ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè Òåîðèÿ èãð 2011/2012 ó÷åáíûé ãîä

ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè
(Ä. À.
Òåîðèÿ èãð
2011/2012 ó÷åáíûé ãîä
Äàãàåâ, À. Â. Ìèõàéëîâè÷, Ê. È. Ñîíèí, È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ
)
Ëåêöèÿ 7.
9. (Íå)îñòîðîæíûå ñòðàòåãèè
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå êîíöåïöèè ðåøåíèÿ èãð. Íà ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû îáñóäèëè ñëåäóþùèå ñïîñîáû ðåøåíèÿ èãð â íîðìàëüíîé ôîðìå:
• ðàâíîâåñèå â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ;
• ðàâíîâåñèå, ïîëó÷àåìîå èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé;
• ðàâíîâåñèå Íýøà.
 ðàìêàõ êàæäîé êîíöåïöèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èãðîê âåäåò ñåáÿ òåì èëè èíûì
îáðàçîì. Íàïðèìåð, ìû ãîâîðèì, ÷òî ïðîôèëü ñòðàòåãèé ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè ó êàæäîãî èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ, ïðè÷åì êàæäûé èãðîê èãðàåò èìåííî åå.
Ñåãîäíÿ ìû ðàññìîòðèì åùå îäèí âîçìîæíûé ðàçóìíûé âàðèàíò ïîâåäåíèÿ èãðîêà. Íà÷íåì ñ ïðèìåðà.
Ïðèìåð 1.
Ïîèñê ìàêñèìèííûõ è ìèíèìàêñíûõ ñòðàòåãèé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü èãðà
t1
t2
t3
v1
4;1
3;0
2;2
v2
2;1
1;3
3;4
v3
0;2
5;2
2;3
Êàêîé ãàðàíòèðîâàííûé âûèãðûø ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïåðâûé èãðîê? Åñëè îí
ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t1 , òî îí âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêóþ ñòðàòåãèþ âûáåðåò ñîïåðíèê, ïîëó÷èò ïëàòåæ, íå ìåíüøèé 0. Åñëè ïåðâûé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t2 , òî
îí âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêóþ ñòðàòåãèþ âûáåðåò ñîïåðíèê, ïîëó÷èò ïëàòåæ, íå
ìåíüøèé 1. Íàêîíåö, åñëè ïåðâûé èãðîê âûáåðåò ñòðàòåãèþ t3 , òî îí âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêóþ ñòðàòåãèþ ñûãðàåò âòîðîé èãðîê, ïîëó÷èò ïëàòåæ, íå ìåíüøèé 2.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ïåðâûé èãðîê õî÷åò îáåñïå÷èòü ñåáå ìàêñèìàëüíûé ãàðàíòèðîâàííûé âûèãðûø, òî åìó ðàçóìíî ñûãðàòü ñòðàòåãèþ t3 . Ýòà ñòðàòåãèÿ íàçûâàåòñÿ
îñòîðîæíîé èëè ìàêñèìèííîé.
1
Îïðåäåëèì ôîðìàëüíî ïîíÿòèå îñòîðîæíîé ñòðàòåãèè. Ñíà÷àëà äëÿ i-ãî èãðîêà,
i = 1, ..., n, è ëþáîé åãî ñòðàòåãèè s ∈ Si îïðåäåëèì âåëè÷èíó ui (s). Ïîëîæèì
ui (s, s−i ).
ui (s) = min
s
−i
Âåëè÷èíà ui (s) ÿâëÿåòñÿ ãàðàíòèðîâàííûì ïëàòåæîì, êîòîðûé ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå
i-ûé èãðîê, åñëè îí ñûãðàåò ñòðàòåãèþ s.
Äàëåå äëÿ i-ãî èãðîêà, i = 1, ..., n, îïðåäåëèì âåëè÷èíó αi . Ïîëîæèì
ui (s, s−i ).
αi = max ui (s) = max min
s
s
s
−i
Âåëè÷èíà αi íàçûâàåòñÿ ìàêñèìèíîì è ïîêàçûâàåò ìàêñèìàëüíûé ïëàòåæ, êîòîðûé
ìîæåò ãàðàíòèðîâàííî îáåñïå÷èòü ñåáå i-ûé èãðîê.
Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà, îáåñïå÷èâàþùàÿ åìó ðåçóëüòàò αi , íàçûâàåòñÿ îñòîðîæíîé
èëè ìàêñèìèííîé.
Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ìàêñèìèííûõ ñòðàòåãèÿõ,
åñëè si ìàêñèìèííàÿ ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà.
 îïèñàííîì âûøå ïðèìåðå
u1 (t1 ) = 0, u1 (t2 ) = 1, u1 (t3 ) = 2;
u2 (v1 ) = 0, u2 (v2 ) = 1, u2 (v3 ) = 2;
α1 = max{u1 (t1 ), u1 (t2 ), u1 (t3 )} = max{0, 1, 2} = 2;
α2 = max{u2 (v1 ), u2 (v2 ), u2 (v3 )} = max{0, 1, 2} = 2.
Ïîýòîìó ïåðâûé èãðîê èìååò îäíó ìàêñèìèííóþ ñòðàòåãèþ t3 , à âòîðîé èãðîê èìååò îäíó ìàêñèìèííóþ ñòðàòåãèþ v3 . Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîé èãðå ñóùåñòâóåò îäíî
ðàâíîâåñèå â ìàêñèìèííûõ ñòðàòåãèÿõ ïðîôèëü (t3 , v3 ).
Ñíîâà îáðàòèìñÿ ê íàøåìó ïðèìåðó, íî çàäàäèìñÿ òåïåðü äðóãèì âîïðîñîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âòîðîé èãðîê èãðàåò ñòðàòåãèþ v1 . Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé ïëàòåæ
òîãäà ìîæåò ðàññ÷èòûâàòü ïåðâûé èãðîê? Î÷åâèäíî, ÷òî îí íå ñìîæåò ïîëó÷èòü áîëüøå, ÷åì 4, à ðîâíî 4 îí ïîëó÷èòü ìîæåò. Åñëè âòîðîé èãðîê èãðàåò ñòðàòåãèþ v2 , òî
ìàêñèìàëüíûé ïëàòåæ, íà êîòîðûé ìîæåò ðàññ÷èòûâàòü ïåðâûé èãðîê, ðàâåí 3. Åñëè âòîðîé èãðîê èãðàåò ñòðàòåãèþ v3 , òî ìàêñèìàëüíûé ïëàòåæ, íà êîòîðûé ìîæåò
ðàññ÷èòûâàòü ïåðâûé èãðîê, ðàâåí 5. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âòîðîé èãðîê èãðàåò òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ìàêñèìàëüíûé ïëàòåæ ïåðâîãî èãðîêà (ïîêà îñòàâèì
â ñòîðîíå âîïðîñ, çà÷åì âòîðîé èãðîê äåëàåò ýòî). Òîãäà âòîðîé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ v2 , è ïåðâûé èãðîê ñìîæåò ðàññ÷èòûâàòü òîëüêî íà ïëàòåæ, ðàâíûé 3. Ñòðàòåãèÿ
t3 ïîçâîëèò ïåðâîìó èãðîêó ïîëó÷èòü 3. Ýòà ñòðàòåãèÿ íàçûâàåòñÿ ìèíèìàêñíîé. Îíà
îáåñïå÷èâàåò ïåðâîìó èãðîêó íàèáîëüøèé ïëàòåæ â ñëó÷àå, åñëè âòîðîé èãðîê ñòðåìèòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ïëàòåæ ïåðâîãî èãðîêà.
Ïðèâåäåì ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ. Äëÿ i-ãî èãðîêà, i = 1, ..., n, è ëþáîãî íàáîðà
ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i îïðåäåëèì âåëè÷èíó ui (s−i ). Ïîëîæèì
ui (s−i ) = max ui (s, s−i ).
s
2
Âåëè÷èíà ui (s−i ) ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïëàòåæîì, êîòîðûé ìîæåò ïîëó÷èòü i-ûé
èãðîê, åñëè îñòàëüíûå èãðàþò ñòðàòåãèè s−i .
Äàëåå äëÿ i-ãî èãðîêà, i = 1, ..., n, îïðåäåëèì âåëè÷èíó βi . Ïîëîæèì
βi = min
ui (s−i ) = min
max ui (s, s−i ).
s
s
−i
−i
s
Âåëè÷èíà βi íàçûâàåòñÿ ìèíèìàêñîì. Îíà ðàâíà ìàêñèìàëüíîìó âûèãðûøó ïåðâîãî èãðîêà â ñëó÷àå, åñëè îñòàëüíûå èãðîêè ñòðåìÿòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíûé ïëàòåæ ïåðâîãî èãðîêà.
Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà, îáåñïå÷èâàþùàÿ åìó ðåçóëüòàò βi , íàçûâàåòñÿ ìèíèìàêñíîé.
Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ìèíèìàêñíûõ ñòðàòåãèÿõ,
åñëè si ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà.
Íàéäåì ðàâíîâåñèå â ìèíèìàêñíûõ ñòðàòåãèÿõ â ïðèâåäåííîé â íà÷àëå ëåêöèè
èãðå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
u1 (v1 ) = 4, u1 (v2 ) = 3, u1 (v3 ) = 5;
u2 (t1 ) = 2, u2 (t2 ) = 3, u2 (t3 ) = 4;
β1 = min{u1 (v1 ), u1 (v2 ), u1 (v3 )} = min{4, 3, 5} = 3;
β2 = min{u2 (t1 ), u2 (t2 ), u2 (t3 )} = min{2, 3, 4} = 2.
Ïîýòîìó ïåðâûé èãðîê èìååò îäíó ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèþ t3 , à âòîðîé èãðîê èìååò
îäíó ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèþ v3 . Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîé èãðå ñóùåñòâóåò îäíî ðàâíîâåñèå â ìèíèìàêñíûõ ñòðàòåãèÿõ ïðîôèëü (t3 , v3 ). Âîîáùå ãîâîðÿ, â íåêîòîðûõ
èãðàõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî ìàêñèìèííûõ è/èëè ìèíèìàêñíûõ ñòðàòåãèé.
Îòìåòèì ñâÿçü ìåæäó ââåäåííûìè âåëè÷èíàìè ìèíèìàêñîì è ìàêñèìèíîì1 .
Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x, y), îïðåäåëåííîé íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå R2 è ïðèíèìàþùåé
âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à òàêæå ëþáîé òî÷êè (x0 , y0 ) èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
f (x, y) âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
min f (x0 , y) 6 f (x0 , y0 ) 6 max f (x, y0 ).
y
x
Ñëåäîâàòåëüíî, äàæå ìàêñèìàëüíîå (ïî x0 ) èç ÷èñåë miny f (x0 , y) íå ïðåâîñõîäèò äàæå
ìèíèìàëüíîãî (ïî y0 ) èç ÷èñåë maxx f (x, y0 ), ïîýòîìó
max min f (x0 , y) 6 min max f (x, y0 ).
x0
y
y0
x
Ïðèìåíÿÿ ýòî ñâîéñòâî äëÿ ôóíêöèè âûèãðûøà i-ãî èãðîêà ui , ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
αi 6 βi .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàêñèìèí íå ïðåâîñõîäèò ìèíèìàêñà: èãðàÿ îñòîðîæíóþ ñòðàòåãèþ
è ïûòàÿñü ãàðàíòèðîâàòü ñåáå íåêîòîðûé ìèíèìàëüíûé âûèãðûø, ìû ïîëó÷èì â èòîãå
1 Ïðèâîäèìîå
íèæå äîêàçàòåëüñòâî âçÿòî èç êíèãè
Â. È. Äàíèëîâ. Ëåêöèè ïî òåîðèè èãð. Ïðåïðèíò ÐÝØ, 2002. Ëåêöèÿ 6. Ñ. 3335.
3
íå áîëüøå, ÷åì åñëè ìû ïîãîíèìñÿ çà ñàìûì áîëüøèì âûèãðûøåì ïðè ñàìîé ïëîõîé
äëÿ íàñ èãðå îñòàëüíûõ èãðîêîâ.
Êàæäûé èãðîê ìîæåò îïðåäåëèòü ñâîþ ìàêñèìèííóþ è ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèè,
çíàÿ ëèøü ñîáñòâåííûå ïëàòåæè. Ïëàòåæè îïïîíåíòà â äàííîì ñëó÷àå íå èãðàþò ðîëè.
Îäíàêî äëÿ îäíîãî ñïåöèàëüíîãî êëàññà èãð äâóõ ëèö ñóùåñòâóåò ãîðàçäî áîëåå òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ìàêñèìèííûìè è ìèíèìàêñíûìè ñòðàòåãèÿìè îáîèõ èãðîêîâ. Ðå÷ü
èäåò îá àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãðàõ èãðàõ, â êîòîðûõ ïðè ëþáîì èñõîäå ïëàòåæè äâóõ
èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû.
Ïðèìåð 2.
(Íå)îñòîðîæíûå ñòðàòåãèè â àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãðàõ.
Ðàññìîòðèì èãðó
t1
t2
v1
1;-1
3;-3
v2
4;-4
2;-2
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà, ïðè÷åì
α1 = 2, α2 = −3, β1 = 3, β2 = −2.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãðàõ âñåãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
α1 = −β2 , α2 = −β1 .
Äîêàæèòå ýòî â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
4