ÓÄÊ 681.326.35.74 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ïîëó÷åíèè âõîäíûõ ñèãíàëîâ x

ÓÄÊ 681.326.35.74
ÎÁÅÑÏÅ×ÅÍÈÅ
ÒÅÑÒÎÏÐÈÃÎÄÍÎÑÒÈ
ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÎ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ
ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐ
ÒÀÐÀÍÎÂ Â.Á., ÊÓËÀÊ Ý.Í., ÊÎÂÀËÅÂ Å.Â.
Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ áàçîâîé ÿ÷åéêè äëÿ
îáåñïå÷åíèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè îäíîìåðíîé è äâóìåðíîé
îðòîãîíàëüíî ñâÿçàííûõ ñèñòîëè÷åñêèõ ìàòðèö êîìáèíàöèîííûõ ýëåìåíòîâ (ÑÌÊÝ) ïðè èñïîëüçîâàíèè ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé â ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ââåäåíèå
Íåäîñòàòî÷íîå îáåñïå÷åíèå ñóùåñòâóþùèõ óíèâåðñàëüíûõ ÝÂÌ ñðåäñòâàìè îáðàáîòêè áîëüøèõ
ìàññèâîâ äàííûõ ÷èñëîâîé èëè ñèìâîëüíîé ïðèðîäû
äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ èçîáðàæåíèé, ðå÷è è äð. â ðåàëüíîì ìàñøòàáå âðåìåíè, à òàêæå ïðèáëèæåíèå áûñòðîäåéñòâèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ñõåì ê ïðåäåëó,
îïðåäåëÿåìîìó çàêîíàìè ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, ïîñëóæèëî òîë÷êîì ê ðàçâèòèþ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ ñèñòîëè÷åñêîãî òèïà.
Òàêèå óñòðîéñòâà ñîñòîÿò èç èäåíòè÷íûõ ÿ÷ååê êîìáèíàöèîííîãî èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòíîãî òèïà è
îñóùåñòâëÿþò ïàðàëëåëüíî-êîíâåéåðíóþ îáðàáîòêó
äàííûõ [1,2]. Ñ óâåëè÷åíèåì êîëè÷åñòâà òàêèõ ÿ÷ååê
âîçíèêàåò ìíîæåñòâî ïðîáëåì, îäíîé èç êîòîðûõ
ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà òåñòèðîâàíèÿ [3, 4]. Ìàòðèöà ñ
êîìáèíàöèîííûì òèïîì ÿ÷ååê íàçûâàåòñÿ Ñ-òåñòèðóåìîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïðîòåñòèðîâàíà ïîñòîÿííûì ÷èñëîì âåêòîðîâ, íåçàâèñèìûì îò ðàçìåðà
ìàòðèöû. Âïåðâûå èäåÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè áûëà ïðåäëîæåíà â [5], à çàòåì ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â [3, 6, 7]. Ïðè
ýòîì ïðîèçâîäèëèñü ïîïûòêè ñîêðàùåíèÿ âðåìåíè
òåñòèðîâàíèÿ ïóòåì èçìåíåíèÿ ñïîñîáà ðåãåíåðàöèè
òåñòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ÷èñëà äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî òàêèõ ñîñòîÿíèé
áûëî èñïîëüçîâàíî â [3], ïðè ýòîì óäàëîñü ñîêðàòèòü
âðåìÿ òåñòèðîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ [6], ãäå èñïîëüçîâàëîñü òî æå ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé.
Îäíàêî áûë ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé ìîäèôèêàöèè ÿ÷åéêè, êîòîðûé âëå÷åò çà ñîáîé ïîÿâëåíèå
íåäîîïðåäåëåííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé ïðè
óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè ÿ÷åéêè.
 äàííîé ðàáîòå äîêàçàíû äâå òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ñïîñîá ìîäèôèêàöèè ÿ÷åéêè ìàòðèöû ïðè
èñïîëüçîâàíèè ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé â ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðè ýòîì ôîðìèðóþòñÿ áîëåå îáùèå óñëîâèÿ,
êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìîäèôèöèðîâàííàÿ
ôóíêöèÿ áàçîâîé ÿ÷åéêè, ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàíåå
ñôîðìóëèðîâàííûìè.
1. Îïðåäåëåíèÿ è çàìå÷àíèÿ
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíóþ è äâóìåðíóþ
ìàòðèöû. Íàïðàâëåíèå âäîëü ñòðîêè ìàòðèöû (ãîðèçîíòàëüíîå) îïðåäåëèì êàê x-íàïðàâëåíèå, âåðòèêàëüíîå – y-íàïðàâëåíèå. Âõîäû è âûõîäû ÿ÷åéêè
â ýòèõ íàïðàâëåíèÿõ îáîçíà÷èì x, y,
xo, yo
ÐÈ, 1998, ¹ 1
ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ïîëó÷åíèè âõîäíûõ ñèãíàëîâ x
è y ÿ÷åéêà âûðàáàòûâàåò âûõîäíûå ñèãíàëû xo, yo.
Ýòîò ïðîöåññ îçíà÷àåò ïåðåõîä èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ
(x, y) â äðóãîå (xo,yo), ò.å. (x,y)→(xo,yo) äëÿ äâóìåðíîé
ìàòðèöû è (x,y)→xo – äëÿ îäíîìåðíîé. Çàïèñü yo(x,
y), xo(x,y), yo=f(x,y), ãäå f – ôóíêöèÿ ÿ÷åéêè,
îçíà÷àåò âûõîäíûå ñèãíàëû ÿ÷åéêè, ïîëó÷èâøèå íà
âõîäàõ çíà÷åíèå x è y; x è xo ìîãóò èìåòü m ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé è îáîçíà÷àòüñÿ xi , i=1,...m. Äëÿ y è yo
àíàëîãè÷íî – yj, j=1,...,n.
Ôóíêöèÿ ÿ÷åéêè çàäàåòñÿ òàáëèöåé ïåðåõîäîâ
ñîñòîÿíèé Sb. Îíà èìååò m ñòðîê è n ñòîëáöîâ.
Êàæäîé ïàðå i è j ñîîòâåòñòâóåò ïàðà âõîäíûõ
çíà÷åíèé áàçîâîé ÿ÷åéêè (yo(xi,yj ), xo(xi,yj)) – äëÿ
äâóìåðíîé è çíà÷åíèå (xo(xi,yj)) – äëÿ îäíîìåðíîé
ìàòðèöû.
Ìîäåëü íåèñïðàâíîñòè òàêîâà, ÷òî òîëüêî îäíà
ÿ÷åéêà ìàòðèöû ìîæåò áûòü íåèñïðàâíîé. Íåèñïðàâíîñòü áàçîâîé ÿ÷åéêè ìîæåò ïðèâåñòè ê èçìåíåíèþ îäíîãî èëè áîëåå ýëåìåíòîâ òàáëèöû ïåðåõîäîâ, ò.å. ôóíêöèÿ íåèñïðàâíîé ÿ÷åéêè áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ôóíêöèè èñïðàâíîé.
Åñëè â ÿ÷åéêå èìååòñÿ íåèñïðàâíîñòü, èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü xc /xe èëè yc /ye , ãäå xc è yc – èñïðàâíûå
ñîñòîÿíèÿ; xe è ye - ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
íåèñïðàâíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå xc≠xe è yc≠ye, ò.å.
èñïðàâíîå è íåèñïðàâíîå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷èìûìè. Ïåðåõîä ñîñòîÿíèé â êàêîì-ëèáî íàïðàâëåíèè, ñêàæåì, â x-íàïðàâëåíèè, ìîæåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ êàê x→xo. Åñëè ÿ÷åéêà èìååò íåèñïðàâíîñòü,
ïåðåõîä îáîçíà÷àåòñÿ x→xoc/xoe. Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò,
÷òî åñëè ÿ÷åéêà íåèñïðàâíà, ïåðåõîä èìååò âèä
x→xoe, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - x→xoc.
Óñëîâèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè ïðèâåäåíû â [3, 6].
ß÷åéêà òåñòèðóåòñÿ èñ÷åðïûâàþùèì òåñòîì. Ìàòðèöà ïðîòåñòèðîâàíà, åñëè ïðîòåñòèðîâàíû âñå ÿ÷åéêè.
Ïðèâåäåì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.
Ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ õîðîøî îïðåäåëåííîé â
êàêîì-ëèáî íàïðàâëåíèè, ñêàæåì, â x-íàïðàâëåíèè,
åñëè äëÿ êàæäîãî yj ∈ Y íå ñóùåñòâóåò äâóõ ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé xi è xk, {xi,xk}∈X, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå f(xi,yj)=f(xk,yj).
Ôóíêöèÿ f â êàêîì-ëèáî íàïðàâëåíèè, ñêàæåì,
â x-íàïðàâëåíèè, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàöåïëåíèÿ
äëÿ L ñîñòîÿíèé ÿ÷åéêè, åñëè ìíîæåñòâî ýòèõ
ñîñòîÿíèé ìîæíî óïîðÿäî÷èòü òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû êàæäûé åãî ïîñëåäóþùèé ýëåìåíò ÿâëÿëñÿ
ôóíêöèåé ïðåäûäóùåãî (äëÿ ïåðâîãî ýëåìåíòà ïðåäûäóùèì ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèé). Åñëè óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî ïðåäñòàâèòü êàê {x1, x2 ,...,xl, ...,xL}, ãäå l
– íîìåð ýëåìåíòà â íåì, òî äëÿ íåãî äîëæíà
âûïîëíÿòüñÿ ñèñòåìà ðàâåíñòâ:
f(x1,y)=x2,
f(x2,y)=x3,
…. . .
f(xl,y)=xl+1,
(1)
…. . .…
f(xL,y)=x1.
Àíàëîãè÷íî äëÿ y-íàïðàâëåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî
ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìó óñëîâèþ, ÿâëÿåòñÿ õîðîøî îïðåäåëåííîé, ïðè÷åì àðãóìåíò ôóíêöèè íå ìîæåò áûòü ðàâåí åå çíà÷åíèþ.
91
Åñëè ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàöåïëåíèÿ, áóäåì îáîçíà÷àòü åå fχ.
2. Îáåñïå÷åíèå Ñ-òåñòèðóåìîñòè îäíîìåðíîé
ñèñòîëè÷åñêîé ìàòðèöû
Òåîðåìà 1. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ C-òåñòèðóåìîñòè
îäíîíàïðàâëåííîé îäíîìåðíîé ÑÌÊÝ íåîáõîäèìî
ââåñòè â ÿ÷åéêó ìèíèìóì ÷åòûðå äîïîëíèòåëüíûõ
ñîñòîÿíèÿ (xm+1, yn+1, yn+2, yn+3), ôóíêöèÿ êîòîðûõ
äîëæíà èìåòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
fχ(xi,yn+1)=xk,
i=1,...,m+1, k=1,...,m+1,
(2)
Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèå óïðàâëÿåìîñòè â ÷àñòè
P1 ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ, ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî yn+1 â P1
(ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà P1) ðàâíî m.
Òàê êàê ôóíêöèÿ f (2) ÿâëÿåòñÿ õîðîøî îïðåäåëåííîé, äëÿ êàæäîé ÿ÷åéêè â ïðåäåëàõ P1
xo(xe,yn+1)≠xo(xc,yn+1),åñëè xe≠xc, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè è íåçàâèñèìîñòè òåñòîâîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åå äëèíû îò íåèñïðàâíîñòè
xv, v=1,...m+1.
Ðàññìîòðèì ÷àñòü P2 ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàr=1,...,m,
(3) òåëüíîñòè. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïîÿâëåíèå ñîñòîf(xm+1,yn+2)=xr,
ÿíèÿ xs≠xm+1, s=1,...m (ðèñ.1) îçíà÷àåò íàëè÷èå
s=1,...,m,
(4)
f(xs,yn+2)=xm+1,
íåèñïðàâíîñòè â òåñòèðóåìîé ÿ÷åéêå, ïîýòîìó xs
(5) íóæíî òðàíñôîðìèðîâàòü â xm+1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
f(xm+1,yn+3)=xm+1,
íåîáõîäèìî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå xr,
i=1,...,m, k=1,...,m,
(6) êîòîðîå ïîñëóæèò “òî÷êîé îòñ÷åòà” â íåïîñðåäñòâåífχ(xi,yn+3)=xk,
(7) íîé ðåãåíåðàöèè xt. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ìèíèìóì
f(xm+1,yw)=xm+1, w=1,...,n,
îäíî äîïîëíèòåëüíîå ñîñòîÿíèå yn+2, äëÿ êîòîðîãî
äëÿ îñòàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé
f(xi,yj)=xi, äëÿ i=m+2,...,2m, j=1,...,2n, è äëÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ (3) è (4), ïðè÷åì xr
i=1,...,m+1, j=n+4,...,2n.
(8) ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå èç m âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî óñëî- Äëÿ ðåãåíåðàöèè xt è ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåèñïðàâíîñòè òðåáóåòñÿ åùå îäíî äîïîëíèòåëüíîå ñîñòîÿíèå
âèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè âûïîëíÿþòñÿ.
Äîïîëíèòåëüíîå x-ñîñòîÿíèå (xm+1) íåîáõîäèìî yn+3. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî yn+1 â ýòèõ öåëÿõ èñïîëüââîäèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû òðàíñôîðìèðîâàòü â íåãî çîâàòü íåëüçÿ, òàê êàê f(xm+1,yn+1)≠xm+1 (ýòî ñëåäóåò
íåèñïðàâíîñòü xv, v=1,...,m+1, èìåþùóþñÿ â òåñòè- èç óñëîâèÿ çàöåïëåíèÿ), ÷òî íå äàñò âîçìîæíîñòè
ðóåìîé ÿ÷åéêå, è ðàñïðîñòðàíÿòü åå â òàêîì âèäå áåñïðåïÿòñòâåííî òðàíñïîðòèðîâàòü xm+1 ê ñëåäóþêî âõîäó ñëåäóþùåé òåñòèðóåìîé ÿ÷åéêè.  ïðîòèâ- ùåé òåñòèðóåìîé ÿ÷åéêå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ yn+3
íîì ñëó÷àå âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà íà âõîäå íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèé (5) è (6).
Äëÿ ïðîõîæäåíèÿ xm+1 ÷åðåç òåñòèðóåìûå ÿ÷åéêè
ïîñëåäíå é îêàæåòñÿ x e ≠x c , äëÿ êîòîðîãî
xo(xe,y)=xo(xc,y) (òàê êàê ôóíêöèÿ ÿ÷åéêè íå ÿâëÿ- íóæíî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (7).  ïîñëåäîåòñÿ õîðîøî îïðåäåëåííîé), ÷òî ïðèâåäåò ê ìàñêèðî- âàòåëüíîñòè ðåãåíåðàöèè òåñòîâîãî âõîäà yn+2 èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, à yn+3
ìîæåò
âàíèþ íåèñïðàâíîñòè.
èñïîëüçîâàòüñÿ
ìàêñèìóì
m-1
ðàç.
Äîïîëíèòåëüíûå y-ñîñòîÿíèÿ (yn+1,yn+2,yn+3) áóÎ÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèå óïðàâëÿåìîñòè ìàòðèöû
äóò ñîñòàâëÿòü ðåãåíåðèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
âûïîëíÿåòñÿ.
Óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè è íåçàâèñèìîÄëÿ óäîáñòâà ðàçäåëèì åå íà äâå ÷àñòè P1 è P2 (ðèñ.1).
ñòè
òåñòîâîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åå äëèíû îò
Ìåõàíèçì ðåãåíåðàöèè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Â
íåèñïðàâíîñòè
xv, v=1,..., m+1 îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì,
÷àñòè P1 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ xu(xt,yw),
u=1,..., m ê xm+1, ãäå xt è yw (t=1,...m, w=1,...n) – ÷òî íåèñïðàâíîñòü òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñîñòîÿíèå
xm+1 è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ê íàáëþäàåìûì âûõîäàì
òåñòîâûå âõîäû
ìàòðèöû, âñëåäñòâèå ÷åãî
íåèñïðàâíîå è èñïðàâíîå
ñîñòîÿíèÿ îñòàþòñÿ âñåãäà ðàçëè÷èìûìè.
Ââåäåíèå õîòÿ áû îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ òðåáóåò äîáàâëåíèÿ îäíîãî äîïîëíèòåëüÐèñ. 1. Òåñòèðîâàíèå îäíîìåðíîé ÑÌÊÝ
íîãî âõîäà â ÿ÷åéêó, ÷òî
â x- è y- íàïðàâëåíèÿõ. Ïîÿâëåíèå âìåñòî xm+1 â ñâîþ î÷åðåäü ïðèâîäèò ê óäâîåíèþ âîçìîæíûõ
ëþáîãî äðóãîãî ñîñòîÿíèÿ xs≠xm+1, s=1,..., m áóäåò ñîñòîÿíèé, ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ ôóíîçíà÷àòü, ÷òî â òåñòèðóåìîé ÿ÷åéêå èìååòñÿ íåèñï- êöèè îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííûìè. Èõ ñëåäóåò äîîïðàâíîñòü xu≠xv, v=1,..., m+1, ïîýòîìó â ÷àñòè P2 ðåäåëèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óñëîâèÿ Ñ-òåñòèðóðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñòîÿíèå xs åìîñòè íå íàðóøàëèñü. Íàèáîëåå ðàöèîíàëüíûì ñ
äîëæíî òðàíñôîðìèðîâàòüñÿ â xm+1, à xm+1 äîëæíî òî÷êè çðåíèÿ àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè è ïðîâåðêè
áåñïðåïÿòñòâåííî ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êî âõîäó ñëåäó- ôóíêöèè ÿ÷åéêè áóäåò ñïîñîá, îïðåäåëåííûé âûðàþùåé òåñòèðóåìîé ÿ÷åéêè (íà ðèñ. 1-3 òåñòèðóåìûå æåíèåì (8).
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ïåðåõîäà xi→xi
ÿ÷åéêè âûäåëåíû ñåðûì öâåòîì).  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ
íåèñïðàâíîñòè â ÷àñòè P2 íåîáõîäèìî îñóùåñòâèòü ðåãåíåðàöèÿ íå òðåáóåòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà
ïåðåõîä îò xm+1 ê xt, ò.å. ïðîèçâåñòè ñîáñòâåííî òåñòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà åäèíèöå. Ïðè
ýòîì óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè è íåçàâèñèìîñòè òåñòîðåãåíåðàöèþ òåñòîâîãî âõîäà xt.
Ðàññìîòðèì ÷àñòü P1 ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâà- âîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åå äëèíû îò íåèñïðàâíîòåëüíîñòè. Äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ïåðåõîäà îò xu ê xm+1 ñòè âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê íå ñóùåñòâóåò x'≠xi, äëÿ
äîñòàòî÷íî îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ yn+1, êîòîðîãî x'=f(xi,yi), ïðè i=m+2,...2m, j=1,...m+3, è
ïðè j=1,...2m, j=n+4,...2n. Ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû
ôóíêöèÿ êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2).
òàêæå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà i=m+1 ïðè j=1,...n è j=n+3.
92
ÐÈ, 1998, ¹ 1
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè ìàòðèöû ïðè âîçíèêíîâåíèè íåèñïðàâíîñòè xv,
v=m+2,...2m è íåçàâèñèìîñòè îò íåå òåñòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åå äëèíû áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, òàê
êàê óñëîâèå, âûðàæåííîå â ôîðìóëå (8), îáåñïå÷èâàåò áåñïðåïÿòñòâåííîå ïðîäâèæåíèå xv ê íàáëþäàåìûì âûõîäàì ìàòðèöû.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèâåäåííûõ â òåîðåìå óñëîâèé, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé ÿ÷åéêè, Ñ-òåñòèðóåìîñòü
ìàòðèöû îáåñïå÷èâàåòñÿ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå òåîðåìû 1.
Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ïåðåõîäîâ äîïîëíèòåëüíûõ
ñîñòîÿíèé x→xo, ãäå x=xo, ðåãåíåðàöèÿ òåñòîâîãî
âõîäà íå òðåáóåòñÿ, è äëèíà òåñòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè ýòîì ðàâíà åäèíèöå. Ïðè òåñòèðîâàíèè
âñåõ îñòàëüíûõ ïåðåõîäîâ ìîäèôèöèðîâàííîé òàáëèöû ðåãåíåðàöèÿ òåñòîâîãî âõîäà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ
èñïîëüçîâàíèåì äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé yn+1,
yn+2,yn+3 è äëèíà òåñòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè
ýòîì ðàâíà 2m+1.
Ïðèìåð ìîäèôèöèðîâàííîé ìàòðèöû ïåðåõîäîâ
ñîñòîÿíèé ÿ÷åéêè ïðåäñòàâëåí â òàáë. 1, ãäå ôóíêöèÿ
ÿ÷åéêè äëÿ yn+1, yn+3 – èíêðåìåíò, m=n=4, xr=0.
Ïðèìåðû òåñòèðîâàíèÿ ìàòðèöû ñ äàííîé òàáëèöåé
ïåðåõîäîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2. Äëÿ çàòåìíåííûõ
ÿ÷ååê òåñòèðóåòñÿ ïåðåõîä (1,2)→1.
3. Îáåñïå÷åíèå Ñ-òåñòèðóåìîñòè äâóìåðíîé
ñèñòîëè÷åñêîé ìàòðèöû
Òåîðåìà 2. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè
îäíîíàïðàâëåííîé îðòîãîíàëüíîé äâóìåðíîé ÑÌÊÝ
Òàáëèöà 1
y1
x\y
...
yn yn+1 yn+2 yn+3 .yn+4
0
0
1
1
2
2
3
3
3
4
1
5
4
6
1
7
0
.
1
2
2
1
0
2
4
2
1
.
2
1
0
0
1
3
4
3
2
xm
3
3
1
0
0
4
4
0
3
xm+1 4
xm+2 5
xm+3 6
4
5
6
4
5
6
4
5
6
4
5
6
0
5
6
0
5
6
4
5
6
4
5
6
xm+4 7
7
7
7
7
7
7
7
7
x1
íåîáõîäèìî ââåñòè â ÿ÷åéêó ìèíèìóì âîñåìü äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé (xm+1, xm+2, xm+3, xm+4, yn+1,
yn+2, yn+3, yn+4), ôóíêöèÿ êîòîðûõ äîëæíà èìåòü
ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
fχ(xi,yn+2)=xk, i=1,...,m+1, k=1,...,m+1,
(11)
f(xm+1,yn+3)=xr,
r=1,...,m,
(12)
f(xs,yn+3)=xm+1,
s=1,...,m,
(13)
f(xm+1,yn+4)=xm+1,
(14)
fχ(xi,yn+3)=xk,
k=1,...,m, i=1,...,m,
(15)
f(xm+1,yw)=xm+1,
w=1,...,n,
(16)
i=1,...,m+1,
(17)
f(xi,yn+1)=xi,
äëÿ îñòàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé
f(xi,yj)=xi, äëÿ i=m+2,..., 2m, j=1,..., 2n è äëÿ
i=1,..., m+1, j=n+5,..., 2n.
(18)
Àíàëîãè÷íî ïðîèñõîäèò äîîïðåäåëåíèå ôóíêöèé
ïî y-íàïðàâëåíèþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè âûïîëíÿþòñÿ.  òåîðåìå ïðèâåäåíû ñâîéñòâà äëÿ x-íàïðàâëåíèÿ, òàê êàê äëÿ yíàïðàâëåíèÿ îíè ñèììåòðè÷íû.
Äëÿ äâóìåðíîé ìàòðèöû íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü
âûïîëíåíèå òåõ æå óñëîâèé Ñ-òåñòèðóåìîñòè, ÷òî è
äëÿ îäíîìåðíîé ìàòðèöû ïëþñ âûïîëíåíèå ÷åòâåðòîãî óñëîâèÿ – ïåðåäà÷ó áåç èçìåíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåãåíåðàöèè òåñòîâîãî âõîäà â çàäàííîì
íàïðàâëåíèè. Ïîýòîìó îáùèå ñ îäíîìåðíîé ìàòðèöåé óñëîâèÿ îáåñïå÷åíèÿ Ñ-òåñòèðóåìîñòè ïðèâåäåì
áåç äîêàçàòåëüñòâ (ñî ññûëêîé íà òåîðåìó 1), à
ïîäðîáíî îñòàíîâèìñÿ ëèøü íà îñîáåííîñòÿõ äâóìåðíîé ìàòðèöû.
Ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ äâóìåðíîé
ìàòðèöû â y-íàïðàâëåíèè íóæíî äîïîëíèòåëüíîå
ñîñòîÿíèå yn+1 ïîäîáíî xm+1 â x-íàïðàâëåíèè, ïîýòîìó â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ íåîáõîäèìî ÷åòûðå äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèÿ. Ñïîñîá ðåãåíåðàöèè òîò æå,
÷òî è äëÿ îäíîìåðíîé ìàòðèöû, íî â äàííîì ñëó÷àå
ðåãåíåðàöèÿ äîëæíà îñóùåñòâëÿòüñÿ â x- è y-íàïðàâëåíèÿõ îäíîâðåìåííî.
Âûðàæåíèÿ (11)-(16),(18) ñëåäóþò èç òåîðåìû 1.
Äëÿ äâóìåðíîé ìàòðèöû íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü
ôóíêöèþ äîïîëíèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ yn+1. Íàèáîëåå
ðàöèîíàëüíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîâåðêè ôóíêöèè
ÿ÷åéêè è àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè áóäåò ñïîñîá äîîïðåäåëåíèÿ, àíàëîãè÷íûé òîìó, ÷òî èñïîëüçîâàí â (8),
ïîýòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü (17).
Íàêîíåö, ïåðåäà÷ó áåç èçìåíåíèé â x-íàïðàâëåíèè ðåãåíåðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ñîñòîÿíèÿ xm+2, xm+3, xm+4) îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå, âûðàæåííîå â (18).
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèâåäåííûõ â òåîðåìå óñëîâèé, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé ÿ÷åéêè, Ñ-òåñòèðóåìîñòü ìàòðèöû îáåñïå÷èâàåòñÿ.
Ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïðèìåð ìîäèôèöèðîâàííîé òàáëèöû ïåðåõîäîâ
ñîñòîÿíèé ÿ÷åéêè äâóìåðíîé ìàòðèöû ïðåäñòàâëåí â
òàáë. 2, ãäå ôóíêöèÿ ÿ÷åéêè äëÿ yn+2 è yn+4 –
èíêðåìåíò, m=n=4, xr=0. Ïðèìåð òåñòèðîâàíèÿ
ìàòðèöû ñ äàííîé òàáëèöåé ïåðåõîäîâ ïðèâåäåí íà
ðèñ.3. Äëÿ çàøòðèõîâàííûõ ÿ÷ååê òåñòèðóåòñÿ ïåðåõîä (1,0)→(2,3).
 ðàáîòå äîêàçàíû äâå òåîðåìû, ãäå ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ÿ÷åéêè ñèñòîëè÷åñêîé
ìàòðèöû ïðè èñïîëüçîâàíèè ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà
Ðèñ. 2. Ïðèìåð òåñòèðîâàíèÿ îäíîìåðíîé ÑÌÊÝ
ÐÈ, 1998, ¹ 1
93
äîïîëíèòåëüíûõ ñîñòîÿíèé, ó÷àñòâóþùèõ â ðåãåíåðàöèè òåñòîâîãî âõîäà. Ýòè óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ ëþáîé ðàçìåðíîñòè áàçîâîé ÿ÷åéêè ìàòðèöû.
Òàáëèöà 2
y1
x\y
0
...
1
yn
2
3
yn+1 yn+2 yn+3 yn+4
4
5
6
7
x1
0
(1,2) (2,3) (3,1) (3,0) (0,4) (1,5) (4,6) (1,7)
.
1
(2,3) (2,1) (1,3) (0,0) (1,4) (2,5) (4,6) (2,7)
.
2
(1,2) (0,3) (0,0) (1,0) (2,4) (3,5) (4,6) (3,7)
xm
3
(3,1) (1,2) (0,2) (0,1) (3,4) (4,5) (4,6) (0,7)
xm+1
4
(4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (0,5) (0,6) (4,7)
xm+2
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,0) (5,5) (5,6) (5,7)
xm+3
6
(6,4) (6,4) (6,4) (6,4) (6,0) (6,5) (6,6) (6,7)
xm+4
7
(7,1) (7,2) (7,3) (7,0) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7)
new class of C-testable systolic arrays // Integration VLSI
journal. 1989, ¹8. Ð.269-283. 5. Friedman A.D. Easily
Testable Iterative Systems // IEEE Trans. on Comput. 1973.
Vol. C22, ¹12. Ð.1061-1064. 6.Elhumi H., Vergis A., Kinney L.
C-testability of two-dimentional iterative arrays // IEEE
Trans. Comput.-Aided Design. 1986. Vol. CAD-5, ¹4.
Ð.573-581. 7. Lombardi F., Huang W.-K. Fault Detection and
Design Complexity in C-testable VLSI Arrays // IEEE Trans.
Comput. 1990. Vol. 39, ¹ 12. Ð.1477-1481.
Ïîñòóïèëà â ðåäêîëëåãèþ 12.02.98
Òàðàíîâ Âèêòîð Áîðèñîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê êàôåäðû ÀÏÂÒ, ÕÒÓÐÝ. Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë. (0572)
40-93-26.
Êóëàê Ýëüâèðà Íèêîëàåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû ÀÏÂÒ, ÕÒÓÐÝ. Àäðåñ:
310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 14, òåë. (0572) 4093-26.
Êîâàëåâ Åâãåíèé Âèêòîðîâè÷, àñïèðàíò êàôåäðû
ÀÏÂÒ, ÕÒÓÐÝ. Àäðåñ: 310726, Óêðàèíà, Õàðüêîâ, ïð.
Ëåíèíà, 14, òåë. (0572) 40-93-26.
Ëèòåðàòóðà. 1. ÑÁÈÑ äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ è îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé / Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåä. Ê.Ôó. Ì.:
Ìèð, 1988. 248 ñ. 2. Fuchs W.-K., Earl E., Swarizlander I.
Wafer-Scale Integration Architectures and Algorithms //
IEEE Computer. 1992. Ð.6-8. 3. Huang W.K., Lombardi F.,
Sciuto D. Design and Analysis of C-Testable Arrays // WaferScale Integration II: Proc. 2nd IFIP W610. 5 Workshop,
Engham, 23-25 Sept., 1988. Ð.115-123. 4.Lombardi F. On a
Ðèñ. 3. Ïðèìåð òåñòèðîâàíèÿ äâóìåðíîé ÑÌÊÝ
94
ÐÈ, 1998, ¹ 1