Определенный интеграл

УПРАЖНЕНИЯ
по теме «Определенный интеграл»
1. Касательная к графику функции y  f (x) в точке M 1 (a; f (a ))


составляет с осью Ox угол
, а в точке M 2 (b; f (b)) – угол
.
3
4
Функция f (x) – непрерывна на [a; b] . Найти интегралы
b
b
 f ( x)dx
и
a
 f ( x)  f ( x)dx .
a
e

2. Докажите, что если J n  ln nxdx , то J n  e  n  J n 1 ( n  ℕ или n  0 ).
1
3. Получить
рекуррентные
 2
In 
 sin
 2
n
dx и K n 
формулы
 cos
n
0
для
вычисления
интегралов
dx ( n  ℕ и n  1 ).
0
4. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл
0
In 

x n e x dx ( n  ℕ или n  0 ).
1
5. Составить
 4
In 
 tg
n
рекуррентную
формулу
для
вычисления
интеграла
dx ( n  ℕ и n  1 ).
0
1
6. Доказать справедливость равенства
x
1
m

(1  x) dx  x n (1  x) m dx .
n
0
0
7. Показать, что если f (x) – функция периодическая с периодом T , то
a T
 f (t )dt
не зависит от
a
(Подсказка: докажите, что он равен
a
T
 f (t )dt
при любом a ).
0
1
8*. Найдите
dx
 ( e x  1)( x 2  1) .
1
1
dt
9. Доказать справедливость равенства

2
1

t
x

1x
dt
1 t2
1
( x  0) .
tgx
tdt

10. Доказать справедливость равенства
2
1

t
1e

11. Докажите, что если функция
ctgx
dt
 1.
t (1  t 2 )

1e
f (x) – нечетная и периодическая с
x
периодом T , то
 f (t )dt
также является периодической функцией с
a
тем же периодом
(Подсказка: используйте тот факт, что для
a T
 f (t )dt
периодической функции с периодом T
не зависит от a ).
a
x
12. Показать, что если
f (x) функция нечетная, то
 f (t )dt
– функция
a
x
четная. Будет ли
 f (t )dt – нечетной, если
f (x) – четная?
a
13. Найдите производные:
b
x
b



d 
d 
d 
2
2


sin( t )dt ;
sin( t )dt ;
sin( t 2 )dt  ;
а)
б)
в)



dx 
dx 
dx 
a

a

x

2
3
0
x

x


d 
d 
d 
3 
3 
3 
1  t dt  ;
1  t dt  .
г)
д)
е)
1  t dt ;

dx  2
dx 
dx  2


x

0

x

14. Найти производную по x от функции y заданной






y
а) неявно:
e
x
t2

dt  cost 2 dt  0 .
0
0
t2
u
du ,
б) параметрически: x 
ln u

2
y
2
u2
du .
ln
u
2

t
15. Найти пределы:
sin x
x
 cost dt
2
а) lim
x0
0
x
;
б) lim

tg t dt
0
x   0 tg x

0
.
sin t dt
16. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции
x

 ( x)  (t  1)(t  2) 2 dt . Построить график этой функции при a  0 .
a
17. Найдите
наибольшее
и
наименьшее
значение
функции
x
 ( x) 
2t  1
dt на отрезке [1; 1] .
2
t

2
t

2
0

x
18. Найдите длину линии, заданной уравнением y 

cost dt .
 2
Ответ: 4.
t
19. Найдите длину дуги линии
cos zdz
x
,
z

1
t
y

1
sin zdz
z
координат до ближайшей точки с вертикальной касательной.
Ответ: ln  2 .

20*. Найдите
dx
 ( x a  1)( x 2  1)
0
( a – const).
от начала