Условия и решения задач 5

X ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß
ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
2010 2011 ó÷.ã.
Ðåøåíèÿ çàäà÷
Ñîñòàâèòåëè çàäà÷: Øåâàëäèí Â.Ò., Íîõðèí Ñ.Ý., Õëîïèí Ä.Â.
Ñàéò îëèìïèàäû: http://acm.usu.ru
5 6 ÊËÀÑÑ
(56.1)  ïàêåòå 9 êã êðóïû. Êàê ïðè ïîìîùè ÷àøå÷íûõ âåñîâ è åäèíñòâåííîé ãèðè
âåñîì 200 ã çà òðè âçâåøèâàíèÿ îòìåðèòü ðîâíî 2 êã êðóïû?
Ðåøåíèå. Ïåðâûì âçâåøèâàíèåì ïîëîæèì íà îäíó èç ÷àøåê âåñîâ ãèðþ, à âñþ êðóïó
ðàçëîæèì íà ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òîáû ïîñëåäíèå óðàâíîâåñèëèñü. Òàê êàê îáùàÿ ìàññà
âçâåøèâàåìîãî ðàâíà 9,2 êã, òî íà êàæäîé ÷àøêå âåñîâ áóäåò âåñ 4,6 êã. Òåïåðü óáåð¼ì
êðóïó ñ ÷àøêè, ãäå ãèðè íå áûëî, îáðàòíî â ìåøîê, ñíèìåì ãèðþ, à âñþ îñòàâøóþñÿ
êðóïó (å¼, êîíå÷íî, îñòàíåòñÿ 4,4 êã) ðàçëîæèì íà îáå ÷àøêè òàê, ÷òîáû âåñû ïðèøëè â
ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ (ýòî âòîðîå âçâåøèâàíèå). ßñíî, ÷òî ñåé÷àñ íà êàæäîé ÷àøêå ïî 2,2
êã. Òåïåðü óáåð¼ì âñþ êðóïó ñ îäíîé èç ÷àøåê â ìåøîê, ïîñòàâèì íà ýòó ÷àøêó ãèðþ, è
íà äðóãîé ÷àøêå âåñîâ îñòàâèì ñòîëüêî êðóïû, ñêîëüêî ýòà ãèðÿ âåñèò, ò.å. 0,2 êã (òðåòüå
âçâåøèâàíèå). Âñÿ êðóïà, ñíÿòàÿ ñî âòîðîé ÷àøêè, âåñèò òîãäà ðîâíî 2, 2 − 0, 2 = 2 êã.
(56.2) Èìååòñÿ 5 ýëåêòðè÷åñêèõ ðîçåòîê è 10 òðîéíèêîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ýëåêòðîïðèáîðîâ ìîæíî âêëþ÷èòü â ñåòü ñ èõ ïîìîùüþ? (Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî
âêëþ÷¼ííûõ â êàæäûé òðîéíèê ýëåêòðîïðèáîðîâ è òðîéíèêîâ íå áîëåå òð¼õ, à â ðîçåòêó ìîæåò áûòü âêëþ÷¼í èëè îäèí òðîéíèê, èëè îäèí ýëåêòðîïðèáîð, èëè íè÷åãî.)
Ðåøåíèå. Åñëè íå èñïîëüçîâàòü òðîéíèêè, òî ýëåêòðîïðèáîðîâ ìîæíî âêëþ÷èòü ñòîëüêî, ñêîëüêî ðîçåòîê. Ïîäêëþ÷àÿ î÷åðåäíîé òðîéíèê, ìû çàíèìàåì îäíî èç ìåñò âêëþ÷åíèÿ
ïðèáîðà, íî äîáàâëÿåì òðè íîâûõ ìåñòà, ïîýòîìó ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî âêëþ÷¼ííûõ ïðèáîðîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íà 2.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì, ÷òî íàèáîëüøåå ÷èñëî ýëåêòðîïðèáîðîâ
ðàâíî n + 2m, ãäå n ÷èñëî ðîçåòîê, m ÷èñëî òðîéíèêîâ.  êîíêðåòíîì íàøåì ñëó÷àå
èìååì 5 + 2 · 10 = 25.
ÎÒÂÅÒ: 25.
(56.3) Áèëåò ñ øåñòèçíà÷íûì íîìåðîì íàçîâ¼ì ïî÷òè ñ÷àñòëèâûì, åñëè ñóììà
êàêèõ-ëèáî òð¼õ åãî öèôð ðàâíà ñóììå òð¼õ îñòàâøèõñÿ. Ðîìà è Ìèøà âçÿëè â òðîëëåéáóñå äâà áèëåòà ñ ïîäðÿä èäóùèìè íîìåðàìè, è îáà áèëåòà îêàçàëèñü ïî÷òè ñ÷àñòëèâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè 12 öèôð ýòèõ áèëåòîâ îáÿçàòåëüíî âñòðåòèòñÿ öèôðà 0.
Ðåøåíèå. Ïóñòü áèëåò ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ñ÷àñòëèâûì. Òîãäà åãî öèôðû ìîæíî ðàñïðåäåëèòü â äâå ãðóïïû, ñóììà â êîòîðûõ áóäåò îäíîé è òîé æå, ñêàæåì, S . Òîãäà ñóììà âñåõ
öèôð áèëåòà ðàâíà 2S ÷èñëî ÷¼òíîå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñðåäè öèôð áèëåòà íå÷¼òíûõ öèôð
÷¼òíîå êîëè÷åñòâî. Åñëè ïðè ýòîì ïîñëåäíÿÿ öèôðà íîìåðà íå ðàâíà 0, òî ïðåäûäóùèé
áèëåò èìååò ïåðâûå 5 öèôð òå æå ñàìûå, à ïîñëåäíþþ íà 1 ìåíüøå. Çíà÷èò, êîëè÷åñòâî
÷¼òíûõ öèôð èçìåíèëîñü íà 1 (íåâàæíî, óìåíüøèëîñü èëè óâåëè÷èëîñü).  ðåçóëüòàòå
â ïðåäûäóùåì áèëåòå íå÷¼òíîå êîëè÷åñòâî íå÷¼òíûõ öèôð, ò.å. îí íå áóäåò ñ÷àñòëèâûì.
Âûâîä: â ïðèîáðåò¼ííîì Ðîìîé è Ìèøåé áèëåòå ñ áîëüøèì íîìåðîì ïîñëåäíÿÿ öèôðà
ðàâíà 0. Ñèòóàöèÿ, îïèñàííàÿ â óñëîâèè, âîçìîæíà: íàïðèìåð, íîìåðà áèëåòîâ 220369
(2 + 3 + 6 = 2 + 9 + 0)) è 220370 (2 + 2 + 3 = 7 + 0 + 0)). Óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî.
(56.4) Íà ñòîëå ëåæàò 20 îäèíàêîâûõ ìîíåò: 5 îðëîì ââåðõ è 15 îðëîì âíèç. Îò
âàñ òðåáóåòñÿ ðàçëîæèòü âñå ìîíåòû â äâå êó÷êè (âîçìîæíî, ïåðåâåðíóâ íåêîòîðûå èç
ìîíåò) òàê, ÷òîáû â ïåðâîé è âòîðîé êó÷êàõ áûëî îäèíàêîâîå ÷èñëî ìîíåò, ëåæàùèõ
îðëîì ââåðõ. Ïðè ýòîì ó âàñ çàâÿçàíû ãëàçà, ïîýòîìó âû íå ìîæåòå âèäåòü, êàê èìåííî
ëåæàò ìîíåòû, à íà îùóïü îòëè÷èòü ðåøêó îò îðëà âû òîæå íå ìîæåòå.
Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ëþáûå 5 ìîíåò è îáðàçóåì èç íèõ ïåðâóþ êó÷êó, ïåðåâåðíóâ âñå 5.
Îñòàëüíûå ìîíåòû îáðàçóþò âòîðóþ êó÷êó (èõ íå ïåðåâîðà÷èâàåì). Ïîêàæåì, ÷òî òàêèì
2
îáðàçîì ìû ðåøèì çàäà÷ó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ïåðâîé êó÷êå îðëîì ââåðõ îêàçàëèñü m
ìîíåò. Òîãäà îñòàëüíûå ìîíåòû (èõ 5−m øòóê) ýòî â òî÷íîñòè òå ìîíåòû èç âûáðàííûõ,
êîòîðûå èçíà÷àëüíî ëåæàëè ââåðõ îðëîì. Çíà÷èò, âî âòîðîé êó÷êå ââåðõ îðëîì ëåæàò
îñòàëüíûå 5 − (5 − m) ìîíåò, ò.å. òîæå m øòóê.
(56.5) Áàðîí Ìþíõãàóçåí óòâåðæäàåò, ÷òî íà Ñûðíîì îñòðîâå èìåþòñÿ ÷åòûðå îáëàñòè, êàæäàÿ â ôîðìå
òðåóãîëüíèêà, è ïðè ýòîì ëþáûå äâå èç íèõ èìåþò îáùóþ ãðàíèöó â âèäå îòðåçêà íåíóëåâîé äëèíû. Ìîãóò ëè
ñëîâà áàðîíà îêàçàòüñÿ ïðàâäèâûìè?
Ðåøåíèå. Áàðîí ÷åñòíåéøèé ÷åëîâåê íà ñâåòå. Âîçìîæíàÿ êàðòà ýòèõ îáëàñòåé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå.
ÎÒÂÅÒ: Ìîãóò.
(56.6) Ìàëüâèíà ïðîäèêòîâàëà Áóðàòèíî äâà ñëîâà:
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 56.5.
ÏßÒÀÊ è ÏßÒÊÀ. Îäíàêî ïðè íàïèñàíèè ýòèõ ñëîâ Áóðàòèíî çàìåíèë îäèíàêîâûå áóêâû îäèíàêîâûìè öèôðàìè,
à ðàçíûå ðàçíûìè, òàê ÷òî âìåñòî ñëîâ îáðàçîâàëèñü äâà ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñëà.  íàêàçàíèå Ìàëüâèíà çàñòàâèëà Áóðàòèíî íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ
êàæäîå èç íàïèñàííûõ èì ÷èñåë. Ó Áóðàòèíî ïîëó÷èëîñü, ÷òî ýòî ÷èñëî 117.
a) Äîêàæèòå, ÷òî Áóðàòèíî îøèáñÿ.
á) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîã ïîëó÷èòü Áóðàòèíî,
åñëè áû íå îøèáàëñÿ â ñ÷¼òå?
Ðåøåíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ïóñòü K > A. Çàìåòèì, ÷òî åñëè n îáùèé
äåëèòåëü ÷èñåë ÏßÒÀÊ è ÏßÒÊÀ, òî íà n äåëèòñÿ è ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë, ðàâíàÿ 10K +
A −(10À + Ê) = 9(K − A). Çíà÷èò, n 6 9(K − A). Íî òàê êàê Ê è À öèôðû, òî ìàêñèìóì èõ
ðàçíîñòè ðàâåí 9 è äîñòèãàåòñÿ ïðè K = 9, À = 0. Òîãäà n 6 81, ïîýòîìó Áóðàòèíî îøèáñÿ.
Èç ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Áóðàòèíî íå ìîã ïîëó÷èòü ÷èñëà, áîëüøåãî 81. Ïîêàæåì, ÷òî
81 âîçìîæíûé âàðèàíò ïðàâèëüíîãî îòâåòà. Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ìîãëî ïðîèçîéòè ïðè
óñëîâèè Ï = 2, ß = 3, Ò = 4, Ê = 9, À = 0 (ïðèìåð, êîíå÷íî, íå åäèíñòâåííûé).  ýòîì
ñëó÷àå ÏßÒÊÀ = 23490 = 81 · 290, ÏßÒÀÊ = 23409 = 81 · 289.
ÎÒÂÅÒ: á) 81.
3
7 ÊËÀÑÑ
(7.1) Äîêàæèòå, ÷òî
1−
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ − + ... +
−
=
+
+
+ ... +
+
.
2 3 4
99 100
51 52 53
99 100
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà ÷åðåç
¶
µ A, ïðàâóþ ÷åðåç B , è ïóñòü
1 1
1
1
1 1 1
1
1
=
+ + ... +
+
. Òîãäà S − A = S − 1 − + − + . . . +
−
2 3
99 100
2 3 4
99 100
1
1
1
1
1
1
1
2 · + 2 · + ... + 2 ·
+2·
= 1 + + ... +
+ . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S −
2µ
4
98 ¶ µ
100
2
49 ¶ 50
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B = 1 + + ... +
+
−
+
+ ... +
+
= 1 + + ... +
+ , ò.å.
2
99 100
51 52
99 100
2
49 50
S − A = S − B , îòêóäà A = B .
S = 1+
(7.2) Ïîêàæèòå, êàê çàìîñòèòü ïëîñêîñòü îäèíàêîâûìè ïëèòêàìè
âèäà, èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñóíêå? Ïëèòêè ðàçðåøàåòñÿ ïîâîðà÷èâàòü è
ïåðåâîðà÷èâàòü.
Ðåøåíèå. Ñîåäèíèì ïëèòêè ïî äâå, êàê óêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïîëó÷èì
ïëèòêè íîâîãî òèïà ïðÿìîóãîëüíûå, ñ ïàðîé âûðåçàííûõ ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ. Ýòèìè ïëèòêàìè çàìîñòèì âñþ ïëîñêîñòü, âûñòðàèâàÿ èõ
äèàãîíàëüíûìè ðÿäàìè (ñì. ðèñóíîê).
ê óñëîâèþ
çàäà÷è 7.2.
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 7.2.
(7.3) Íàçîâ¼ì íàòóðàëüíîå ÷èñëî çàìå÷àòåëüíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì
÷èñëîì èç âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ òàêîé æå, êàê ó íåãî, ñóììîé öèôð. Âñå çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà óïîðÿäî÷èëè ïî âîçðàñòàíèþ. Êàêîâà ñóììà öèôð ó 2011-ãî ïî ñ÷¼òó
çàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëà? Îòâåò îáîñíîâàòü.
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n = ak ak−1 ak−2 . . . a2 a1 èìååò ñóììó öèôð
S = ak + ak−1 + ak−2 + . . . + a2 + a1 . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë
1, 2, . . . , a1 , 1a1 , 2a1 , . . . , a2 a1 , 1a2 a1 , 2a2 a1 , . . . , n
4
(åñëè êàêîå-òî ai = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòñóòñòâóåò). ßñíî,
÷òî âñå ýòè ÷èñëà (êðîìå ïîñëåäíåãî) ìåíüøå n, à ñóììû èõ öèôð ñóòü ïîñëåäîâàòåëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî S . Ïîýòîìó âñå çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà ñ ñóììîé öèôð
ìåíüøå S ëåæàò íà îòðåçêå [1; n − 1]. Åñëè äîïîëíèòåëüíî ÷èñëî n çàìå÷àòåëüíîå, òî âñå
çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà ñ ñóììîé áîëüøå, ÷åì S , ëåæàò íà ëó÷å [n + 1; ∞). Èíûìè ñëîâàìè â
íàòóðàëüíîì ðÿäó çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà èäóò â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñóìì ñâîèõ öèôð. Èç
òîãî, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n èìååòñÿ çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãî
ðàâíà n, ñëåäóåò, ÷òî n-e ïî ñ÷¼òó íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò ñóììó n.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíûì. Òîãäà âñå åãî
öèôðû, êðîìå ïåðâîé, äåâÿòêè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè åñòü íå ïåðâàÿ öèôðà, îòëè÷íàÿ
îò 9, òî óâåëè÷èâ ýòó öèôðó íà åäèíèöó è îäíîâðåìåííî ïîíèçèâ íà 1 öèôðó ñòàðøåãî
ðàçðÿäà, ïîëó÷èì ìåíüøåå ÷èñëî ñ òîé æå ñóììîé öèôð. Î÷åâèäíî, âåðíî è îáðàòíîå, ò.å.,
âñÿêîå ÷èñëî âèäà m99 . . . 9 ÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíûì. Èòîãî: ïåðâûå äåâÿòü çàìå÷àòåëüíûõ ÷èñåë ñóòü îäíîçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñëåäóþùèå 9 äâóçíà÷íûå ÷èñëà,
îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 9, ñëåäóþùèå 9 òð¼õçíà÷íûå, îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 99, è ò.ä. Ïîñêîëüêó 2011 = 9 · 223 + 4, òî 2011 çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî èìååò âèä 4 9999
. . . 999}. Î÷åâèäíî,
|
{z
223
åãî ñóììà ðàâíà 2011.
öèôðû
Òðåòèé ñïîñîá. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñ ñóììîé öèôð S > 1,
íàéäåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãî ðàâíà S − 1 (äîñòàòî÷íî êàêóþ-íèáóäü
íåíóëåâóþ öèôðó óìåíüøèòü íà åäèíèöó). Òîãäà, ïîñëåäîâàòåëüíî óìåíüøàÿ èñõîäíîå
÷èñëî, ìîæíî ïîëó÷èòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñ ëþáîé ñóììîé öèôð, ìåíüøåé S . Òàêèì
îáðàçîì, ó âñÿêîãî çàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëîì n ñ ñóììîé öèôð S íàéäóòñÿ ìåíüøèå åãî ÷èñëà
(â òîì ÷èñëå è çàìå÷àòåëüíûå) ñ ñóììàìè öèôð îò 1 äî S − 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäè
÷èñåë, ìåíüøèõ n, íåò ÷èñåë ñ ñóììîé áîëüøå S (ïîòîìó ÷òî òîãäà ñðåäè ìåíüøèõ, ÷åì
n ÷èñåë, áûëî áû è çàìå÷àòåëüíîå ñ áîëüøåé, ÷åì S ñóììîé, è ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèå
ïðèâåëî áû ê ïðîòèâîðå÷èþ). Çíà÷èò, ïåðåä çàìå÷àòåëüíûì ÷èñëîì ñ ñóììîé öèôð k ñòîèò
ðîâíî k−1 çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî, ïîýòîìó ñóììà öèôð 2011-ãî çàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëà ðàâíà
2011.
ÎÒÂÅÒ: 2011.
(7.4) Â íåêîòîðîé êîìïàíèè êàæäûé ñîòðóäíèê ëèáî ðûöàðü (âñåãäà ãîâîðèò ïðàâäó),
ëèáî ëæåö (ãîâîðèò òîëüêî ëîæü). Êàæäûé ñîòðóäíèê ñêàçàë ïðî êàæäîãî äðóãîãî: Îí
ëæåö èëè Îí ðûöàðü. Âñåãî ñëîâî ëæåö ïðîçâó÷àëî 2010 ðàç. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî
ñîòðóäíèêîâ ìîæåò ðàáîòàòü â òàêîé êîìïàíèè?
Ðåøåíèå. Ïóñòü â êîìïàíèè ðàáîòàåò x ðûöàðåé è y ëæåöîâ. Òîãäà êàæäûé ðûöàðü
ïðîèçíåñ¼ò ñëîâî ëæåö y ðàç (âñåãî xy ëæåöîâ), à êàæäûé ëæåö ðîâíî x ðàç (åù¼ xy
ëæåöîâ). Èìååì 2010 = 2xy , îòêóäà xy = 1005 = 3 · 5 · 67. Çíà÷èò, ïðè x 6 y èìååì ëèáî
x = 1, y = 1005, ëèáî x = 3, y = 315, ëèáî x = 5, y = 201, ëèáî x = 15, y = 67, à ïðè x > y
ïîëó÷àåì òå æå ïàðû, òîëüêî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàèìåíüøóþ ñóììó x + y èìååò ïàðà
x = 15, y = 67 (èëè ñèììåòðè÷íàÿ åé x = 67, y = 15) è ýòà ñóììà ðàâíà 82.
ÎÒÂÅÒ: 82.
(7.5) Íà ñòîëå ëåæàò 20 îäèíàêîâûõ ìîíåò: 5 îðëîì ââåðõ è 15 îðëîì âíèç. Îò
âàñ òðåáóåòñÿ ðàçëîæèòü ìîíåòû â äâå êó÷êè (âîçìîæíî, ïåðåâåðíóâ íåêîòîðûå èç
ìîíåò) òàê, ÷òîáû â ïåðâîé è âòîðîé êó÷êàõ áûëî îäèíàêîâîå ÷èñëî ìîíåò, ëåæàùèõ
5
îðëîì ââåðõ. Ïðè ýòîì ó âàñ çàâÿçàíû ãëàçà, ïîýòîìó âû íå ìîæåòå âèäåòü, êàê èìåííî
ëåæàò ìîíåòû, à íà îùóïü îòëè÷èòü ðåøêó îò îðëà âû òîæå íå ìîæåòå.
Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ëþáûå 5 ìîíåò è îáðàçóåì èç íèõ ïåðâóþ êó÷êó, ïåðåâåðíóâ âñå 5.
Îñòàëüíûå ìîíåòû îáðàçóþò âòîðóþ êó÷êó (èõ íå ïåðåâîðà÷èâàåì). Ïîêàæåì, ÷òî òàêèì
îáðàçîì ìû ðåøèì çàäà÷ó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ïåðâîé êó÷êå îðëîì ââåðõ îêàçàëèñü m
ìîíåò. Òîãäà îñòàëüíûå ìîíåòû (èõ 5−m øòóê) ýòî â òî÷íîñòè òå ìîíåòû èç âûáðàííûõ,
êîòîðûå èçíà÷àëüíî ëåæàëè ââåðõ îðëîì. Çíà÷èò, âî âòîðîé êó÷êå ââåðõ îðëîì ëåæàò
îñòàëüíûå 5 − (5 − m) ìîíåò, ò.å. òîæå m øòóê.
(7.6) Ðåêà ñ ïàðàëëåëüíûìè áåðåãàìè èìååò øèðèíó 100 ì. Íà îäíîì å¼ áåðåãó èìååòñÿ ïðèñòàíü. Òðåáóåòñÿ íà êàòåðå ïðîïëûòü îò ïðèñòàíè äî ïðîòèâîïîëîæíîãî áåðåãà.
Ðåêà âñþäó ñóäîõîäíà, íî íà íåé èìååòñÿ åäèíñòâåííûé îñòðîâ, ïðî êîòîðûé èçâåñòíî
òîëüêî òî, ÷òî ïåðèìåòð îñòðîâà ðàâåí 800 ì. Äîêàæèòå, ÷òî êàêîé áû íè áûëà ôîðìà îñòðîâà, è â êàêîì áû ìåñòå ðåêè (ïî îòíîøåíèþ ê ïðèñòàíè) îí íå ðàñïîëàãàëñÿ,
ìîæíî âûïîëíèòü çàäàíèå, ïðîïëûâ ïðè ýòîì íå áîëåå 300 ì. Òå÷åíèå ðåêè ñëàáîå, è
äâèæåíèþ êàòåðà íå ìåøàåò.
Ðåøåíèå. Ïðîåêöèÿ îñòðîâà íà áåðåã ðåêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê äëèíîé íå áîëåå
400 ì (òàê êàê ïðè îáõîäå îñòðîâà ïî ïåðèìåòðó ïðîåêöèÿ áóäåò ïðîéäåíà êàê ìèíèìóì
äâàæäû: â îäíó è â äðóãóþ ñòîðîíó). Åñëè ïðèñòàíü íå ïîïàäàåò â ýòó ïðîåêöèþ, òî ðåêà
ïðåîäîëåâàåòñÿ ïî ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãó, ïðè ýòîì ïóòü çàíèìàåò 100 ì. Åñëè
æå ïîïàäàåò, òî â ñèëó ïðèíöèïà Äèðèõëå äî îäíîãî èç êîíöîâ ïðîåêöèè ðàññòîÿíèå íå
áîëåå 200 ì. Ïëûâ¼ì òàê: ïàðàëëåëüíî ê áåðåãó äî áëèæàéøåãî êîíöà ïðîåêöèè (íå áîëåå
200 ì), çàòåì ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãó ðåêè (åù¼ 100 ì). Âñåãî íå áîëåå 300 ì.
Ïðèìå÷àíèå. Óìåíüøèòü ÷èñëî 300 íåëüçÿ: Åñëè îñòðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óçêóþ ïîëîñó äëèíîé 400 ì, ðàñïîëîæåí âäîëü ðåêè áëèçêî ê áåðåãó, íà êîòîðîì ñòîèò ïðèñòàíü, è
ïðèñòàíü êàê ðàç íàïðîòèâ ñåðåäèíû îñòðîâà, îïèñûâàåìûé â ðåøåíèè ïóòü áóäåò êðàò÷àéøèì è èìåòü äëèíó ðîâíî 300 ì.
6
8 ÊËÀÑÑ
(8.1) (Ïîñâÿùàåòñÿ ÷åìïèîíàòó ìèðà ïî ôóòáîëó 2018 ãîäà.) Íà ôóòáîëüíîì ïîëå òðåíèðóþòñÿ 7 èãðîêîâ: Ñàøà Äåíèñîâ è øåñòü ôóòáîëèñòîâ ñáîðíîé Ðîññèè:
Àðøàâèí, Áèëÿëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Êåðæàêîâ è Ïàâëþ÷åíêî. Äèê Àäâîêàò
ðàçðåøàåò èì îòäàâàòü äðóã äðóãó ïàñû òîëüêî ïî ïîëþ (à íå ïî âîçäóõó), ïîýòîìó, åñëè
ìåæäó êàêèìè-òî äâóìÿ èãðîêàìè ñòîèò òðåòèé èãðîê, ïàñ îò ïåðâîãî âòîðîìó íåâîçìîæåí. Îêàçàëîñü, ÷òî Àðøàâèí ìîæåò îòäàòü ïàñ òîëüêî Êåðæàêîâó, Ïàâëþ÷åíêî è
Áèëÿëåòäèíîâó; Êåðæàêîâ íå ìîæåò îòäàòü ïàñ Áèëÿëåòäèíîâó è Èãíàøåâè÷ó; Áèëÿëåòäèíîâ íå ìîæåò îòäàòü ïàñ, êðîìå Êåðæàêîâà, åù¼ è Æèðêîâó. Ïåðå÷èñëèòå âñåõ
ôóòáîëèñòîâ ñáîðíîé Ðîññèè, êîòîðûì ìîæåò îòäàòü ïàñ Ñàøà Äåíèñîâ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íèêàêèå ÷åòûðå èãðîêà íå ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé. (Ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âñå òðåíèðóþùèåñÿ ñòîÿò íà ìåñòå è íå ïåðåìåùàþòñÿ ïî ïîëþ.)
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Îòìåòèì íà ìàêåòå ïîëÿ òî÷êè A, B ,
G, I , K , P è D, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû Àðøàâèí, ÁèëÿG
ëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Ïàâëþ÷åíêî è Äåíèñîâ ñîîòâåòñòâåííî.  ñèëó óñëîâèÿ çàäà÷è òî÷êè K , P , è B ðàñK
ïîëîæåíû ãäå-òî íà îòðåçêàõ [A, D], [A, G] è [A, I], ïðè÷¼ì
íà êàæäîì îòðåçêå ñòîèò ðîâíî îäíà èç ýòèõ òî÷åê. Êðîìå
P
D
òîãî, íèêàêèå äâà èç ðàññìîòðåííûõ îòðåçêîâ íå ëåæàò íà
A
îäíîé ïðÿìîé. Íà îòðåçêàõ [K, B] è [K, I] òàêæå äîëæíî
íàõîäèòñÿ ïî îäíîé îòìå÷åííîé òî÷êå; ÿñíî, ÷òî îáå ýòè
B
òî÷êè ëåæàò íà ïðÿìîé (A, P ). Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà I íå
ëåæèò íà ëó÷å (A, P ). Íå ëåæèò îíà è íà ïðÿìîé (A, K),
I
òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïðîõîäèë áû ïàñ îò Êåðæàêîâà ê
Èãíàøåâè÷ó. Çíà÷èò, òî÷êè A, B è I ëåæàò íà îäíîé ïðÿê ðåøåíèþ çàäà÷è 8.1.
ìîé è ðàñïîëîæåíû íà íåé èìåííî â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì
ïåðå÷èñëåíû. Êðîìå òîãî, ëó÷ [A; P ) ëåæèò âíóòðè óãëà
∠KAB . Òåïåðü, òàê êàê ïàñ îò Áèëÿëåòäèíîâà Æèðêîâó íåâîçìîæåí, âèäèì, ÷òî òî÷êà G
ëåæèò íà ëó÷å [A, K). Òîãäà òî÷êà D îáÿçàíà ëåæàòü íà ëó÷å [A, P ), ïðè÷¼ì òî÷êà P ìåæäó òî÷êàìè A è D. Êðîìå òîãî, îäíà èç òî÷åê P è D ëåæèò íà îòðåçêå [K, B], à âòîðàÿ íà ïåðåñå÷åíèè îòðåçêîâ [K; I] è [G; B]. Ïîëó÷èëè åäèíñòâåííî âîçìîæíîå ðàñïîëîæåíèå
òî÷åê (ñì. ðèñóíîê). Òåïåðü âèäíî, ÷òî Ñàøà Äåíèñîâ ìîæåò îòäàòü ïàñ ëþáîìó èãðîêó,
êðîìå Àðøàâèíà.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïàñ íå ìîæåò áûòü îòäàí òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìåæäó èãðîêàìè
åñòü äðóãîé èãðîê, òî åñòü, êàæäîé òàêîé ïàðå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ðîâíî îäíó ïðÿìóþ,
èìåþùóþ òðè èãðîêà. Íàçîâåì òàêóþ ïðÿìóþ çàïðåù¼ííîé.
 óñëîâèè òàêèõ ïàð óêàçàíî øåñòü, ñëåäîâàòåëüíî, è çàïðåù¼ííûõ ïðÿìûõ óêàçàíî
øåñòü (åñëè áû äâå ïàðû ñîîòâåòñòâîâàëè îäíîé ïðÿìîé, òî íà íåé ñòîÿëî áû ìèíèìóì 4
èãðîêà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ñàøà Äåíèñîâ íå ìîæåò îòäàòü
ïàñ åùå êîìó-òî êðîìå Àðøàâèíà. Òîãäà çàïðåù¼ííûõ ïðÿìûõ áóäåò ñåìü. Äàëåå, âñåãî
ïðÿìûõ ÷åðåç ñåìü òî÷åê ìîæíî ïðîâåñòè 6 · 7/2 = 21. Íî, åñëè òðè èãðîêà íàõîäÿòñÿ íà
îäíîé ïðÿìîé, òî îíà ïðè òàêîì ïîäñ÷¼òå áóäåò ó÷òåíà òðè ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ
ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå òî÷êè, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû èãðîêè, ÿâëÿåòñÿ çàïðåù¼ííîé.
7
Èòàê, ÷åðåç ñåìü èãðîêîâ ïðîõîäèò ðîâíî ñåìü ïðÿìûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàïðåù¼ííàÿ. Íî òîãäà è ÷åðåç êàæäîãî èãðîêà ïðîõîäèò ðîâíî òðè çàïðåù¼ííûå ïðÿìûå. Â
÷àñòíîñòè, íà êàæäîé ïðÿìîé â òð¼õ òî÷êàõ âñòðå÷àþòñÿ åù¼ ïî äâå ïðÿìûå, ïîýòîìó
êàæäóþ ïðÿìóþ ïåðåñåêàþò âñå îñòàëüíûå, è âñå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ ñðåäè ñåìè îòìå÷åííûõ.
Ïðîâåäåì âñå îòðåçêè ìåæäó òî÷êàìè, ïîëó÷èì êàêîé-òî âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê
è íåêîòîðûé íàáîð îòðåçêîâ âíóòðè. Ïîñêîëüêó ëþáûå äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ ïî îòìå÷åííûì òî÷êàì, òî ëþáûå äâå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî,
ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ñóòü òðåóãîëüíèê. Íà êàæäîé åãî ñòîðîíå ïî òðè îòìå÷åííûå òî÷êè;
òî÷êè íà ñòîðîíàõ, îòëè÷íûå îò âåðøèí, îáîçíà÷èì ÷åðåç K, L, M , à ïîñëåäíþþ èç ñåìè
òî÷åê (åäèíñòâåííóþ ëåæàùóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà) ÷åðåç O. Òåïåðü íà ïðÿìîé KL ëåæèò åùå îäíà òî÷êà, íî âíå òðåóãîëüíèêà òî÷åê íåò, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî O. Àíàëîãè÷íî
òî÷êà O ëåæèò íà ïðÿìûõ KM è LM , òîãäà âñå ýòè ÷åòûðå òî÷êè K, L, M è O ëåæàò
íà îäíîé ïðÿìîé, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî Ñàøà Äåíèñîâ ìîæåò îòäàòü ïàñ âñåì,
êðîìå Àðøàâèíà.
Ïðèìå÷àíèå. Êîíñòðóêöèÿ èç ñåìè òî÷åê, èññëåäóåìàÿ âî âòîðîì äîêàçàòåëüñòâå, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà èëè ïëîñêîñòüþ Ôàíî. Îíà
äåéñòâèòåëüíî íå ìîæåò áûòü âëîæåíà â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, íàçûâàåìîå àêñèîìîé Ôàíî: äèàãîíàëè âñÿêîãî ÷åòûðåõâåðøèííèêà íå ïàðàëëåëüíû. Íà ïëîñêîñòè Ôàíî âñ¼ íàîáîðîò, âñÿêèå äâå äèàãîíàëè, êàê è
ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, ïåðåñåêàþòñÿ íà ãîðèçîíòå, òî åñòü ïàðàëëåëüíû. Â ïëîñêîñòè
Ôàíî, êñòàòè, èìåííî KLM ëåæàëè áû íà îäíîé ïðÿìîé.
ÎÒÂÅÒ: Áèëÿëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Êåðæàêîâ è Ïàâëþ÷åíêî.
(8.2) (2011 ãîä ãîä Êðîëèêà) Âåñü ïðîøëûé ãîä Êðîëèê ïðîâ¼ë â âû÷èñëåíèÿõ è
íàø¼ë-òàêè íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî N 2010 + 1 ïðîñòîå.
À ñêîëüêî öèôð ñîäåðæèò äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü òàêîãî ÷èñëà N ?
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî 2010 = 3 · 670. Ïóñòü a = N 670 . Òîãäà N 2010 + 1 = a3 + 1 =
(a + 1)(a2 − a + 1).  îáåèõ ñêîáêàõ ñòîÿò íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè ýòîì ïåðâàÿ ñêîáêà
çàâåäîìî íå ìåíüøå 2. Åñëè âòîðàÿ ñêîáêà òîæå íå ìåíüøå 2, òî ÷èñëî N 2010 ñîñòàâíîå.
Åñëè æå îíà ðàâíà 1, òî a2 − a = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî (äëÿ íàòóðàëüíûõ a) óñëîâèþ a = 1.
Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî N 670 = 1, N = ±1, à òàê êàê ÷èñëî N íàòóðàëüíîå, òî N = 1. Çíà÷èò,
åäèíñòâåííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå ìîã íàéòè Êðîëèê, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1. Ýòî
÷èñëî ñîäåðæèò îäíó öèôðó â ñâîåé äåñÿòè÷íîé çàïèñè.
ÎÒÂÅÒ: Îäíó öèôðó.
(8.3) Êàæäûé çðèòåëü Àðêàíçàñà, ïðèøåäøèé íà ñïåêòàêëü Êîðîëåâñêèé æèðàô,
ïðèí¼ñ ñ ñîáîé ëèáî îäíó äîõëóþ êîøêó, ëèáî äâà êî÷àíà ãíèëîé êàïóñòû, ëèáî òðè òóõëûõ ÿéöà. Ñòîÿâøèé ó âõîäà Ãåêëüáåððè Ôèíí ïîäñ÷èòàë, ÷òî êîøåê áûëî 64 øòóêè.
Ïîñëå ñïåêòàêëÿ çðèòåëè çàêèäàëè îáîèõ àêòåðîâ (êîðîëÿ è ãåðöîãà) ñâîèìè ïðèïàñàìè,
ïðè÷åì êàæäûé ïðèíåñåííûé ïðåäìåò ïîïàë ëèáî â êîðîëÿ, ëèáî â ãåðöîãà. Îêàçàëîñü,
÷òî íà äîëþ êàæäîãî èç íèõ äîñòàëîñü ïîðîâíó ïðåäìåòîâ. Ïðàâäà, êîðîëü ïðèíÿë íà
ñåáÿ ëèøü ïÿòóþ ÷àñòü âñåõ ÿèö è ñåäüìóþ ÷àñòü âñåé êàïóñòû, íî âñå äîõëûå êîøêè
ïîëåòåëè èìåííî â íåãî. Ñêîëüêî çðèòåëåé ïðèøëî íà ïðåäñòàâëåíèå?
Ðåøåíèå. Ïóñòü x çðèòåëåé ïðèíåñëè ãíèëóþ êàïóñòó, y òóõëûå ÿéöà. Òîãäà âñåãî
áûëî ïðèíåñåíî 2x + 3y + 64 ïðèïàñîâ, è ïîëîâèíà èç íèõ (à ýòî x + 1, 5y + 32) äîñòàëîñü
8
4 · 3y
6 · 2x
ãåðöîãó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íà äîëþ ãåðöîãà ïðèøëîñü
ÿèö è
êî÷àíîâ êàïó5
7
4 · 3y
6 · 2x
ñòû. Èìååì óðàâíåíèå x + 1, 5y + 32 =
+
, êîòîðîå (ïîñëå óìíîæåíèÿ íà 70
5
7
è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ) ïðèâîäèòñÿ ê ðàâíîñèëüíîìó 50x + 63y = 32 · 70. Åãî òðåáóåòñÿ
ðåøèòü â öåëûõ ÷èñëàõ. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî 63y = 32 · 70 − 50x äåëèòñÿ íà 10 áåç îñòàòêà,
à òàê êàê ÷èñëà 63 è 10 âçàèìíî ïðîñòû, òî íà 10 äåëèòñÿ è ÷èñëî y . Àíàëîãè÷íî x äåëèòñÿ
íà 7. Ïóñòü x = 7x1 , y = 10y1 , x1 , y1 íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â
ðåøàåìîå óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 70: 5x1 + 9y1 = 32. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî
ïðè y1 > 3 ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå ïðàâîé, è ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Ñëó÷àè y1 = 1 è y1 = 2
ïðèâîäÿò ê íåöåëîìó çíà÷åíèþ x1 . Åäèíñòâåííûé âîçìîæíûé âàðèàíò y1 = 3, x1 = 1.
Òîãäà y = 30, x = 7, à îáùåå ÷èñëî çðèòåëåé 30 + 7 + 64 = 101.
ÎÒÂÅÒ: 101 çðèòåëü.
(8.4) Íà îñíîâàíèè AC ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC (AB = BC ) îòìåòèëè
äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè F è E , à íà ñòîðîíàõ AB è BC ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè D è G
òàê, ÷òî AC = AD + AE = CF + CG. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè DF è EG, åñëè
∠ABC = 70◦ .
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ DF è EG. Âîçìîæíî äâà
ñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå íà îòðåçêå AC ðàñïîëîæåíû òî÷êè E è F
ñì. ðèñóíîê.
B
B
G
D
D
G
T
F
A
E
A
C
E
F
C
T
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 8.4.
Ðàññóæäåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû. Èç ðàâåíñòâà AC = AD + AE ñëåäóåò, ÷òî
AD = EC , à èç ðàâåíñòâà AC = CF + CG ÷òî CG = AF . Òîãäà òðåóãîëüíèêè ADF è
CGE ðàâíû ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè; çíà÷èò, ðàâíû óãëû ∠ADF = ∠CEG è
∠AF D = ∠CGE . Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê F ET . Îí èìååò äâà óãëà, ðàâíûå äâóì óãëàì
òðåóãîëüíèêà ADF . Òàê êàê ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà îäíà è òà æå, îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî è òðåòüè óãëû óêàçàííûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû, ò.å. ∠F T E = ∠BAC . Íî â
180◦ − ∠ABC
=
ñèëó òîãî, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé, ïîëó÷àåì ∠BAC =
2
◦
55 .
ÎÒÂÅÒ: 55◦ .
(8.5) Êàê-òî íà ñòðîéêó ïðèâåçëè íåñêîëüêî áëîêîâ îáùèì âåñîì 100 ïóäîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóììàðíûé âåñ òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ áëîêîâ ðàâíÿåòñÿ 25 ïóäàì, à òð¼õ ñàìûõ
òÿæ¼ëûõ 35 ïóäàì. Òàêæå èçâåñòíî, ÷òî âåñà âñåõ áëîêîâ ðàçëè÷íû, è, êðîìå òîãî,
9
áëîê ìîæåò âåñèòü è íåöåëîå ÷èñëî ïóäîâ. Ñêîëüêî áëîêîâ ïðèâåçëè íà ñòðîéêó? Îòâåò
îáîñíîâàòü.
Ðåøåíèå. Îáùèé âåñ âñåõ áëîêîâ, çà èñêëþ÷åíèåì òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ è òð¼õ ñàìûõ
òÿæ¼ëûõ, ðàâåí 100 − 25 − 35 = 40 ïóäîâ. Ïóñòü ýòèõ áëîêîâ n øòóê. Âåñ êàæäîãî èç íèõ
áîëüøå âåñà ñàìîãî òÿæ¼ëîãî áëîêà ñðåäè òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ, à îí (ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå)
áîëüøå, ÷åì 25/3 ïóäà. Àíàëîãè÷íî, âåñ êàæäîãî èç n áëîêîâ ìåíüøå âåñà ñàìîãî ë¼ãêîãî
áëîêà èç òð¼õ ñàìûõ òÿæ¼ëûõ, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìåíüøå, ÷åì 35/3 ïóäà. Èìååì
25
35
120
120
äâîéíîå íåðàâåíñòâî
n < 40 <
n, êîòîðîå ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
<n<
.
3
3
35
25
Åäèíñòâåííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â ïîëó÷åííîì ïðîìåæóòêå ýòî ÷èñëî 4. Çíà÷èò, n = 4,
à âñåãî çàâåçëè 3 + 3 + 4 = 10 áëîêîâ. Ïðèìåð íà 10 áëîêîâ ëåãêî ñòðîèòñÿ: íàïðèìåð, âåñà
áëîêîâ â ïóäàõ (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ) òàêîâû: 23/3, 25/3, 27/3, 28/3, 29/3, 30/3, 33/3,
34/3, 35/3, 36/3.
ÎÒÂÅÒ: 10 áëîêîâ.
(8.6) Êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðîâíî â ïîëäåíü, ò.å. â
12 ÷àñîâ 00 ìèíóò, îíà âûäà¼ò íà ýêðàí ñëó÷àéíî âûáðàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à çàòåì
ñïóñòÿ êàæäóþ ìèíóòó ìåíÿåò åãî, ïðèáàâëÿÿ ê íàïèñàííîìó íà ýêðàíå ÷èñëó ñóììó
åãî öèôð. Â÷åðà â 14 ÷àñîâ 30 ìèíóò íà ýêðàíå ïîÿâèëîñü ÷èñëî 2011.
a) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, âûáðàííîå ìàøèíîé â÷åðà â ïîëäåíü, íå ðàâíÿëîñü 3.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, âûáðàííîå ìàøèíîé â÷åðà â ïîëäåíü, íå ðàâíÿëîñü 2.
Ðåøåíèå.
à) Çàìåòèì, ÷òî åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò íà ýêðàíå ïîÿâèòñÿ ÷èñëî, êðàòíîå 3, òî
ñïóñòÿ ìèíóòó ê íåìó äîáàâèòñÿ ñóììà åãî öèôð (êîòîðàÿ òîæå äåëèòñÿ íà 3) è íîâîå ÷èñëî
òàêæå áóäåò êðàòíî 3. Ïîýòîìó, åñëè áû ìàøèíà âûáðàëà ÷èñëî 3, òî âñå âîçíèêàþùèå
÷èñëà áûëè áû êðàòíû 3. Íî ÷èñëî 2011 íà 3 íå äåëèòñÿ.
á) Ñîãëàñíî ïðèçíàêó äåëèìîñòè íà 3, ñóììà öèôð ëþáîãî ÷èñëà èìååò ïðè äåëåíèè íà
3 òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ñàìî ÷èñëî, ïîýòîìó åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò íà ýêðàíå âîçíèêëî
÷èñëî, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 3 äà¼ò â îñòàòêå 1, òî ÷åðåç ìèíóòó ïîÿâèòñÿ ÷èñëî, äàþùåå
(ïðè äåëåíèè íà 3) îñòàòîê 2, åù¼ ÷åðåç ìèíóòó ÷èñëî, äàþùåå â îñòàòêå 1, çàòåì ñíîâà
2, ñíîâà 1 è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ïîëäåíü ïîÿâèëàñü äâîéêà, òî â ìîìåíòû âðåìåíè
12.02, 12.04, 12.06, . . . 14.30 áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â
îñòàòêå 2. Íî ÷èñëî 2011 ê òàêîâûì íå îòíîñèòñÿ.
10
9 ÊËÀÑÑ
(9.1) (Ïîñâÿùàåòñÿ ïîáåäå ìîëîä¼æíîé ñáîðíîé Ðîññèè íà ÷åìïèîíàòå ìèðà
ïî õîêêåþ 2011 ãîäà.) Íà ëüäó Äâîðöà ñïîðòà õîêêåèñòû ñáîðíîé Ðîññèè îòðàáàòûâàþò òåõíèêó ïàñà. Èì ðàçðåøåíî îòäàâàòü øàéáó äðóã äðóãó òîëüêî ïî ëüäó (à íå ïî
âîçäóõó), ïîýòîìó, åñëè ìåæäó êàêèìè-òî äâóìÿ èãðîêàìè ñòîèò òðåòèé, ïàñ îò îäíîãî äðóãîìó íåâîçìîæåí. Â êàêîé-òî ìîìåíò òðåíèðîâêè îêàçàëîñü, ÷òî õîòÿ íè íà
îäíîé ïðÿìîé íå íàõîäèòñÿ áîëåå òð¼õ õîêêåèñòîâ, ó êàæäîãî èãðîêà èìååòñÿ ïàðòí¼ð,
êîòîðîìó îí íå ìîæåò îòäàòü ïàñ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî õîêêåèñòîâ ó÷àñòâîâàëî
â òðåíèðîâêå? Îòâåò îáîñíóéòå.
Ðåøåíèå. Íà ðèñóíêå óêàçàíî òðåáóåìîå ðàñïîëîæåíèå 6
õîêêåèñòîâ. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè òðåíèðóþùèõñÿ ìåíüøå, òî óêàçàííàÿ â çàäà÷å ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå,
ïóñòü õîêêåèñòîâ íå áîëüøå 5. Âûáåðåì ëþáîãî èç íèõ (èãðîê
A), è ïóñòü îí íå ìîæåò äàòü ïàñ èãðîêó B . Íà ïðÿìîé AB ñòîèò åù¼ òîëüêî îäèí èãðîê (îí ñòîèò ìåæäó èãðîêàìè A è B ),
îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç C . Ïóñòü èãðîê C íå ìîæåò îòäàòü èãðîêó
D (ÿñíî, ÷òî èãðîê D îòëè÷åí îò òð¼õ ðàññìîòðåííûõ), òîãäà
íà îòðåçêå [C, D] ñòîèò ïÿòûé èãðîê E . Òàê êàê â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ äðóãèõ èãðîêîâ íà ïîëå íåò, òî èãðîê E ìîæåò îòäàòü
ïàñ âñåì ÷åòûð¼ì èãðîêàì A, B , C è D ïðîòèâîðå÷èå.
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.1.
ÎÒÂÅÒ: 6 õîêêåèñòîâ.
(9.2) Èçâåñòíî, ÷òî x + 3y + 2z = 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
√
2x + 3 +
p
6y + 1 +
√
4z + 2 < 5, 5.
Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a, b âåðíî
íåðàâåíñòâî
√
2 ab 6 a + b,
ïðè÷åì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî òîëüêî ïðè a = b. Îòñþäà ïîëó÷àåì:
p
√
√
2x + 3 + 6y + 1 + 4z + 2 =
p
p
p
= (2x + 3) · 1 + (6y + 1) · 1 + (4z + 2) · 1 6
2x + 3 + 1 6y + 1 + 1 4z + 2 + 1
+
+
= x + 3y + 2z + 4, 5 = 1 + 4, 5 = 5, 5.
6
2
2
2
Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè 2x+3 = 6y +1 = 4z +2 = 1, ò.å. ïðè
x = −1, y = 0, z = −0, 25. Íî ýòà òðîéêà ÷èñåë íå óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó x + 3y + 2z = 1,
ïîýòîìó â âûïèñàííîé îöåíêå íåðàâåíñòâî ñòðîãîå.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïðîâåä¼ì ðàâíîñèëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:
x + 3y + 2z = 1 ⇔ 2x + 6y + 4z = 2 ⇔ (2x + 3) + (6y + 1) + (4z + 2) = 8,
ïîýòîìó
p
√
√
(2x + 3) − 2 2x + 3 + 1 + (6y + 1) − 2 6y + 1 + 1 + (4z + 2) − 2 4z + 2 + 1 =
11
p
√
√
= 11 − 2( 2x + 3 + 6y + 1 + 4z + 2)
÷òî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó
³√
´2 ³p
´2 ³√
´2
2x + 3 − 1 +
6y + 1 − 1 +
4z + 2 − 1 =
p
√
√
= 2(5, 5 − ( 2x + 3 + 6y + 1 + 4z + 2)).
Ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíà, è îíà ðàâíà
íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 2x + 3 = 6y + 1 = 4z + 2 = 1,
ò.å. x = −1, y = 0, z = −0, 25. Òàê êàê òàêàÿ òðîéêà ÷èñåë x, y, z
íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ñòðîãî
ïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíà è ïðàâàÿ, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
(9.3) 40 áèêôîðäîâûõ øíóðîâ äëèíîé 1 ìåòð êàæäûé èìåþò
ñèíèé è êðàñíûé êîíåö. Îãîíü ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü áèêôîðäîâà ê óñëîâèþ çàäà÷è
øíóðà òîëüêî â íàïðàâëåíèè îò ñèíåãî êîíöà ê êðàñíîìó êîíöó, íî íå
9.3.
íàîáîðîò. Òðåáóåòñÿ èç øíóðîâ ñîáðàòü êâàäðàòíóþ ðåø¼òêó 4×4 ì
(ñì. ðèñóíîê). Ìîæíî ëè ïðè ýòîì ñîñòàâèòü øíóðû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷åííóþ
ðåø¼òêó íåëüçÿ áûëî ñæå÷ü ïîëíîñòüþ, ïîäæèãàÿ å¼ â ëþáûõ 12 ìåñòàõ? ( óçëàõ
ðåø¼òêè îãîíü ïåðåõîäèò ñ êðàñíîãî êîíöà íà âñå ïðèìûêàþùèå ê íåìó ñèíèå êîíöû.)
ÎÒÂÅÒ: Ìîæíî.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ðàñïîëîæåíèå êóñêîâ øíóðà, óêà-
çàííîå íà ðèñóíêå. Ñòðåëî÷êàìè îáîçíà÷åíû êðàñíûå êîíöû øíóðîâ. Âûäåëèì 13 òî÷åê (îíè íà ðèñóíêå îòìå÷åíû
áåëûìè êðóæêàìè). Êàê áû ìû íå ïîäæèãàëè êîíñòðóêöèþ â 12 ìåñòàõ, ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå íàéä¼òñÿ áåëûé
êðóæîê, â êîòîðîì ïîäæîãà íå áóäåò. Íî òîãäà ýòà òî÷êà
îñòàíåòñÿ íå ñãîðåâøåé, èáî îãîíü â íå¼ íå ìîæåò ïðèéòè
íè ïî îäíîìó èç íàïðàâëåíèé.
(9.4) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñåõ ÷èñåë a, b, c èç îòðåçêà
[0; 1] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.3.
a + b + c 6 2 + abc.
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Çàôèêñèðóåì ÷èñëà b è c è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (a) = a + b + c − abc.
Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî îíà íå ïðåâîñõîäèò 2 äëÿ ëþáîãî a èç îòðåçêà [0; 1]. Òàê êàê f (a) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òî å¼ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà, ïîýòîìó
äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî f (0) 6 2 è f (1) 6 2. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, òàê êàê îíî
èìååò âèä b + c 6 2, ãäå êàæäîå èç ÷èñåë b è c íå ïðåâîñõîäèò 1. Âòîðîå íåðàâåíñòâî èìååò
âèä 1 + b + c − bc 6 2 ⇔ (1 − b)(1 − c) > 0, è òàêæå âåðíî ïðè 0 6 b 6 1 è 0 6 c 6 1.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïåðåîáîçíà÷èì x = 1 − a, y = 1 − b, z = 1 − c (âñå îíè òàêæå èç îòðåçêà
[0; 1]), òîãäà èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó 3 − x − y − z 6 2 + (1 − x)(1 −
12
y)(1 − z), òî åñòü 1 − x − y − z 6 1 − x − y − z + xy + xz + yz − xyz, è 0 6 xy + xz + yz(1 − x),
÷òî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó x, y, z > 0, x 6 1.
Òðåòèé ñïîñîá. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è âåðíà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ
a + b + c − abc = a(1 − bc) + b + c 6 1 − bc + b + c = 1 + b(1 − c) + c 6 1 + 1 − c + c = 2.
Îòñþäà ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
(9.5) Íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû ïàðàëëåëîãðàììû AA2 B1 B ,
BB2 C1 C è CC2 A1 A. Âñåãäà ëè èç îòðåçêîâ A1 A2 , B1 B2
è C1 C2 ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê? Îòâåò îáîñíóéòå.
Ðåøåíèå. Ïðîâåä¼ì ÷åðåç âåðøèíó C ëó÷, ñîíà-
B2
B
B1
C1
А
ïðàâëåííûé ñ ëó÷îì AA2 , è îòìåòèì íà í¼ì òî÷êó T
C
А2
T
òàê, ÷òîáû AA2 = CT (ñì. ðèñóíîê). (Ïðè ýòîì, òàê
C2
êàê ÷åòûð¼õóãîëüíèê AA2 B1 B ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîА1
ãðàììîì, òî BB1 k CT è BB1 = CT .) ×åòûð¼õóãîëüê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.5.
íèêè CT A2 A è CT B1 B ïàðàëëåëîãðàììû (èõ ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû è ïàðàëëåëüíû), ïîýòîìó îòðåçêè AC è A2 T òàêæå ðàâíû è ïàðàëëåëüíû (ýòîò æå ôàêò âåðåí è äëÿ îòðåçêîâ
CB è B1 T ). Íî ÷åòûðåõóãîëüíèê ACC2 A1 ïàðàëëåëîãðàìì, ïîýòîìó ðàâíû è ïàðàëëåëüíû îòðåçêè AC è A1 C2 . Òîãäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíûìè è ïàðàëëåëüíûìè áóäóò îòðåçêè
A2 T è A1 C2 , ò.å. ÷åòûð¼õóãîëüíèê A2 A1 C2 T ïàðàëëåëîãðàìì, îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
C2 T = A1 A2 . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî C1 T = B1 B2 . Íî òîãäà òðåóãîëüíèê C2 C1 T
è åñòü òðåóãîëüíèê, ñîñòàâëåííûé èç îòðåçêîâ A1 A2 , B1 B2 è C1 C2 .
ÎÒÂÅÒ: à) Âñåãäà.
(9.6) Ïóñòü S(x) îáîçíà÷àåò ñóììó öèôð äåñÿòè÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x.
Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå íàòóðàëüíîå a, (a > 10) ÷òî óðàâíåíèå a = x+S(x) îòíîñèòåëüíî
x
a) íå èìååò ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ;
á) èìååò ðîâíî 2 ðåøåíèÿ â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ;
â) èìååò áîëåå 2 ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ.
Ðåøåíèå. à) Ïóñòü ÷èñëà a è x óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ èç óñëîâèÿ, è ïóñòü a äâóçíà÷íîå ÷èñëî. Òîãäà ÷èñëî x íå áîëåå ÷åì äâóçíà÷íîå, ò.å. x = 10m + n, ãäå m è n öèôðû, îäíîâðåìåííî íå ðàâíûå íóëþ. Òîãäà a = x + S(x) = 10m + n + m + n = 11m + 2n.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, a = 20. Óðàâíåíèå 11m + 2n = 20 â öèôðàõ ðåøåíèé íå èìååò,
òàê êàê ïðè m < 1 ÷èñëî n äîëæíî áûòü áîëüøå èëè ðàâíî 10, à ïðè m > 1 ÷èñëî n
îòðèöàòåëüíî, à ïðè m = 1 ÷èñëî n íå öåëîå.
á) Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî a = 101 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå x + S(x) = 101 èìååò êîðíÿìè ÷èñëà x = 100 è x = 91. Äðóãèõ êîðíåé íåò, òàê êàê åñëè
x áîëåå, ÷åì äâóçíà÷íîå ÷èñëî è îòëè÷íî îò 100, òî x + S(x) > 101, à åñëè x äâóçíà÷íîå
èëè îäíîçíà÷íîå ÷èñëî (x = 10m + n), òî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 11m + 2n = 101. Îïÿòü
ïðè m < 8 ÷èñëî n äîëæíî áûòü áîëüøå 10, ïðè m = 8 ÷èñëî n íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì, à ïðè
m = 9 âîçíèêàåò óæå èçâåñòíîå ðåøåíèå x = 91. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ÷èñëà a ñ
òàêèì ñâîéñòâîì; ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî a = 101 íàèìåíüøåå èç íèõ.
13
â) Ïîäîéä¼ò, íàïðèìåð, ÷èñëî a = 1 000
. . 000} 3. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ÷èñ| .{z
12 íóëåé
ëà x = 1 000
.
.
.
000
1
,
y
=
999
.
.
.
999
02
è
z = 999
. . 999} 893 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
| {z }
| {z }
| .{z
11 äåâÿòîê
10 äåâÿòîê
12 íóëåé
a = x + S(x).
ÎÒÂÅÒ: à) Äà. á) Äà. â) Äà.
14
10 ÊËÀÑÑ
(10.1) Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2 6 [2x] · {2x}. Çäåñü [y] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà y , ò.å.
íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå y , à {y} = y − [y] äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà y .
Ðåøåíèå. Ïóñòü [2x] = c, {2x} = d. Òîãäà 0 6 d < 1 è x =
µ
íåðàâåíñòâî èìååò âèä
c+d
2
¶2
à 0 6 d < 1, òî c = d = 0 è x =
c+d
.  íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ
2
6 cd ⇔ (c − d)2 6 0 ⇔ c = d. Íî òàê êàê c ÷èñëî öåëîå,
c+d
= 0.
2
ÎÒÂÅÒ: x = 0.
(10.2) Â ñóíäóêå Áèëëè-Áîíñà ëåæàò çîëîòûå, ñåðåáðÿíûå è ìåäíûå ìîíåòû îáùèì
÷èñëîì 120 øòóê. Ìîíåòû ëåæàò â ïÿòè ðàçëè÷íûõ îòäåëåíèÿõ, ïðè ýòîì íè â êàêèõ
äâóõ îòäåëåíèÿõ â ñóììå íå íàáåð¼òñÿ 30 çîëîòûõ ìîíåò, è íè â êàêèõ òð¼õ îòäåëåíèÿõ
â ñóììå íå íàáåð¼òñÿ 20 ñåðåáðÿíûõ ìîíåò. Äîêàæèòå, ÷òî â êàêèõ-íèáóäü ÷åòûð¼õ
îòäåëåíèÿõ èìååòñÿ íå ìåíåå 15 ìåäíûõ ìîíåò.
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. ßñíî, ÷òî åñëè ìû áóäåì èçâëåêàòü èç ñóíäóêà ìîíåòû (íå ïåðåêëàäûâàÿ îñòàâøèåñÿ èç îäíîãî îòäåëåíèÿ ñóíäóêà â äðóãîå), òî óñëîâèå çàäà÷è ïî ïðåæíåìó
áóäåò âûïîëíÿòüñÿ.
Ïîêàæåì, ÷òî çîëîòûõ ìîíåò â ñóíäóêå íå áîëåå 71. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Îñòàâèì
â ñóíäóêå êàêèå óãîäíî 72 çîëîòûå ìîíåòû, à âñå îñòàëüíûå ìîíåòû óáåð¼ì. Ðàññìîòðèì
îòäåëåíèå ñóíäóêà, â êîòîðîì îñòàëîñü ìåíüøå âñåãî ìîíåò. Ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå â ýòîì
îòäåëåíèè 14 ìîíåò èëè ìåíüøå. Òîãäà â îñòàëüíûõ ÷åòûð¼õ îòäåëåíèÿõ ïî êðàéíåé ìåðå
58 çîëîòûõ ìîíåò. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èõ ðîâíî 58 (åñëè ýòî íå òàê, óáåð¼ì ëèøíèå èç ñóíäóêà). Îïÿòü ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå íàéä¼ì îòäåëåíèå, ñîäåðæàùåå 14 ìîíåò èëè ìåíüøå,
òîãäà â òð¼õ îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèÿõ áóäåò 44 çîëîòûõ ìîíåòû èëè áîëüøå. Ñ÷èòàåì, ÷òî
â íåêîòîðûõ òð¼õ îòäåëåíèÿõ ðîâíî 44 çîëîòûõ ìîíåòû. È åù¼ ðàç ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå
íàõîäèì êó÷êó, ñîäåðæàùóþ íå áîëåå 14 ìîíåò.  äâóõ îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèÿõ îêàæåòñÿ
30 çîëîòûõ ìîíåò (èëè áîëåå), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
Àíàëîãè÷íî ïîêàæåì, ÷òî ñåðåáðÿíûõ ìîíåò â ñóíäóêå íå áîëüøå 31. Ïóñòü èõ 32 (âñå
îñòàëüíûå ìîíåòû óáåð¼ì).  ñàìîì áåäíîì èç îòäåëåíèé èõ íå áîëüøå 6, çíà÷èò, â
êàêèõ-òî ÷åòûð¼õ èõ íå ìåíåå 26; ïîëàãàåì, ÷òî ìîíåò ðîâíî 26. Îïÿòü â ñàìîì áåäíîì
èç îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèé áóäåò íå áîëåå 6 ìîíåò, çíà÷èò, â òð¼õ îñòàâøèõñÿ 20 èëè áîëåå
ìîíåò ïðîòèâîðå÷èå.
Îáùåå ÷èñëî çîëîòûõ è ñåðåáðÿíûõ ìîíåò íå áîëüøå 102, çíà÷èò, â ñóíäóêå 18 èëè
áîëüøå ìåäíûõ ìîíåò. Îñòàâèì ðîâíî 18 ìåäíûõ ìîíåò, óáðàâ îñòàëüíûå. Â êàêîì-òî èç
îòäåëåíèé (ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå) áóäåò íå áîëåå 3 ìîíåò, çíà÷èò, â îñòàëüíûõ ÷åòûð¼õ
îòäåëåíèÿõ èõ íå ìåíåå 15, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü ai , bi è ci (1 6 i 6 5) êîëè÷åñòâà çîëîòûõ, ñåðåáðÿíûõ è
ìåäíûõ ìîíåò â i-îì îòäåëåíèè. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî a1 6
a2 6 . . . 6 a5 . Òàêæå ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïðè ýòîì b1 6 b2 6 . . . 6 b5 è c1 6 c2 6 . . . 6
c5 (åñëè, íàïðèìåð, îêàæåòñÿ, ÷òî b1 > b2 , òî ñåðåáðÿíûå ìîíåòû èç ïåðâîãî îòäåëåíèÿ
ñóíäóêà ïåðåëîæèì âî âòîðîå, à èç âòîðîãî â ïåðâîå, ïðè ýòîì óñëîâèå çàäà÷è îñòàíåòñÿ
âûïîëíåííûì). Òàê êàê a4 +a5 < 30, òî a4 6 14, à ïîòîìó è âñå îñòàëüíûå ai íå ïðåâîñõîäÿò
14. Òîãäà a1 + . . . + a5 < 14 + 14 + 14 + 30 = 72, ò.å. â ñóíäóêå Áèëëè Áîíñà íå áîëåå 71
15
çîëîòîé ìîíåòû. Àíàëîãè÷íî b3 + b4 + b5 < 20, îòêóäà b3 (à òîãäà è b1 è b2 ) íå áîëüøå,
÷åì 6. Ïîýòîìó b1 + . . . + b5 < 6 + 6 + 20 = 32, çíà÷èò, ñåðåáðÿíûõ ìîíåò â ñóíäóêå íå
áîëåå 31. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íè â êàêèõ ÷åòûð¼õ îòäåëåíèÿõ íåò 15 ìåäíûõ ìîíåò, òîãäà
c2 + c3 + c4 + c5 6 14, c1 6 c2 6 3 è c1 + . . . + c5 6 3 + 14 = 17. Âñåãî ìîíåò â ñóíäóêå ïðè
ýòîì íå áîëüøå, ÷åì 71 + 31 + 17 = 119 ïðîòèâîðå÷èå.
(10.3) Ïóñòü M è N ñåðåäèíû ñòîðîí AB è AC òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî, òðåóãîëüíèêè AP M è N QC ïðàâèëüíûå, ïîñòðîåííûå âíå òðåóãîëüíèêà ABC ,
òî÷êà R ëåæèò íà ñòîðîíå BC è äåëèò å¼ â îòíîøåíèè 3 : 1, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè B .
Äîêàæèòå, ÷òî óãîë P RQ ïðÿìîé.
Ðåøåíèå. Ïóñòü òî÷êè E è F ñåðåäèíû
îòðåçêîâ AM è CN ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà P E ⊥ AB è QF ⊥ AC , ïîñêîëüêó
â ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêàõ âûñîòû è ìåäèàíû
ñîâïàäàþò. Êðîìå òîãî, AE : EB = 1 : 3 = CR :
RB , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðÿìûå AC è ER ïàðàëëåëüíû. Àíàëîãè÷íî RF k AB , ïîýòîìó ÷åòûð¼õóãîëüíèê AERF ïàðàëëåëîãðàìì. Òîãäà ∠BAC = ∠ERF = ∠BER = ∠RF C . Òàê
êàê ∠P EB = 90◦ = ∠QCF , òî îòñþäà ñëåäóåò
ðàâåíñòâî óãëîâ ∠P ER = ∠RF C . Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè ∠BAC = 90◦ , òî÷êè P, E, R ëåæàò
íà îäíîé ïðÿìîé; ýòî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ òî÷åê
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 10.3.
R, F, Q. Òîãäà ∠P RQ = ∠ERF = ∠BAC = 90◦
è óòâåðæäåíèå â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàíî.
Ïóñòü ∠BAC 6= 90◦ . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë A îñòðûé (ñëó÷àé, êîãäà ýòîò óãîë
òóïîé, ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ïîëîæèì x = F C , y = AE . Òîãäà RE = AF = 3x√ è
3
RF = AE = y . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó âûñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñîñòàâëÿåò
2
√
√
√
PE
y 3
y
RF
îò åãî ñòîðîíû, òî P E = y 3 è QF = x 3. Îòñþäà
=
= √
=
, ÷òî
ER
3x
QF
3x
(ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî ∠P ER = ∠RF C ) äîêàçûâàåò ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ P ER è RF C .
Èç ýòîãî ïîäîáèÿ ñëåäóåò ðàâåíñòâî óãëîâ ∠P RE = ∠RQF è ∠F RQ = ∠RP E . Òîãäà
èìååì ∠P RQ = ∠P RE +∠ERF +∠F RQ = ∠P RE +∠REB+∠RP E = 180◦ −∠P EB = 90◦ ,
è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
(10.4) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî | cos x| + | cos y| + | cos (x + y)| > 1.
Ðåøåíèå.
| cos x| + | cos y| + | cos (x + y)| > | cos x|| sin y| + | cos y|| sin x| + | cos (x + y)| >
> | cos x · sin y + cos y · sin x| + | cos (x + y)| = | sin (x + y)| + | cos (x + y)| >
> sin2 (x + y) + cos2 (x + y) = 1.
(10.5) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x, y, z ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî a, ÷òî ÷èñëî (x2 y 2 + a)(y 2 z 2 + a)(z 2 x2 + a) áóäåò êâàäðàòîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
16
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ïîëîæèì a = xyz(x + y + z). Òîãäà x2 y 2 + a = xy(xy + z(x + y + z)) =
xy(x(y + z) + z(y + z)) = xy(x + z)(y + z). Àíàëîãè÷íî, y 2 z 2 + a = yz(x + y)(x + z) è
(z 2 x2 + a = xz(x + y)(y + z). Â èòîãå âñ¼ âûðàæåíèå ðàâíî (xyz(x + y)(x + z)(y + z))2 .
Âòîðîé ñïîñîá. Çàäà÷à áóäåò ðåøåíà, åñëè äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ x, y, z áóäåò íàéäåíî ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ ñèñòåìû óðàâíåíèé
 2 2
 x y + a = pq
y 2 z 2 + a = qr
 2 2
y z + a = rp.
Âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ äðóã èç äðóãà ïî êðóãó, èìååì ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó

 q(p − r) = y 2 (x2 − z 2 )
r(q − p) = z 2 (y 2 − x2 )

p(r − q) = x2 (z 2 − y 2 ).
Åñëè òåïåðü ðàñïðåäåëèòü ìíîæèòåëè ñïðàâà òàê: q = y · y, p − r = (x + z) · (x − z), òî áóäåò
a = 0, ÷òî íàñ íå óñòðàèâàåò. Ðàñïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
q = y(x+z), p−r = y(x−z), r = z(y+x), q−p = z(y−z), p = x(z+y), r−q = x(z−y).
Ïîëó÷èâøàÿñÿ ñèñòåìà (à, çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ñèñòåìà) ñîâìåñòíà, ïðè ýòîì ÷èñëî a =
xy(xy + zx + zy + z 2 ) − x2 y 2 = xyz(x + y + z) åñòü ÷èñëî íàòóðàëüíîå.
(10.6) Íà çåìëå ëåæàò 2011 ïàëî÷åê, âñå ðàçíîé äëèíû. Âñåãäà ëè ìîæíî ðàçëîìèòü
îäíó èç ïàëî÷åê íà 2 ÷àñòè (íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûå) òàê, ÷òîáû ïîëó÷èâøèåñÿ 2012
ïàëî÷åê ìîæíî áûëî áû ðàçëîæèòü íà äâå ãðóïïû ñóììàðíîé ðàâíîé äëèíû ïî 1006
ïàëî÷åê â êàæäîé? Îòâåò îáîñíóéòå.
Ðåøåíèå. Âûáåðåì ñàìóþ äëèííóþ ïàëî÷êó (ïóñòü å¼ äëèíà a), à îñòàëüíûå ðàçëîæèì
ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì â äâå êó÷êè ïî 1005 ïàëî÷åê â êàæäîé. Ïóñòü ñóììà äëèí ïàëî÷åê
â êó÷êàõ ðàâíû l è s ñîîòâåòñòâåííî è ïóñòü l > s. Âîçìîæíî äâà ñëó÷àÿ:
a − (l − s)
1) l−s < a. Òîãäà ðàçëîìèì ñàìóþ äëèííóþ ïàëî÷êó íà äâå ÷àñòè äëèíàìè
è
2
a + (l − s)
. Ýòîò ðàçëîì èñêîìûé, òàê êàê äîáàâèâ ìåíüøóþ ÷àñòü ê êó÷êå áîëüøåé äëèíû,
2
à áîëüøóþ ê êó÷êå ìåíüøåé äëèíû, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå 2012 ïàëî÷åê.
2) l−s > a. Áóäåì ïåðåêëàäûâàòü ïàëî÷êè â êó÷êàõ ñ öåëüþ äîáèòüñÿ ñèòóàöèè, îïèñûâàåìîé ïåðâûì ñëó÷àåì. Âîçüì¼ì èç êàæäîé êó÷êè ïî ïðîèçâîëüíîé ïàëî÷êå è ïîìåíÿåì
èõ ìåñòàìè. Åñëè ðàçíîñòü ñóììàðíûõ äëèí êó÷åê âñ¼ åù¼ íå ìåíüøå a, âîçüì¼ì åù¼ ïî
ïàëî÷êå (îòëè÷íûå îò ðàíåå âçÿòûõ), ïîìåíÿåì èõ ìåñòàìè è ò.ä. Ïîêàæåì, ÷òî íàñòóïèò
ìîìåíò, êîãäà ñóììàðíàÿ ðàçíîñòü äëèí ñòàíåò ìåíüøå a. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû îñóùåñòâèì âñå 1005 ïåðåêëàäûâàíèé, òî íà÷àëüíûå êó÷êè ïðîñòî ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, è
ñóììà äëèí ïàëî÷åê â òîé êó÷êå, ãäå îíà áûëà ìåíüøåé, òåïåðü ñòàíåò áîëüøåé. Çíà÷èò,
ïî õîäó ïåðåêëàäûâàíèé áûë ìîìåíò, êîãäà âïåðâûå ñóììà äëèí ïàëî÷åê â ïåðâîé êó÷êå
ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ñóììà äëèí ïàëî÷åê âî âòîðîé. Ïóñòü â ýòîò ìîìåíò ñóììàðíàÿ äëèíà
ïàëî÷åê ïåðâîé êó÷êè ðàâíà x, à âòîðîé ðàâíà y (x < y ). Ïóñòü ïîñëåäíèì ïåðåêëàäûâàíèåì ìû ïåðåëîæèëè äâå ïàëî÷êè, ðàçíîñòü äëèí êîòîðûõ ðàâíà d (ÿñíî, ÷òî d < a). Òîãäà
ñóììàðíûå äëèíû ïàëî÷åê â êó÷êàõ äî ýòîãî ïåðåêëàäûâàíèÿ áûëè x + d è y − d, ïðè ýòîì
17
ïî âûáîðó ìîìåíòà x + d > y − d. Ïîêàæåì, ÷òî ëèáî y − x < a, ëèáî (x + d) − (y − d) < a;
ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü, îò ïðîòèâíîãî, îáà íåðàâåíñòâà
íåâåðíû, ò.å. y − x > a è x + d − y + d > a. Ñëîæèì ýòè íåðàâåíñòâà ïî÷ëåííî è ïîñëå
ñîêðàùåíèÿ íà 2 ïîëó÷èì d > a ïðîòèâîðå÷èå.
ÎÒÂÅÒ: Âñåãäà ìîæíî.
18
11 ÊËÀÑÑ
(11.1) Íàéäèòå âñå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (x, y), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
p
y 2 + y + y − x2 − xy 6 3xy.
Ðåøåíèå. Ïðîâåä¼ì ðàâíîñèëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
y2 + y +
p
y − x2 − xy 6 3xy
p
y 2 − 3xy + (y − x2 − xy) + x2 + xy + y − x2 − xy 6 0
p
y 2 − 2xy + x2 + (y − x2 − xy) + y − x2 − xy 6 0
p
(y − x)2 + z 2 + z 6 0,
ãäå z = y − x2 − xy > 0. Òàê êàê ñóììà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìîæåò áûòü âåëè÷èíîé îòðèöàòåëüíîé, à ðàâíà íóëþ åñëè è òîëüêî åñëè½âñå ñëàãàåìûå ðàâíû
½ íóëþ, òî ïîëóy−x = 0
y = x
÷åííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå óðàâíåíèé
⇔
.
2
z = 0
x + xy = y
Ïîäñòàâèâ âî âòîðîå óðàâíåíèå y = x è ðåøèâ ïîëó÷åííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
îòâåò.
ÎÒÂÅÒ: (0, 0), (1/2, 1/2).
(11.2)  îäíîì ñòàðîì ó÷åáíèêå ãåîìåòðèè äàíî òàêîå îïðåäåëåíèå ïðèçìû: Ïðèçìîé
íàçûâàåòñÿ ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî äâå ãðàíè ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè, à âñå îñòàëüíûå ãðàíè ïàðàëëåëîãðàììû. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, óäîâëåòâîðÿþùåãî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, íî íå ÿâëÿþùåãîñÿ
ïðèçìîé.
Ðåøåíèå. Ïðèìåð íåâûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ìîæíî ïî-
ëó÷èòü, âçÿâ äâå ïðèçìû ñ ðàâíûìè îñíîâàíèÿìè, íî ñ ðàçíûì
íàêëîíîì áîêîâûõ ãðàíåé è ïîñòàâèâ èõ îäíó íà äðóãóþ òàê,
÷òîáû âåðõíÿÿ ãðàíü íèæíåé ïðèçìû ñîâìåñòèëàñü ñ íèæíåé
ãðàíüþ âåðõíåé (íà ðèñóíêå ïðèâåä¼í ïðèìåð, êîãäà ïðèçìû
òðåóãîëüíûå). Áîëåå ñëîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñ òàêèì ñâîéñòâîì. Ïîäîéä¼ò, íàïðèìåð, êóá, íà êàæäîé ãðàíè êîòîðîãî, êàê íà îñíîâàíèè, ïîñòðîåíà ïðàâèëüíàÿ ÷åòûð¼õóãîëüíàÿ ïèðàìèäà ñ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè
ê ðåøåíèþ
ðàâíûìè 45◦ .  ñàìîì äåëå, áîêîâûå ãðàíè ðàçëè÷íûõ ïèðàìèä
çàäà÷è 11.2
ñ îáùèì ðåáðîì ðåáðîì êóáà ïðè ýòîì îáðàçóþò åäèíóþ
ãðàíü, êîòîðàÿ áóäåò ðîìáîì, ïîýòîìó âñå ãðàíè ïîñòðîåííîãî
ìíîãîãðàííèêà áóäóò ðîìáàìè, è âñå ýòè ðîìáû ðàçîáüþòñÿ íà ïàðû ñ ïàðàëëåëüíûìè
äðóãó äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîðîíàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó ìíîãîãðàííèêà áóäåò 14
âåðøèí: ê 8 âåðøèíàì êóáà äîáàâÿòñÿ 6 âåðøèí ïèðàìèä, ïîýòîìó îí íå ìîæåò îêàçàòüñÿ
ïàðàëëåëåïèïåäîì.
(11.3) Ñóùåñòâóþò ëè 2000 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ
ðîâíî 10 ïðîñòûõ?
19
Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç x(n) êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë â íàáîðå {n, n + 1, . . . n + 1999}. Òîãäà âîïðîñ çàäà÷è áóäåò çâó÷àòü òàê: ñóùåñòâóåò ëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n òàêîå, ÷òî x(n) = 10? Ïîêàæåì, ÷òî îòâåò íà íåãî
ïîëîæèòåëåí.
Çàìåòèì, ÷òî x(1) > 10 (÷èñëà 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . . ïðîñòûå) è ÷òî
x(2001! + 2) = 0, òàê êàê äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n < 2000 ÷èñëî 2001! + n äåëèòñÿ íà n è
íå ðàâíî n. Êðîìå òîãî, âèäèì, ÷òî x(n+1) = x(n), åñëè îáà ÷èñëà n è n+2000 ïðîñòûå èëè
îíè îáà ñîñòàâíûå, x(n+1) = x(n)+1, åñëè ÷èñëî n ñîñòàâíîå, à ÷èñëî n+2000 ïðîñòîå
è x(n + 1) = x(n) − 1, åñëè, íàîáîðîò, ÷èñëî n ïðîñòîå, à ÷èñëî n + 2000 ñîñòàâíîå.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå îò n ê ñëåäóþùåìó ÷èñëó n + 1 âåëè÷èíà x(n) ìåíÿåòñÿ íå
áîëåå, ÷åì íà 1.  ñèëó äèñêðåòíîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n (ïðè
ýòîì 1 < n < 2001! + 2) ÷èñëî x(n) ïðèìåò çíà÷åíèå 10.
ÎÒÂÅÒ: Äà, ñóùåñòâóþò.
(11.4) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êîðîëåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà èçíà÷àëüíî ïóñòóþ øàõìàòíóþ äîñêó 8×8 òàê, ÷òîáû
êàæäûé êîðîëü áûë ïîä áîåì íå áîëåå îäíîãî äðóãîãî êîðîëÿ?
Ðåøåíèå. Äâà áüþùèõ äðóã äðóãà êîðîëÿ ìîãóò ñòîÿòü ëèáî
â êëåòêàõ, èìåþùèõ îáùóþ ñòîðîíó (íàçîâ¼ì òàêóþ ïàðó ëèíåéíîé), ëèáî îáùóþ âåðøèíó (äèàãîíàëüíàÿ ïàðà). Êðîìå òîãî, íà
äîñêå ìîãóò áûòü êîðîëè, êîòîðûå íå áüþò íèêàêîãî äðóãîãî
(îäèíî÷íûå). Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî âåðøèí êëåòîê, êîòîðûå áüþò
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 11.4
âñå êîðîëè. Îäèíî÷íûé êîðîëü áü¼ò 4 âåðøèíû, äèàãîíàëüíàÿ
ïàðà 7 âåðøèí, à ëèíåéíàÿ 6. Îáùåå ÷èñëî âåðøèí íà äîñêå 81.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè óäàñòñÿ âûñòàâèòü x äèàãîíàëüíûõ ïàð, y ëèíåéíûõ ïàð, è z îäèíîêèõ êîðîëåé, òî áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 7x + 6y + 4z 6 81. Îáùåå ÷èñëî êîðîëåé ïðè
ýòîì ðàâíî n = 2x+2y +z . Òîãäà 81 > 3(2x+2y +z)+y +z = 3n+y +z > 3n, îòêóäà n 6 27.
Íî ïðè n = 27 ÷èñëî z = n − 2x − 2y íå÷¼òíî, ïîýòîìó z 6= 0 è ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî
öåïî÷êè ñòðîãîå, îòêóäà n < 27 ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, n 6 26. Ïðèìåð ðàññòàíîâêè 26
êîðîëåé ïðèâåä¼í íà ðèñóíêå.
Îòâåò: 26.
(11.5) Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
|a + b cos x + cos 2x + c cos 3x| 6 1. Äîêàæèòå, ÷òî a = b = c = 0.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì f (x) = a + b cos x + cos 2x + c cos 3x. Ïîäñòàâëÿÿ â íåðàâåíñòâî
 èç óñëîâèÿ òî÷êè x = 0, x = π è x = π/2, ïîëó÷àåì ñèñòåìó äâîéíûõ íåðàâåíñòâ
 −2 6 a + b + c 6 0
−2 6 a − b − c 6 0 . Ñêëàäûâàÿ ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì (ñ ó÷¼òîì òðå
06a62
òüåãî), ÷òî a = 0. Ïðè a = 0 èç ïåðâûõ äâóõ íåðàâåíñòâ ñèñòåìû ïîëó÷àåì, ÷òî b + c > 0
è b + c 6 0, ò.å. c = −b. Ôóíêöèÿ f (x) ñ ó÷¼òîì äîêàçàííîãî ïðèíèìàåò âèä f (x) =
b(cos x − cos 3x) + cos 2x. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî b 6= 0. Òîãäà f (π/2) = −1, à f 0 (π/2) =
b(− sin x + 3 sin 3x) − 2 sin 2x|x=π/2 = −4b 6= 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè
x = π/2, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f (x) ìîíîòîííà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî ñëåâà, ëèáî ñïðàâà îò
òî÷êè x = π/2 ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ f (x) < −1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ çàäà÷è. Çíà÷èò b = 0, c = −b = 0 è a = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
20
(11.6) Ïóñòü M è N ñåðåäèíû ñòîðîí AB è AC òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî, òðåóãîëüíèêè AP M è N QC ïðàâèëüíûå, ïîñòðîåííûå âíå òðåóãîëüíèêà ABC ,
òî÷êà H ïðîåêöèÿ òî÷êè A íà ïðÿìóþ BC . Äîêàæèòå, ÷òî óãîë P HQ ïðÿìîé.
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Òðåóãîëüíèê P M B ðàâíîáåäðåííûé, ñ óãëîì 120◦ ïðè âåðøèíå M , ïîýòîìó ∠M P B =
30◦ . Òîãäà ∠AP B = ∠AP M + ∠M P B = 90◦ , ïîýòîìó
òî÷êà P ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì AB (ñì. ðèñóíîê). Ýòî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ òî÷êè H . Íî òîãäà
óãëû ∠BHP è ∠BAP ðàâíû, êàê âïèñàííûå, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó. Òàê êàê òðåóãîëüíèê AP M
ïðàâèëüíûé, òî 60◦ = ∠M AP = ∠BAP = ∠BHP .
Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, âèäèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì AC ñîäåðæèò òî÷êè H è Q, îòêóäà ∠CHQ =
∠CAQ = 30◦ . Òîãäà ∠P HQ = 180◦ − ∠CHQ − ∠BHP =
90◦ , ÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.
ê ðåøåíèþ çàäà÷è 11.6.
Âòîðîé ñïîñîá. Çàìåòèì, ÷òî ïî óñëîâèþ P M = AM = M B, îòêóäà òî÷êè A, P, B
ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â M . AB åå äèàìåòð. Íî òîãäà è òî÷êà H íàõîäèòñÿ
íà òîé æå îêðóæíîñòè (òðåóãîëüíèê AHB ïðÿìîóãîëüíûé). Îòñþäà âïèñàííûé óãîë
∠P HA â äâà ðàçà ìåíüøå öåíòðàëüíîãî ∠P M A = 600 , òî åñòü ∠P HA = 300 .
Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ èìååì, ÷òî H òàêæå ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q, ∠QHA =
∠AN Q/2 = 900 − ∠CN Q/2 = 600 . Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷àåì ∠QHP = ∠QHA + ∠P HA = 900
21