Лекция 4 - Высшая школа экономики

ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè
Òåîðèÿ èãð
(Ä. À.
2011/2012 ó÷åáíûé ãîä
Äàãàåâ, À. Â. Ìèõàéëîâè÷, Ê. È. Ñîíèí, È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ
)
Ëåêöèè 45.
7. Ðàâíîâåñèå Íýøà
Íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû ðàññìîòðåëè äâå êîíöåïöèè ðåøåíèÿ èãð: ðàâíîâåñèå
â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ è ðàâíîâåñèå, ïîëó÷àåìîå èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ
ñòðàòåãèé. Îäíàêî ýòèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ¾ðåøèòü¿ íå êàæäóþ èãðó, ïîñêîëüêó äàëåêî íå âñåãäà ó èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùèå èëè, õîòÿ áû, äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè.
Ðàâíîâåñèå Íýøà ïîçâîëÿåò ¾ðåøàòü¿ ãîðàçäî áîëüøèé êëàññ èãð.
Îïðåäåëåíèå. Ïðîôèëü (s∗1 , ..., s∗n ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà, åñëè äëÿ ëþáîãî èãðîêà i è ëþáîé åãî ñòðàòåãèè si ∈ Si âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ui (s∗i , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i ).
Ïåðåôîðìóëèðóåì äðóãèìè ñëîâàìè óñëîâèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîôèëü (s∗1 , ..., s∗n ) ðàâíîâåñèåì Íýøà. Ïðåäñòàâèì, ÷òî êàæäûé èç n èãðîêîâ ïðèãîòîâèëñÿ ñûãðàòü ñâîþ ñòðàòåãèþ. Âäðóã êàêèì-òî îáðàçîì â ðåçóëüòàòå óòå÷êè èíôîðìàöèè èëè ñïóñòèâøåãîñÿ îçàðåíèÿ âñåì èãðîêàì ñòàëî èçâåñòíî, êòî êàêóþ ñòðàòåãèþ ñîáèðàåòñÿ èãðàòü. Âîçìîæíî, êîìó-òî èç èãðîêîâ òåïåðü áóäåò âûãîäíî èçìåíèòü
ñâîþ çàäóìàííóþ ñòðàòåãèþ. Åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èãðîê, êîòîðîìó âûãîäíî
îòêëîíèòüñÿ îò ñâîåãî ïåðâîíà÷àëüíîãî ïëàíà è èçìåíèòü ñâîþ ñòðàòåãèþ ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòðàòåãèÿõ îñòàëüíûõ èãðîêîâ, òî òàêîé ïðîôèëü íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì
Íýøà. Íàïðîòèâ, åñëè íè îäèí èç èãðîêîâ íå çàõî÷åò èçìåíèòü ñâîé ïåðâîíà÷àëüíûé
çàìûñåë, òî òàêîé ïðîôèëü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà.
Äëÿ ëþáîé èãðû äâóõ ëèö â íîðìàëüíîé ôîðìå ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòðàòåãèé ó
êàæäîãî èãðîêà, çàäàííîé ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïëàòåæåé, ëåãêî íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ
ðàâíîâåñèé Íýøà. Íåîáõîäèìî âûïîëíèòü äâà øàãà ñëåäóþùåãî àëãîðèòìà:
1. Äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè t âòîðîãî èãðîêà ïîìåòèì ñèìâîëîì •
ïðîôèëè, ñîäåðæàùèå îïòèìàëüíûå îòâåòû ïåðâîãî èãðîêà íà ñòðàòåãèþ t.
2. Äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè s ïåðâîãî èãðîêà ïîìåòèì ñèìâîëîì ∗
ïðîôèëè, ñîäåðæàùèå îïòèìàëüíûå îòâåòû âòîðîãî èãðîêà íà ñòðàòåãèþ s.
Ïðîôèëè, êîòîðûå îêàçàëèñü ïîìå÷åíû êàê ñèìâîëîì • , òàê è ñèìâîëîì ∗ , ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè Íýøà, ïîñêîëüêó â òàêèõ ïðîôèëÿõ ñòðàòåãèÿ êàæäîãî èãðîêà
ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì îòâåòîì íà ñòðàòåãèþ äðóãîãî.  ïðîôèëÿõ, êîòîðûå îêàçàëèñü íå ïîìå÷åíû ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì èç ñèìâîëîâ • èëè ∗ , ñòðàòåãèÿ ïî êðàéíåé
ìåðå îäíîãî èãðîêà íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì îòâåòîì íà ñòðàòåãèþ äðóãîãî, ïîýòîìó
òàêèå ïðîôèëè íå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè Íýøà.
1
Ïðèìåð 1. Ïîèñê
ðàâíîâåñèé Íýøà.
s1
s2
s3
t1
2;1
3;0
3;1
t2
5;1
1;4
2;2
t3
3;0
2;4
4;1
Äåéñòâóåì ïî àëãîðèòìó:
1. Äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè t âòîðîãî èãðîêà ïîìåòèì
ïðîôèëè, ñîäåðæàùèå îïòèìàëüíûå îòâåòû ïåðâîãî èãðîêà íà ñòðàòåãèþ
2. Äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè s ïåðâîãî èãðîêà ïîìåòèì
ïðîôèëè, ñîäåðæàùèå îïòèìàëüíûå îòâåòû âòîðîãî èãðîêà íà ñòðàòåãèþ
Ïîëó÷àåòñÿ òàêàÿ ðàçìå÷åííàÿ ìàòðèöà èãðû:
s1
s2
s3
•
•
t1
2;1
3;0
3;1
∗
•
t2
5;1
1;4
2;2
∗
∗
•
t3
3;0
2;4
4;1
ñèìâîëîì
t.
ñèìâîëîì
s.
•
∗
∗
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé èãðå åñòü ðîâíî îäíî ðàâíîâåñèå (s1 , t2 ).
Çàìåòèì, ÷òî áûâàþò èãðû, â êîòîðûõ íåò ðàâíîâåñèé Íýøà (¾Îðëÿíêà¿), à áûâàþò èãðû, â êîòîðûõ êàæäûé ïðîôèëü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà (èãðà ñ ïîëíîñòüþ
íóëåâîé ìàòðèöåé ïëàòåæåé).
 èãðàõ, â êîòîðûõ åñòü ìíîãî ðàâíîâåñèé, íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò íå áûòü èíòóèòèâíî î÷åâèäíûìè.
Ïðèìåð 2. Ãîëîñîâàíèå
áîëüøèíñòâîì.
Òðè äðóãà ðåøàþò, êóäà ïîéòè ñåãîäíÿ âå÷åðîì: íà ôóòáîë èëè íà áàëåò. Êàæäûé
èç òðåõ äðóçåé äîëæåí ïðîãîëîñîâàòü ðîâíî çà îäíó èç ýòèõ äâóõ àëüòåðíàòèâ. Ïîáåæäàåò òà àëüòåðíàòèâà, êîòîðàÿ íàáåðåò ïðîñòîå áîëüøèíñòâî ãîëîñîâ. Íàéòè âñå
ðàâíîâåñèÿ Íýøà, åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ëþäåé òàêîâû, ÷òî äëÿ âñåõ òðåõ ÷åëîâåê ôóòáîë
ëó÷øå áàëåòà.
 ýòîé èãðå ó êàæäîãî èç òðåõ èãðîêîâ åñòü ðîâíî äâå ñòðàòåãèè: ¾Ô¿ (ôóòáîë)
è ¾Á¿ (áàëåò). Ñëåäîâàòåëüíî, åñòü ðîâíî 8 ðàçëè÷íûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå ïðîôèëè, â êîòîðûõ ïîáåæäàåò ôóòáîë, ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè, òàê êàê
êàæäûé èç èãðîêîâ ïîëó÷àåò íàèáîëåå æåëàííûé äëÿ íåãî èñõîä. Òàêèì îáðàçîì, ïðîôèëè (Ô,Ô,Ô), (Ô,Ô,Á), (Ô,Á,Ô), (Á,Ô,Ô) ðàâíîâåñèÿ Íýøà. Ðàññìîòðèì ïðîôèëè,
ïðè êîòîðûõ ïîáåæäàåò áàëåò. Åñëè äâà èãðîêà ãîëîñóþò çà áàëåò, à îäèí çà ôóòáîë
(ýòî ïðîôèëè (Á,Á,Ô), (Á,Ô,Á), (Ô,Á,Á)), òî ëþáîìó èãðîêó, ãîëîñóþùåìó çà áàëåò,
âûãîäíî îòêëîíèòüñÿ, ïðîãîëîñîâàòü çà ôóòáîë, èçìåíèòü òåì ñàìûì èñõîä âûáîðîâ è
ïîëó÷èòü íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíóþ àëüòåðíàòèâó. Çíà÷èò, òàêèå ïðîôèëè íå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè. Îñòàåòñÿ ïðîôèëü (Á,Á,Á). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íèêòî èç èãðîêîâ
íå ìîæåò óëó÷øèòü äëÿ ñåáÿ èñõîä âûáîðîâ, èçìåíèâ ñâîþ ñòðàòåãèþ ïðè ãîëîñîâàíèè íà ôóòáîë. Òàêèì îáðàçîì, (Á,Á,Á) ðàâíîâåñèå Íýøà. Îíî êàæåòñÿ ¾ïëîõèì¿
è ¾ñòðàííûì¿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàâíîâåñèåì (Ô,Ô,Ô), îäíàêî îíî ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò êîíöåïöèè ðàâíîâåñèÿ Íýøà: íèêòî èç èãðîêîâ íå ìîæåò óëó÷øèòü ñâîé ïëàòåæ, ñûãðàâ äðóãóþ ñòðàòåãèþ. Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãèþ ñ íàñòîÿùèìè âûáîðàìè
2
ïðåçèäåíòà. Ðàññìîòðèì âòîðîé òóð, êîãäà îñòàëîñü äâà ïðåòåíäåíòà íà ïîñò ïðåçèäåíòà. Åñëè áîëüøèíñòâî èçáèðàòåëåé ãîëîñóåò çà ïåðâîãî êàíäèäàòà, êîòîðûé Âàì
òîæå íðàâèòñÿ, òî Âàø ãîëîñ íè÷åãî íå ðåøàåò, è Âû èç êàêèõ-òî ñîîáðàæåíèé ìîæåòå ïðîãîëîñîâàòü çà âòîðîãî. Îäíàêî åñëè òàê ïîäóìàåò êàæäûé èçáèðàòåëü, òî âñå
ïðîãîëîñóþò çà âòîðîãî, è îí ñòàíåò ïðåçèäåíòîì.
Íèæå ïðèâåäåí äðóãîé ïðèìåð èãðû ñ áîëüøèì ÷èñëîì ðàâíîâåñèé.
Ïðèìåð 3. Âñòðå÷à
â Íüþ-Éîðêå.
Îäíàæäû ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ýêîíîìèêå Òîìàñ Øåëëèíã ïðîâåë ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Èì áûëè îòîáðàíû íåñêîëüêî ïàð ëþäåé, íåçíàêîìûõ äðóã ñ
äðóãîì, è ïåðåä íèìè áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à âñòðåòèòüñÿ â íàçíà÷åííûé äåíü â
Íüþ-Éîðêå. Ïðè ýòîì íè ìåñòà, íè âðåìåíè âñòðå÷è èì íå ñêàçàëè. Êîíòàêòíûõ äàííûõ äðóã äðóãà ó íèõ íåò, ïîýòîìó äîãîâîðèòüñÿ íè î ÷åì îíè íå ìîãóò. Óçíàòü äðóã
äðóãà ïðè âñòðå÷å îíè äîëæíû ïî âûäàííûì ôîòîãðàôèÿì.  ñëó÷àå óäàâøåéñÿ âñòðå÷è ïàðå áûëî îáåùàíî íåêîòîðîå âîçíàãðàæäåíèå. Èòàê, ó÷àñòíèê ýêñïåðèìåíòà è åãî
íàïàðíèê äîëæíû âûáðàòü, êóäà è âî ñêîëüêî ïðèõîäèòü.  òàêîé ñèòóàöèè ðàâíîâåñèé ìíîãî: íàïðèìåð, åñëè îáà ó÷àñòíèêà ðåøàò âñòðåòèòüñÿ â ïîëäåíü ó Empire State
Building ýòî ðàâíîâåñèå; åñëè îáà ó÷àñòíèêà ðåøàò âñòðåòèòüñÿ â 22:47 ó ñåâåðíîé
îêîíå÷íîñòè ãîðîäà, òî ýòî òîæå ðàâíîâåñèå.  õîäå ýêñïåðèìåíòà âûÿñíèëîñü, ÷òî
ïî÷òè âñå ïàðû, êîòîðûì óäàëîñü âñòðåòèòüñÿ, âûáðàëè â êà÷åñòâå âðåìåíè âñòðå÷è
ïîëäåíü, à â êà÷åñòâå ìåñòà Empire State Building. Òàêèì îáðàçîì, èç âñåãî ìíîæåñòâà
ðàâíîâåñèé ëþäè âûáðàëè íàèáîëåå ëîãè÷íîå. Òàêèå ðàâíîâåñèÿ Øåëëèíã ïðåäëîæèë
íàçûâàòü ôîêàëüíûìè òî÷êàìè.
Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð.
Ïðèìåð 4. Óãàäàé
ïîëîâèíó ÷èñëà.
Èãðàþò äâîå. Êàæäûé çàãàäûâàåò ëþáîå ÷èñëî îò 0 äî 100. Ïîáåæäàåò òîò, êòî
íàçîâåò ÷èñëî áîëåå áëèçêîå ê ïîëîâèíå ÷èñëà ñîïåðíèêà. Íàéòè âñå ðàâíîâåñèÿ Íýøà.
Îáîçíà÷èì ÷èñëî, êîòîðîå çàãàäûâàåò ïåðâûé èãðîê ÷åðåç x, à âòîðîé èãðîê ÷åðåç y . Îïðåäåëèì, êàêèå ïðîôèëè (x, y) ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà. Çàìåòèì, ÷òî
åñëè x > y , òî ðàçíîñòü x − y/2 áîëüøå ðàçíîñòè y − x/2, ïîñêîëüêó x > y è y/2 <
x/2. Çíà÷èò, åñëè äâà ÷èñëà íå ðàâíû, òî ïîáåæäàåò òîò, êòî íàïèñàë ìåíüøåå ÷èñëî.
Ïîýòîìó åñëè x > y , òî âòîðîé èãðîê ïðîèãðûâàåò, íî îí ìîæåò îòêëîíèòüñÿ è âûáðàòü
y = 0 òîãäà åìó äîñòàíåòñÿ ïîáåäà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîôèëè, â êîòîðûõ x > y , íå
ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè. Èç-çà àíàëîãè÷íûõ ñîîáðàæåíèé íå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåñèÿìè
ïðîôèëè, â êîòîðûõ y > x. Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ïðîôèëè (x, y), òàêèå, ÷òî x = y .
Åñëè x = y > 0, òî ìåæäó äâóìÿ èãðîêàìè ôèêñèðóåòñÿ íè÷üÿ. Íî êàæäûé èç íèõ
ìîæåò âûèãðàòü, åñëè îòêëîíèòñÿ è íàïèøåò ÷èñëî, ìåíüøåå ÷èñëà îïïîíåíòà. À âîò
åñëè x = y = 0, òî íèêòî îòêëîíèòüñÿ è âûèãðàòü íå ìîæåò. Çíà÷èò, ïðîôèëü (0, 0)
ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðàâíîâåñèåì â ýòîé èãðå.
Îòìåòèì ñâÿçü ìåæäó ðàâíîâåñèåì Íýøà è äðóãèìè óæå èçó÷åííûìè íàìè êîíöåïöèÿìè ðàâíîâåñèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàæäîå ðàâíîâåñèå â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà, à òàêæå êàæäîå ðàâíîâåñèå, ïîëó÷àåìîå èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà. Îáðàòíûå óòâåðæäåíèÿ
íåâåðíû: ðàâíîâåñèå Íýøà íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â äîìèíèðóþùèõ
ñòðàòåãèÿõ èëè ðàâíîâåñèåì, ïîëó÷àåìûì èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé. Â
3
êà÷åñòâå êîíòðïðèìåðà ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêóþ èãðó:
s1
s2
t1
3;3
1;1
t2
0;0
2;2
 ýòîé èãðå ïðîôèëü (s1 , t1 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà, íî â ýòîé èãðå íè ó îäíîãî
èç èãðîêîâ íåò íè äîìèíèðóþùèõ, íè äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé, à, ñëåäîâàòåëüíî, íåò
è ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâíîâåñèé.
Íàêîíåö, êàê è áûëî îáåùàíî, îòìåòèì åùå îäèí íåäîñòàòîê ðåøåíèÿ èãð ñ ïîìîùüþ èñêëþ÷åíèÿ ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èñêëþ÷àÿ èç
èãðû ñëàáî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè, ìîæíî ïîòåðÿòü ðàâíîâåñèå Íýøà.  êà÷åñòâå
ïðîñòîãî ïðèìåðà ìîæíî ðàññìîòðåòü èãðó
s1
s2
t1
0;0
0;0
t2
0;0
0;0
 íåé ÷åòûðå ðàâíîâåñèÿ Íýøà. Èñêëþ÷àÿ ñëàáî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè, ìû áóäåì
òåðÿòü íåêîòîðûå èç ðàâíîâåñèé.
4