Математический анализ I

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ëåêöèÿ 10
Ïðåäåë ïî áàçå
Ìû óáåäèëèñü íà ïðîøëîé ëåêöèè, ÷òî ñóììà àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ
ðÿäà íå ìåíÿåòñÿ ïðè
P
ïåðåñòàíîâêå åãî ÷ëåíîâ. Åñëè âñå an íåîòðèöàòåëüíû è ðÿä
an ñõîäèòñÿ, òî
∞
X
an = sup
X
K⊂N
|K|<∞ k∈K
n=1
ak .
Ïðè ýòîì åñòü îùóùåíèå, ÷òî â êàêîì-òî ñìûñëå ìîæíî íàïèñàòü
∞
X
an = lim
n=1
X
K⊂N
|K|<∞ k∈K
ak ,
ïðè÷åì áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î íåîòðèöàòåëüíîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà. Ïîñòàðàåìñÿ ïîíÿòü, êàê íàäî
îïðåäåëÿòü òàêîãî ðîäà ïðåäåëüíûé ïåðåõîä.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Áàçîé â X íàçûâàåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî
åãî ïîäìíîæåñòâ B ⊆ 2X , ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:
1) ∅ ∈
/ B;
2) (∀B1 , B2 ∈ B)(∃B3 ∈ B)B3 ⊆ B1 ∩ B2 .
Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, B áàçà â X , à f : X −
→ R ôóíêöèÿ.
×èñëî a ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì f ïî áàçå B (îáîçíà÷àåòñÿ a = lim f (x) ), åñëè äëÿ ëþáîãî
B
ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå B ∈ B , ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ B âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |f (x) − a| < ε .
Ïðèìåð 1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) ýòî ïðåäåë ôóíêöèè N →
− R , ïåðåâîäÿùåé
êàæäûé ýëåìåíò n ∈ N â an , ïî áàçå, ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâ BN = {n ∈ N | n > N } , ãäå N ∈ N .
Ïðåäåë ôóíêöèè f (x) , îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå X ⊆ R , ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê ïðåäåëüíîé
◦
òî÷êå a ìíîæåñòâà X , ýòî ïðåäåë f (x) ïî áàçå, ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâ Bε = Uε (a) ∩ X .
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì â òåðìèíàõ ïðåäåëà ïî áàçå ôîðìóëèðóþòñÿ ïîíÿòèÿ lim f (x) ,
lim f (x) ,
x→
− +∞
lim f (x) , à òàêæå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû
x→
− −∞
lim f (x) (ïðîäåëàéòå ýòî!).
lim f (x) ,
x→
− +0
lim f (x) ,
x→
− −0
x→
−∞
lim f (x) ,
x→
− a+0
x→
− a−0
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü B1 è B2 áàçû â îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå X . Ñêàæåì, ÷òî áàçà B1
íå ñëàáåå áàçû B2 , à áàçà B2 íå ñèëüíåå áàçû B1 (îáîçíà÷åíèå: B1 < B2 èëè B2 4 B1 ), åñëè
âûïîëíåíî óñëîâèå: äëÿ ëþáîãî B2 ∈ B2 íàéäåòñÿ òàêîå B1 ∈ B1 , ÷òî B1 ⊆ B2 . Åñëè êàæäàÿ
èç áàç B1 è B2 íå ñëàáåå äðóãîé, òî òàêèå áàçû íàçîâåì ýêâèâàëåíòíûìè ( B1 ∼ B2 ). Åñëè
B1 < B2 , íî B1 6∼ B2 , òî áàçà B1 ñèëüíåå áàçû B2 , à áàçà B2 ñëàáåå áàçû B1 (îáîçíà÷åíèå:
B1 Â B2 èëè B2 ≺ B1 ).
1
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè áàçà B1 íå ñëàáåå áàçû B2 è ïðåäåë lim f (x) ñóùåñòâóåò
B2
è ðàâåí a , òî ïðåäåë lim f (x) òîæå ñóùåñòâóåò è ðàâåí a .  ÷àñòíîñòè, ýêâèâàëåíòíûå áàçû
B1
äàþò, ïî ñóùåñòâó, îäíî è òî æå ïîíÿòèå ïðåäåëà.
Óïðàæíåíèå 2. Ðàññìîòðèì â R áàçû B1 , ñîñòîÿùóþ èç ïðîêîëîòûõ ε -îêðåñòíîñòåé òî÷êè
a , B2 , ñîñòîÿùóþ èç ïðîêîëîòûõ n1 -îêðåñòíîñòåé òî÷êè a , è B1 , ñîñòîÿùóþ èç ïðîêîëîòûõ
íåöåíòðèðîâàííûõ îêðåñòíîñòåé òî÷êè a , òî åñòü ìíîæåñòâ âèäà {x ∈ R \ {a} | a − δ1 < x <
a + δ2 } , ãäå δ1 , δ2 > 0 . Äîêàæèòå, ÷òî ýòè áàçû ýêâèâàëåíòíû.
Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü A áàçà â X , à B áàçà â Y . Îòîáðàæåíèå f : X −
→ Y íàçûâàåòñÿ
íåïðåðûâíûì îòíîñèòåëüíî ïàðû áàç (A, B) , åñëè äëÿ ëþáîãî B ∈ B íàéäåòñÿ A ∈ A òàêîå,
÷òî f (A) ⊆ B .
Ïðèìåð 2. Åñëè A ñîñòîèò èç îêðåñòíîñòåé (íåïðîêîëîòûõ!) òî÷êè a ∈ R = X , à B èç îêðåñòíîñòåé òî÷êè f (a) ∈ R = Y , òî ìû ïîëó÷àåì îáû÷íîå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè f : R −
→ R â òî÷êå a .
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì îòîáðàæåíèè f : X −
→ Y îáðàç f (A) = {f (A) | A ∈ A} áàçû
A ÿâëÿåòñÿ áàçîé â Y , è îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì îòíîñèòåëüíî (A, B) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà f (A) íå ñëàáåå B . Ïî-äðóãîìó òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü òàê: îòîáðàæåíèå
f ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì îòíîñèòåëüíî (A, B) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîîáðàç f −1 (B) =
{f −1 (B) | B ∈ B} ÿâëÿåòñÿ áàçîé â X , è ýòà áàçà íå ñèëüíåå A .
Èç îïðåäåëåíèé íåìåäëåííî ñëåäóþò
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü A áàçà â X , B áàçà â Y , à C áàçà â Z . Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ôóíêöèÿ f : X →
− Y íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî (A, B) , à ôóíêöèÿ g : Y −
→ Z íåïðåðûâíà
îòíîñèòåëüíî (B, C) . Òîãäà ôóíêöèÿ g ◦ f : X −
→ Z íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî (A, C) .
Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü A áàçà â X , à B áàçà â Y . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f : X −
→
Y íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî (A, B) , à ôóíêöèÿ g : Y →
− R èìååò ïðåäåë c ïî áàçå B , òî åñòü
c = lim g(y) . Òîãäà lim g(f (x)) = c .
B
A
Ïðèìåð 3. Ïóñòü X = Y = R \ {0} , f (x) = x1 , g(y) =
sin y
y
, áàçà A ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ âèäà
{x ∈ X | x > c} , ãäå c ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, à áàçà B ñîñòîèò èç ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé
íóëÿ. Ìû çíàåì, ÷òî lim g(y) = lim siny y = 1 . Óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 2 âûïîëíåíû, ïîýòîìó
y→
−0
B
lim x sin x1 = lim g(f (x)) = 1 .
x→
− +∞
A
Ïðèìåð 4. Ïðè ïðèìåíåíèè ïðåäëîæåíèÿ 2 íàäî áûòü âíèìàòåëüíûì. Íàïðèìåð, èç òîãî,
÷òî lim f (x) = b è lim g(y) = c , åùå íå ñëåäóåò, ÷òî lim g(f (x)) = c . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
x→
−a
x→
−a
y→
−b
a = b = 0, c = 1 , f (x) = x sin
1
,
x
g(y) = | sgn(y)| . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî lim f (x) = 0 è lim g(y) = 1 ,
x→
−0
y→
−0
íî lim g(f (x)) íå ñóùåñòâóåò. Ïðîâåðüòå ñàìè, ÷òî íå âñå óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 2 âûïîëíåíû.
x→
−a
Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè f : X →
− R ïî áàçå B ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ íåïðåðûâíîñòè íåêîòîðîãî âñïîìîãàòåëüíîãî îòîáðàæåíèÿ. À èìåííî, ïóñòü X̂ = X ∪ {∗} , ãäå ∗ íåêîòîðûé íîâûé ýëåìåíò (íå ïðèíàäëåæàùèé X ), ïóñòü B̂ = {B ∪ {∗} | B ∈ B} , è ïóñòü
fˆ: X̂ −
→ R ôóíêöèÿ, ñîâïàäàþùàÿ ñ f íà X è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå a íà ýëåìåíòå ∗ .
Ðàññìîòðèì â R áàçó C , ñîñòîÿùóþ èç âñåõ îêðåñòíîñòåé a . Òîãäà lim f (x) = a òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ fˆ íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî (B̂, C) .
B
Óïðàæíåíèå 3. Îïðåäåëèòå áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû ïî áàçå. Íåïðåðûâíîñòè êàêîãî âñïîìîãà-
òåëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëà lim f (x) = +∞ ?
B
2
Äîâîëüíî ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïî áàçå â ñìûñëå Ãåéíå. Îòìåòèì,
îäíàêî, ÷òî ýêâèâàëåíòíûì ñòàíäàðòíîìó ýòî îïðåäåëåíèå áóäåò òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè áàçà
ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé ñ÷åòíîé áàçå (äëÿ ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå, äà è â äðóãèõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ ýòî òàê è åñòü). Ïîýòîìó äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèÿ îá àðèôìåòèêå ïðåäåëîâ,
ëåììó î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ, ëåììó î ñîõðàíåíèè çíàêà è ò. ï. äëÿ ïðîèçâîëüíûõ áàç íàäî
çàíîâî. Âïðî÷åì, íèêàêèõ ñëîæíîñòåé çäåñü íå ïîÿâëÿåòñÿ.
Óïðàæíåíèå 4. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå óïîìÿíóòûå âûøå óòâåðæäåíèÿ äëÿ ïðåäåëà ïî
ïðîèçâîëüíîé áàçå.
Ìû îãðàíè÷èìñÿ òåì, ÷òî ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà
ïî áàçå.
Îïðåäåëåíèå 5. Ïóñòü E ïîäìíîæåñòâî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ âåùåñòâåííîçíà÷íîé ôóíê-
öèè f (x) . Êîëåáàíèåì ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå E íàçûâàåòñÿ ω(f, E) = sup |f (x1 ) − f (x2 )| .
x1 ,x2 ∈E
(Êàê îáû÷íî, òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ íåîãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà ìû ñ÷èòàåì ñèìâîë
+∞ .)
Òåîðåìà 3 (Êðèòåðèé Êîøè). Ïóñòü B áàçà â ìíîæåñòâå X , à f : X −
→ R íåêîòî-
ðàÿ ôóíêöèÿ. Ïðåäåë lim f (x) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0
B
ñóùåñòâóåò B ∈ B òàêîå, ÷òî ω(f, B) < ε .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðåäåë lim f (x) ñóùåñòâóåò è ðàâåí a . Òîãäà äëÿ ëþáîãî
B
ε > 0 ñóùåñòâóåò B ∈ B òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ B âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |f (x) − a| < 3ε .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè x1 , x2 ∈ B ìû èìååì |f (x1 ) − f (x2 )| 6 |f (x1 ) − a| + |f (x2 ) − a| < 2ε
. Ïîýòîìó
3
ω(f, B) = sup |f (x1 ) − f (x2 )| 6 2ε
<
ε
.
3
x1 ,x2 ∈B
Äîêàæåì òåïåðü êðèòåðèé â äðóãóþ ñòîðîíó. Íàéäåì äëÿ ε = 1, 12 , 13 . . . òàêèå Bn ∈ B , ÷òî
ω(Bn , f ) < n1 . Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ⊇ Bn+1 äëÿ ëþáîãî n ∈ N . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
ýòî íå òàê, ìû ìîæåì çàìåíèòü Bn+1 íà ýëåìåíò áàçû, ëåæàùèé â ïåðåñå÷åíèè Bn ∩ Bn+1 .
Ïðîäåëàâ ýòî äëÿ n = 1, 2, 3, . . . , ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùóþ íóæíûì
ñâîéñòâàì.
Âûáåðåì òåïåðü äëÿ êàæäîãî n ∈ N ýëåìåíò xn ∈ Bk . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(f (xn )) ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Ïóñòü a = lim f (xn ) . Òåïåðü, åñëè íàì çàäàíî ε > 0 ,
n→
−∞
íàéäåì òàêîå k ∈ N , ÷òî k1 < ε . Ïîñêîëüêó âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) ñ n > k ëåæàò
â Bk , ìû èìååì |f (x) − a| = lim |f (x) − f (xn )| 6 ω(f, Bk ) < k1 < ε äëÿ ëþáîãî x ∈ Bk . Ïîýòîìó
lim f (x) = a .
n→
−∞
B
3