ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè Òåîðèÿ èãð 2011/2012 ó÷åáíûé ãîä

ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè
Òåîðèÿ èãð
(Ä. À.
2011/2012 ó÷åáíûé ãîä
Äàãàåâ, À. Â. Ìèõàéëîâè÷, Ê. È. Ñîíèí, È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ
)
Ëåêöèÿ 3.
4. Èãðû â íîðìàëüíîé ôîðìå
Íà ïåðâîé ëåêöèè ìû äàëè ôîðìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ èãðû. Êîãäà çàäàíî ìíîæåñòâî èãðîêîâ, ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé êàæäîãî èãðîêà, à òàêæå ïëàòåæè êàæäîãî èãðîêà äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî ïðîôèëÿ ñòðàòåãèé, ìû ãîâîðèì, ÷òî
çàäàíà èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå. Åñëè èãðîêà âñåãî äâà, è ó êàæäîãî èç íèõ åñòü
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé, òî òàêóþ èãðó óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå
ìàòðèöû, ïî ñòðîêàì êîòîðîé îòêëàäûâàþòñÿ ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà, ïî ñòîëáöàì ñòðàòåãèè âòîðîãî, à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè è ñòîëáöà ñòîÿò ïëàòåæè, êîòîðûå
ïîëó÷àò èãðîêè, åñëè áóäóò ñûãðàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèè.
Ïðèìåð 1. Îðëÿíêà.
 îðëÿíêó èãðàþò äâîå. Êàæäûé èç èãðîêîâ çàãàäûâàåò íà áóìàãå îðåë èëè ðåøêó,
à çàòåì âûáîðû èãðîêîâ ñðàâíèâàþòñÿ. Åñëè îíè ñîâïàëè, òî ïîáåæäàåò ïåðâûé, à
åñëè ðàçëè÷àþòñÿ, òî ïîáåæäàåò âòîðîé. Ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ:
S1 = {O, P }, S2 = {O, P }, ãäå O ¾âûáðàòü îðëà¿, P ¾âûáðàòü ðåøêó¿. Òîãäà
ïëàòåæè âûãëÿäÿò òàê:
u1 (O, O) = 1, u2 (O, O) = −1,
u1 (P, P ) = 1, u2 (P, P ) = −1,
u1 (O, P ) = −1, u2 (O, P ) = 1,
u1 (P, O) = −1, u2 (P, O) = 1.
Ýòè äàííûå ìîæíî çàïèñàòü è áîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì â îäíîé ìàòðèöå:
O
P
O
1;-1
-1;1
P
-1;1
1;-1
Ïðèìåð 2. Áèòâà ïîëîâ. Ìóæ è æåíà ðåøàþò, ãäå èì ïðîâåñòè âûõîäíîé
äåíü. Ìóæ õî÷åò íà ôóòáîë, à æåíà ïðåäïî÷èòàåò áàëåò. Ïðè ýòîì èì îáîèì õî÷åòñÿ ïðîâåñòè âðåìÿ âìåñòå. Òîãäà ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ èìååò âèä
Shusband = {Ôóòáîë, Áàëåò}, Swif e = {Ôóòáîë, Áàëåò}. Äîïóñòèì, ÷òî ïëàòåæè èãðîêîâ
èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
uh (Ôóòáîë, Ôóòáîë) = 5,
uh (Ôóòáîë, Áàëåò) = 1,
uh (Áàëåò, Ôóòáîë) = 0,
uh (Áàëåò, Áàëåò) = 4,
uw (Ôóòáîë, Ôóòáîë) = 4,
uw (Ôóòáîë, Áàëåò) = 0,
uw (Áàëåò, Ôóòáîë) = 1,
uw (Áàëåò, Áàëåò) = 5.
1
Òîãäà ìàòðèöà ïëàòåæåé âûãëÿäèò òàê:
Ôóòáîë
Áàëåò
Ôóòáîë
5;4
0;0
Áàëåò
1;1
4;5
Ïóñòü ïåðåä íàìè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå. ×òî ñ íåé äåëàòü? Ïîïûòàåìñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü, êàêèå ñòðàòåãèè áóäóò âûáèðàòü ðàöèîíàëüíûå
èãðîêè, ñòàðàþùèåñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé âûèãðûø.
5. Ðàâíîâåñèå â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ
Èíîãäà áûâàåò òàê, ÷òî îäíà ñòðàòåãèÿ çàâåäîìî ëó÷øå äðóãîé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ èãðó.
Ïðèìåð 3. Äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè.
s1
s2
s3
t1
4;2
-1;0
7;-1
t2
0;3
1;3
2;3
t3
5;1
1;2
8;2
Ïðåäñòàâèì ñåáÿ íà ìåñòå ïåðâîãî èãðîêà. Åñëè âòîðîé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ
t1 , òî íàèáîëüøèé âûèãðûø íàì ïðèíåñåò ñòðàòåãèÿ s3 . Ýòîò ôàêò òàêæå áóäåì çàïèñûâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: BR(t1 ) = s3 , ãäå BR(t1 ) îçíà÷àåò íàèëó÷øèé îòâåò
(Best Response) íà ñòðàòåãèþ t1 ñîïåðíèêà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè ñîïåðíèê ñûãðàåò
ñòðàòåãèþ t2 èëè ñòðàòåãèþ t3 , òî íàì òàêæå ñëåäóåò èãðàòü ñòðàòåãèþ s3 , òî åñòü
BR(t2 ) = s3 , BR(t3 ) = s3 . Òàêèì îáðàçîì, êàêóþ áû ñòðàòåãèþ íè ñûãðàë âòîðîé
èãðîê, íàèëó÷øèì îòâåòîì ïåðâîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ îäíà è òà æå ñòðàòåãèÿ s3 ! Òàêèå ñòðàòåãèè íàçûâàþòñÿ äîìèíèðóþùèìè. Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è äàäèì
íåñêîëüêî ôîðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé.
Ïóñòü èìååòñÿ èãðà n ëèö â íîðìàëüíîé ôîðìå, à (s1 , ..., sn ) íåêîòîðûé ïðîôèëü
ñòðàòåãèé. Äëÿ ëþáîãî i = 1, ..., n ïîëîæèì
s−i = (s1 , ...si−1 , si+1 , ..., sn ).
Äðóãèìè ñëîâàìè, s−i íàáîð ñòðàòåãèé èç ïðîôèëÿ (s1 , ..., sn ) âñåõ èãðîêîâ, êðîìå
i-ãî. Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ íàáîðîâ s−i îáîçíà÷èì ÷åðåç S−i .
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà s ∈ Si íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé,
åñëè äëÿ ëþáîé äðóãîé ñòðàòåãèè i-ãî èãðîêà s0 ∈ Si è ëþáîãî íàáîðà s−i ∈ S−i
ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ui (s, s−i ) > ui (s0 , s−i )
(òî åñòü ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s áîëüøå, ÷åì ïëàòåæ,
êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s0 ïðè ëþáûõ ñòðàòåãèÿõ îñòàëüíûõ
èãðîêîâ).
×óòü õóæå ñëàáî äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè.
2
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà s ∈ Si íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé,
åñëè äëÿ ëþáîé äðóãîé ñòðàòåãèè i-ãî èãðîêà s0 ∈ Si è ëþáîãî íàáîðà s−i ∈ S−i
ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ui (s, s−i ) ≥ ui (s0 , s−i )
(òî åñòü ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s íå ìåíüøå, ÷åì ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s0 ïðè ëþáûõ ñòðàòåãèÿõ îñòàëüíûõ èãðîêîâ).
Ïðèìåð 4. Îòëè÷èå ñëàáî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé îò ñòðîãî äîìè-
íèðóþùèõ.
 ïðåäûäóùåé èãðå ìîæíî èñïðàâèòü âñåãî îäèí ïëàòåæ òàê, ÷òî ó ïåðâîãî èãðîêà
óæå íå áóäåò ñòðîãî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé. Ðàññìîòðèì î÷åíü ïîõîæóþ èãðó:
s1
s2
s3
t1
4;2
-1;0
7;-1
t2
0;3
2;3
2;3
t3
5;1
1;2
8;2
 ýòîé èãðå ñòðàòåãèÿ s3 óæå íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé, ïîñêîëüêó åñëè âòîðîé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t2 , òî ïåðâûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s3 íå ïîëó÷èò
áîëüøå, ÷åì èãðàÿ ñòðàòåãèþ t2 . Îäíàêî âåðíî, ÷òî ñòðàòåãèÿ s3 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé, òàê êàê èãðàÿ ýòó ñòðàòåãèþ, ïåðâûé èãðîê ïîëó÷èò íå ìåíüøå, ÷åì
ñûãðàâ ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ, íåçàâèñèìî îò ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà.
Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ñòðîãî äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: íå ëþáàÿ ñëàáî äîìèíèðóþùàÿ
ñòðàòåãèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé.
Î÷åíü ÷àñòî ñòðîãî äîìèíèðóþùóþ ñòðàòåãèþ íàçûâàþò ¾ñèëüíî äîìèíèðóþùåé¿
èëè, êîðî÷å, ¾äîìèíèðóþùåé¿. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ñëîâîñî÷åòàíèå ¾äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ¿ áóäåò ïîäðàçóìåâàòü äîìèíèðîâàíèå â ñòðîãîì ñìûñëå. À âîò êîãäà
ãîâîðÿò î ñëàáî äîìèíèðóþùåé ñòðàòåãèè, ñëîâî ¾ñëàáî¿ îáÿçàòåëüíî ïîä÷åðêèâàþò.
Åñëè ó èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ, òî åñòü âñå îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî
îí áóäåò èãðàòü èìåííî åå. Åìó íå íóæíî äóìàòü î òîì, êàê ñûãðàþò îñòàëüíûå
èãðîêè åãî âûèãðûø ìàêñèìàëåí, åñëè îí ñûãðàåò ñâîþ äîìèíèðóþùóþ ñòðàòåãèþ.
Êàê ìû óæå âûÿñíèëè, â ïðèìåðå 3 ó ïåðâîãî èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ
s3 . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ó âòîðîãî èãðîêà òîæå åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ, à
èìåííî ñòðàòåãèÿ t2 . Åñëè ó îáîèõ èãðîêîâ åñòü äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè, òî ìîæíî
áûòü óâåðåííûì, ÷òî áóäåò ñûãðàí ïðîôèëü, ñîñòîÿùèé èç ýòèõ ñòðàòåãèé. Â äàííîì
ñëó÷àå ýòî ïðîôèëü (s3 , t2 ). Òàêîé ïðîôèëü íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â äîìèíèðóþùèõ
ñòðàòåãèÿõ.
Îïðåäåëåíèå. Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñòðîãî
äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i, i = 1, ..., n, ñòðàòåãèÿ si ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé.
Îïðåäåëåíèå. Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñëàáî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i, i = 1, ..., n, ñòðàòåãèÿ si ÿâëÿåòñÿ
ñëàáî äîìèíèðóþùåé.
3
 ïðèìåðå 3 ïðîôèëü (s3 , t2 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñòðîãî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ.
6. Ðàâíîâåñèå, ïîëó÷àåìîå èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ
ñòðàòåãèé
Õîðîøî, êîãäà ó èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî òàêèå
ïðîñòûå äëÿ àíàëèçà èãðû âñòðå÷àþòñÿ ðåäêî. ×àùå âñòðå÷àþòñÿ èãðû, â êîòîðûõ íóæåí áîëåå òî÷íûé àíàëèç ñâîèõ ñòðàòåãèé è ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ. Îáðàòèìñÿ
ê ñëåäóþùåìó ïðèìåðó.
Ïðèìåð 5. Ñòðîãî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè è èõ èñêëþ÷åíèå.
Ïóñòü çàäàíà ñëåäóþùàÿ èãðà:
s1
s2
t1
4;3
5;5
t2
2;7
5;-1
t3
0;4
-4;-2
Èìååò ëè ñìûñë íà ìåñòå âòîðîãî èãðîêà èãðàòü ñòðàòåãèþ t3 ? Êîíå÷íî, íåò, ïîñêîëüêó êàêóþ áû ñòðàòåãèþ íè ñûãðàë ïåðâûé èãðîê, ñûãðàòü ñòðàòåãèþ t3 äëÿ âòîðîãî èãðîêà çàâåäîìî õóæå, ÷åì ñûãðàòü ñòðàòåãèþ t2 .  òàêîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò, ÷òî
ñòðàòåãèÿ t2 äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ t3 (è íàîáîðîò: ñòðàòåãèÿ t3 äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé t2 ).
0
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñòðîãî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ s èãðîêà i,
0
åñëè ui (s, s−i ) > ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i .
0
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ s èãðîêà i, åñëè
0
ui (s, s−i ) > ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i .
0
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñòðîãî äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s èãðîêà i,
åñëè ui (s, s−i ) < ui (s0 , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i .
Îáîçíà÷åíèå: s ≺ s0 .
0
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñëàáî äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s èãðîêà i,
0
åñëè ui (s, s−i ) 6 ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i .
Îáîçíà÷åíèå: s 4 s0 .
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî òåïåðü ìîæíî äàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå äîìèíèðóþùåé ñòðàòåãèè.
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé, åñëè îíà
ñòðîãî äîìèíèðóåò ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ i-ãî èãðîêà.
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé, åñëè îíà
ñëàáî äîìèíèðóåò ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ i-ãî èãðîêà.
Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñèëüíû îïðåäåëåíèÿì, äàííûì â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà.
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ s0 èãðîêà i, êîòîðàÿ ñòðîãî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ si .
Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ s0 èãðîêà i, êîòîðàÿ ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ si .
Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç âàæíûé ôàêò: åñëè ó èãðîêà åñòü ñòðîãî äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, òî èãðîêó íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ íå èìååò ñìûñëà åå èãðàòü.  ïðèìåðå
4
5 âòîðîé èãðîê íå áóäåò èãðàòü ñòðàòåãèþ t3 . Ýòî ïîíèìàåò êàê âòîðîé èãðîê, òàê è
ïåðâûé èãðîê. Ñëåäîâàòåëüíî, â èãðå èç ïðèìåðà ìîæíî èñêëþ÷èòü ñòîëáåö, ñîîòâåòñòâóþùèé ñòðàòåãèè t3 . Òîãäà èãðà ïðèìåò òàêîé âèä:
s1
s2
t1
4;3
5;5
t2
2;7
5;-1
Íî òîãäà â íîâîé èãðå ó ïåðâîãî èãðîêà ïîÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, òàê
êàê ñòðàòåãèÿ s1 äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s2 . Îáà èãðîêà ïîíèìàþò, ÷òî â òàêîé ñèòóàöèè èãðàòü ñòðàòåãèþ s1 ïåðâîìó èãðîêó íå èìååò íèêàêîãî ñìûñëà. Çíà÷èò, â
ýòîé ìàòðèöå ìîæíî èñêëþ÷èòü ñòðîêó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðàòåãèè s1 . Òåïåðü ïåðåä
èãðîêàìè îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ èãðà:
s2
t1
5;5
t2
5;-1
Íî çäåñü ó âòîðîãî èãðîêà ñòðàòåãèÿ t2 ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóåìîé. Èñêëþ÷èì ñîîòâåòñòâóþùèé ñòîëáåö. Ïîëó÷èì ìàòðèöó ðàçìåðà 1 íà 1:
t1
5;5
s2
Êîãäà îáà èãðîêà ïðîäåëàþò ýòó öåïî÷êó ðàññóæäåíèé, îíè ïðèäóò ê ïðîôèëþ
ñòðàòåãèé (s2 , t1 ). Çàïèñàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîâåäåííûõ íàìè èñêëþ÷åíèé ñòðàòåãèé ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1.t3 4 t2 .
2.s1 4 s2 .
3.t2 4 t1 .
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè â èãðå â íîðìàëüíîé ôîðìå â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé îñòàåòñÿ ìàòðèöà ðàçìåðà 1 íà 1, òî
îñòàâøèéñÿ ïðîôèëü íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé.
 ïðèìåðå 5 ïðîôèëü (s2 , t1 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì
ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé.
Âîîáùå ãîâîðÿ, íå â êàæäîé èãðå ïîñëåäîâàòåëüíûì èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ
ñòðàòåãèé ìîæíî ïðèéòè ê ìàòðèöå 1 íà 1. Íàïðèìåð, â èãðå ¾Áèòâà ïîëîâ¿ (ñì.
ïðèìåð 2) íè ó îäíîãî èç èãðîêîâ íåò äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
èñêëþ÷åíèå äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå ÿâëÿåòñÿ èíñòðóìåíòîì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî
ìîæíî ðåøèòü ëþáóþ èãðó.
 íåêîòîðûõ èãðàõ ìîæåò áûòü ñðàçó íåñêîëüêî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Òîãäà
âîçíèêàåò ëîãè÷íûé âîïðîñ: â êàêîì ïîðÿäêå èõ èñêëþ÷àòü? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîðÿäîê èñêëþ÷åíèÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå âàæåí, òî åñòü èñêëþ÷àÿ ñòðîãî
äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè â ëþáîì ïîðÿäêå, ìû ïðèäåì ê îäíîìó è òîìó æå èñõîäó. À
5
âîò èñêëþ÷åíèå ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçíûì ðåçóëüòàòàì â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà èñêëþ÷åíèÿ ñòðàòåãèé.
Ïðèìåð 6. Ñëàáî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè è èõ èñêëþ÷åíèå.
s1
s2
t1
0;0
0;0
t2
0;0
0;0
Êàæäàÿ ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé è êàæäàÿ ñòðàòåãèÿ âòîðîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé. Â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà, â
êîòîðîì ìû áóäåì èñêëþ÷àòü ñòðàòåãèè, ìû ïðèäåì ê ðàçíûì ðàâíîâåñèÿì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Ýòî ïëîõîé ýôôåêò, èç-çà êîòîðîãî
èñêëþ÷åíèå ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå èìååò áîëüøîãî ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Åùå ñ îäíèì ïëîõèì ñâîéñòâîì ýòîé îïåðàöèè ìû ïîçíàêîìèìñÿ íà ñëåäóþùåé
ëåêöèè.
6