÷òî äîëëàðîâîå çíà÷åíèå
äëÿ Âàñ êàæäîãî âàðèàíòà: Ñ = $2,000, Q = $1,500, À=- $500, D = $0, è Â = -$3,000.
Êàêîâà âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñóììû, êîòîðóþ Âû æåëàëè áû çàëàòèòü, ÷òîáû èìåòü
êîãî-òî äëÿ îáó÷åíèÿ çàêîíîäàòåëüíîãî îðãàíà, ÷òîáû Âû, êàê è âñå, ãîëîñîâàëè
èçîùðåííî?
ñòð 92
37
5. Çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí èç òðåõ ÷ëåíîâ ðàññìàòðèâàåò ÷åòûðå âàðèàíòà, ãäå
êàæäûé âàðèàíò âîçäåéñòâóåò íà êîëè÷åñòâî äåíåã, ñîáèðàþùèõñÿ â ðàéîíå çàêîíîäàòåëÿ. Ïóñòü âûèãðûøè (â òûñÿ÷àõ) êàæäîãî ðàéîíà ïî êàæäîìó âàðèàíòó áóäóò
òàêîâû:
ðàéîí1 ðàéîí2 ðàéîí3
A(ñòàòóñ êâî)
300
0
-400
B(çàêîí êîìèññèè)
500
-600
0
C(âîçìîæíî ðåäàêòèðóåìûé) 0
800
-900
D(âîçìîæíî ðåäàêòèðóåìûé) -900
400
450
Âàðèàíòû À è Â âûäâèíóòû êàê ïðåäëîæåíèÿ, è Âû äîëæíû ðåøèòü, ïðåäëîæèòü ëè ðåäàêòèðóåìûé çàêîí. Åñëè Âû ïðåäëàãàåòå Ñ - ïîâåñòêà äíÿ áóäåò Ñ
ïðîòèâ Â, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ A; åñëè Âû ïðåäëàãàåòå D - ïîâåñòêà äíÿ áóäåò D
ïðîòèâ Â, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ A. D è Ñ òàêæå ïðåäëîæåíû, ïîâåñòêà äíÿ áóäåò - D
ïðîòèâ Ñ, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ Â, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ A.
a. Äîïóñòèì, Âû - ïðåäñòàâèòåëü ðàéîíà 2. Êàêóþ èç ïîïðàâîê äîëæíû Âû ïðåäëîæèòü, $800 000 - êîòîðóþ çàïëàòèò Âàø ðàéîí èëè $400 000, êîòîðóþ çàïëàòèò
D?
b. Äîïóñòèì, Âû - ïðåäñåäàòåëü (è äèêòàòîð) ðåëåâàíòíîé çàêîíîäàòåëüíîé ïîäêîìèññèè, è Âû ìîæåòå îòïðàâèòü îò ñâîåé ïîäêîìèññèè Â, Ñ èëè D êàê çàêîí,
êîòîðûé çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí äîëæåí ðàññìîòðåòü. Íî Âû òàêæå óâåðåíû, ÷òî
ëþáûå âàðèàíòû, â êîòîðûõ Âû ïîòåðïèòå íåóäà÷ó, áóäóò ïðåäñòàâëåíû â ñîáðàíèè
êàê ïîïðàâêè. Òàêèì îáðàçîì,
Åñëè Âû îòïðàâëÿåòå Â, ïîâåñòêà äíÿ áóäåò "Ñ ïðîòèâ D, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ Â,
ïîáåäèòåëü ïðîòèâ À".
Åñëè Âû îòïðàâëÿåòå Ñ, ïîâåñòêà äíÿ áóäåò - "Â ïðîòèâ D, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ
Ñ, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ A. "
Åñëè Âû îòïðàâëÿåòå D, ïîâåñòêà äíÿ áóäåò - "Ñ ïðîòèâ Â, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ
D, ïîáåäèòåëü ïðîòèâ A. "
×òî áû Âû âûáðàëè êàê ñâîé çàêîí, åñëè áû Âû áûëè ïðåäñòàâèòåëåì èç ðàéîíà
2?
ñ. Ó÷èòûâàÿ ÷àñòü (b), åñëè ïîäêîìèññèåé èñïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî áîëüøèíñòâà,
÷òîáû âûáðàòü ê äîêëàäó Â, Ñ èëè D, ÷òî ïîëó÷èòñÿ?
ñòð 93
6. Âû - èãðîê 1, è Âàø ïðîòèâíèê - èãðîê 2, èìååòå ïî òðè ëîøàäè. Ïóñòü ñêîðîñòè âàøèõ ëîøàäåé áóäóò îáîçíà÷åíû a1 , a2 , è 3 , è ïóñòü ñêîðîñòè ëîøàäåé âàøåãî
ïðîòèâíèêà áóäóòb1 , b2 è b3 . Ïóñòü èõ ñêîðîñòè áóäóò ñëåäóþùèìè: b1 > a1 > b2 >
2 > b3 > 3 . Ïóñòü òðè ãîíêè äîëæíû ïðîéòè ïîñëåäîâàòåëüíî, è êàæäûé èç Âàñ
äîëæåí ðåøèòü, êàêóþ ëîøàäü ââåñòè â êàæäóþ ãîíêó (íè îäíà ëîøàäü íå ìîæåò
ó÷àñòâîâàòü â ãîíêàõ äâàæäû). Õîòÿ Âàì ïîçâîëÿþò ðåøèòü, êàêóþ ëîøàäü ââîäèòü
ïîñëå òîãî, êàê ïðåäûäóùàÿ ãîíêà çàêîí÷åíà. Âû è èãðîê 2 äîëæíû îäíîâðåìåííî âûáðàòü ëîøàäü äëÿ ïåðâîé ãîíêè, íî Âàø ïðîòèâíèê âûáèðàåò ïåðâûì (è Âû
íàáëþäàåòå ýòîò âûáîð) äëÿ âòîðîé ãîíêè. ×åëîâåê, êîòîðûé âûèãðûâàåò äâå èëè
áîëüøå ãîíêè, âûèãðûâàåò äîëþ êàïèòàëà â ïðåäïðèÿòèè $1000. Îäíàêî, òàê êàê
çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî Âàøè ëîøàäè â ñðåäíåì ìåäëåííåå, Âàì ïëàòÿò $250, ÷òîáû
38
Âû ó÷àñòâîâàëè. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ñèòóàöèè è âûâåäèòå ðàâíîâåñíóþ
ñòðàòåãèþ . Ñóùåñòâóåò ëè îäíîçíà÷íûé êîíå÷íûé ðåçóëüòàò?
Ñòðàíèöà 133
7. Âûâåäèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëåäóþùåìó îïèñàíèþ, è
íàéäèòå ðàâíîâåñíûå còðàòåãèè: "Åñòü äâà ÷åðíûõ ÿùèêà. Èãðîê 1 ïðÿ÷åò æåì÷óã
â îäíîì èç íèõ: çàòåì Èãðîê 2, íå çíàÿ, â êàêîì ÿùèêå íàõîäèòñÿ æåì÷óã, ñìîòðèò
â îäíîì èç íèõ. Åñëè æåì÷óã íàõîäèòñÿ â ÿùèêå 1, è îí ñìîòðèò òàì, îí âèäèò ýòî ñ
ïîëîâèííîé âåðîÿòíîñòüþ. Åñëè æåì÷óã íàõîäèòñÿ â ÿùèêå 2, è îí ñìîòðèò òóäà, îí
âèäèò ýòî ñ ïîëîâèííîé âåðîÿòíîñòüþ. Åñëè îí ñìîòðèò â íåïðàâèëüíîì ÿùèêå, îí
íå âèäèò íè÷åãî (è äàæå íå ñîîáùàåòñÿ, ÷òî ÿùèê ïóñòîé). Âûèãðûø - ïÿòü èãðîêó
2 è ìèíóñ ïÿòü èãðîêó 1, åñëè 2 íàõîäèò æåì÷óã; èíà÷å íåò íèêàêîãî âûèãðûøà.
8. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùèé ñöåíàðèé: Èãðîê À èìååò $7,200, èãðîê Â èìååò
$5,000, è èãðîê Ñ èìååò $3,601. Ó íèõ åñòü âîçìîæíîñòü ñäåëàòü ñòàâêó îäèí ðàç,
îñòàâàÿñü â èãðå. Äîïóñòèì, íåò ïðåèìóùåñòâ áûòü âòîðûì ïðîòèâ òðåòüåãî, è èãðîê ñ íàèáîëüøåé ñóììîé äåíåã âûèãðûâàåò, è ñóììà äåíåã âûäàåòñÿ íàëè÷íûìè.
Êàæäûé èãðîê äîëæåí ðåøèòü, ñòàâèòü ëè åìó âñå èëè íè÷åãî. Äî ñòàâîê (êîòîðûå
îíè äîëæíû ñäåëàòü îäíîâðåìåííî), áðîñàþò æðåáèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàêîå "ñîñòîÿíèå ìèðà"ïðîèçîéäåò: â ñîñòîÿíèè 1 - À è Â âûèãðûâàþò, íî Ñ ïðîèãðûâàåò;
â ñîñòîÿíèè 2 - À ïðîèãðûâàåò, íî âûèãðûâàåò Ñ. Äîïóñòèì, èãðîê ñòàâèò "âñå"è
âûèãðûâàåò, åãî áëàãîñîñòîÿíèå óäâîåíî. Åñëè îí ïðîèãðûâàåò, åãî áëàãîñîñòîÿíèå íîëü. Åñëè èãðîê íå äåëàåò ñòàâîê, åãî áëàãîñîñòîÿíèå íå èçìåíÿåòñÿ. Èãðîê ñ íàèáîëüøèì áëàãîñîñòîÿíèåì âûèãðûâàåò â êîíöå èãðû. Âûâåäèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó
ýòîé ñèòóàöèè è ïîêàæèòå, ÷òî êàæäûé èãðîê äåëàåò â ðàâíîâåñèè.
9. "Êîò"è "ìûøü"êàæäûé ñòàðòóþò â ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëàõ ïðîñòîãî ëàáèðèíòà, ïîêàçàííîãî íèæå. Îáîèì æèâîòíûì òðåáóåòñÿ ïÿòü ñåêóíä äëÿ òîãî, ÷òîáû
ïåðåñå÷ü îäèí ñåãìåíò, íî ïðîõîäû äîñòàòî÷íî óçêè, è íè îäíî æèâîòíîå íå ìîæåò
ðàçâåðíóòüñÿ â ëàáèðèíòå. Åñëè êîò ñúåäàåò ìûøü, åãî âûèãðûø - +1, à ìûøè - -1;
è íàîáîðîò. Ïîñëå äâàäöàòè ñåêóíä ìûøü, åñëè æèâà, áóäåò ñïàñåíà èç ëàáèðèíòà.
a. Äîïóñòèì, ñòðàòåãèÿ - ýòî öåëüíûé ïëàí, îòíîñèòåëüíî òîãî, êóäà ïîâîðà÷èâàòü (íàëåâî, íàïðàâî, ïðÿìî âïåðåä) â êàæäîì ñòå÷åíèè îáñòîÿòåëüñòâ â ëàáèðèíòå, îáëàäàåò ëè ýòà èãðà ðàâíîâåñèåì â ÷èñòûõ còðàòåãèÿõ, äîïóñêàÿ, ÷òî íè êîò,
íè ìûøü íå ìîãóò âèäåòü äðóãîãî, ïåðåñåêàþùåãî ëàáèðèíò (ïîêà êîíå÷íî, åùå íå
"ñëèøêîì ïîçäíî")?
b. Èçìåíèòñÿ ëè Âàø îòâåò, åñëè ìûøü áóäåò ñïàñåíà òîëüêî ïîñëå òðèäöàòè
ñåêóíä?
ñ. Èçìåíèòñÿ ëè Âàø îòâåò íà ÷àñòü (a), åñëè è êîò è ìûøü ìîãóò íàáëþäàòü,
÷òî äåëàåò äðóãîé êàæäûå 5 ñåêóíä? Åñëè äà, òî êàê è ïî÷åìó?
êîò
ìûøü
ñòð 134
10. Äî òîãî êàê íà÷àòü èãðó, áðîñàåòñÿ æðåáèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, â êàêóþ èç
39
ñëåäóþùèõ äâóõ èãð áóäóò èãðàòü:
9,5 1,-3
3,0 9,-2
3,7 4,6
9,9 3,8
Åñëè íè îäèí èç èãðîêîâ íå çíàåò ðåçóëüòàòà æðåáèÿ, ñêîëüêî õîòåë áû 1 (Ìèñòåð
Ñòðîêà) çàïëàòèòü, ÷òîáû óçíàòü ðåçóëüòàò æðåáèÿ ( ó÷òèòå, ÷òî âñÿ âûèãðàííûå
èãðû - â òåðìèíàõ äîëëàðîâ è ÷òî ïîëåçíîñòü è äåíüãè ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè)
è êàêàÿ öåíà çà ýòó èíôîðìàöèþ áóäåò áåçðàçëè÷íà äëÿ 2?
11. Âû - ÷ëåí êîìèòåòà, êîòîðûé äîëæåí âûáðàòü ìåæäó À è Â. Ñåé÷àñ ïîëîæåíèå äåë òàêîâî, ÷òî  íàíîñèò ïîðàæåíèå A, íî Âû íåíàâèäèòå Â, ïîýòîìó Âû
ïðåäëàãàåòå àëüòåðíàòèâó, Ñ, êîòîðûé áóäåò ãîëîñîâàòü ïðîòèâ Â, çàòåì ïîáåäèòåëü
áóäåò âûñòàâëåí ïðîòèâ A. Âû íàäååòåñü, ÷òî Ñ ïîáåäèò Â, íî ïðîèãðàåò A. Õîòÿ
ðåçóëüòàò çàâèñèò îò Âàøèõ àðãóìåíòîâ çà Ñ è àðãóìåíòîâ Âàøåãî ïðîòèâíèêà. Ñîöèàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå áóäåò îïðåäåëåíî ýòèìè àðãóìåíòàìè. Âàøå ïðåäïî÷òåíèå A> Ñ > Â, è ïðåäïî÷òåíèå Âàøåãî ïðîòèâíèêà -  > Ñ > À. Âû (Ìèñòåð Ñòðîêà)
è Âàø ïðîòèâíèê (Ìèñòåð Ñòîëáåö) êàæäûé èìååòå ïî äâà àëüòåðíàòèâíûõ àðãóìåíòà, è îíè âûäàþò ñëåäóþùèé ïðîôèëü ïðåäïî÷òåíèé ïî ïðàâèëó áîëüøèíñòâà:
Àðãóìåíò1
Àðãóìåíò2
Àðãóìåíò1 B > C > A (ïåðåõîäíûé) C > A > B > C (êðóã)
Àðãóìåíò2 C > B > A > C (êðóã)
C > B > A (ïåðåõîäíûé)
Åñëè Âû äîëæíû âûáðàòü êàæäûé àðãóìåíò, íå çíàÿ ÷òî âûáåðåò Âàø ïðîòèâíèê, è åñëè êàæäûé õèòåð, êàêîé ðåçóëüòàò âîçîáëàäàåò?
ñòð 135
12. Äîïóñòèì, äâà ïîëèòè÷åñêèõ êàíäèäàòà èìåþò ïî äâå còðàòåãèè, êàê ïîêàçàíî â òàáëèöå íèæå, è äîïóñòèì, ÷òî êàíäèäàò 1 ïîëó÷àåò ñïåöèôè÷åñêèé ýëåêòîðàò îò ÷åòûðåõ âîçìîæíûõ îáúåäèíåííûõ âûáîðîâ ñòðàòåãèé, êàê îáîçíà÷åíî. Åñëè
öåëü îáîèõ êàíäèäàòîâ ìàêñèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòü ñâîåé ïîáåäû íà âûáîðàõ, êàêîå áóäåò, åñëè ýòî âîîáùå âîçìîæíî, ðàâíîâåñèå â ýòîé èãðå? Êàê ýòî ðàâíîâåñèå
èçìåíèòñÿ, åñëè îáà êàíäèäàòà ïûòàþòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîè îæèäàåìûå ýëåêòîðàòû?
p (0) = 5/8
p (8) = 1/2
p (400) = 1/8
p (0) = 1/8
p (800) = 2/8
p(-80) = 3/8
p (-400) = 1/2
p (400) = 1/2
p (0) = 3/4
p (-75) = 1/8
p (-125) = 1/8
13. ×òî êàñàåòñÿ íàøåãî îáñóæäåíèÿ Ðèñóíêà 3.10 ??? è ïîñðåäíè÷åñòâà, ïîêàæèòå, ÷òî åñëè îáà èãðîêà ïîëíîñòüþ èíôîðìèðîâàíû îòíîñèòåëüíî ñîâåòà ïîñðåäíèêà, äàííîãî äðóãîìó èãðîêó, òî ðîëü ïîñðåäíèêà, êàê êîîðäèíàòîðà ñòðàòåãèè,
èñ÷åçàåò.
14. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùóþ ëîæíóþ "òåîðåìó"è íàéäèòå êîíòðïðèìåðû ñ íóëåâîé è íåíóëåâîé ñóììîé. "Åñëè â èãðå ñ äâóìÿ èãðîêàìè íåò íèêàêîãî ðàâíîâåñèÿ â
÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ, â íåé åñòü åäèíñòâåííîå ðàâíîâåñèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ."
15. Èãðîêè 1 è 2, äåéñòâóÿ îäíîâðåìåííî, äîëæíû îáà ñíà÷àëà âûáðàòü, èãðàòü
40
ëè L èëè R, åñëè îíè îáà èãðàþò L, òî çàòåì îíè èãðàþò èãðó À (ñì. íèæå)
(âñå âûèãðûøè äàþòñÿ â äîëëàðàõ); â äðóãîì ñëó÷àå, áðîñàåòñÿ æðåáèé, ÷òîáû
îïðåäåëèòü, èãðàòü ëè â èãðó Â èëè Ñ. (Ðåçóëüòàò æðåáèÿ ïîêàçûâàåòñÿ ñðàçó.) Äî
òîãî, êàê îíè ñäåëàþò âûáîð, èãðîê 1 (Ìèñòåð Ñòðîêà) ìîæåò ïðåäëîæèòü 2 ëþáûõ
ñóììû äåíåã çà ïðàâî ñäåëàòü åùå îäèí âûáîð èç R èëè L. Îïðåäåëèòå, êàêóþ ñóììó,
åñëè âîîáùå õîòü êàêóþ-òî, èãðîê 1 äîëæåí ïðåäëîæèòü 2, òàêæå êàê öåíó èãðû
èãðîêàì 1 è 2.
0,4 0,2
1,3 2,1
1,4 6,1
4,2 1,1
4,3 3,2
5,1 0,4
A
B
C
ñòð 136
16. Ïîìíèòå èãðó èç íà÷àëüíîé øêîëû, êîòîðàÿ íàçûâàëàñü "áðîñèòü íà ïàëüöàõ"? Îäèí èç èãðîêîâ âûèãðûâàåò ïðè "÷åòíîì", à äðóãîé - ïðè "íå÷åòíîì". Íà
ñ÷åò "òðè"êàæäûé èç íèõ îäíîâðåìåííî âûáðàñûâàåò â âîçäóõ îäèí èëè äâà ïàëüöà.
Åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ïàëüöåâ ÷åòíî, òî "÷åòíûé"âûèãðûâàåò, â òî âðåìÿ êàê åñëè ñóììà íå÷åòíà, òî âûèãðûâàåò "íå÷åòíûé". Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî âûèãðûø ïëþñ
îäèí äëÿ ïîáåäèòåëÿ è ìèíóñ îäèí äëÿ ïðîèãðàâøåãî.
a. Ïîêàæèòå ðàçâåðíóòóþ è ñòðàòåãè÷åñêóþ ôîðìû äëÿ ýòîé èãðû.
b. Ïîêàæèòå, ÷òî ýòà èãðà íå èìååò íèêàêîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè.
ñ. Äîêàæèòå, ÷òî â ðàâíîâåñèè îáÿçàòåëüíî "äåéñòâîâàòü ñëó÷àéíî".
d. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî ïðàâèëà èãðû èçìåíåíû òàê, ÷òîáû íà ñ÷åò òðè ÷åëîâåê
åùå ìîã êîëåáàòüñÿ. Åñëè îáà êîëåáëþòñÿ, êàæäûé ïîëó÷àåò âûèãðûø 2, â òî âðåìÿ
êàê, åñëè êîëåáëåòñÿ òîëüêî îäèí, òîò èãðîê ïðîèãðûâàåò 1, à ïðîòèâíèê ïîëó÷àåò
0. Êàêèì áóäåò ðåçóëüòàò?
ñòð. 137
17. Ðàññìîòðèòå äâå ñëåäóþùèå èãðû:
10,4 4,0
14,14 4,16
8,2
8,6
10,2
0,20
a. Åñëè áðîñàåòñÿ æðåáèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, â êàêóþ èç èãð áóäóò èãðàòü, êàêîâî áóäåò ðàâíîâåñèå Íýøà â ñèòóàöèè, ãäå íè îäèí èç èãðîêîâ íå çíàåò ðåçóëüòàòà
áðîñàíèÿ æðåáèÿ, è èãðîêè âûáèðàþò ñâîè còðàòåãèè îäíîâðåìåííî?
b. Ñîçäàéòå ñèòóàöèþ (a) â ðàçâåðíóòîé ôîðìå.
ñ. Åñëè â ñèòóàöèè (a) îäèí èç èãðîêîâ ìîæåò çàïëàòèòü òîìó, êòî áðîñàåò æðåáèé (áðîñàþùèé æðåáèé íå ó÷àñòâóåò â èãðå), ÷òîáû îòêðûòü ðåçóëüòàò æðåáèÿ
îáîèì èãðîêàì ïðåæäå, ÷åì îíè âûáåðóò ñâîè còðàòåãèè, êàêîé èãðîê (ñòðî÷íûé
èëè ñòîëáöîâûé) áóäåò áîëüøå õîòåòü çàïëàòèòü çà ýòó èíôîðìàöèþ?
d. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî âìåñòî æðåáèÿ è îäíîâðåìåííûõ øàãîâ îäíîìó èç èãðîêîâ
ïîçâîëÿåòñÿ âûáðàòü èãðó, â êîòîðóþ áóäóò èãðàòü, è ÷òî ïîñëå ðàñêðûòèÿ æðåáèÿ
äðóãîìó èãðîêó, èãðîêè âûáèðàþò ñâîè còðàòåãèè ïîñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûì Ìèñòåð
Ñòîëáåö, çàòåì Ìèñòåð Ñòðîêà. Íàéäèòå ðàâíîâåñèå Íýøà äëÿ ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ
èãð, êîòîðûå ýòè óñëîâèÿ äîïóñêàþò:
i. Ìèñòåð Ñòðîêà âûáèðàåò èãðó è õîäèò ïåðâûì.
ii. Ìèñòåð Ñòðîêà âûáèðàåò èãðó, è Ìèñòåð Ñòîëáåö õîäèò ïåðâûì.
iii. Ìèñòåð Ñòîëáåö âûáèðàåò èãðó, è Ìèñòåð Ñòðîêà õîäèò ïåðâûì.
41
iv. Ìèñòåð Ñòîëáåö âûáèðàåò èãðó è õîäèò ïåðâûì.
18. Â èãðå ñ äâóìÿ èãðîêàìè ñëåäóþùèå ïàðû äåéñòâèé âåäóò ê ñëåäóþùèì
ðåçóëüòàòàì:
( Èãðîê 1 Äåéñòâèå, Èãðîê 2 Äåéñòâèå) →(Ïîëåçíîñòü 1, 2 Ïîëåçíîñòü)
(L,L)
(3,6)
(R,R)
(1,5)
(C,C)
(6,8)
(L,R)
(9,6)
(R,L)
(9,9)
(L,C)
(6,1)
(C,L)
(2,2)
(R,C)
(4,4)
(C,R)
(4,3)
a. Êàêîâ ðåçóëüòàò ýòîé èãðû, åñëè 1 õîäèò ïåðâûì, è 2 âèäèò åãî õîä, à çàòåì
äåëàåò ñâîé õîä?
b. Êàêîâ ðåçóëüòàò, åñëè 2 õîäèò ïåðâûì, è 1 âèäèò åãî õîä, à çàòåì äåëàåò ñâîé
õîä?
ñ. Êàêîâ ðåçóëüòàò, åñëè êàæäûé èãðîê äîëæåí ñäåëàòü õîä ïðåæäå, ÷åì îí óçíàåò õîä äðóãîãî èãðîêà?
ñòð 190
1. Äîïóñòèì, äâà êàíäèäàòà â ïðåçèäåíòû, êîòîðûå ìàêñèìèçèðóþò ñâîþ âîçìîæíîñòü ïîáåäû íà âûáîðàõ, äîëæíû ðåøèòü, êàê ðàñïðåäåëèòü òðè äíÿ ìåæäó
øåñòüþ øòàòàìè. Òîò, êòî ïîñâÿùàåò øòàòó áîëüøå âñåãî âðåìåíè, çàâîåâûâàåò
ïîääåðæêó ýòîãî øòàòà, à òîò, êòî ïîëó÷àåò áîëüøå âñåãî ãîëîñîâ ïîáåæäàåò íà
âûáîðàõ.
Êîëè÷åñòâî ãîëîñîâ ó øòàòîâ ñëåäóþùåå: 27, 27, 24, 18, 2 è 2. Ó÷òèòå, ÷òî âñå
ñèòóàöèè ðàâåíñòâà ãîëîñîâ ðàçðåøàþòñÿ æðåáèåì, è ÷òî òðàíñïîðò íå ïîçâîëÿåò
ïîäåëèòü äåíü ìåæäó äâóìÿ øòàòàìè.
a. Èìååò ëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ èãðà âûáîðîâ ñ äâóìÿ êàíäèäàòàìè ðàâíîâåñèå
Íýøà â ÷èñòûõ còðàòåãèÿõ?
b. Èçìåíèòñÿ ëè Âàø îòâåò, åñëè òðè ñàìûõ áîëüøèõ øòàòà èìåþò îäèíàêîâûé
èçáèðàòåëüíûé âåñ?
ñ. Èçìåíèòñÿ ëè Âàø îòâåò íà ÷àñòü (a), åñëè äíè ìîæíî ïîäåëèòü ìåæäó øòàòàìè?
d. Èçìåíèòñÿ ëè Âàø îòâåò íà ÷àñòü (a), åñëè êàíäèäàòû èìåþò ÷åòûðå äíÿ äëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ?
e. Êàê Âû äóìàåòå, êàêóþ äîëþ âðåìåíè ïîëó÷èëè áû ñàìûå ìàëåíüêèå øòàòû
ïðè ðàçëè÷íûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, îïèñàííûõ âûøå? Ïî÷åìó?
f. Êàê èçìåíÿòñÿ Âàøè îòâåòû íà (a-e), åñëè êàíäèäàòû ìàêñèìèçèðóþò îæèäàåìûå ýëåêòîðàòû ?
2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî øåñòü èçáèðàòåëåé: 1, 2, 3, 4, 5 è 6, îçàáî÷åíûå îäíîé è òîé
æå ïðîáëåìîé, èìåþò íàèáîëåå ïðåäïî÷èòàåìûå âàðèàíòû, óïîðÿäî÷åííûå òàêæå
êàê èõ íîìåðà-ìåòêè (òî åñòü, 1 áîëüøå âñåãî ïðåäïî÷èòàåò ñàìóþ ëåâóþ ïîçèöèþ,
à 6 - ñàìóþ ïðàâóþ), è ó êîòîðûõ åñòü îäíîïèêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ ïî ýòîé ïðîáëåìå.
42
Òàêæå, ïðåäïîëîæèòå, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ âçâåøåííîå ãîëîñîâàíèå, è ÷òî èçáèðàòåëü
i èìååò i ãîëîñîâ. Åñëè äâà ìàêñèìèçèðóþùèõ ýëåêòîðàòà êàíäèäàòà ìîãóò ïðèíÿòü ëþáóþ èç øåñòè ïîçèöèé ïî ïðîáëåìå êàê ñâîþ èçáèðàòåëüíóþ ïëàòôîðìó è
åñëè âñå óñëîâèÿ äëÿ Òåîðåìû Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ óäîâëåòâîðåíû, èäåàëüíóþ
îòìåòêó êàêîãî èçáèðàòåëÿ ïðèìóò îíè êàê ñâîþ èçáèðàòåëüíóþ ïëàòôîðìó?
3. Â äîïîëíåíèå ê âûáîðó ñòðàòåãèè íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé ïðåäïîëîæèòå,
÷òî êàíäèäàòû ìîãóò òàêæå ïðîáîâàòü ìàñêèðîâàòü ñâîè ïîçèöèè, ïðåäñòàâëÿÿ ñåáÿ â âèäå ëîòåðåè - êàê ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íà äîïóñòèìîì ïðîñòðàíñòâå
ñòðàòåãèé. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî äâà ïàðàìåòðà - ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ - õàðàêòåðèçóþò ñòðàòåãèþ êàíäèäàòà (êîãäà ýòà ñòðàòåãèÿ ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ), è ÷òî ïîëåçíîñòü èçáèðàòåëÿ i äëÿ ïîçèöèè áóäåò ðàâíà
ui (x) = −(xi − x)2 . Îïèøèòå ðàâíîâåñèå âûáîðà ñ äâóìÿ êàíäèäàòàìè, åñëè ïðèìåíÿþòñÿ âñå äðóãèå óñëîâèÿ Òåîðåìû Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ.
4. Ïðèìåíèòå Òåîðåìó Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ, ÷òîáû ðåøèòü ñëåäóþùèå âîïðîñû, èñïîëüçóÿ ýòè äàííûå:
ñòð.191
ãîëîñóþùèé èäåàëüíàÿ òî÷êà êàíäèäàò îáåùàííîå ìàòü
A
1
???
3
A
B
2
5
B
C
3
7
C
D
4
9
D
E
5
9
E
F
7
G
9
H
11
J
13
à. Äîïóñòèì, Âàì íðàâèòñÿ ïîáåæäàòü è òîëüêî îäèí èç êàíäèäàòîâ, ïåðå÷èñëåííûõ âûøå, êîíêóðèðóåò ñ Âàìè, êåì èç âûøåóïîìÿíóòûõ êàíäèäàòîâ Âû áû õîòåëè
áûòü?
b. Ïðåäïîëîæèì, ïÿòü èçáèðàòåëåé - ôàêòè÷åñêè ìàòåðè êàíäèäàòîâ, êîòîðûå,
åñëè åñòü âîçìîæíîñòü, ãîëîñóþò çà ñâîèõ äåòåé, íåçàâèñèìî îò òîãî, êàê ýòî âëèÿåò íà èõ ïîëåçíîñòè. Êðîìå ýòîãî èñêëþ÷åíèÿ, äîïóñòèì, âñå óñëîâèÿ Òåîðåìû
Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ ñîáëþäàþòñÿ. Åñëè ó÷åñòü âûøåóïîìÿíóòûå ìàòåðèíñêèå
îòíîøåíèÿ, êàê èçìåíèòñÿ Âàø îòâåò?
5. Ðàññìîòðèòå èçáèðàòåëüíûé îêðóã èç äâàäöàòè ïÿòè èçáèðàòåëåé, êîòîðûé
ðàñïðåäåëåí ïî ïÿòè ðàéîíàì (A, B, C, D, E). Â êàæäîì ðàéîíå æèâóò ïî ïÿòü
èçáèðàòåëåé, è êàæäûé èçáèðàòåëü èäåíòèôèöèðîâàí åãî ðàéîíîì (íàïðèìåð, êàæäûé à æèâåò â A) è åãî èäåàëüíîé îòìåòêîé íà ñòðàòåãèè X = [1,9]. Ïðåäïîëîæèòå,
÷òî èäåàëüíûå òî÷êè èçáèðàòåëåé ñëåäóþùèå:
x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8 x=9
b
b
b
a
a
a
a
a
d
e
c
c
b
b
c
c
d
d
e
c
e
d
d
e
e
43
192
Ó âñåõ èçáèðàòåëåé åñòü îäíîïèêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ. Èçáèðàòåëüíûé îêðóã âûáèðàåò ñòðàòåãèþ íà X, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó: ñíà÷àëà, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî áîëüøèíñòâà, èçáèðàòåëè âíóòðè êàæäîãî ðàéîíà âûáèðàþò çàêîíîäàòåëÿ èç
äâóõ âîçìîæíûõ êàíäèäàòîâ, ãäå ýòè êàíäèäàòû êîíêóðèðóþò, âûáèðàÿ ïîçèöèè íà
X. Ïîòîì ïÿòü çàêîíîäàòåëåé, âûáðàííûå â ïÿòè îêðóãàõ, âûíóæäåíû ãîëîñîâàòü
çà ñòðàòåãèþ, êîòîðóþ îíè çàùèùàëè ïðè èçáðàíèè è ïðåäëàãàòü åå çàêîíîäàòåëüíîìó îðãàíó, ãäå îíè âñòðå÷àþòñÿ è äîëæíû ðåøèòü ïðàâèëîì áîëüøèíñòâà, êàêîâà
áóäåò îáùåñòâåííàÿ ïîëèòèêà.
a. Ñêàæèòå, êàêàÿ ñòðàòåãèÿ áóäåò âûáðàíà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âñå çàêîíîäàòåëè
ÿâëÿþòñÿ õèòðûìè è âûáèðàþò ïîâåñòêó äíÿ èç íàáîðà âîçìîæíûõ äâîè÷íûõ ïîâåñòîê, è îáúÿñíèòå ïî÷åìó.
b. Êàê Âàø îòâåò íà (a) èçìåíèòñÿ, åñëè øòàòû À è D è èçáèðàòåëè â íèõ
èñêëþ÷åíû?
c. Êàê Âàø îòâåò íà (a) èçìåíèòñÿ, åñëè øòàòû Ñ è E è èçáèðàòåëè â íèõ èñêëþ÷åíû?
6. Ðàññìîòðèòå èçáèðàòåëüíûé îêðóã èç äåâÿòè èçáèðàòåëåé, â êîòîðîì èäåàëüíàÿ òî÷êà èçáèðàòåëÿiïî ïðîáëåìå ðàâíÿåòñÿ i. Äîïóñòèì, äåëàåòñÿ âûáîð èç äâóõ
êàíäèäàòîâ, è âñå óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ, ñîáëþäàþòñÿ,
çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî êàíäèäàò 1 äîëæåí âûáðàòü èäåàëüíóþ òî÷êó èçáèðàòåëÿ
3, êàê ñâîþ óñòàíîâëåííóþ ñòðàòåãèþ. Êàíäèäàò 2 íå èìååò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé.
a. Êòî âûèãðàåò âûáîðû?
b. Íèæå - ÷åòûðå âîçìîæíûõ îïèñàíèÿ ðåçóëüòàòà. Ðåøèòå, êàêèå èç ñëåäóþùèõ
óòâåðæäåíèé ÿâëÿþòñÿ èñòèííûìè:
i. Èäåàëüíàÿ òî÷êà Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ äîëæíà áûòü ðåçóëüòàòîì.
ii. Èäåàëüíàÿ òî÷êà Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ íå ìîæåò áûòü ðåçóëüòàòîì, íî
èäåàëüíàÿ òî÷êà äðóãîãî èçáèðàòåëÿ ìîæåò.
iii. Èäåàëüíàÿ òî÷êà Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ íå ìîæåò áûòü ðåçóëüòàòîì, è èäåàëüíàÿ òî÷êà ëþáîãî äðóãîãî èçáèðàòåëÿ òàêæå íå ìîæåò.
iv. Èäåàëüíàÿ òî÷êà èëè Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ èëè äðóãîãî èçáèðàòåëÿ ìîæåò
áûòü ðåçóëüòàòîì.
7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçáèðàòåëüíûé îêðóã ñîñòîèò èç ïÿòè ãîëîñóþùèõ ñî ñëåäóþùèìè ïðåäïî÷òåíèÿìè îòíîñèòåëüíî òðåõ ïëàòôîðì (A, Â, èëè Ñ), êîòîðûå
êàæäûé èç äâóõ êàíäèäàòîâ ìîæåò âûäâèíóòü:
ãîëîñóþùèå 1 è 2 A Â B Â C
ãîëîñóþùèé 3
AÂ CÂ B
ãîëîñóþùèå 4 è 5 C Â B Â A
ñòð. 193
Ïðåäïîëîæèì, êàæäûé èçáèðàòåëü, ïîñëå òîãî, êàê êàæäûé êàíäèäàò (îäíîâðåìåííî) âûáèðàåò ñâîþ ïëàòôîðìó, ãîëîñóåò çà ïðåäïî÷òåííîãî èì êàíäèäàòà ñ
âåðîÿòíîñòüþ p è çà åãî ïðîòèâíèêà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − p, p > 1/2. Åñëè èçáèðàòåëþ
áåçðàçëè÷íî, òî p = 1/2. Êàêîâ èñõîä (A, Â, èëè Ñ) åñëè îáà êàíäèäàòà ìàêñèìèçèðóþò ñâîè îæèäàåìûå ýëåêòîðàòû?
44
8. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùóþ èãðó èç äâàäöàòè äåâÿòè èãðîêîâ, ãäå äâà èãðîêà
(1 è 2) êàíäèäàòû, à äðóãèå èãðîêè, (3,4,..,29), ÿâëÿþòñÿ èçáèðàòåëÿìè. Êàíäèäàòû êîíêóðèðóþò çà ðóêîâîäñòâî âåäîìñòâîì (ó÷ðåæäåíèåì), âûäâèãàÿ îäíó èç
÷åòûðåõ âîçìîæíûõ còðàòåãèé ó÷ðåæäåíèÿ (A,B,C,D) ïðèíèìàòü íà ðàáîòó èçáèðàòåëåé, êîòîðûå ãîëîñóþò çà íèõ (åùå äî ïðèíÿòèÿ íà ðàáîòó: ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî èçáèðàòåëè óæå ðàáîòàþò â âåäîìñòâå, à A,B,C,D - ñòðàòåãèè óâîëüíåíèÿ).
Èñõîä âûáîðîâ áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, êòî èç äâóõ êàíäèäàòîâ çàâåðáóåò áîëüøå
èçáèðàòåëåé. Â ïåðâîé ñòàäèè èãðû äâà êàíäèäàòà îäíîâðåìåííî âûáèðàþò îäíó
èç ÷åòûðåõ còðàòåãèé èçáèðàòåëüíîé êàìïàíèè. Íåêîòîðûå êîìáèíàöèè âûäâèíóòûõ ïðîãðàìì ñòðàòåãèè ó÷ðåæäåíèÿ (ÂÂ, CC, DB) êàíäèäàòû ìîãóò îáñóäèòü, è
âûáèðàþò, ó÷àñòâîâàòü ëè â äåáàòàõ. Êàíäèäàòû âûáèðàþò còðàòåãèè äåáàòîâ îäíîâðåìåííî, íî ïîñëå ýòîãî îíè óçíàþò è ñòðàòåãèþ êàìïàíèè ïðîòèâíèêà. Íèæå òàáëèöà, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ðåçóëüòàòû ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé còðàòåãèé êàìïàíèè. Çíà÷åíèÿ ÿ÷åéêè ïðåäñòàâëÿþò ÷èñëî èçáèðàòåëåé, çàâåðáîâàííûõ êàíäèäàòîì
1 (Ìèñòåð Ñòðîêà). Òîãäà 27 ìèíóñ çíà÷åíèå ÿ÷åéêè ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó èçáèðàòåëåé,
çàâåðáîâàííûõ êàíäèäàòîì 2 (Ìèñòåð Ñòîëáåö).
Ñòðîêà\ Ñòîëáåö: A B, Â2 C, Ñ2 D
A
15 3
21
7
B
9
12 27
5
13
(Â2= ñ äåáàòàìè)
0
15
C
17 19
24 17 23
(Ñ2= ñ äåáàòàìè)
14 18
D
11 12 13 27
11
(D2= ñ äåáàòàìè)
11 14
ñòð 194
Ïîñëå êàìïàíèè, ïîáåäèòåëü âûáîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó áîëüøèíñòâà.
Òàêèì îáðàçîì, êàíäèäàò, êîòîðûé ïðèíèìàåò íà ðàáîòó áîëüøå ëþäåé, âûèãðûâàåò âûáîðû.
a. Êàêîé êàíäèäàò âûèãðàåò âûáîðû?
b. Åñëè çàêîíû êàìïàíèè èçìåíåíû òàê, ÷òî ñòðàòåãèþ D íåëüçÿ âûáðàòü, êàêîé
êàíäèäàò âûèãðàåò âûáîðû?
ñ. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî Âû íàíÿòû êàíäèäàòîì, êîòîðûé îæèäàåò ÷àñòè÷íî ïîòåðÿòü (a), ÷òîáû ïðåäëîæèòü ðÿä ðàéîíîâ è èçáèðàòåëüíîãî ïðàâèëà, êîòîðîå ãàðàíòèðóåò ðàçëè÷íûé èçáèðàòåëüíûé ðåçóëüòàò (ïîñëå òîãî, êàê íîâè÷êè çàâåðáîâàíû).
Âû íå îãðàíè÷åíû â ÷èñëå ðàéîíîâ, êîòîðûå Âû ìîæåòå èñïîëüçîâàòü, èëè â òîì,
êàê Âû ìîæåòå ðàñïðåäåëÿòü ñòîðîííèêîâ êàíäèäàòîâ 1 è 2 âíóòðè è ìåæäó ðàéîíàìè; îäíàêî â êàæäîì ðàéîíå äîëæíî áûòü îäèíàêîâîå ÷èñëî èçáèðàòåëåé.
9. Çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí èç äåâÿòè ÷ëåíîâ, èñïîëüçóþùèé ïðàâèëî áîëüøèíñòâà, ñòîèò ïåðåä áþäæåòîì, êîòîðûé ïîçâîëÿåò åìó ïðîéòè äâå èç òðåõ ïðåäëîæåííûõ ïðîãðàìì (A,B,C). Çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí èìååò ñëåäóþùèå ïðåäïî÷òåíèÿ
(îöåíèâàåìûå îò áîëåå äî ìåíåå ïðèâèëåãèðîâàííûõ):
45
Çàêîíîäàòåëü
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B A B A C C B A C
C B A C A B A C B
A C C B B A C B A
Âû âîçãëàâëÿåòå çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí è Âû - 1 çàêîíîäàòåëü. Ïðîöåäóðà ãîëîñîâàíèÿ ñëåäóþùàÿ:
Ñíà÷àëà ïðîãîëîñóéòå, ñîõðàíèòü ëè âàðèàíò  èëè íàëîæèòü íà íåãî âåòî. Åñëè
íà  íàêëàäûâàþò âåòî, ãîëîñîâàíèå êîí÷àåòñÿ, è âàðèàíòû À è Ñ âûïîëíÿþòñÿ.
Åñëè Â ñîõðàíÿåòñÿ, òî ïðîãîëîñóéòå, ñîõðàíèòü ëè âàðèàíò Ñ èëè íàëîæèòü íà
íåãî âåòî. Åñëè íà Ñ íàêëàäûâàþò âåòî, ãîëîñîâàíèå êîí÷àåòñÿ, è âàðèàíòû À è
 âûïîëíÿþòñÿ. Åñëè Ñ ñîõðàíÿåòñÿ, òî ïðîãîëîñóéòå, ñîõðàíèòü ëè âàðèàíò À
èëè íàëîæèòü íà íåãî âåòî. Åñëè íàêëàäûâàåòñÿ âåòî - ãîëîñîâàíèå êîí÷àåòñÿ, è
âàðèàíòû  è Ñ âûïîëíåíû. Åñëè ñîõðàíÿåòñÿ, îäèí ÷ëåí çàêîíîäàòåëüíîãî îðãàíà
äîëæåí âûáðàòü, íà êàêîé èç âàðèàíòîâ íóæíî íàëîæèòü âåòî.
a. Äîëæíû ëè Âû, êàê ïðåäñåäàòåëü, ñàìè íàëîæèòü ýòî âåòî, èëè ïðåäîñòàâèòü
ýòî 4-ìó çàêîíîäàòåëþ?
b. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî çàêîíîäàòåëü 4 ðåøàåò, íàêëàäûâàòü ëè âåòî, ñîçäàéòå ñïèñîê
ïî âûøåïîêàçàííîìó òèïó, â êîòîðîì Â è Ñ òåì íå ìåíåå ïðîõîäÿòñÿ.
ñòð 195
10. Â èçáèðàòåëüíîì îêðóãå èç ñåìè ëþäåé, âñå ðåçóëüòàòû âûáîðîâ çàâèñÿò îò
ïîçèöèé êàíäèäàòà íà îäíîé ðàçìåðíîñòè ñòðàòåãèè, è èäåàëüíîé îòìåòêå èçáèðàòåëÿ i íà ýòîé ðàçìåðíîñòè, ñîîòâåòñòâóåò xi , êîòîðûé ðàâíÿåòñÿ i. Âñå ôóíêöèè
ïîëåçíîñòè èçáèðàòåëÿ èìåþò ôîðìó ui = |W − xi |2 , ãäå W - ïîçèöèÿ ñòðàòåãèè
ïîáåæäàþùåãî êàíäèäàòà, è xi èäåàëüíàÿ îòìåòêà èçáèðàòåëÿ i.  ýòîì èçáèðàòåëüíîì îêðóãå èìåþòñÿ äâå ïîëèòè÷åñêèõ ñòîðîíû. Èçáèðàòåëè 1, 2, è 7 íàõîäÿòñÿ
â ïàðòèè X. Èçáèðàòåëè 4, 5, è 6 íàõîäÿòñÿ â ïàðòèè Y. Èçáèðàòåëü 3 íå íàõîäèòñÿ
íè â îäíîé èç ïàðòèé. Èìåþòñÿ ÷åòûðå âîçìîæíûõ êàííäèäàòà Õ1, X2, Y1, è Y2.
Ïàðòèÿ X èñïîëüçóåò ïðàâèëî áîëüøèíñòâà ÷òîáû íàçíà÷èòü Õ1 èëè X2. Ïàðòèÿ Y
èñïîëüçóåò ïðàâèëî áîëüøèíñòâà ÷òîáû íàçíà÷èòü Y1 èëè Y2. Çàòåì âñå èçáèðàòåëè âûáèðàþò ñðåäè äâóõ íàçíà÷åííûõ êàíäèäàòîâ, ÷òîáû îïðåäåëèòü W , ïîçèöèþ
ñòðàòåãèè ïîáåæäàþùåãî êàíäèäàòà. Ó÷òèòå, ÷òî âñå ïðåäïîëîæåíèÿ, íåîáõîäèìûå
äëÿ Òåîðåìó Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ ïðîâîäÿòñÿ â ñëó÷àå, åñëè îíè íàõîäÿòñÿ â
ïðîòèâîðå÷èè ñ óòâåðæäåíèåì âîïðîñà. Èñïîëüçóéòå êîíöåïöèþ ðàâíîâåñèÿ Íýøà,
÷òîáû íàéòè âîçìîæíûå ðàñïîëîæåíèÿ W â ñëåäóþùèõ äâóõ ñèòóàöèÿõ:
a. Èçáèðàòåëè íåîïåðàòèâíû ïðè íàçíà÷åíèè êàíäèäàòà.
b. Èçáèðàòåëè îïåðàòèâíû ïðè íàçíà÷åíèè êàíäèäàòà.
11. Äîïóñòèì, ÷åòûðå ÷åëîâåêà èìåþò ñëåäóþùèå îöåíêè (âûèãðûøè) ïî òðåì
âàðèàíòàì À, è Ñ:
÷åëîâåê A B C
1
30 0
50
2
45 65 0
3
10 20 45
4
50 35 0
46
Äîïóñòèì, ÷òî êàæäûé ÷åëîâåê äîëæåí ñîîáùèòü îöåíêó äëÿ êàæäîãî âàðèàíòà è ÷òî âûáðàííûé âàðèàíò ÿâëÿåòñÿ âàðèàíòîì ñ ñàìîé âûñîêîé ñóììèðîâàííîé
îöåíêîé. Äîïóñòèì òàêæå, ÷òî íàëîãè ñîáðàíû êàê îïèñàíî â Ðàçäåëå 4.5. ???
a. Ñêîëüêî âìåíåííîãî íàëîãà áóäåò îïëà÷åíî êàæäûì ÷åëîâåêîì?
b. Äîïóñòèì, ëþäè 2 è 3 ìîãóò íàíèìàòü àãåíòà, êîòîðûé áóäåò êîîðäèíèðîâàòü
èõ îòâåòû (ñîîáùåííûå îöåíêè), âêëþ÷àÿ ëîæíûå. Ñòîèò ëè èì íàíèìàòü òàêîãî
÷åëîâåêà, åñëè âçíîñ áóäåò íå ñëèøêîì áîëüøèì?
197
(11?) Âû óïðàâëÿåòå "Îáúåäèíåííûì Ñìîóêîì"è äîëæíû ðåøèòü, ñîãëàñèòüñÿ
èëè íåò âñòðåòèòüñÿ ñ ïðåçèäåíòîì "Àêìý Ñëàäæ", ÷òîáû Âû îáà ìîãëè óñòàíàâèòü
öåíû íà Âàøè îäèíàêîâûå èçäåëèÿ.  ýòîì ñëó÷àå, îáå Âàøè êîðïîðàöèè ïîëó÷àò
ïî $220 ìèëëèîíîâ. Îäíàêî Âû îáà ïîíèìàåòå, ÷òî ýòà ñèòóàöèÿ - äèëåììà Çàêëþ÷åííûõ: ïî ðûíî÷íûì öåíàì êàæäûé èç Âàñ ïîëó÷èë áû ïî $90 ìèëëèîíîâ, â òî
âðåìÿ êàê åñëè òîëüêî îäèí îòêàçûâàåòñÿ îò ñîãëàøåíèÿ, åãî êîðïîðàöèÿ ïîëó÷àåò
$300 ìèëëèîíîâ, à äðóãàÿ êîðïîðàöèÿ íè÷åãî íå ïîëó÷àåò. Áóäó÷è êîíêóðèðóþùèìè
ïðåäïðèíèìàòåëÿìè ñ MBA, íè îäèí èç Âàñ íå äîâåðÿåò äðóãîìó, ÷òîáû çàêëþ÷èòü
õîòü êàêîå-íèáóäü ñîãëàøåíèå. Äîïîëíèòåëüíàÿ îïàñíîñòü - òî, ÷òî ôåäåðàëüíûå
àíòèìîíîïîëüíûå èññëåäîâàòåëè (ñ âåðîÿòíîñòüþ .4) ìîãóò îáíàðóæèòü Âàøå ñîãëàøåíèå, îïðîâåðãíóòü öåíû, óñòàíîâëåííûå ïî ñîãëàøåíèþ, è íàëîæèòü øòðàô
íà $50 ìèëëèîíîâ íà êàæäîãî. Êîíãðåññìåí È. M. Òóïîé, îäíàêî, ïðåäëàãàåò ïðåäëîæèòü çàêîíîäàòåëüñòâî, êîòîðîå ñäåëàåò êàðòåëü çàêîííûì è îñóùåñòâèìûé â
ñóäå, è ýòî îáåñïå÷èò êàðòåëþ çàùèòó; íî îí òðåáóåò íåêîòîðóþ ïîìîùü â ñëåäóþùèõ âûáîðàõ, ñêàæåì, ïî $50 ìèëëèîíîâ ñ êàæäîé ôèðìû. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî
îí õî÷åò äåíüãè âïåðåä, äî âûáîðîâ çàêîíîäàòåëüíîãî îðãàíà, è îí ìîæåò îáåùàòü
òîëüêî âîçìîæíîñòü 50 íà 50, ÷òî ïðåäëîæåííîå çàêîíîäàòåëüñòâî ïðîéäåò. Äîïóñòèì, ÷òî Âû ïðèìåòå ñàìîå ëó÷øåå ðåøåíèå ñëîæèâøåéñÿ ñèòóàöèè, êàêîâà áóäåò
îæèäàåìàÿ ïðèáûëü Âàøåé ôèðìû?
17. Òðè ñòóäåíòà 1, 2 è 3, çàïèñàëèñü íà êóðñ Ïîëèòè÷åñêîé Òåîðèè, è èíñòðóêòîð îáúÿâèë çàðàíåå, ÷òî îí íàãðàäèò îäíîãî A, îäíîãî Ñ, è îäíîãî F (íèêàêèõ
íåäèôôåðåíöèðîâàííûõ çà÷åòîâ â ýòîé ÷åòâåðòè). Äîìàøíÿÿÿ ðàáîòà íå èìååò çíà÷åíèÿ íà çàêëþ÷èòåëüíûõ ýêçàìåíàõ, è ñòóäåíòû ïîëó÷èëè ïî 55, 65, è 70 áàëëîâ
ñîîòâåòñòâåííî íà ñâîåì ïîëóãîäîâîì ýêçàìåíå. Êàæäûé ñòóäåíò ñâÿçûâàåò âîçíàãðàæäåíèå 2, 1 è -1, ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëó÷åíèåì A, Ñ èëè F, è êàæäûé çíàåò, ÷òî,
åñëè îíè ó÷àòñÿ, ïðèêëàäûâàÿ ìàêñèìóì óñèëèé, îíè ïîëó÷àò 80 íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýêçàìåíå, à óìåðåííûå èëè ìàëûå óñèëèÿ äàäóò ðåçóëüòàò 40. Ïðåäïîëîæèòå,
÷òî, celeris paribus, êàæäûé ñòóäåíò ïðåäïî÷èòàåò ïðèêëàäûâàòü íàñòîëüêî ìàëî
óñèëèé, íàñêîëüêî âîçìîæíî, íî ñ÷èòàåò, ÷òî ñòîèò íåìíîãî ïîó÷èòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü îöåíêó ïîâûøå. (???) Çàêëþ÷èòåëüíàÿ îöåíêà ñòóäåíòà âêëþ÷àåò åãî îòíîñèòåëüíîå ïîëîæåíèå, êîòîðîå îïðåäåëåíî ñóììîé ïîëóãîäîâûõ è ãîäîâûõ îöåíîê íà
ýêçàìåíàõ.
ñòð 198
a. Äîïóñòèì, ÷òî âñå òðè ñòóäåíòà äîëæíû ðåøèòü, ó÷èòüñÿ ëè èì, îáëàäàÿ èíôîðìàöèåé î äåéñòâèÿõ, ïðèíèìàåìûõ ëþáûì äðóãèì ñòóäåíòîì, èëè íå îáëàäàÿ.
47
Èçîáðàçèòå ñèòóàöèþ â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå ñ îöåíêàìè, îáîçíà÷àþùèìè ðåçóëüòàòû â êàæäîé ÿ÷åéêå.
b. ßâëÿåòñÿ ëè çàêëþ÷èòåëüíûé ðåçóëüòàò ðåøàþùèì?
ñ. Äîïóñòèì, ñòóäåíòû 1 è 2 ìîãóò íàáëþäàòü äåéñòâèå 3-ãî çàðàíåå. Èçìåíèò ëè
ýòî èõ ðåøåíèå è çàêëþ÷èòåëüíûé ðåçóëüòàò?
18. Äîïóñòèì, èäåàëüíûå òî÷êè èçáèðàòåëÿ ðàñïðåäåëåíû îäíîðîäíî íà èíòåðâàëå [0,1] è ÷òî, åñëè ýòî îñîáî íå îòìå÷åíî, âñå óñëîâèÿ Òåîðåìó Ìåäèàííîãî Èçáèðàòåëÿ èñïîëíÿþòñÿ. Äîïóñòèì, òðè êàíäèäàòà 1, 2 è 3 äîëæíû âûáðàòü ñâîè
ïîçèöèè â [0,1] ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíà÷àëà 1, çàòåì 2, çàòåì 3.
a. Äîêàæèòå, (áåç ÷ðåçìåðíîãî ôîðìàëèçìà, äàæå åñëè ýòî òðåáóåò ñðåçêè íåñêîëüêèõ óãëîâ) ÷òî ðàâíîâåñèå ñîîòâåòñòâóåò âûäåëåííîìó â ïîñëåäíåì ïðèìåðå îòäåëåíèÿ 4.3, ãäå êàíäèäàòû 1 è 2 âûáèðàþò ñâîè ïîçèöèè îäíîâðåìåííî. ???
b. Ïî÷åìó Âû äóìàåòå, ÷òî ýòè îòâåòû îäèíàêîâû?
19. Äâà ôåðìåðà äîëæíû ñîâìåñòíî èñïîëüçîâàòü ñèñòåìó îðîøåíèÿ, êîòîðóþ
îíè èñïîëüçóþò, ÷åðåäóÿ ñâîé äîñòóï ê íåé äåíü çà äíåì. Ôåðìåð, ÷üÿ ñåé÷àñ î÷åðåäü èçâëåêàòü âîäó, äîëæåí â îïðåäåëåííûé äåíü ðåøèòü, âçÿòü ëè åìó âûäåëåííóþ
÷àñòü(ñ ïðèáûëüþ 0 ñåáå è ñòîèìîñòüþ 0 äðóãîìó ôåðìåðó) èëè âçÿòü áîëüøå âûäåëåííîé ÷àñòè (ñ ïðèáûëüþ  ðàññìàòðèâàåìîìó ôåðìåðó è ñòîèìîñòüþ Ñ äðóãîìó
ôåðìåðó). Îäíàêî ôåðìåð, êîòîðûé äîëæåí ñèäåòü ïðàçäíî â òå÷åíèå äíÿ, ìîæåò
âûáðàòü ïîñìîòðåòü íà äåéñòâèÿ ñîïåðíèêà çà ñóììó Ê. Åñëè ÷ðåçìåðíîå èçâëå÷åíèå îáíàðóæåíî, ôåðìåðà óïîëíîìà÷èâàþò îøòðàôîâàòü îáèä÷èêà íà ñóììó F,
êîòîðàÿ ìîæåò ñîõðàíÿòüñÿ êàê êîìïåíñàöèÿ çà ëþáîé ýêîíîìè÷åñêèé óùåðá.
a. Äîïóñòèì, ÷òî âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âûøå íîëÿ, è ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî
îäèí äåíü, êàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ áóäóò ÿâëÿòüñÿ ÷èñòûì ðàâíîâåñèåì ñòðàòåãèè, â êîòîðîé ôåðìåð ïðèñòàëüíî èçó÷àåòñÿ ñ óâåðåííîñòüþ?
ñòð 199
b. Äîïóñòèì, ÷òî íå èìååòñÿ íèêàêîãî ÷èñòîãî ðàâíîâåñèÿ ñòðàòåãèè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñìåøàííûì ðàâíîâåñèåì ñòðàòåãèè?
c. Äîïóñòèì, ÷òî îäèí èç ôåðìåðîâ äîëæåí áûòü âûáðàí íàóãàä, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ñèñòåìó îðîøåíèÿ, è ÷òî ïàðàìåòðû óñòàíîâëåíû òàê, ÷òî (áåðèòå áîëüøå ÷åì
âûäåëåííóþ ÷àñòü, îñìîòðèòå ??? ) åñòü ÷èñòîå ðàâíîâåñèå ñòðàòåãèè. Ìîæåì ëè
ìû ïîäíÿòü öåíó F òàê, ÷òîáû ôåðìåðû ïðåäïî÷ëè, ÷òîáû íå áûëî íèêàêîãî ÷èñòîãî
ðàâíîâåñèÿ ñòðàòåãèè, à ÷òîá îíè æèëè ñî ñòàðûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ?
20. Äâà ëîááèñòà 1 è 2, êàæäûé èùåò çàêîíîäàòåëüñòâî, êîòîðîå áûëî áû äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîñòàâëåííûì çàêîíîäàòåëüñòâó, ðàçûñêèâàåìîìó äðóãèì. Òàê êàê
ìû íå ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ýòî çàêîíîäàòåëüñòâî êàê äåéñòâóþùåå "â èíòåðåñàõ
îáùåñòâà,"îíè äîëæíû ðåøèòü, êîãäà æåðòâîâàòü äåíüãè êàìïàíèè çàêîíîäàòåëÿ
êàê ñðåäñòâà íà âîéíó. (Äîïóñòèì, çàêîíîäàòåëè "îáîéäóòñÿ äåøåâî,"òàê ÷òî ðàçìåð âêëàäà ìîæåò èãíîðèðîâàòüñÿ ïðè âû÷èñëåíèè âîçíàãðàæäåíèÿ ëîááèñòà.) Çàêîíîäàòåëü íå âèäèò íèêàêîé óãðîçû ïåðåèçáðàíèÿ è ïðåäïîëàãàåò ïðåîáðàçîâàòü
ýòè ñðåäñòâà íà âîéíó â ïåðñîíàëüíûé ïåíñèîííûé ôîíä. Íî â ìèðå íàó÷íîé ôàíòàñòèêè ýòîé ïðîáëåìû, ïðåäïîëîæèòå, ÷òî çàêîí íå îäîáðÿåò íèêàêèõ ïîäîáíûõ
äåéñòâèé è êàê ñëåäñòâèå, íè îäèí ëîááèñò íå ïîñìååò ñäåëàòü âòîðîå ïðåäëîæåíèå,
åñëè ïîëó÷èò îòêàç íà ïåðâîå. Òî÷íûé õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ çàêîíîäàòåëÿ, îäíàêî,
48
íåèçâåñòåí, òàê ÷òî îáà ëîááèñòà îòðàæàþò ñëåäóþùóþ ìîäåëü: Åñëè ëîááèñòû íàðóøàþò âî âðåìåíà t1 è t2 (0 < t1 , t2 < 1), ñîîòâåòñòâåííî, è åñëè ti < tj , òî âåðîÿòíîñòü, ÷òî âêëàä ïðèâåäåò çàêîíîäàòåëÿ ê ïîääåðæêå i t1. Åñëè çàêîíîäàòåëü íå
íàðóøàåò íà âêëàä i â ýòî âðåìÿ, îí èëè ïîääåðæèâàåò çàêîíîäàòåëüñòâî, ðàçûñêèâàåìîå j ñ âåðîÿòíîñòüþ tj , èëè îí íå ïîääåðæèâàåò íèêîãî ñ âåðîÿòíîñòüþ1 − tj .
Òîãäà ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü, ÷òî çàêîíîäàòåëü íèêîãäà íå íàðóøèò ??? è ÷òî íè
îäèí ëîááèñò íå ïîëó÷èò, ÷åãî õî÷åò. Äîïóñòèì, ÷òî âîçíàãðàæäåíèå ëîááèñòà íè èç
îäíîãî çàêîíîäàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíî ÷åòíîé âîçìîæíîñòè, ÷òî îäèí èëè äðóãîé
ëîááèñò ïîëó÷àåò ñâîé ïóòü.
a. Åñëè ëîááèñò i (i = 1 èëè 2) äåëàåò ïåðâîå ïåðåìåùåíèå, âûáèðàÿ ti < tj ,
ëîááèñò j óçíàåò ýòîò ôàêò â òî âðåìÿ è òàêæå óçíàåò îòâåò çàêîíîäàòåëÿ íà ïðåäëîæåíèå i. Äîïóñòèì, ÷òî ñòðàòåãèÿ - ýòî âðåìÿ, çà êîòîðîå äåëàåòñÿ ïðåäëîæåíèå,
èìååò ëè òîãäà ýòà ñèòóàöèÿ ÷èñòîå ðàâíîâåñèå ñòðàòåãèè, è åñëè òàê, òî ÷òî ýòî?
b. Êàê èçìåíèòñÿ ñèòóàöèÿ, åñëè ïðåäëîæåíèå è îòêàç îò íåãî (íî íå åãî ïðèíÿòèå) íå ìîæåò ïðîíàáëþäàòü êîíêóðèðóþùèé ëîááèñò?
ñòð. 252
3.  ñëó÷àÿõ íåóäà÷íûõ õèðóðãè÷åñêèõ îïåðàöèé(êîãäà ïàöèåíò óìèðàåò) ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü 50 íà 50, ÷òî Äîêòîðà ßíà Êîìïåòåíòíîãî íå ñî÷òóò âèíîâíûì. Çíàÿ îá ýòîì, ðîäñòâåííèêè åãî ïîñëåäíåé æåðòâû ïðîñèëè î êîìïåíñàöèè $l,000,000. Åñëè Êîìïåòåíòíûé (êîòîðûé àííóëèðîâàë ñòðàõîâîé ïîëèñ, íî êîòîðûé,
êàê àêöèîíåð â ëîêàëüíîé àññîöèàöèè ñáåðåæåíèé è ññóä, äîâîëüíî áîãàò, îòêàçûâàåòñÿ ïëàòèòü, ðîäñòâåííèêè ìîãóò îáðàòèòüñÿ â ñóä (èëè çàáûòü îá ýòîì). Êîãäà-òî
â ñóäå ïðåäïîëîæèëè, ÷òî òî, ÷òî ïðîèçîøëî, áûëî ñïðàâåäëèâî. (Ýòî óïðàæíåíèå
íå êàñàåòñÿ êîìïåòåíòíîñòè àäâîêàòîâ). Åñëè Êîìïåòåíòíûé íåâèíåí, (è òîëüêî îí
çíàåò ýòî íàâåðíÿêà), îí íå òåðÿåò íè÷åãî, à ðîäñòâåííèêè òåðÿþò $l,000,000 (ñóäåáíûå èçäåðæêè îñòàþòñÿ òåì, ÷åì îíè ÿâëÿþòñÿ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îí
ïðîèãðûâàåò, òî îí òåðÿåò $3000,000, à ðîäñòâåííèêè æåðòâû èçâëåêàþò âûãîäó
$2,000,000 (àäâîêàòû ñíîâà áåðóò ñâîþ äîëþ).
a. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûå è ñòðàòåãè÷åñêèå ôîðìû ýòîé ñèòóàöèè.
b. Îïðåäåëèòå ðàâíîâåñèå èãðû.
ñ. Èíòåðïðåòèðóéòå ýòî ðàâíîâåñèå.
4. Ñòðàíà 1 òàéíî ïðåäëîæèëà ñòðàíå 2 ïëàí ðàçîðóæåíèÿ, êîòîðîå êàñàåòñÿ íîâîé ñèñòåìû îðóæèÿ, ðàçðàáîòàííîé 2. Îäíàêî ýòà ñèñòåìà ýôôåêòèâíà òîëüêî íà
ñåìüäåñÿò ïðîöåíòîâ, äàæå åñëè 2 òâåðäî çíàåò âîçìîæíîñòè ñèñòåìû. Ñòðàíà 2 ìîæåò èãíîðèðîâàòü ïðåäëîæåíèå 1 è ïðîäîëæèòü ñîñòÿçàíèå â îðóæèè; è íàîáîðîò,
îíà ìîæåò ïóáëè÷íî ñäåëàòü òàêîå æå ïðåäëîæåíèå, â òî âðåìÿ êàê òîãäà ñòðàíà
1 äîëæíà "êëþíóòü èëè ñîðâàòüñÿ ñ êðþ÷êà", ôîðìàëüíî ïðèíèìàÿ ïðåäëîæåíèå
2. Ñêàæèòå, ÷òî Âû ðàññìàòðèâàåòå êàê ïðèåìëåìûå âîçíàãðàæäåíèÿ ðåçóëüòàòàì,
èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûå è ñòðàòåãè÷åñêèå ôîðìû ýòîé ñèòóàöèè, è íàéäèòå ëþáîå
ðàâíîâåñèå ñ ÷èñòîé ñòðàòåãèåé. Èíòåðïðåòèðóéòå ýòî ðàâíîâåñèå, åñëè îíî ñóùåñòâóåò.
5. Ñîçäàéòå ñòðàòåãè÷åñêóþ ôîðìó íàøåãî àíàëèçà ïîâåñòîê äíÿ ñ òðåìÿ äîïóñòèìûìè òèïàìè ïðåäïî÷òåíèÿ â Ðàçäåëå 5.5???, ó÷òèòå, ÷òî êîìèòåò ñîñòîèò èç
òðåõ èçáèðàòåëåé. Ñðàâíèòå Âàø îòâåò ñ ïðåäëàãàåìûì â òåêñòå, è ïîêàæèòå, ÷òî
49
îí íå ïðîòèâîðå÷èò åìó.
6. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùèé ïîñëåäîâàòåëüíûé ñïèñîê (ïîâåñòêó äíÿ): Âàðèàíòû
À è  ñíà÷àëà ñîåäèíåíû. Åñëè À âûèãðûâàåò, ýòî - ðåçóëüòàò; íî åñëè âûèãðûâàåò Â, òî  ñòàâèòñÿ ïðîòèâ Ñ, è ïîáåäèòåëü ýòîãî ãîëîñîâàíèÿ - çàêëþ÷èòåëüíûé
ðåçóëüòàò. Äîïóñòèì, ÷òî òîëüêî ýòè òðè òèïà ïðåäïî÷òåíèÿ âîçìîæíû (îöåíåííûå
îò ïåðâîãî ïðåäïî÷òåíèÿ ê ïîñëåäíåìó):
t1 A B C
t2 B A C
t3 C B A
ñòð. 253
a. Äîïóñòèì, ÷òî ÷åëîâåê èìååò ïðåäïî÷òåíèÿ òèïà ti ñ âåðîÿòíîñòüþ pi, êîòîðûå
ÿâëÿþòñÿ îáùåïðèíÿòîé èñòèíîé, è ÷òî ÷åëîâåê çíàåò ñâîè ïðåäïî÷òåíèÿ, ïîêàæèòå,
÷òî âûáîð ïîáåäèòåëÿ Êîíäîðñå ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîâåñèþ.
b. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ðàâíîâåñèå óíèêàëüíûì?
c. Èçìåíÿòñÿ ëè Âàøè îòâåòû íà ÷àñòè (a) è (b), åñëè ìû äîáàâèì ÷åòâåðòûé
òèï ïðåäïî÷òåíèÿ, " ïðåäïî÷èòàåòñÿ Ñ, ïðåäïî÷èòàåòñÿ À"?
7. Ïðîôåññîð ïðîñèò, ÷òîáû ÒÀ äàë ñëåäóþùóþ ëåêöèþ, è ïîäãîòîâêà ëåêöèè
âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî çà äåíü ïåðåä âûñòóïëåíèåì. Çíàÿ, ÷òî ÒÀ ÷èòàåò ëåêöèè, ïîñåùàåìîñòü áóäåò 100 %, íî êëàññ íå çíàåò òèïà TA, êîòîðûé ìîæåò áûòü äâóõ ñîðòîâ.
Åñëè ÒÀ òèï Îòâåòñòâåííûé, îí èçâëå÷åò çíà÷èòåëüíóþ ïîëüçó èç ýôôåêòèâíîé
ïîäãîòîâêè ñâîåé ëåêöèè â åãî Âåäîìñòâå. Íî åñëè ÒÀ - òèï Ñåðôèíãèñò, îí ïðåäïî÷åë áû ãîòîâèòü ñâîþ ëåêöèþ íà ïëÿæå, ãäå îí ðàáîòàåò íå òàê ýôôåêòèâíî, íî
ñî çíà÷èòåëüíî áîëüøèì óäîâîëüñòâèåì. Ñóùåñòâóþò òðè ñîñòîÿíèÿ ìèðà, êàæäîå
èçâåñòíî ÒÀ: (1) ÒÀ - òèï Îòâåòñòâåííûé, (2) ÒÀ ñíà÷àëà âûáèðàåò ñâîå ðàñïîëîæåíèå, çàòåì áðîñàåòñÿ æðåáèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü åãî òèï; è (3) ÒÀ - òèï Ñåðôèíãèñò.
Êëàññ íå íàáëþäàåò ñîñòîÿíèå ìèðà, íî ó íåãî åñòü áîëåå âåñêèé âåðîÿòíîñòè óáåæäåíèé, ÷òî èñòèííîå ñîñòîÿíèå ìèðà ìîæåò áûòü:
ñîñòîÿíèÿ ìèðà "1"ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ .5.
ñîñòîÿíèÿ ìèðà "2"ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ .2.
ñîñòîÿíèÿ ìèðà "3"ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ .3.
Èñïîëüçîâàíèå priors è äåéñòâèÿ TA (êëàññ íàáëþäàåò, ãäå ÒÀ ãîòîâèò ñâîþ
ëåêöèþ), êëàññ âûáèðàåò "Áåçäåéñòâîâàòü"èëè "áûòü Àêòèâíûì"íà óðîêå. Ïî îïèñàíèþ íèæå, êëàññ ñîïîñòàâëÿåò äâå àëüòåðíàòèâíûõ ñòðàòåãè÷åñêèõ ôîðìû, â çàâèñèìîñòè îò òèïà TA: Åñëè ÒÀ - òèï Î, òî
âñòàâêà òàáëèöû
 òî âðåìÿ êàê, åñëè ÒÀ - òèï Ñ, òî
Îôèñ Ïëÿæ
Áîäðñòâóåò 10,10 -10,0
Ñïèò
-1,2
8,3
ñòð 254
Îôèñ Ïëÿæ
Áîäðñòâóåò 10, -2 -10,1
Ñïèò
-1, -10 8,5
a. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ýòîé ñèòóàöèè.
50
b. Îïðåäåëèòå ÷èñòûå còðàòåãèè, äîñòóïíûå êàæäîìó èãðîêó.
c. Îïðåäåëèòå, êàêèå èç ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ êîìáèíàöèé ñòðàòåãèé ÿâëÿþòñÿ
ðàâíîâåñèåì Áàéåñà-Íýøà:
? ïàðû ñòðàòåãèé Ñòðàòåãèÿ äëÿ ÒÀ
1
Åñëè ñîñòîÿíèå a èëè b, âûáåðèòå "Îôèñ", íî åñëè ñîñòîÿíèå c - Ïë
2
???
3
4
8. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùóþ èãðó ñ äâóìÿ ëþäüìè, èãðó ñ íóëåâîé ñóììîé. Ñëó÷àé
ñíà÷àëà âûáèðàåò òèï 1-ãî èãðîêà. Èãðîê 1 çíàåò ñâîé òèï è âûáèðàåò "Äà"èëè
"ÍÅÒ". Ïîñëå òîãî, êàê èãðîê 1 âûáðàë, èãðîê 2 âûáèðàåò "Äà"èëè "ÍÅÒ". Èãðîê 2,
÷åé òèï îáùåå çíàíèå, íå íàáëþäàåò òèïà ïåðâîãî èãðîêà, íî íàáëþäàåò åãî âûáîð
"Äà"èëè "ÍÅÒ". Âûèãðûøè èãðîêà îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñëåäóþùåé òàáëèöå:
ñòð 255
1-é òèï 1-é âûáîð 2-é âûáîð 3-é âûáîð
L
Y
Y
1
L
Y
N
2
L
N
Y
4
L
N
N
3
C
Y
Y
3
C
Y
N
7
C
N
Y
9
C
N
N
7
R
Y
Y
3
R
Y
N
4
R
N
Y
2
R
N
N
1
a. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó ýòîé èãðû.
b. Îïðåäåëèòå ÷èñòûå còðàòåãèè, äîñòóïíûå êàæäîìó ÷åëîâåêó.
ñ. Èçîáðàçèòå ñòðàòåãè÷åñêóþ ôîðìó ñèòóàöèè.
b. Äàéòå ïðèìåð ðàâíîâåñèÿ Áàéåñà. Èñïîëüçóéòå ïðàâèëî Áàéåñà, ÷òîá ïîäòâåðäèòü ñâîé ïðèìåð.
ñ. Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ èãðû, åñëè âòîðîé çíàåò òèï ïåðâîãî, êîãäà âûáèðàåò.
9. Âîñïðîèçâåäèòå íàø àíàëèç Èãðû Ñîðîêîíîæêè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü
èëè íåëîãè÷íîñòü êàæäîãî èãðîêà ñêîðåå .3 ÷åì .03.
10. Â ãðÿäóùèõ âûáîðàõ ïî ðåôîðìå òàðèôà ñòðàõîâàíèÿ, îáùåèçâåñòíî, ÷òî
Âàø ãîëîñ - ðåøàþùèé. Âû íå óâåðåíû îòíîñèòåëüíî òîæäåñòâà ñïîíñîðà ðåôîðìû, íî óâåðåíû (è ïðàâèëüíûì), ÷òî åñòü âîçìîæíîñòü7-èç-1O, ÷òî ýòà ðåôîðìà
"çà"ñòðàõîâàíèå (ÑËÓÆÁÀ ÈÌÌÈÃÐÀÖÈÈ È ÍÀÒÓÐÀËÈÇÀÖÈÈ) è êàê ñëåäñòâèå, ýòî ïîäíèìåò Âàøè òàðèôû ñòðàõîâàíèÿ (ñäåëàåò Âàñ áåäíåå). Èìååòñÿ âîçìîæíîñòü 3-èç-1O, ÷òî ðåôîðìà ÿâëÿåòñÿ (êîíñîëü) "çà"ïîòðåáèòåëÿ, ýòà ðåôîðìà
ñîõðàíèò Âàøè òàðèôû ñòðàõîâàíèÿ íà èõ èçíà÷àëüíîì óðîâíå. Àêòèâíûé ó÷àñòíèê êàìïàíèè çíàåò, êàêîãî òèïà ýòà ðåôîðìà - ñòðàõîâàíèÿ èëè ïîòðåáèòåëÿ, (â
ëþáîì ñëó÷àå, åìó ïëàòÿò òîëüêî åñëè áèëëü ïðîõîäèò) è îí äîëæåí ðåøèòü, èä51
òè ëè ê Âàøåé ôèðìå, ÷òîáû ñîîáùèòü, ÷òîáû Âû ãîëîñîâàëè çà áèëëü, èëè íåò.
(Àêòèâíûé ó÷àñòíèê êàìïàíèè âûáèðàåò "Ôèðìà"èëè "ÍÅÒ.")  äåíü âûáîðîâ Âû
äîëæíû ðåøèòü, ãîëîñîâàòü ëè "Çà"èëè "Ïðîòèâ"ðåôîðìû. Âûèãðûøè îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: àêòèâíîìó ó÷àñòíèêó êàìïàíèè ñòîèò $5 ïðèäòè ê Âàøåé
ôèðìå: àêòèâíîìó ó÷àñòíèêó êàìïàíèè ïëàòÿò $15, åñëè ðåôîðìà ïðîõîäèò è $0,
åñëè ðåôîðìà òåðïèò íåóäà÷ó. Åñëè òèï ñòðàõîâàíèÿ ïðîõîäèò èëè òèï ïîòðåáèòåëÿ ïðîèãðûâàåò, Âàøè òàðèôû ïîâûøàþòñÿ - Âû òåðÿåòå $10. Åñëè ðåôîðìà òèïà
ïîòðåáèòåëÿ ïðîèãðûâàåò èëè ðåôîðìà òèïà ñòðàõîâàíèÿ ïðîõîäèò, Âàøè òàðèôû
îñòàþòñÿ òåìè æå ñàìûìè - Âû ïîëó÷àåòå $0.
ñòð 256
a. Âûâåäèòå ðàçâåðíóòóþ ôîðìó èãðû.
b. Îïðåäåëèòå ÷èñòûå còðàòåãèè, äîñòóïíûå êàæäîìó èãðîêó.
c. Èçîáðàçèòå ñòðàòåãè÷åñêóþ ôîðìó ñèòóàöèè.
c. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ ïÿòè ïàð ñòðàòåãèé ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèåì Áàéåñà?
<ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ> ???
ñòð 257
1. Ïîëèòè÷åñêàÿ ôèëîñîôèÿ - àâòîðèòàðíàÿ èëè äåìîêðàòè÷åñêàÿ? Ïðåçèäåíò
Áàëñêè èç Íèæíåé Ñëîáîâèè íèêîìó íå èçâåñòåí, âêëþ÷àÿ ñâîåãî ãëàâíîãî êîíêóðåíòà, Ìíîãîïüþùåãî. Ëþäè ó÷èòûâàþò, ÷òî Áàëñêè öåíèò äåìîêðàòè÷åñêèå ïðèíöèïû ñ âåðîÿòíîñòüþ q , .5 < q < 1.  ïîèñêàõ ïîääåðæêè (ïîêðîâèòåëüñòâà) ÷ëåíîâ
ÍÎÊÐ (Íàöèè, îáúåäèíåííûå äëÿ Êàïèòàëèñòè÷åñêîãî Ðàçâèòèÿ), Áàëñêè îáåùàë
ïîçâîëèòü íàöèîíàëüíûå âûáîðû äëÿ ïðåçèäåíòà - âûáîðû, êîòîðûå ìîãóò èäòè ëþáûì ïóòåì ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ, åñëè Ìíîãîïüþùèé âûñòàâëÿåòñÿ ïðîòèâ íåãî.
Òåïåðü Áàëñêè äîëæåí ðåøèòü, èñïîëüçîâàòü ëè íåäàâíåå ýòíè÷åñêîå âîëíåíèå êàê
îïðàâäàíèå íàðóøåíèþ ñâîåãî ñëîâà. Åñëè îí èçìåíÿåò ñâîåìó ñëîâó, îí ñîõðàíÿåò ñâîþ ïîçèöèþ, íî åãî æåíà ìîæåò íå îæèäàòü ïðèãëàøåíèÿ äåëàòü ïîêóïêè íà
Êàòàíèè Ðîäåî íà ñëåäóþùåé âñòðå÷å íà âûñøåì óðîâíå, â òî âðåìÿ êàê Ìíîãîïüþùèé ïîëó÷èò ìåæäóíàðîäíîå ñî÷óâñòâèå è ñìîæåò ïîÿâèòüñÿ íà Íî÷íîé ëèíèè. Åñëè Áàëñêè ñäåðæèò ñëîâî, Ìíîãîïüþùèé äîëæåí ðåøèòü, îñïàðèâàòü ëè
åãî. Íåîñïàðèâàåìûé Áàëñêè ïîáåæäàåò òîíêèì(ñëàáûì) ïîëåì â íåîñïàðèâàåìûõ
âûáîðàõ. Åñëè Ìíîãîïüþùèé îñïàðèâàåò è ïðîèãðûâàåò, îí âûãëÿäèò êàê êòî-òî,
êòî íå ìîæåò íàíåñòè ïîðàæåíèå, ÿâëÿþùååñÿ îáÿçàòåëüíûì, êòî ðåãóëèðîâàë åãî
ñòðàíó ïðè áåçðàáîòèöå 40% è -20% ÂÂÏ òàðèô ðîñòà. Îöåíêà ýòîãî ðåçóëüòàòà
çàâèñèò òàêæå îò áëîêèðîâàíèÿ Áàëñêè äåìîêðàòèåé, òàê êàê ïðîèãðûø âûáîðîâ
èñòîðè÷åñêè ñ÷èòàåòñÿ "î÷åíü ïëîõèì äåëîì"â Íèæíåé Ñëîáîâèè. Ìíîãîïüþùèé
òâåðäî ïðèäåðæèâàåòñÿ äåìîêðàòè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, íî òàêîé ïðîèãðûø äëÿ ëþäåé ïîäîáíûõ Áàëñêè - ñîêðóøèòåëüíûé ïñèõîëîãè÷åñêèé óäàð, êîòîðûé âåäåò ê
åãî ïîëóîòñòàâêå êàê âñïîìîãàòåëüíîãî ðóêîâîäèòåëÿ Êðàïñêè Óñòðîéñòâà ïîäà÷è
è Ýêðàíà (ðàñòåíèÿ) Äâåðè. Òîãäà ó íàñ åñòü ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:
01: Áàëñêè îòìåíÿåò 1-å âûáîðû.
02: Áàëñêè ïîçâîëÿåò âûáîðû, íî Ìíîãîïüþùèé îòêàçûâàåòñÿ êîíêóðèðîâàòü.
03: Áàëñêè ïîçâîëÿåò âûáîðû, à Ìíîãîïüþùèé âûñòóïàåò ïðîòèâ íåãî, íî ïðîèãðûâàåò.
04: Áàëñêè ïîçâîëÿåò âûáîðû; Ìíîãîïüþùèé âûñòóïàåò ïðîòèâ íåãî, íî ïîáåæ52
äàåò.
 òåðìèíàõ âñåìèðíîé ïåðåäîâîé òâåðäîé âàëþòû Äîëëàðàõ Äèñíåÿ - äîïóñòèì
îöåíêè, îñíîâûâàÿñü íà ôèëîñîôèè Áàëñêè, - ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñ âîçíàãðàæäåíèÿìè Áàëñêè è Ìíîãîïüþùåãî ñîîòâåòñòâåííî è ó÷òèòå, êàê âñåãäà áûëî â òàêèõ
ñëó÷àÿõ â Íèæíåé Ñëîáîâèè, ÷òî Äîëëàðû Äèñíåÿ è ïîëåçíîñòü îáðàçîâûâàþò äóãó
ýêâèâàëåíòíî):
Àâòîðèòàðèòàðíûé Äåìîêðàò
01 (-1,1)
(-1,1)
02 (0,0)
(0,0)
03 (2,-6)
(2,0)
04 (-2,4)
(-8,4)
a. Èçîáðàçèòå ýòó ñèòóàöèþ â ðàçâåðíóòîé è ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìàõ.
b. Îïèøèòå còðàòåãèè ðàâíîâåñèÿ èãðîêîâ êàê ôóíêöèþ q.
ñòð 316
5. Ðàññìîòðèòå ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ïðàâèëà áîëüøèíñòâà ñðåäè äâàäöàòè ñåìè
èçáèðàòåëåé: èìåþòñÿ òðè îáëàñòè, êàæäàÿ ðàçäåëåíà íà òðè ðàéîíà. Îò êàæäîãî
ðàéîíà ïî òðè èçáèðàòåëÿ. Ïðåäñòàâèòåëè (êîìïüþòåðû, êîòîðûå íå ó÷èòûâàþòñÿ â ïîäñ÷åòå ãîëîñîâ) íà ðåãèîíàëüíîì è ðàéîííîì óðîâíÿõ. Ïðåäñòàâèòåëè íà
ðàéîííîì óðîâíå ïîëó÷àþò (â ëþáîé ïàðå âàðèàíòîâ) ïðåäïî÷òåíèÿ áîëüøèíñòâà
èçáèðàòåëåé â ñâîèõ ðàéîíàõ, à ðåãèîíàëüíûå ïðåäñòàâèòåëè ïîëó÷àþò ïðåäïî÷òåíèÿ áîëüøèíñòâà ïðåäñòàâèòåëåé â ñâîèõ îáëàñòÿõ. Ðåçóëüòàò ñòðàòåãèè âûáèðàåòñÿ
ãîëîñàìè áîëüøèíñòâà ðåãèîíàëüíûõ ïðåäñòàâèòåëåé.
a. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî èçáèðàòåëåé, êîòîðûå ìîãóò ôîðìèðîâàòü ðåøàþùóþ êîàëèöèþ (ò.å. Áóäóò ëè èõ ïðèâèëåãèðîâàííûå ïîçèöèè ñòðàòåãèè ðåçóëüòàòîì)? Ïðèâåäèòå ïðèìåð, ÷òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü Âàø îòâåò.
b. Êàê Âàø îòâåò íà (a) èçìåíèòñÿ, åñëè ïðåäñòàâèòåëåé óðîâíÿ ðàéîíîâ íåò?
ñ. Äîïóñòèì, ÷òî âñå ïðåäïî÷òåíèÿ îäèíî÷íî äîñòèãëè ìàêñèìóìà íàä îäèíî÷íîé âûäà÷åé(ïðîáëåìîé), çàâèñèò ëè çàêëþ÷èòåëüíûé ðåçóëüòàò îò ñóùåñòâîâàíèÿ
ïðåäñòàâèòåëåé óðîâíÿ ðàéîíà? Ïî÷åìó?
6. Ðàññìîòðèòå ñèììåòðè÷åñêóþ èãðó èç øåñòè ëþäåé, ãäå çíà÷åíèÿ êîàëèöèé Ñ,
v (C), äàíû
v (C)= ???
Ãäå /C/ îáîçíà÷àåò ÷èñëî ÷ëåíîâ Ñ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òî, ÷òî êîàëèöèÿ çàñëóæèâàåò, áåñêîíå÷íî äåëèòñÿ ñðåäè åå ÷ëåíîâ, èìååò ëè ýòà èãðà ÿäðî?
7. Â ýêîíîìèêå, îáùåå ïðåäñòàâëåíèå ïîëåçíîñòè äëÿ äâóõ ïðåäìåòîâ ïîòðåáëåíèÿ - ôóíêöèÿ âñòàâêà ôîðìóëû , ãäå è âñòàâêà ôîðìóëû è è ïîëîæèòåëüíûå
êîíñòàíòû. Äîïóñòèì, ÷òî äâîå ëþäåé çàêëþ÷àþò ñäåëêó ïî ðàñïðåäåëåíèþ äåñÿòè
åäèíèö êàæäîãî èç òîâàðîâ, ãäå îáà òîâàðà áåñêîíå÷íî äåëèìû. Ïóñòü _ = = 2 äëÿ
îáîèõ ëþäåé, è äîïóñòèì, ÷òî íà÷àëüíûå âêëàäû îáîèõ òîâàðîâ l ÷åëîâåêà - 2 è 7,
ñîîòâåòñòâåííî, òàê, ÷òîáû íà÷àëüíûå âêëàäû îáîèõ òîâàðîâ 2 ÷åëîâåêà áûëè 8 è
3, ñîîòâåòñòâåííî. Êàêîâî ÿäðî â ýòîé èãðå ñ äâóìÿ ëþäüìè?
ñòð 317
8. Èñïîëüçóÿ ïðîñòðàíñòâåííûå ïîçèöèé ñòðàòåãèè â ïðîáëåìå 4, îïðåäåëèòå,
èìååò ëè êîàëèöèÿ {1,3,4} óñòîé÷èâîå ïðåäëîæåíèå êîàëèöèè â çàêëþ÷àþùåé ñäåë53
êå. (Ïîäñêàçêà: Äîïóñòèì, ÷òî èãðîêè 1, 4 è 3 ýêñïåðèìåíòàëüíî ñîãëàøàþòñÿ íà
ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ Ïàðåòî îïòèìàëüíûì äëÿ íèõ è ïðèáëèçèòåëüíî íà
ïîëïóòè ìåæäó 1 è 4 èäåàëüíûì. Äîïóñòèì, îáúåêò 1 âûñòóïàåò ïðîòèâ 3 ñ ïðåäëîæåíèåì, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ Ïàðåòî îïòèìàëüíûì äëÿ {l,2,5}, ïðîâåðüòå, ìîæåò ëè 3
çàêîí÷èê ñ ëþáîé êîàëèöèåé, êîòîðàÿ èñêëþ÷àåò 1 è ñ ïðåäëîæåíèåì, êîòîðîå äàåò
3 ñòîëüêî æå, ñêîëüêî 3 ïîëó÷àåò îò ïåðâîíà÷àëüíîãî ïðåäëîæåíèÿ ñ {l,3,4}.
9. Äîïóñòèì, òðè çäàíèÿ, êàæäîå ñ áîëüøèì íàõîäÿùèìñÿ ïåðåä ïåðåäíåé ñòîðîíîé îêíîì, ñòîÿò â òðåóãîëüíèêå òàê, ÷òî ÷åëîâåê, ñèäÿùèé â ëþáîé ôèðìå, ìîæåò
âèäåòü îäíó ïÿòóþ ñîáñòâåííîãî ñàäà, âåñü ñàä ôèðìû ñëåâà, è íè îäíîãî ñàäà, ïðèíàäëåæàùåãî ôèðìå ñïðàâà. Äîïóñòèì, ÷òî êàæäûé ìåñòíûé âëàäåëåö îáåñïå÷åí
îäíèì ìåøêîì óäîáðåíèÿ è îáÿçàí â ñîîòâåòñòâèè c çàêîíîì èñïîëüçîâàòü åãî (ïðèãîðîäíûå öåííîñòè îñòàþòñÿ òåì, ÷òî îíè åñòü). Ìåøîê óäîáðåíèÿ, ðàñïðåäåëåííûé
ïî îäíîìó ñàäó, óëó÷øàåò ýòîò ñàä òàê, ÷òî ÷åëîâåê, âèäÿùèé ñàä öåëèêîì, íàñëàæäàåòñÿ ïîëüçîé ïÿòè åäèíèö ïîëåçíîñòè, ÷åëîâåê, âèäÿùèé ñàä òîëüêî íà îäíó
ïÿòóþ íàñëàæäàåòñÿ îäíîé åäèíèöåé ïîëåçíîñòè, à ÷åëîâåê, íå âèäÿùèé ñàäà íå ïîëó÷àåò ïîëåçíîñòè âîîáùå. Äîïóñòèì, ÷òî ìåñòíûå âëàäåëüöû ìîãóò îáúåäèíèòüñÿ,
÷òîáû ðàñïðåäåëèòü ñâîè óäîáðåíèÿ, è ÷òî ëþäè íå ìîãóò óäîáðÿòü ñàä äðóãîãî áåç
ðàçðåøåíèÿ. Äîïóñòèì òàêæå, ÷òî, åñëè ñàä óäîáðèòü äâóìÿ ìåøêàìè, îí áóäåò â
äâà ðàçà êðàñèâåå.
a. Èìååò ëè èãðà ÿäðî?
b. Êàê èçìåíèòñÿ Âàø îòâåò, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîàëèöèÿ äâóõ ëþäåé ìîæåò ñîãëàñèòüñÿ íà äåéñòâèå äî äåéñòâèé èãðîêà? (Ïîäñêàçêà: Äîïóñòèì, ÷òî êîàëèöèÿ ïîçâîëÿåò èñêëþ÷åííîìó èãðîêó ðàñïðåäåëèòü óäîáðåíèå íàèëó÷øèì îáðàçîì
äëÿ äåéñòâèé êîàëèöèè.)
10. Äëÿ ïðèìåðà â Ðèñóíêå 6.8 îïðåäåëèòå, âëèÿåò ëè ïîðÿäîê ãîëîñîâàíèÿ íà
óñòîé÷èâûé ðåçóëüòàò. Òî åñòü ðàññìîòðèòå âîçìîæíîñòü, êîòîðóþ êîìèòåò óòâåðæäàåò ñíà÷àëà íà 1 âûäà÷å(ïðîáëåìå), çàòåì íà 2 âûäà÷å(ïðîáëåìå).
11. Äîïóñòèì, ñóùåñòâóåò ïðîáåë ñòðàòåãèè ñ äâóìÿ ðàçìåðíûìè, ó÷òèòå, ÷òî
íèêàêèå äâà ÷ëåíà êîìèòåòà íå èñïîëüçóþò îäíó è òó æå èäåàëüíóþ îòìåòêó ñîâìåñòíî, è ÷òî âñå êîíòóðû áåçðàçëè÷èÿ - êðóãè. Èñïîëüçóÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ÿäðà â òåðìèíàõ Ïàðåòî îïòèìàëüíûõ ïîëèñîâ äëÿ âûèãðûâàþùèé êîàëèöèé, êàêèå îáùèå çíà÷åíèÿ ìîæåòå Âû âûâåñòè îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ èäåàëüíûõ
ïóíêòîâ(òî÷åê) ïî ïðàâèëó áîëüøèíñòâà â ïðîñòðàíñòâåííûõ èãðàõ ñ ÿäðàìè?
ñòð. 318
12. Íàáðîñàéòå äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ, ÷òî ÿäðî áîëüøèíñòâà èãð ïî ãîëîñîâàíèþ, áóäó÷è ñâÿçàííûì ñ ëþáîé âûèãðûâàþùåé êîàëèöèåé, ÿâëÿåòñÿ êîíêóðèðóþùèì ðåøåíèåì. Òàêæå, íàáðîñàéòå äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ, ÷òî îñíîâíàÿïðîñòàÿ V-ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ñîòðóäíè÷åñòâå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìèíèìàëüíûìè âûèãðûâàþùèìè êîàëèöèÿìè, òîæå ÿâëÿåòñÿ êîíêóðèðóþùèì ðåøåíèåì.
13. Äîïóñòèì, òðîå ëþäåé 1, 2 è 3 äîëæíû èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî áîëüøèíñòâà,
÷òîáû âûáðàòü ïðàâèëî, ÷òîá ïîäåëèòü $1,000 ìåæäó ñîáîé, è ó÷òèòå, ÷òî òîëüêî
äâà ïðàâèëà äîñòóïíû: (1) ñäåëêà çàêëþ÷àåòñÿ ëèöîì ê ëèöó, è ëþäè 1 è 2 èìåþò
ïî äâà ãîëîñà, à 3 ÷åëîâåê èìååò îäèí ãîëîñ, è (2) ïðîöåäóðà, ïîñðåäñòâîì êîòîðîé
1 äåëàåò ïðåäëîæåíèå, ïî êîòîðîìó îí ïîëó÷àåò $500, à 2 è 3 äåëÿò îñòàâøèåñÿ
54
$500 íà ÷àñòè ïî $250 (ò.e. 2 ïîëó÷àåò $500 èëè $250 èëè $0). Åñëè ïðåäëîæåíèå
ïðèíèìàåòñÿ 2 èëè 3, îíî âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè îíî îòêëîíÿåòñÿ, 3 ìîæåò ñäåëàòü
ïîäîáíîå ïðåäëîæåíèå (ò.e. $500 äëÿ 2 ÷åëîâåêà, à ëþäè 1 è 3 ïîëó÷àþò îñòàâøèåñÿ
÷àñòè ïî $250). Åñëè îíî îòêëîíÿåòñÿ, âûïîëíÿåòñÿ äåëåíèå(333, 333, 333). Êàêèì
áóäåò çàêëþ÷èòåëüíûé ðåçóëüòàò?
14. Îïèøèòå V-ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è êîíêóðèðóþùåå ðåøåíèå äëÿ ñëåäóþùåé
èãðû, ãäå òîðãóþò ãîëîñàìè (èñêëþ÷àÿ ëîòåðåè, ðàçðåøàÿ ïîðàæåíèþ êàæäîãî çàêîíà ñòîèòü íîëü êàæäîìó çàêîíîäàòåëþ, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî âîçíàãðàæäåíèÿ ïî çàêîíàì îòäåëèìû):
Çàêîíîäàòåëü A B C D E F
1
3 3 2 -4 -4 2
2
2 -4 -4 2 3 3
3
-4 2 3 3 2 -4
15. Ðàññìîòðèòå ïðåäïî÷òåíèÿ ñëåäóþùåãî êîìèòåòà èç ÷åòûðåõ ÷åëîâåê ïî òðåì
çàêîíàì A, Â è Ñ:
L 1 L 3 L 5 L 7 U1
A B C A 2
B C A B 1
C A B C 0
ñòð 319
Äîïóñòèì, ÷òî êîìèòåò ìîæåò ïðîéòè îäèí è òîëüêî îäèí èç òðåõ çàêîíîâ. çàêîí,
÷òîáû ïðîéòè, äîëæåí ïîëó÷èòü ïî êðàéíåé ìåðå äâå òðåòè ãîëîñîâ Ãîëîñîâàíèå òÿæåëîå òàê, ÷òî ãîëîñ L1 ñ÷èòàåòñÿ îäèí ðàç, L7 - ñ÷èòàåòñÿ ñåìü ðàç è òàê äàëåå.
Ñòðàòåãè÷åñêèå çàêîíîäàòåëè ãîëîñóþò îäíîâðåìåííî, è ãîëîñóþò òîëüêî çà îäèí
çàêîí, è ìîãóò îáùàòüñÿ è ôîðìèðîâàòü ñîâìåñòíûå(êîîïåðàòèâíûå) ñîãëàøåíèÿ.
Çàêîíîäàòåëü ïîëó÷àåò âîçíàãðàæäåíèå 2 åñëè íàèáîëåå äëÿ íåãî ïðåäïî÷òèòåëüíàÿ
àëüòåðíàòèâà ïðîõîäèò, 1, åñëè âòîðàÿ íàèáîëåå äëÿ íåãî ïðåäïî÷òèòåëüíàÿ àëüòåðíàòèâà ïðîõîäèò, è 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîëåçíîñòü - ïåðåäàâàåìàÿ è áåñêîíå÷íî
äåëèìàÿ. Âñå ñîâìåñòíûå(êîîïåðàòèâíûå) ñîãëàøåíèÿ áåñïëàòíû è îñóùåñòâèìû.
a. Êàêîé èç áèëëåé ïðîéäåò, åñëè âîîáùå ïðîéäåò õîòü îäèí?
b. Åñëè ãîëîñ L1 ñ÷èòàåòñÿ òðè ðàçà âìåñòî îäíîãî, êàê èçìåíèòñÿ Âàø îòâåò íà
÷àñòü (a)?
16. Áèêàìåðàëèçì (çàêîíîäàòåëüíûé îðãàí ñ äâóìÿ ïàëàòàìè) ïðèíÿò, ÷òîáû
ñòèìóëèðîâàòü ñòàáèëüíîñòü. Ðàññìîòðèòå ïðîñòðàíñòâåííóþ ñèòóàöèþ ñ òðåìÿ çàêîíîäàòåëÿìè â êàæäîé èç äâóõ ïàëàò, è ó÷òèòå, ÷òî âñå ïðåäïî÷òåíèÿ äàíû ïðîñòûì ðàññòîÿíèåì Åâêëèäà. Êîíòóðû Áåçðàçëè÷èÿ - êðóãè.
a. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî áîëüøèíñòâà, ïðèâåäèòå ïðèìåð ñ äâóìÿ âûäà÷àìè, â êîòîðûõ íå èìååòñÿ íèêàêîãî ÿäðà âíóòðè êàæäîé ïàëàòû, íî èìååòñÿ ïîëíîå ÿäðî,
åñëè ëþáîå äâèæåíèå, ÷òîáû îïðîêèíóòü ñòàòóñ êâî, íàíîñèò ïîðàæåíèå ýòîìó â
êàæäîé ïàëàòå.
b. Ìîãóò ëè Ïàðåòî íåýôôåêòèâíûå ðåçóëüòàòû áûòü ïîääåðæàííûìè êàê ðàâíîâåñèå ïðè òàêîì ðàñïîëîæåíèè?
ñ. Ìîæåò ëè áûòü êàêîå-ëèáî îáñòîÿòåëüñòâî, ïðè êîòîðîì ñòàòóñ-êâî ÿâëÿåòñÿ
ÿäðîì ïðè Áèêàìåðàëèçìå, íî íå ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì, åñëè äâå ïàëàòû îáúåäèíåíû?
55
17.  ñëåäóþùåé èãðå ñ äâóìÿ ó÷àñòíèêàìè â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ ñ íàçíà÷åííûìè âûèãðûøàìè, åñëè èãðîêè âûáèðàþò ÷òî óãîäíî, íî íå
(a2 , b1 ). Îäíàêî, åñëè îíè âûáèðàþò (a2 , b1 ), îíè äîëæíû èãðàòü åùå ðàç. Îïðåäåëèòå çíà÷åíèå ïðîäîëæåíèÿ äëÿ (a2 , b1 ), êîòîðîå ïîçâîëèò Âàì ðåøèòü èãðó.
b1
b2
a1 ïðîäîëæåíèå 2,5
a2 5,5
0,6
-------........
4 Ý.Ìóëåí
Çàäà÷è èç êíèãè Ý.Ìóëåí Òåîðèÿ èãð (ñ ïðèìåðàìè èç ìàò.
ýêîíîìèêè) :
........
56
5 Ïðèëîæåíèå: Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ
Ìàêñèìèí (ÌÌ) - èñõîä èãðû (ïðîôèëü ñòðàòåãèé) ïðè îñòîðîæíîì ïîâåäåíèè
âñåõ, òî åñòü ïðè ìàêñèìèçàöèè ãàðàíòèðîâàííûõ âûèãðûøåé, íå ó÷èòûâàÿ â ñâîèõ
ðàñ÷åòàõ öåëåé è òåêóùèõ ðåøåíèé ïàðòíåðîâ.
Ðåøåíèå â (ñëàáî-) äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ (WDE) èëè ñëàáî-äîìèíèðóþùåå
ðàâíîâåñèå - èñõîä èãðû â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ó êàæäîãî "àáñîëþòíî-îïòèìàëüíîé"ñòðàòåãèè,
òî åñòü ñòðàòåãèè, (ñëàáî) äîìèíèðóþùåé íàä âñåìè äðóãèìè åãî ñòðàòåãèÿìè íåçàâèñèìî îò õîäîâ ïàðòíåðîâ, èõ öåëåé è òåêóùèõ ðåøåíèé. [Àíàëîãè÷íî è îïðåäåëåíèå ñèëüíî-äîìèíèðóþùåãî ðàâíîâåñèÿ SDE.]
Ðåøåíèå â èòåðàöèîííî- (ñëàáî-)íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèÿõ (INDW )
- èñõîä èãðû â ñëó÷àå îäíîâðåìåííîãî èòåðàöèîííîãî îòáðàñûâàíèÿ (ñëàáî-) äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé êàæäûì èãðîêîì è ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåäóöèðîâàíèÿ èãðû:
èñêëþ÷åíèÿ îòáðîøåííûõ ñòðàòåãèé èç ðàññìîòðåíèÿ ÂÑÅÌÈ èãðîêàìè. Òðåáóåò
çíàíèÿ èëè öåëåé ïàðòíåðîâ èëè ôàêòà îòáðàñûâàíèÿ ñòðàòåãèé. [Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ Ðåøåíèå â èòåðàöèîííî- ñèëüíî-íåäîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèÿõ (INDS ).]
Ðàâíîâåñèå Íýøà (NE) - èñõîä èãðû (ïðîôèëü ñòðàòåãèé), ïðè êîòîðîì íè
ó îäíîãî èãðîêà íåò ñòèìóëà îòñòóïèòü îò ñâîåé òåêóùåé ñòðàòåãèè, ïðè çíàíèè
òåêóùèõ ñòðàòåãèé ïàðòíåðîâ è ãèïîòåçå, ÷òî ïàðòíåðû íå îòñòóïÿò. [Ýêâèâàëåíòíûé âàðèàíò: Ðàâíîâåñèå Íýøà - èñõîä, êîãäà âñå ñõîäèëè îäíîâðåìåííî âñëåïóþ,
èìåÿ ëèøü íåêîòîðûå îæèäàíèÿ î çàïëàíèðîâàííîì õîäå ïàðòíåðîâ, à êîãäà êàðòû
îòêðûëèñü, òî âñå îæèäàíèÿ îïðàâäàëèñü.]
Ñîâåðøåííîå â Ïîäûãðàõ Ðàâíîâåñèå (Íýøà) (SPE = SPNE) - ýòî ðàâíîâåñèå Íýøà â ðàçâåðíóòîé ôîðìå èãðû, ÿâëÿþùååñÿ òàêæå ðàâíîâåñèåì Íýøà âî
âñåõ åå ïîäûãðàõ. (Âíèìàíèå: îíî ìîæåò íå ÿâëÿòüñÿ NE ýòîé æå èãðû â íîðìàëüíîé
ôîðìå, ïîýòîìó íå âñåãäà SP E ⊆ N E !)
Ñëàáûé îïòèìóì Ïàðåòî (W P ) - âîçìîæíûé èñõîä, êîòîðûé íåëüçÿ óëó÷øèòü äëÿ âñåõ èãðîêîâ ñðàçó, äàæå ñîãëàñîâàâ èõ õîäû. Ñèëüíûé îïòèìóì Ïàðåòî (P ) - èñõîä, êîòîðûé íåëüçÿ óëó÷øèòü äëÿ êîãî-òî, íå óõóäøèâ äëÿ äðóãèõ.
Ýëåìåíò (ñëàáîãî) ßäðà èãðû (C) - âîçìîæíûé èñõîä, êîòîðûé íå áëîêèðó-
åòñÿ íè îäíîé êîàëèöèåé â ïåðåãîâîðàõ. Êîàëèöèÿ áëîêèðóåò â ïåðåãîâîðàõ (îòâåðãàåò) âàðèàíò, åñëè èìååò äðóãîé, ñòðîãî áîëåå æåëàòåëüíûé äëÿ âñåõ ñâîèõ ÷ëåíîâ,
ñðåäè ÑÂÎÈÕ âîçìîæíîñòåé (ñðåäè âàðèàíòîâ, äîñòèæèìûõ íåçàâèñèìî îò äåéñòâèé âíå-êîàëèöèîííûõ èãðîêîâ). Ò.å. ßäðî - ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ, âíå êîòîðîãî
ñîãëàøåíèé áûòü íå ìîæåò.
Ñîêðàùåíèÿ: M M MaxiMin, DE Dominant Equilibrium, SDE Strong
Dominant Equilibrium, IN DW Iterative (Weakly) Non-Dominant Equilibrium, SoE
Sophisticated Equilibrium, N E - Nash Equilibrium, N Em Nash Equilibrium in
Mixed stratagies, SP (N )E Subgame Perfect (Nash) Equilibrium, StE Stackelberg
57
Equilibrium, P - Pareto, C Core.
58
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] David M. Kreps. 1990. A Course in Microeconomic Theory.- Princeton University
Press, Princeton.
[2] Peter C. Ordeshook. 1992. A Political Theory Primer.- Routledge, N.-Y., London.
[3] R.B.Myerson. 1991. Game Theory (Analysis of Conict).- Harvard U.P., Camridge,
London.
[4] Fudenberg, Drew & Jean Tirole. 1991. Game Theory.- MIT Press.
[5] Eric Rasmusen. 1989. Games and Information (An Introduction to Game Theory).Blackwell. Cambridge MA, Oxford UK.
[6] Jean Tirole. 1988. The Theory of Industrial Organization.- MIT Press. Cambridge,
Massachusets.
[7] Andrew Heywood. 1997. Politics.- London, Macmillan.
[8] . J.-E.Lane & S.Ersson. 1994. Comparative politics.- Cambridge, Blackwell.
[9] Ý.Ìóëåí. 1985. Òåîðèÿ èãð (ñ ïðèìåðàìè èç ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè).- Ì.,
Ìèð.
[10] Ý.Ìóëåí. 1995?. Êîîïåðàòèâíîå ïðèíÿòèå ðåøåíèé: àêñèîìû è ïðîáëåìû.- Ì.,
Ìèð.
[11] H.Varian Microec.Analysis
[12] Â.Áóñûãèí, Ñ.Êîêîâèí, Å.Æåëîáîäüêî, À.Öûïëàêîâ. 1999. Ìèêðîýêîíîìè÷åñêèé àíàëèç íåñîâåðøåííûõ ðûíêîâ.- TEMPUS (TACIS), NSU, Íîâîñèáèðñê.
[13] Â.Áóñûãèí, Ñ.Êîêîâèí, À.Öûïëàêîâ. 1996. Ìåòîäû ìèêðîýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà: ôèàñêî ðûíêà.- TEMPUS (TACIS), NSU, Íîâîñèáèðñê.
1) Ðåêîìåíäóåìàÿ ñòóäåíòàì ëèòåðàòóðà:
1. J. Tirole. 1988. Industrial organization.- MIT Press. Cambridge, Massachusets.
(Æ.Òèðîëü. Òåîðèÿ îòðàñëåâûõ ðûíêîâ.- Ì.Ýêîíîìèêà, 1999.) (Ãëàâà 11).
2. Â.Áóñûãèí, Ñ.Êîêîâèí, Å.Æåëîáîäüêî, À.Öûïëàêîâ. 1999. Ìèêðîýêîíîìè÷åñêèé àíàëèç íåñîâåðøåííûõ ðûíêîâ".- TEMPUS (TACIS), NSU, Íîâîñèáèðñê. (Ãëàâà 1).
3. Â.Áóñûãèí, Ñ.Êîêîâèí, À.Öûïëàêîâ. 1996. Ìåòîäû ìèêðîýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà - TEMPUS (TACIS), NSU, Íîâîñèáèðñê. (Ãëàâà 1).
4. D.M. Kreps. 1990. A Course in Microeconomic Theory.- Princeton University Press,
Princeton. (Part III, Chapters 11-15)
5. Peter C. Ordeshook. 1992. A Political Theory Primer.- Routledge, N.-Y., London.
6. Andrew Heywood. 1997. Politics .- London, Macmillan.
59
7. R.B.Myerson. 1991. Game Theory (Analysis of Conict).- Harvard U.P., Camridge,
London.
8. Fudenberg, Drew and Jean Tirole. 1991. Game theory.- MIT Press. Cambridge,
Massachusets.
9. J.-E.Lane and S.Ersson. 1994. Comparative politics.- Cambridge, Blackwell.
2) Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà èñïîëüçóåìàÿ â êóðñå:
9. Ý.Ìóëåí. 1985. Òåîðèÿ èãð, ñ ïðèìåðàìè èç ìàò. ýêîíîìèêè.- ïåð. ñ àíãë.
Ìîñêâà, Ìèð.
10. Ý.Ìóëåí. 1991. Êîîïåðàòèâíîå ïðèíÿòèå ðåøåíèé: àêñèîìû è ìîäåëè.- ïåð. ñ
àíãë. Ìîñêâà, Ìèð.
11. Ý.Ýêëàíä. 1985. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà.- ïåð. ñ àíãë. Ìîñêâà, Ìèð.
12. Â.Ìàðàêóëèí. 2001. Ðàâíîâåñíûé àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ýêîíîìèêè
ñ íå-ñòàíäàðòíûìè öåíàìè (Òåîðèÿ èãð - ÷àñòü 3).- Íîâîñèáèðñê ÍÃÓ.
13. Ð.Ëüþñ, Ý.Ðàéôà. 1971.// Èãðû è ðåøåíèÿ.- ïåð. ñ àíãë. Ìîñêâà, Ìèð. //
14. Ð. Îóåí. 1971// Òåîðèÿ èãð.- ïåð. ñ àíãë. Ìîñêâà, Íàóêà. //
15. Äæ.ôîí Íåéìàí, Î.Ìîðãåíøòåðí. 1970. Òåîðèÿ èãð è ýêîíîìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.ïåð. ñ àíãë. Ìîñêâà, Íàóêà.
3) Èñòî÷íèêè çàäà÷ è óïðàæíåíèé, èñïîëüçóåìûå â êóðñå:
Êíèãè: J.Tirole 1988, D.M. Kreps 1990, Ý.Ìóëåí. 1985, 1991, P.C.Ordeshook 1992.
Ïîä-áîðêè çàäà÷ óíèâåðñèòåòîâ (èç Èíòåðíåòà è ëè÷íûõ êîíòàêòîâ): Harward, Central
Euro-pean University (Budapest), New Economic School (Moscow).
60