Определение моментов инерции крупногабаритных тел по

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ Ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè Áåëÿêîâ Àíòîí Îëåãîâè÷ Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë ïî êîëåáàíèÿì â óïðóãîì ïîäâåñå 01.02.01 òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê À.Ï. Ñåéðàíÿí Ìîñêâà 2005 ã. Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå 5 Ãëàâà I. Îïèñàíèå ìåòîäà èçìåðåíèé 11 1 Ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè 11 2 Êîíñòðóêöèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà è ïðîöåññ èçìåðåíèé 19 3 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñòåíäà è ïîñòàíîâêà çàäà÷è 22 Ãëàâà II. Ñïîñîáû âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé è àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè 32 1 Âîçáóæäåíèå èçâåñòíîé ñèëîé, ïðèëîæåííîé äî íà÷àëà äâèæåíèÿ 36 2 Íàõîæäåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè áåç èíôîðìàöèè î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé 39 2.1 Ïðóæèíû îäèíàêîâû, èçâåñòíà ìàññà . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Èçâåñòíà ìàññà è ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òåëà . . . . . . . 40 3 Èäåíòèôèêàöèÿ ëèíåéíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû 2 42 3.1 3.2 Îïðåäåëåíèå ÷àñòîò, äåêðåìåíòîâ çàòóõàíèÿ è àìïëèòóä ñèãíàëà ìåòîäîì Ïðîíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Èäåíòèôèêàöèÿ ìåòîäàìè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé . . . . . 47 4 Îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì 55 4.1 Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ ïðè ìàëîì óïðàâëåíèè è íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Ìàêñèìàëüíîå âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ñèñòåìû . . . . . . . . . 64 4.4 Îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ïðèìåð ðàñ÷åòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Ãëàâà III. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò è àíàëèç ïîãðåøíîñòåé 73 1 ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà êîëåáàíèé 73 4.5 2 Ïðèìåð âû÷èñëåíèé äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà 78 3 Àíàëèç ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ 3.1 82 Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èäåíòèôèêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 82 3.2 Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èçìåðåíèÿ ñèãíàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4 Âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé ñèñòåìû 90 Âûâîäû 98 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 100 Ïðèëîæåíèå 106 4 Ââåäåíèå Àêòóàëüíîñòü òåìû Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ òðåáóåìûõ ìàíåâðåííûõ õàðàêòåðèñòèê ñàìîëåòîâ è áûñòðîõîäíûõ ìîðñêèõ ñóäîâ êîíñòðóêòîðàì òðåáóåòñÿ çíàòü ìîìåíòû èíåðöèè èõ ìàññèâíûõ äåòàëåé. Íî èç-çà ñëîæíîñòè êîíñòðóêöèè íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ, òàêèõ êàê ñèëîâûå óñòàíîâêè, àíàëèòè÷åñêè îïðåäåëèòü èõ ìîìåíòû èíåðöèè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Âîçíèêàåò çàäà÷à èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ìàññèâíûõ êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë. Â Öåíòðàëüíûé àýðîãèäðîäèíàìè÷åñêèé èíñòèòóò èì. ïðîô. Í. Å. Æóêîâñêîãî (ÖÀÃÈ) ïîñòóïèë çàêàç îò Êàëóæñêîãî òóðáèííîãî çàâîäà íà ðàçðàáîòêó ñòåíäà äëÿ èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë. Ïî ìíåíèþ ñïåöèàëèñòîâ ÖÀÃÈ ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè [1, 2, 3, 5, 6, 7] èëè òðóäíî ïðèìåíèìû äëÿ êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë èëè íå äàþò òðåáóåìîé òî÷íîñòè. Â. Â. Áîãäàíîâ [9] ïðåäëîæèë íîâûé ìåòîä èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, ãäå ïîìåùåííîå íà ÷åòûðå ïðóæèíû òåëî ñîâåðøàåò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Ìîìåíòû èíåðöèè òåëà (âêëþ÷àÿ öåíòðîáåæíûå) ñîäåðæàòñÿ â èíåðöèîííîé ìàòðèöå êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Èíåðöèîííàÿ ìàòðèöà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñèãíàëó ñ äàò÷èêîâ, èçìåðÿþùèõ ñìåùåíèå òåëà. Ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ çíàíèå æåñòêîñòåé ïðóæèí. Íà îñíîâå ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà â ÖÀÃÈ ñïðîåêòèðîâàí ñòåíä äëÿ èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë [9]. Íàó÷íàÿ íîâèçíà 5 Ìåòîä èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, íà îñíîâå êîòîðîãî â ÖÀÃÈ ðàçðàáîòàí ñòåíä [9], ÿâëÿåòñÿ íîâûì, ñëåäîâàòåëüíî, âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Íàñòîÿùàÿ äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà ñîçäàíèþ ýòèõ àëãîðèòìîâ è àíàëèçó ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. Â ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî ðàçðàáîòàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñîâìåñòèì ñ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì [13, 14, 15]. Ïðåäñòàâëåíû òðè âàðèàíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà â çàâèñèìîñòè îò ñâåäåíèé î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé èëè î ïàðàìåòðàõ òåëà è æåñòêîñòÿõ ïðóæèí ñòåíäà: 1. Íà÷àëüíîå ñìåùåíèå ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âûçûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè èçâåñòíîé ñèëû. Ïðè ýòîì ðàçðàáîòàííûé àâòîðîì àëãîðèòì îïðåäåëÿåò íå òîëüêî ìîìåíòû èíåðöèè òåëà, íî òàêæå åãî ìàññó è ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ. Âñå äèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû òåëà îïðåäåëÿþòñÿ áåç èíôîðìàöèè î æåñòêîñòÿõ ïðóæèí, êðîìå ïðåäïîëîæåíèÿ î ïîñòîÿíñòâå æåñòêîñòåé ïðóæèí â ïðîöåññå êîëåáàíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, æåñòêîñòè ïðóæèí êîñâåííî îïðåäåëÿþòñÿ â ïðîöåññå èçìåðåíèé. Òàêèì îáðàçîì ó÷èòûâàåòñÿ èçìåíåíèå æåñòêîñòåé ïðóæèí ïðè èõ äåôîðìàöèè ïîä âåñîì òåëà, òàê êàê ýòà äåôîðìàöèÿ íà ïîðÿäîê áîëüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ïðîöåññå èçìåðåíèé. Ýòî èçáàâëÿåò îò íåîáõîäèìîñòè ïðîèçâîäèòü êàëèáðîâêó ïðóæèí ïåðåä èçìåðåíèÿìè. 2. Ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû â äâèæåíèå íåèçâåñòåí, íî èçâåñòíà ìàñ6 ñà òåëà è ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî æåñòêîñòè ïðóæèí îäèíàêîâûå. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ àâòîðîì ðàçðàáîòàí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà è ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ. 3. Ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû â äâèæåíèå íåèçâåñòåí. Æåñòêîñòè ïðóæèí ðàçëè÷íû. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ àâòîðîì ðàçðàáîòàí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïðè èçâåñòíûõ ìàññå è ïîëîæåíèè öåíòðà ìàññ òåëà íàõîäèòü åãî ìîìåíòû èíåðöèè. Äàþòñÿ ðåêîìåíäàöèè îòíîñèòåëüíî ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé è ãðàíèö ïðèìåíèìîñòè ïåðâîãî âàðèàíòà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. Îöåíèâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû ïåðåìåííûì ñèëîâûì âîçäåéñòâèåì ïðè ïðèìåíåíèè âòîðîãî è òðåòüåãî âàðèàíòîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè îïðåäåëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà ê ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ ñèãíàëà äàò÷èêàìè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âëèÿíèå äèññèïàöèè íà àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ èíåðöèîííîé ìàòðèöû ñèñòåìû. Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü Ïîëó÷åííûå àëãîðèòìû ïðåäïîëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü íà ðàçðàáîòàííîì â ÖÀÃÈ ñòåíäå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë. Äàííûå àâòîðîì ðåêîìåíäàöèè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè êîíñòðóèðîâàíèè àíàëîãè÷íûõ èçìåðèòåëüíûõ ñòåíäîâ. Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ Ïðè ðàçðàáîòêå àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè èñïîëüçîâàëèñü ìåòîäû òåîðèè êîëåáàíèé [23, 38, 39, 40, 41, 42], òåîðèè èäåíòèôèêà7 öèè ëèíåéíûõ ñèñòåì [13, 14, 15, 18, 19, 21], òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è òåîðèè âîçìóùåíèÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ. Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ Äîñòîâåðíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîëíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïîäòâåðæäàåòñÿ ñîâïàäåíèåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ ÷àñòíûìè àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè. Ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà ïîäòâåðæäàåòñÿ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îöåíêà âëèÿíèÿ äåìïôèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé ñèñòåìû ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûìè àíàëèòè÷åñêèìè ðåçóëüòàòàìè. Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè Ðàáîòà ñîñòîèò èç òðåõ ãëàâ. Â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåí êðàòêèé îáçîð ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Îïèñûâàåòñÿ êîíñòðóêöèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà, ñïðîåêòèðîâàííîãî â ÖÀÃÈ. Äàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñòåíäà è ïðèâîäèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè âàðèàíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è â çàâèñèìîñòè îò ñâåäåíèé î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé èëè î ïàðàìåòðàõ òåëà è æåñòêîñòÿõ ïðóæèí ñòåíäà. Â ýòîé æå ãëàâå èçëîæåíû ñïîñîáû èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèãíàëà, èçìåðÿåìîãî äàò÷èêàìè ñòåíäà. Äàíà îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ìíîãîìåðíîé ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îãðàíè÷åííîé ìàëîé óïðàâëÿþùåé ñèëîé. 8 Â òðåòüåé ãëàâå ïðîâåäåí àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ òåëà ê ïîãðåøíîñòè ñèãíàëà, èçìåðÿåìîãî äàò÷èêàìè. Íàéäåí äîïóñòèìûé óðîâåíü ïîãðåøíîñòè ñèãíàëà. Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà â çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé. Èçó÷åíî âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ â ñëó÷àå ìàëîé äèññèïàöèè è â ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä â òîì æå áàçèñå, ÷òî è ìàòðèöû èíåðöèè è æåñòêîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè òàêèõ âèäàõ äåìïôèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëåííûå àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñ íåáîëüøèìè èçìåíåíèÿìè îñòàþòñÿ â ñèëå. Àïðîáàöèÿ Ïî òåìå äèññåðòàöèè ïîäãîòîâëåíû ïóáëèêàöèè [30, 31, 32, 33]. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû áûëè äîëîæåíû íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ: 1. Âîñüìîé Âñåðîññèéñêèé ñúåçä ïî òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ìåõàíèêå. Ïåðìü, 2001. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë ìåòîäîì ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. 2. Íàó÷íàÿ êîíôåðåíöèÿ ÌÔÒÈ, 2001. Îïðåäåëåíèå èíåðöèîííîé ìàòðèöû ïî ôîðìàì ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. 3. Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Ìàòåìàòè÷åñêèå èäåè Ï. Ë. ×åáûøåâà è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ñîâðåìåííûì ïðîáëåìàì åñòåñòâîçíàíèÿ. Îáíèíñê, 2002. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà èçìåðåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìàññèâíûõ òåë ïî ôîðìàì êîëåáàíèé. 9 4. Íàó÷íàÿ êîíôåðåíöèÿ ÌÔÒÈ, 2002. Î ñïîñîáàõ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ïî óïðóãèì êîëåáàíèÿì, (ïåðâàÿ ïðåìèÿ). 5. Âòîðàÿ ìåæäóíàðîäíàÿ íàó÷íî-òåõíè÷åñêàÿ êîíôåðåíöèÿ ìîëîäûõ ñïåöèàëèñòîâ Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû àýðîêîñìè÷åñêîé íàóêè è òåõíèêè. Æóêîâñêèé, 2002. Îïðåäåëåíèå èíåðöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë ïî êîëåáàíèÿì â óïðóãîì ïîäâåñå. 6. Ìåæäóíàðîäíàÿ íàó÷íàÿ êîíôåðåíöèÿ ïî ìåõàíèêå Òðåòüè Ïîëÿõîâñêèå ×òåíèÿ. Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2003. Ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåë ïî êîëåáàíèÿì â óïðóãîì ïîäâåñå. 7. Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Ôèçèêà è óïðàâëåíèå. Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2003. Optimal excitation of oscillations by a limited control force. Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ À. Ï. Ñåéðàíÿíó çà ðóêîâîäñòâî è çà ïåðåäàííîå óìåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî îòëè÷àòü ïîëåçíûé íàó÷íûé ðåçóëüòàò. Àâòîð áëàãîäàðèò Þ. Â. Áîëîòèíà, È. Â. Íîâîæèëîâà, È. Ë. Àíòîíîâà, Â. Â. Àëåêñàíäðîâà, Þ. Ã. Ìàðòûíåíêî çà öåííûå çàìå÷àíèÿ ïî òåêñòó äèññåðòàöèè, à òàêæå Î. Í. Êèðèëëîâà è À. À. Ìàéëûáàåâà çà ïîëåçíûå ñîâåòû. Àâòîð îñîáî áëàãîäàðèò Â. Â. Áîãäàíîâà çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è êîíñóëüòàöèè è Ë. Þ. Áëàæåííîâó-Ìèêóëè÷ çà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó è çà óêàçàíèå íà ëèòåðàòóðó ïî ìåòîäàì ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. 10 Ãëàâà I. Îïèñàíèå ìåòîäà èçìåðåíèé 1 Ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè Âñå ìåòîäû ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè èñïîëüçóþò âðàùåíèå ñ óñêîðåíèåì èëè êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ òåë. Êîíñòðóêöèè èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû: êîíñòðóêöèè, ôèêñèðóþùèå îñü âðàùåíèÿ, è êîíñòðóêöèè, íå ôèêñèðóþùèå îñü âðàùåíèÿ. Ïðîñòîé ïðèìåð êîíñòðóêöèè ñ ôèêñèðîâàííîé îñüþ âðàùå- Ðèñ. 1: Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè ìàõîâîãî êîëåñà íèÿ ïîêàçàí íà ðèñóíêå 1 èç [5]. Çäåñü ìîìåíò èíåðöèè ìàõîâîãî êîëåñà îïðåäåëÿåòñÿ ïî âðåìåíè, çà êîòîðîå îïóñòèòñÿ ãðóç, ïðèêðåïëåííûé ê òðîñó, íàìîòàííîìó íà ýòî êîëåñî ñ ðàäèóñîì R. Äëÿ ó÷åòà äèññèïàöèè èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿò ñ äâóìÿ ãðóçàìè ðàçíûõ ìàññ M1 è M2 , êîòîðûå 11 îïóñêàþòñÿ ñ âûñîòû h çà âðåìåíà T1 è T2 . Ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè [5] I=R g (M1 2h 2 ³ − M2 ) − 1 T12 − M1 T12 1 T22 − M2 T22 ´ , ãäå g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Â ñîâðåìåííûõ óñòðîéñòâàõ òàêîãî òèïà èññëåäóåìîå òåëî çàêðåïëÿåòñÿ íà âàëó ýëåêòðîäâèãàòåëÿ [7]. Ìîìåíò èíåðöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ðàáîòå A1 ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ïðè ðàçãîíå äî óãëîâîé ñêîðîñòè ω1 è ïî ðàáîòå A2 ïðè òîðìîæåíèè äî íà÷àëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω0 . Ïðè ýòîì ðàáîòà äèññèïàòèâíûõ ñèë ïðè ðàçãîíå è òîðìîæåíèè îäèíàêîâà, è åå ìîæíî ó÷åñòü. Â ðåçóëüòàòå ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå [7] I= A1 − A2 − J, ω12 − ω02 ãäå J ïðèâåäåííûé ìîìåíò óñòðîéñòâà. Î÷åíü òî÷íûì ñ÷èòàåòñÿ ìåòîä èçìåðåíèÿ íà ìîíîôèëÿðíîì ïîäâåñå [2], êîíñòðóêöèÿ êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ êðóòèëüíûå âåñû. Òåëî âèñèò íà óïðóãîì ñòåðæíå è ñîâåðøàåò êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ âîêðóã åãî îñè. Äðóãîé ïðîñòîé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåë ìåòîä ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 2). Èçâåñòíî ðàññòîÿíèå r îò îñè âðàùåíèÿ äî öåíòðà ìàññ òåëà, ìàññà òåëà m è âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g . Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ è 12 ïàðàëëåëüíîé îñè âðàùåíèÿ, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå IC = m gr − m r2, 2 ω ãäå ω èçìåðåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Ñóùåñòâóåò ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè íà êà÷àþùåéñÿ ïëàòôîðìå, ðèñ. 7. Êà÷àþùàÿñÿ ïëàòôîðìà óêðåïëåíà íà âàëó, ïîìåùåííîì â ïîäøèïíèêàõ êà÷åíèÿ íà íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè. Ñ îäíîé èç ïàðàëëåëüíûõ âàëó ñòîðîí óñòàíîâëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî ïðóæèí. Ìîìåíò èíåðöèè òåëà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [2] c l2 I = 2 − m d2 − J, ω ãäå m ìàññà òåëà, d ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ òåëà äî îñè ïëàòôîðìû, l ðàññòîÿíèå îò îñè ïëàòôîðìû äî ïðóæèíû, J ìîìåíò èíåðöèè ïëàòôîðìû, c ñóììàðíàÿ æåñòêîñòü ïðóæèí, ω èçìåðåííàÿ ÷àñòîòà ìàëûõ êîëåáàíèé ïëàòôîðìû ñ òåëîì. Ê ãðóïïå êîíñòðóêöèé ñ ôèêñèðîâàííûìè îñÿìè îòíîñÿòñÿ òàêæå ðàçíîîáðàçíûå âàðèàíòû ïîäâåñîâ íà íåðàñòÿæèìûõ òðîñàõ [3, 4], ãäå òðîñû ðàñïîëîæåíû ïîä óãëîì äðóã ê äðóãó. Íàïðèìåð, òðèôèëÿðíûé ïîäâåñ (ðèñ. 3) è òàê íàçûâàåìûå ìóëüòèôèëÿðíûå ïîäâåñû (ðèñ. 5). Ñõåìû èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâ ìîãóò íå ñîäåðæàòü êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ. Íàïðèìåð â [8], ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿ òåëà íà ïëàòôîðìå ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè òðåìÿ ãèäðàâëè÷åñêèìè ñèëîâîçáóäèòåëÿìè, (ðèñ. 5). Ìàññà, ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ è ìîìåíò èíåðöèè òåëà îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäÿ èç èçìåðåííûõ äàò÷èêàìè ñèë, óñêîðåíèé è ñìåùåíèé â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ñèëîâîçáóäèòåëåé ê ïëàòôîðìå. Ê ñîæàëåíèþ, 13 óñòðîéñòâî, ïðåäñòàâëåííîå â [8], îáåñïå÷èâàåò îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè ëèøü â ïðåäåëàõ 10%. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà êîíñòðóêöèè, íå ôèêñèðóþùåé îñü âðàùåíèÿ, ìîæíî ïðèâåñòè áèôèëÿðíûé ïîäâåñ, â êîòîðîì òðîñû ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã ê äðóãó. Åñëè îñü âðàùåíèÿ íàõîäèòñÿ äàëåêî îò öåíòðà ìàññ òåëà (ðèñ. 2, 3, 4, 7), òî ýòî âûçûâàåò áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü ïðè âû÷èñëåíèè ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ. Èç òåîðåìû Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà ñëåäóåò [25] ρ2m = ρ2 − r2 , ãäå ρm ðàäèóñ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà, ρ ðàäèóñ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, r ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ äî îñè âðàùåíèÿ. Ïðè áîëüøîì r â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû âîçíèêàåò ðàçíîñòü áîëüøèõ ÷èñåë, èç-çà ÷åãî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ρm ñòàíîâèòñÿ áîëüøîé, äàæå åñëè ρ è r èçìåðåíû ñ íåáîëüøèìè îòíîñèòåëüíûìè ïîãðåøíîñòÿìè. Îäíè êîíñòðóêöèè èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâ èìåþò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, äðóãèå íåñêîëüêî, ÷òî ïðåäïî÷òèòåëüíåå, åñëè öåëüþ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå âñåãî òåíçîðà èíåðöèè òåëà. ×òîáû âû÷èñëèòü òåíçîð èíåðöèè òåëà, èñïîëüçóÿ óñòàíîâêó ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî êàê ìèíèìóì øåñòè îñåé, òàê êàê òåíçîð èíåðöèè îïðåäåëÿåòñÿ øåñòüþ âåëè÷èíàìè. Ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñ îïðåäåëÿåìûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè òèïà 14 Ðèñ. 2: Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê. [25] Iu = Ix α2 + Iy β 2 + Iz γ 2 − 2Ixy αβ − 2Ixz αγ − 2Iyz βγ, ãäå Iu ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè u, α, β , γ êîñèíóñû óãëîâ, îáðàçóåìûõ îñüþ u ñ îñÿìè Ox, Oy , Oz , Ix , Iy , Iz îñåâûå ìîìåíòû èíåðöèè, Ixy , Ixz , Iyz öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè. Îñåâûå è öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñîñòàâëÿþò òåíçîð èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îñåé. Ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà èíåðöèè òåë õîðîøî ïîäîøåë áû ìåòîä, â êîòîðîì êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ òåëà ïðîèñõîäÿò ïî íåñêîëüêèì ñòåïåíÿì ñâîáîäû âîêðóã îñåé, ïðîõîäÿùèõ âáëèçè öåíòðà ìàññ. 15 Ðèñ. 3: Òðèôèëÿðíûé ïîäâåñ. Ðèñ. 4: Ìóëüòèôèëÿðíûé ïîäâåñ. 16 Ðèñ. 5: Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè ïî êîëåáàíèÿì òåëà â ïëîñêîñòè. Ðèñ. 6: Áèôèëÿðíûé ïîäâåñ. 17 I r J mg ñ l Ðèñ. 7: Îïðåäåëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè íà êà÷àþùåéñÿ ïëàòôîðìå. 18 2 Êîíñòðóêöèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà è ïðîöåññ èçìåðåíèé Â ÖÀÃÈ Â. Â. Áîãäàíîâ [9] ïðåäëîæèë ìåòîä èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, â êîòîðîì êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ñîçäàåòñÿ ïîñðåäñòâîì óïðóãèõ ýëåìåíòîâ, ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû è äâå îñè êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé ïðîõîäÿò íåäàëåêî îò öåíòðà ìàññ. Êàê ñêàçàíî â ïåðâîé ãëàâå, ýòè îáñòîÿòåëüñòâà ÿâëÿþòñÿ ïðåèìóùåñòâàìè äàííîãî ìåòîäà. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà ñïðîåêòèðîâàííîãî â ÖÀÃÈ ñòåíäà äëÿ èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 8. Ñòåíä ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçìåðåíèÿ èíåðöèîííûõ ïàðàìåòðîâ òåë öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû ìàññîé ïîðÿäêà 15ò, äëèíîé 6ì è äèàìåòðîì 2ì. Òåëî ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíûõ õîìóòîâ ïîìåùàåòñÿ íà øàðíèðàõ íà ÷åòûðå ïðóæèíû, çàêðåïëåííûå êîíñîëüíî äðóãèìè êîíöàìè íà áåòîííîì îñíîâàíèè. Èçãèáíûå æåñòêîñòè ïðóæèí îáîçíà÷åíû ãîðèçîíòàëüíûìè ïðóæèíàìè íà ðèñóíêå 8. Òî÷êè êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê õîìóòàì îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíèê, òàêæå êàê òî÷êè êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê îñíîâàíèþ. Â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê õîìóòàì ðàñïîëîæåíû äàò÷èêè, èçìåðÿþùèå âåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå. Â ñèñòåìå âîçáóæäàþòñÿ ìàëûå êîëåáàíèÿ ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Â ðåçóëüòàòå îïðåäåëÿþòñÿ äâà îñåâûõ è îäèí öåíòðîáåæíûé ìîìåíòû èíåðöèè òåëà. Çàòåì èçìåðåíèÿ ïîâòîðÿþòñÿ ñ òåëîì, ïîâåðíóòûì íà 900 âîêðóã îñè Cx (ðèñ. 8). Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåòñÿ âåñü òåíçîð èíåðöèè òåëà çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî öåíòðîáåæíîãî ìîìåíòà èíåðöèè. Äðóãèìè ñëîâàìè, êðîìå çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìîìåíòîâ 19 Ðèñ. 8: Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà. 20 èíåðöèè îïðåäåëÿåòñÿ è îòêëîíåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâíîé îñè èíåðöèè îò îñè Cx, ðèñ. 8. Â ïðåäñòàâëåííîì ìåòîäå äëÿ ñîçäàíèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ óïðóãèå ýëåìåíòû (ïðóæèíû). Èç-çà ýòîãî èçìåðèòåëüíûé ñòåíä ïîëó÷àåòñÿ êîìïàêòíûì, ÷òî îñîáåííî âàæíî ïðè ðàáîòå ñ êðóïíîãàáàðèòíûìè òåëàìè. Íå ôèêñèðóåòñÿ îñü âðàùåíèÿ, ÷òî óïðîùàåò ïðîöåññ èçìåðåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ÷òî ïîçâîëÿåò îáîéòèñü äâóìÿ èçìåðåíèÿìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïÿòè êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè. 21 3 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñòåíäà è ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ââåäåì ñâÿçàííóþ ñ òåëîì îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxyz , ðèñ. 8 è 9. Òî÷êà O íà÷àëà êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â òî÷êå êðåïëåíèÿ ïåðâîé ïðóæèíû ê òåëó. Îñü Ox ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó êðåïëåíèÿ âòîðîé ïðóæèíû ê òåëó. Îñü Oz ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó êðåïëåíèÿ ÷åòâåðòîé ïðóæèíû ê òåëó. Îñü Oy íàïðàâëåíà ââåðõ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñÿì Ox è Oz . Àíàëîãè÷íî ââåäåì íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà Oa XY Z (ðèñ. 8), ñâÿçàâ å¼ ñ òî÷êàìè êðåïëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðóæèí ê îñíîâàíèþ ñòåíäà. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò Cxyz (ðèñ. 8), íà÷àëî êîòîðîé ðàñïîëîæåíî â öåíòðå ìàññ òåëà C , à îñè ïàðàëëåëüíû îñÿì ñèñòåìû Oxyz . Ïóñòü ñèñòåìà êîîðäèíàò Ca X 0 Y 0 Z 0 íåïîäâèæíà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Oa XY Z è åñëè òåëî íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, òî ñèñòåìà Ca X 0 Y 0 Z 0 è ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì ñèñòåìà Cxyz ñîâïàäàþò. Äâèæåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ çàêîíàìè èçìåíåíèÿ èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà, çàïèñàííûìè â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû Cxyz I X dw + w × Iw = ρi × f i dt i (1) d2 x X fi m 2 = dt i (2) ãäå I òåíçîð èíåðöèè òåëà â ñèñòåìå Cxyz , w âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ñèñòåìû Cxyz îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû Cxyz , x âåêòîð ñìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, d2 x dt2 - âåêòîð óñêîðåíèÿ öåíòðà ìàññ, ρi ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê 22 ïðèëîæåíèÿ ñèë fi . Ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ (1) è (2) ñëåäóåò äîáàâèòü óðàâíåíèå íàáëþäåíèé y = h(ρ1 , . . . , ρ4 , x), (3) ãäå h âîîáùå ãîâîðÿ, íåëèíåéíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, y âåêòîð âåðòèêàëüíûõ ñìåùåíèé òî÷åê êðåïëåíèÿ ïðóæèí îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷àåìûõ ñ 4-õ äàò÷èêîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ïðîöåññå èçìåðåíèé ñìåùåíèå òî÷åê êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè ñòåíäà è, ñëåäîâàòåëüíî, àìïëèòóäû êðóòèëüíûõ è ïîñòóïàòåëüíûõ ìîä êîëåáàíèé òàêæå ìàëû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ è óãëîâûå ñêîðîñòè òåëà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñâîèìè åäèíèöàìè ðàçìåðíîñòè. Ëåãêî ïîêàçàòü [10], ÷òî â óðàâíåíèè (1) ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ âåëè÷èí âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî îòáðîñèòü ÷ëåí w×I w. Ðàññìîòðèì ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (1) è (2), îñòàâëÿÿ òàì òîëüêî ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Êàæäàÿ ïðóæèíà ñîçäàåò óñèëèå, íàïðàâëåííîå ïðîòèâîïîëîæíî ñìåùåíèþ òî÷êè êðåïëåíèÿ ê òåëó. Ïðè ýòîì íå ñîçäàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó êðåïëåíèÿ ïðóæèíû ê òåëó, òàê êàê êðåïëåíèå øàðíèðíîå. Ââèäó òîãî, ÷òî ïðóæèíû èìåþò öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó, îíè îáëàäàþò òðåìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè óïðóãèõ ñâîéñòâ [50]. Ïîýòîìó â ñèñòåìå êîîðäèíàò Oa XY Z , ñîâïàäàþùåé ñ îñÿìè ñèììåòðèè ïðóæèíû, óïðóãèå ïîñòîÿííûå ïðóæèíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü 23 â âèäå ìàòðèöû   c 0 0  i    Gi =  0 ki 0  ,   0 0 ci (4) ãäå i ïîðÿäêîâûé íîìåð ïðóæèíû, ki æåñòêîñòü ïðóæèíû â ïðîäîëüíîì (âåðòèêàëüíîì) íàïðàâëåíèè, à ci æåñòêîñòü ïðóæèíû ïðè ñìåùåíèè å¼ ñâîáîäíîãî êîíöà â ëþáîì ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè. Ïî äèàãîíàëè ìàòðèöû Gi ðàñïîëîæåíû êîýôôèöèåíòû æåñòêîñòè ïðóæèíû â íàïðàâëåíèÿõ Oa X , Oa Y è Oa Z . Ýòè êîýôôèöèåíòû ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè íà âñåì ïðîòÿæåíèè ïðîöåññà êîëåáàíèé. Äåéñòâóþùèå íà òåëî ñî ñòîðîíû ïðóæèí ñèëû âûðàæàþòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå fi = −G∗i ξ i , i = 1, 2, 3, 4, (5) ãäå ξ i âåêòîð ñìåùåíèÿ òî÷êè êðåïëåíèÿ i-îé ïðóæèíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, a G∗i ìàòðèöà æåñòêîñòè i-îé ïðóæèíû â ñâÿçàííîé ñ òåëîì ñèñòåìå Cxyz . Ýòà ìàòðèöà ñâÿçàíà ñ ìàòðèöåé Gi ñëåäóþùèì îáðàçîì G∗i = ST STO Gi SO S, i = 1, 2, 3, 4, (6) ãäå S ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà ñèñòåìû Cxyz îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 , à SO ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Oa XY Z . Íàêëîí ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Oa XY Z òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü ìàëûì. Ïîëîæåíèå òåëà â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà Ca X 0 Y 0 Z 0 îïèñûâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ x è òðåìÿ óãëàìè ïîâîðîòîâ ϕx , ϕy è ϕz ñâÿçàííîé ñ òåëîì ñèñòåìû êîîðäèíàò Cxyz îòíîñèòåëüíî îñåé 24 ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 . Óãëû ϕx , ϕy è ϕz íàçûâàþòñÿ óãëàìè Êðûëîâà [11]. Îíè óäîáíû òåì, ÷òî èç ìàëûõ óãëîâ Êðûëîâà ìîæíî ñîñòàâèòü âåêòîð ìàëîãî ïîâîðîòà ϕ, âçàèìíîîäíîçíà÷íî ñâÿçàííûé ñ ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà S. Ìàòðèöà S ñîñòîèò èç ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ïîâîðîòîâ S = Sx Sy Sz îòíîñèòåëüíî îñè Ca X  1 0 0   Sx =  0 cos(ϕx ) − sin(ϕx )  0 sin(ϕx ) cos(ϕx ) îñè Ca Y    ,    sin(ϕy )   Sy =   0 0 cos(ϕy ) 1     0 − sin(ϕy ) 0 cos(ϕy ) è îñè Ca Z   cos(ϕz ) − sin(ϕz ) 0     Sz =  sin(ϕz ) cos(ϕz ) 0  .   0 0 1 Âûðàçèì ñìåùåíèÿ ïðóæèí ξ i ÷åðåç âåêòîðû x è ϕ ξ i = x + Sρi − ρi , i = 1, 2, 3, 4. (7) Óãëû ϕx , ϕy è ϕz ìàëû, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ïîâîðîòà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå   1 −ϕz ϕy     S =  ϕz 1 −ϕx  .   −ϕy ϕx 1 25 (8) Àíàëîãè÷íî çàïèøåòñÿ ìàòðèöà ïîâîðîòà ñèñòåìû Ca X 0 Y 0 Z 0 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Oa XY Z íà ìàëûé óãîë ψ   1 −ψZ ψY   SO =  ψZ 1 −ψX  −ψY ψX 1   .  Èç ôîðìóëû (6) âèäíî, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè óãëîâ ϕèψ G∗i = Gi , i = 1, 2, 3, 4. Òåïåðü óðàâíåíèå (5) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì fi = −Gi ξi , (9) i = 1, 2, 3, 4. Ïîñëå ââåäåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ   0 −ϕz ϕy     Φ = S − E =  ϕz 0 −ϕx    −ϕy ϕx 0 (10) âûðàæåíèå (7) ïðèìåò âèä ξ i = x + Φρi , i = 1, 2, 3, 4. (11) Ñòðóêòóðà ìàòðèöû Φ òàêîâà, ÷òî ïðîèçâåäåíèå åå íà ëþáîé âåêòîðñòîëáåö ðàâíî âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà ϕ íà ýòîò âåêòîð. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå àíòèêîììóòàòèâíî, ìîæíî çàïèñàòü Φ · ρ = ϕ × ρ = −ρ × ϕ = −R · ϕ, 26 (12) ãäå ìàòðèöà R èìååò ñòðóêòóðó, àíàëîãè÷íóþ ìàòðèöå Φ   0 −ρz ρy     R =  ρz 0 −ρx  .   −ρy ρx 0 (13) Îòñþäà âûðàæåíèå (11) çàïèøåòñÿ ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî âåêòîðîâ x è ϕ (14) ξ i = x − Ri ϕ. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ â (9) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñèë fi = −Gi x + Gi Ri ϕ, i = 1, 2, 3, 4. (15) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ρi × fi = Ri fi , ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ ñèë ρi × fi = −Ri Gi x + Ri Gi Ri ϕ, i = 1, 2, 3, 4. (16) Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (1) è (2) òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå    P P x mE 0 ẍ Gi − Gi Ri    = 0,    +  P P ϕ 0 I ϕ̈ Ri Gi − Ri Gi Ri    (17) ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê ìàòðèöû Ri êîñîñèììåòðè÷åñêèå, à ìàòðèöû Gi ñèììåòðè÷åñêèå, òî X Ri Gi = − Ã X i !T Gi Ri . (18) i Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà æåñòêîñòè ïðåäñòàâèìà â ñëåäóþùåì âèäå  P  P Gi − Gi Ri   = ČT ǦČ, P P Ri Gi − Ri Gi Ri 27 (19) ãäå   G  1   0 Ǧ =    0  0     Č =     0 0 0   G2 0 0  ,  0 G3 0   0 0 G4  E −R1   E −R2  .  E −R3   E −R4 (20) (21) Ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèöû æåñòêîñòè â âèäå (19) óäîáíî äëÿ äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå öåíòðà æåñòêîñòè ñè- ñòåìû. Ýòî òî÷êà, â êîòîðîé ïðèëîæåííàÿ ñèëà âûçûâàåò òîëüêî ïîñòóïàòåëüíîå ñìåùåíèå òåëà, òî åñòü ϕ = 0. Â ÷àñòíîñòè, åñëè òî÷êà C áûëà áû öåíòðîì æåñòêîñòè, òî ââèäó (18) X Ri Gi = − Ã X i !T Gi Ri = 0. i Âûðàçèì ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó ρi â ñèñòåìå Cxyz ÷åðåç ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ r â ñèñòåìå Oxyz , èñïîëüçóÿ ãåîìåòðèþ ñòåíäà (ñì. ðèñ. 9), ρ1 = −r, ρ2 = (Lx , 0, 0)T − r, ρ3 = (Lx , 0, Lz )T − r, 28 ρ4 = (0, 0, Lz )T − r, ãäå Lx è Lz áàçû ñòåíäà, ò. å. ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè êðåïëåíèÿ ïðóæèí ïî îñÿì Ox è Oz . Ìàòðèöà Č ïðèìåò âèä                  Č =                  1 0 0 0 −rz 0 1 0 rz 0 0 0 1 −ry rx 1 0 0 0 −rz 0 1 0 rz 0 0 0 1 −ry −Lx + rx 1 0 0 0 −rz 0 1 0 rz 0 0 0 1 −ry −Lx + rx 1 0 0 0 Lz − rz 0 1 0 −Lz + rz 0 0 0 1 rx −ry ry   −rx     0    ry   Lx − rx     0  .  ry   Lx − rx     0     ry   −rx   0 (22) Êîíñòðóêöèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà äîïóñêàåò ìàëûå êîëåáàíèÿ òåëà ïî øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Îäíàêî ââèäó áëèçîñòè ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà ê îñè ñèììåòðèè ñòåíäà è öåíòðà ìàññ òåëà ê öåíòðó æåñòêîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òåëà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåäèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèö èíåðöèè è æåñòêîñòè, ñâÿçûâàþùèìè 3 óðàâíåíèÿ äâèæåíèé (ñì. ðèñ. 8) ñ îñòàëüíûìè òðåìÿ óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìû ñ÷èòàåì,÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ 29 òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïîêàçàííûìè íà ðèñóíêå 8. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå áóäåò ïðîâåðåíî ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðíîé ìîäåëè ñòåíäà â òðåòüåé ãëàâå. Òîãäà ìàòðèöà Ǧ ïðåîáðàçóåòñÿ â ìàòðèöó G ðàçìåðíîñòè 4 × 4, èìåþùóþ ñëåäóþùèé âèä   k  1   0 G=   0  0 0 0 0   k2 0 0    0 k3 0   0 0 k4 Â ìàòðèöó C ðàçìåðíîñòè 4 × 3 âîéäóò ñòîëáöû 2, 6, 4 è ñòðîêè 2, 5, 8, 11 ìàòðèöû Č   1 −rx rz    1 Lx − rx rz C=   1 Lx − rx −Lz + rz  1 −rx −Lz + rz    .    (23) Òàê êàê äàò÷èêè ðàñïîëîæåíû â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó, ìàòðèöà C ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìàòðèöåé íàáëþäåíèÿ, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò îáîáùåííûå êîîðäèíàòû äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ èçìåðÿåìûìè ñìåùåíèÿìè. Ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé (17) óìåíüøèòñÿ ñ øåñòè äî òðåõ. Òàêèì îáðàçîì, êîëåáàíèÿ òåëà íà ïðóæèíàõ îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè   Mq̈ + Kq = 0 ,  y = Cq q(0) = q0 , 30 q̇(0) = v0 , (24) ãäå q âåêòîð ðàçìåðíîñòè 3, ïåðâîé êîìïîíåíòîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå öåíòðà ìàññ òåëà, âòîðîé è òðåòüåé óãëû ïîâîðîòà òåëà âîêðóã îñåé Ca Z è Ca X (ðèñ. 8), y íàáëþäàåìûé âåêòîð âåðòèêàëüíûõ ñìåùåíèé, ïîëó÷àåìûõ ñ 4-õ äàò÷èêîâ, M ìàòðèöà èíåðöèè, K ìàòðèöà æåñòêîñòè, C ìàòðèöà íàáëþäåíèÿ ðàçìåðíîñòè 4 × 3. Ìàòðèöû M è K ñèììåòðè÷åñêèå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå ðàçìåðíîñòè 3 × 3. Çàïèøåì òàêîå æå êàê (19) âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèöû æåñòêîñòè K = CT GC. (25) Åñëè íà÷àëî ñâÿçàííîé ñ òåëîì ñèñòåìû êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â öåíòðå ìàññ, òî èíåðöèîííàÿ ìàòðèöà èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó   m 0 0   M =  0 Izz −Izx  0 −Ixz Ixx   ,  (26) ãäå m ìàññà òåëà, à Izz , Ixx , Ixz , Izx ýëåìåíòû òåíçîðà èíåðöèè òåëà. Ýòî ëåãêî ïîêàçàòü, âûáðàâ âòîðûå, øåñòûå è ÷åòâåðòûå ñòîëáöû è ñòðîêè èç èíåðöèîííîé ìàòðèöû ñèñòåìû (17). Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ìàòðèöû M ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé âåêòîðà íàáëþäàåìîãî ñèãíàëà y. 31 Ãëàâà II. Ñïîñîáû âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé è àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè Â ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû òðè ðàçíûå ïîñòàíîâêè çàäà÷è, ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëèòü ìîìåíòû èíåðöèè òåëà ïî åãî êîëåáàíèÿì â óïðóãîì ïîäâåñå. Âíà÷àëå ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèöû èíåðöèè M ÷åðåç ìàòðèöû K0 è A0 = M0−1 K0 , ãäå ìàòðèöû K0 è M0 - ìàòðèöû æåñòêîñòè è èíåðöèè ñèñòåìû (24), çàïèñàííîé â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ   M0 q̈0 + K0 q0 = 0 ,  0 0 y = Cq q0 (0) = q00 , q̇0 (0) = v00 . (27) Â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ìàòðèöû K0 è M0 äèàãîíàëüíû ïî îïðåäåëåíèþ. Ýëåìåíòàìè äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A0 ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòû ÷àñòîò êîëåáàíèé ñèñòåìû. Ìàòðèöà S−1 ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ñèñòåìû (24) ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì (27) ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A = M−1 K. (28) Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå A = S−1 A0 S. Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà A ìîæåò áûòü äèàãîíàëüíîé íå òîëüêî â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ñèñòåìû (27), (íàïðèìåð, åñëè â (28) M = K, ãäå K íå äèàãîíàëüíà). Èçâåñòíî [23], ÷òî òàêîå âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå 32 êðàòíûõ ÷àñòîò. Â ñëó÷àå êðàòíûõ ÷àñòîò äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû (27) òðåáóåòñÿ ïðîèçâåñòè îðòîãîíàëèçàöèþ ÃðàììàØìèäòà ìíîæåñòâ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ îäèíàêîâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Ïðè ýòîì âåñîâîé ìàòðèöåé äîëæíà áûòü M èëè K, êîòîðûå íåèçâåñòíû ïî óñëîâèþ. Èñêëþ÷èì ñëó÷àé êðàòíûõ ÷àñòîò èç ðàññìîòðåíèÿ, òàê êàê íàì ïîòðåáóåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà K0 , ÷òîáû ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû æåñòêîñòè áûëî ìåíüøå. Ìàòðèöà èíåðöèè ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó M = ST M0 S. (29) Ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ S, ïåðåâîäÿùóþ ñèñòåìó (24) èç íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò â èñõîäíûå ôèçè÷åñêèå êîîðäèíàòû, ìîæíî îïðåäåëèòü åñëè èçâåñòíû ìàòðèöû íàáëþäåíèÿ C è C0 ñèñòåì (24) è (27). Îíè ñâÿçàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì C = C0 S. (30) Òàê êàê ìàòðèöû C0 è C èìåþò ðàçìåðíîñòü 4 × 3, âûðàçèì ìàòðèöó S èç óðàâíåíèÿ (30) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ S = C0+ C, (31) ãäå C0+ = (C0T C0 )−1 C0T ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (31) â ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû èíåðöèè (29) è ó÷òÿ, ÷òî M0 = K0 A0−1 , ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèöû M â ñëåäóþùåì âèäå M = CT C0+T K0 A0−1 C0+ C. 33 (32) Ýòî îñíîâíîå âûðàæåíèå, èç êîòîðîãî áóäóò ïîëó÷åíû òðè àëãîðèòìà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. Ïîëàãàåì, ÷òî îöåíêè ìàòðèö A0 è C0 áóäóò ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå ïðîöåäóðû èäåíòèôèêàöèè, áàçû ñòåíäà Lx è Lz , êîòîðûå âõîäÿò â ìàòðèöó C ñîãëàñíî (23), èçâåñòíû çàðàíåå. Èç âûðàæåíèÿ (32), ó÷èòûâàÿ ñòðóêòóðó ìàòðèöû èíåðöèè (26), ïîëó÷èì øåñòü óðàâíåíèé   m      0      0   Izz       Ixx       Ixz 0 0 0 = M11 (K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M12 (rx , rz , K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M13 (rx , rz , K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M22 (rx , rz , K11 , K22 , K33 ), (33) 0 0 0 = M33 (rx , rz , K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = −M23 (rx , rz , K11 , K22 , K33 ), ãäå íåèçâåñòíûìè ñ÷èòàþòñÿ êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ rx è rz , äèàãîíàëü0 0 0 íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû æåñòêîñòè â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ K11 , K22 , K33 , ìàññà òåëà m, äâà ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè òåëà Izz , Ixx è îäèí öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè Ixz . Âñåãî 9 íåèçâåñòíûõ è 6 óðàâíåíèé. ×òîáû ðåøèòü ýòó ñèñòåìó è ïîëó÷èòü ìîìåíòû èíåðöèè, íåîáõîäèìû åùå òðè íåçàâèñèìûõ óñëîâèÿ. Çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ ñòðóêòóðå (23) ìàòðèöû íàáëþäåíèÿ C, â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (33) êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ rx è rz íå âõîäÿò. Âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ rx è rz âõîäÿò ëèíåéíî, à â îñòàëüíûå òðè óðàâíåíèÿ rx è rz âõîäÿò êâàäðàòè÷íî. Ýòî ëåãêî ïîêàçàòü, ðàññìàòðèâàÿ ïîêîìïîíåíòíî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö â âûðàæåíèè (32). Íåäîñòàþùèå òðè íåçàâèñèìûõ óñëîâèÿ ìîæíî íàéòè èç äîïîëíèòåëü34 íîé èíôîðìàöèè î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ïàðàìåòðàõ òåëà èëè æåñòêîñòÿõ ïðóæèí ñòåíäà. Äàëåå áóäóò ïðèâåäåíû òðè àëãîðèòìà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè òàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé. Âñå òðè àëãîðèòìà èìåþò îäèíàêîâûå íà÷àëüíûå ýòàïû. 1. Ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì ïîëó÷àåì îöåíêè ìàòðèö A, C è âåêòîðîâ q0 , v0 . Îáîçíà÷èì èõ Ã, C̃, q̃0 è ṽ0 . Ýòè îöåíêè ìîãóò îêàçàòüñÿ êîìïëåêñíûìè. Áàçèñ, â êîòîðîì ïîëó÷åíû îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòåí. 2. Íàéäÿ ïðåîáðàçîâàíèå T, äèàãîíàëèçèðóþùåå ìàòðèöó Ã, ïîëó÷àåì îöåíêó ìàòðèö A0 è C0 Ã0 = T−1 Ã T, C̃0 = C̃ T 3. Çàìåíÿåì êîìïëåêñíûå ýëåìåíòû ìàòðèö Ã0 è C̃0 èõ ìîäóëÿìè. Îáîñíîâàíèå ýòîãî äåéñòâèÿ äàíî â 4-îì ïóíêòå òðåòüåé ãëàâû. 4. Ïðîâåðÿåì, íåò ëè êðàòíûõ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ã0 ñ ôèêñèðîâàííîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ, ïðåêðàùàåì âûïîëíåíèå àëãîðèòìà, âûäàâ ñîîáùåíèå îá îøèáêå. Äàëåå àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè îòëè÷àþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè äàííûìè äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (33). Ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ çàêëþ÷èòåëüíîãî ïÿòîãî ýòàïà àëãîðèòìîâ. 35 1 Âîçáóæäåíèå èçâåñòíîé ñèëîé, ïðèëîæåííîé äî íà÷àëà äâèæåíèÿ Ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòðèöû èíåðöèè, âîçáóæäàÿ êîëåáàíèÿ îïðåäåëåííûì ñïîñîáîì. Ïóñòü ïåðåä íà÷àëîì äâèæåíèÿ â òî÷êå êðåïëåíèÿ ê òåëó îäíîé èç ïðóæèí ïðèëîæåíà èçâåñòíàÿ ñèëà p â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè (ñì. ðèñ. 10). Ïðè ýòîì òåëî íå äâèæåòñÿ. Çàòåì ñèëó ìãíîâåííî óáèðàþò, è òåëî íà÷èíàåò êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Ïóñòü f = (0, −p, 0, 0)T âåêòîð çíà÷åíèé ñèë, ïðèëîæåííûõ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó. Òîãäà âåêòîð îáîáùåííûõ ñèë ïîëó÷àåòñÿ èç óìíîæåíèÿ íåêîé ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè 3×4 íà âåêòîð f . Ýòà ìàòðèöà çàâèñèò îò òî÷åê ïðèëîæåíèÿ ñèë è ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Îíà ñîâïàäàåò ñ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé íàáëþäåíèÿ CT , òàê êàê òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèë ñîâïàäàþò ñ òî÷êàìè, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ äàò÷èêè ñìåùåíèÿ. Ïðèìåì çà äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (33) âåêòîðíîå ñîîòíîøåíèå â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ñâÿçûâàþùåå íà÷àëüíîå ñìåùåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ q00 ñ ïðèëîæåííîé ïåðåä íà÷àëîì äâèæåíèÿ ñèëîé C0T f C0T f = K0 q00 . (34) Èç âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (34) íàõîäèì ýëåìåíòû äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû K0 ïîêîìïîíåíòíûì äåëåíèåì âåêòîðà îáîáùåííûõ ñèë C0T f íà âåêòîð íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ q00 . Çàòåì ïîäñòàâëÿåì äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 36 rx O 1 rz x 2 z C Lz x z 4 3 Lx Ðèñ. 9: Ïðóæèíû è äàò÷èêè. Âèä ñâåðõó. y Z O X 200êã p Ðèñ. 10: Ñõåìà ïðèëîæåíèÿ ñèëû. 37 ìàòðèöû K0 â ñèñòåìó (33) è ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé    m       0      0   Izz       Ixx       Ixz = M11 , = M12 (rx , rz ), = M13 (rx , rz ), = M22 (rx , rz ), (35) = M33 (rx , rz ), = −M23 (rx , rz ), â êîòîðîé íà 6 óðàâíåíèé èìååòñÿ 6 íåèçâåñòíûõ. Îïèøåì ðåøåíèå ñèñòåìû (35). Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (35) äàåò íàì ìàññó òåëà. Èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé   0 = M12 (rx , rz )  0 = M (r , r ) 13 x z âûðàæàþòñÿ êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ, òàê êàê rx è rz âõîäÿò â ýòè óðàâíåíèÿ ëèíåéíî. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîäñòàâëÿþòñÿ â ïîñëåäíèå òðè óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ m, rx , rz , Izz , Ixx è Ixz ïðèâîäÿòñÿ â ïðèëîæåíèè 1. Âûðàæåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà MAPLE. Ïîñëåäíèì ïÿòûì ýòàïîì àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå ýòèõ âûðàæåíèé, èñïîëüçóÿ îöåíêè ìàòðèö A0 è C0 , à òàêæå çàðàíåå èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ áàç ñòåíäà Lx , Lz è ïðèëîæåííîé ñèëû p. Îòìåòèì, ÷òî ýòîò àëãîðèòì, êðîìå ìîìåíòîâ èíåðöèè, äàåò ìàññó è ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òåëà. 38 2 Íàõîæäåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè áåç èíôîðìàöèè î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé Ðàññìîòðèì âàðèàíòû íàõîæäåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, êîãäà ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû â äâèæåíèå íåèçâåñòåí. 2.1 Ïðóæèíû îäèíàêîâû, èçâåñòíà ìàññà Ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, çíàÿ ìàññó òåëà m è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âñå ÷åòûðå ïðóæèíû èìåþò îäèíàêîâóþ æåñòêîñòü k . Ìàòðèöà æåñòêîñòè â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç æåñòêîñòè ïðóæèí k1 , k2 , k3 , k4 àíàëîãè÷íî (25) K0 = C0T GC0 , ãäå G = diag(k1 , k2 , k3 , k4 ), C0 ìàòðèöà, ñîâïàäàþùàÿ ñ ìàòðèöåé íàáëþäåíèÿ, òàê êàê ïðóæèíû êðåïÿòñÿ ê òåëó òàì æå, ãäå ðàñïîëîæåíû äàò÷èêè. Åñëè æåñòêîñòè îäèíàêîâû è ðàâíû k , òî K0 = kC0T C0 . Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (32), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé    m       0      0   Izz       Ixx       Ixz = M11 (k), = M12 (k, rx , rz ), = M13 (k, rx , rz ), = M22 (k, rx , rz ), = M33 (k, rx , rz ), = −M23 (k, rx , rz ), 39 (36) êóäà íåèçâåñòíàÿ æåñòêîñòü ïðóæèí k âõîäèò ëèíåéíî. Îïèøåì ðåøåíèå ñèñòåìû (36). Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (36) m = M11 (k) äàåò íàì k , òàê êàê ìàññà òåëà m çàðàíåå èçâåñòíà. Âûðàæåíèå äëÿ k ïîäñòàâëÿåòñÿ â îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé   0 = M12 (k, rx , rz )  0 = M (k, r , r ) 13 x z âûðàæàþòñÿ êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ rx è rz , òàê êàê rx è rz âõîäÿò â ýòè óðàâíåíèÿ ëèíåéíî. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîäñòàâëÿþòñÿ â ïîñëåäíèå òðè óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Ïîñëåäíèì ïÿòûì ýòàïîì àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå âûðàæåíèé äëÿ rx , rz , Izz , Ixx è Ixz , èñïîëüçóÿ îöåíêè ìàòðèö A0 è C0 , à òàêæå çàðàíåå èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ áàç ñòåíäà Lx , Lz è ìàññó òåëà m. Îòìåòèì, ÷òî äàííûé àëãîðèòì, êðîìå ìîìåíòîâ èíåðöèè, äàåò ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òåëà è íå èñïîëüçóåò èíôîðìàöèþ î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé. 2.2 Èçâåñòíà ìàññà è ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òåëà Ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòðèöû èíåðöèè èç çíàíèÿ ìàññû òåëà m è êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ rx è rz . 40 Ñèñòåìà óðàâíåíèé (33) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä    m       0      0   Izz       Ixx       Ixz 0 0 0 = M11 (K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M12 (K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M13 (K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = M22 (K11 , K22 , K33 ), (37) 0 0 0 = M33 (K11 , K22 , K33 ), 0 0 0 = −M23 (K11 , K22 , K33 ). 0 0 0 Øåñòü íåèçâåñòíûõ K11 , K22 , K33 , Izz , Ixx è Ixz âõîäÿò â óðàâíåíèÿ (37) ëèíåéíî. Ïîñëåäíèì ïÿòûì ýòàïîì àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå âûðàæåíèé äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè Izz , Ixx è Ixz , èñïîëüçóÿ îöåíêè ìàòðèö A0 è C0 , à òàêæå çàðàíåå èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ áàç ñòåíäà Lx , Lz , ìàññó m è êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ rx è rz òåëà. Îòìåòèì, ÷òî äàííûé àëãîðèòì ïðèìåíèì ïðè ëþáîì ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé è ïðóæèíàõ ðàçëè÷íûõ íåèçâåñòíûõ æåñòêîñòåé. 41 3 Èäåíòèôèêàöèÿ ëèíåéíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì [15, 18, 19, 20, 21]. Îáçîðû ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè ïîêàçûâàþò, ÷òî òî÷íîñòü èäåíòèôèêàöèè ìîæíî ïîâûñèòü èñïîëüçóÿ àïðèîðíóþ èíôîðìàöèþ. Â íàøåì ñëó÷àå, ìû íå çíàåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîìåõè ñèãíàëà, ñëåäîâàòåëüíî ìåòîäû ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íå ïîäõîäÿò. Çàòî èçâåñòíî êîëè÷åñòâî êîëåáàòåëüíûõ ìîä â ñèãíàëå. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû äâà èçâåñòíûõ ìåòîäà èäåíòèôèêàöèè, îáëàäàþùèå âûñîêîé òî÷íîñòüþ è óäîáñòâîì. Ïåðâûé êëàññè÷åñêèé ìåòîä Ïðîíè [26], â êîòîðîì èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Âòîðîé ìåòîä Êóíãà [13, 14] ðåäóêöèè ñèñòåìû ïðè ïîìîùè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ, îòíîñÿùèéñÿ ê àêòèâíî ðàçâèâàþùèìñÿ â ïîñëåäíåå âðåìÿ ìåòîäàì ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé [15, 19, 20]. Ñðàâíåíèÿ ñ äðóãèìè ìåòîäàì [15] ïîêàçûâàþò, ÷òî îíè èëè ìàëî îòëè÷àþòñÿ èëè óñòóïàþò â òî÷íîñòè âûáðàííûì ìåòîäàì. Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäàìè èäåíòèôèêàöèè íåëüçÿ íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ñèñòåìû (24), ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñèñòåì âèäà (24), èìåþùèõ îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè ìàòðèöàìè M, K è C, çàïèñàííûìè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ èçîñïåêòðàëüíûìè [12]. Ïîýòîìó áóäåì èäåíòèôèöèðîâàòü ñèñòåìó ñëåäóþùåãî âèäà   q̈ + Aq = 0 ,  y = Cq q(0) = q0 , 42 q̇(0) = v0 , (38) ãäå A = M−1 K. Ðåçóëüòàòîì èäåíòèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå îöåíîê ïàðàìåòðîâ A, C, q0 è v0 ñèñòåìû (38) ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ y ñèãíàëà, èçìåðåííîãî äàò÷èêàìè. Îöåíêè ïàðàìåòðîâ îáîçíà÷àþòñÿ òåìè æå ñèìâîëàìè ñ âîëíîé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà A íå èìååò êðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé âåêòîðà y áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ìíîæåñòâî ñèñòåì (38) ñ ðàçíûìè ìàòðèöàìè íàáëþäåíèÿ C â îäíîì è òîì æå áàçèñå. Âî âòîðîì ïàðàãðàôå ýòîé ãëàâû áûëè ïðèâåäåíû ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (24) ïî îöåíêàì ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (38), èñïîëüçóÿ ðàçëè÷íûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. Ýòè ñïîñîáû ÿâëÿþòñÿ êëþ÷åâûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû. 3.1 Îïðåäåëåíèå ÷àñòîò, äåêðåìåíòîâ çàòóõàíèÿ è àìïëèòóä ñèãíàëà ìåòîäîì Ïðîíè Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò è äåêðåìåíòîâ çàòóõàíèÿ ñèãíàëà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ïðîíè [26]. Ìåòîä Ïðîíè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ÷èñëî ìîä êîëåáàíèé â ñèãíàëå èçâåñòíî çàðàíåå. Îïðåäåëèâ ÷àñòîòû êîëåáàíèé, íàéäåì îöåíêó ìàòðèöû ñèñòåìû (38) â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ Ã0 , òàê êàê ýòà ìàòðèöà äèàãîíàëüíà è å¼ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòû ÷àñòîò êîëåáàíèé. Ìàòðèöà íàáëþäåíèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ C̃0 ñîñòàâëÿåòñÿ èç àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé, îïðåäåëåííûõ äëÿ êàæäîãî äàò÷èêà. Êîëè÷åñòâî ñòðîê ìàòðèöû C̃0 ðàâíî êîëè÷åñòâó äàò÷èêîâ, à êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ìîä êîëåáàíèé ñèñòå- 43 ìû. Òîãäà, åñëè íà÷àëüíûå ñêîðîñòè ñèñòåìû ðàâíû íóëþ v00 = 0, ðåøåíèå ñèñòåìû (38) çàïèøåòñÿ â âèäå   q0 = (cos(ω1 t), cos(ω2 t), cos(ω3 t))T .  y = C0 q0 Ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èì âåêòîð íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ñèñòåìû â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ñîñòîÿùèé èç åäèíèö q00 = (1, . . . , 1)T . Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî íàéäÿ ÷àñòîòû è àìïëèòóäû ìîä êîëåáàíèé äëÿ êàæäîãî äàò÷èêà, ìû èäåíòèôèöèðóåì ëèíåéíóþ êîíñåðâàòèâíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó (38), ïðè÷åì ïàðàìåòðû ñèñòåìû ïîëó÷àåì â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Îïèøåì ñóòü ìåòîäà Ïðîíè è óêàæåì îñîáåííîñòè åãî ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Îäíîìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë ñ çàòóõàíèåì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: P X Ak x [n] = A0 + [exp (iωk n∆t − δk n∆t + iϕk ) + exp (−iωk n∆t − δk n∆t − iϕk )] 2 k=1 (39) ãäå P - ÷èñëî ìîä êîëåáàíèé â ñèãíàëå, ∆t - ïåðèîä äèñêðåòèçàöèè ñèãíàëà, Ak - àìïëèòóäà k -îé ìîäû, δk - äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ k -îé ìîäû, ωk - ÷àñòîòà k -îé ìîäû, ϕk - ôàçà k -îé ìîäû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü âñå ÷àñòîòû è äåêðåìåíòû çàòóõàíèÿ, íàõîäÿòñÿ êîýôôèöèåíòû ak ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ: 2P +1 X ak x [n − k] = 0, (40) k=0 ãäå 2P + 1 ≤ n ≤ N − 1 , N - ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìàññèâå x. ×òîáû íàéòè 44 êîýôôèöèåíòû ak , íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó èç 2P + 1 ëèíåéíûõ äåéñòâèòåëüíûõ óðàâíåíèé, ïîëîæèâ a0 = 1. Ýòà ñèñòåìà ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ:  min  ak (k=0,2P +1) N −1 X Ã2P +1 X n=2P +1 !2  ak x[n − k]  . k=0 Äàëåå íàõîäÿòñÿ êîðíè ñëåäóþùåãî ïîëèíîìà ñòåïåíè 2P + 1: F (z) = 2P +1 X ak z 2P +1−k = 0. (41) k=0 Îäèí èç åãî êîðíåé ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì, à îñòàëüíûå ñîñòàâëÿþò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ïàðû: zk = exp (iωk ∆t − δk ∆t) (42) zk+1 = exp (−iωk ∆t − δk ∆t) Òàêèì îáðàçîì, èç êîðíåé (42) ïîëèíîìà (41) ìû íàõîäèì ÷àñòîòû è äåêðåìåíòû çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé hk = Ak 2 exp (iϕk ) íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó èç 2P + 1 ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà àâòîðîì îáíàðóæåíî, ÷òî îí äàåò î÷åíü òî÷íûå ( 0, 001%, N = 100) çíà÷åíèÿ ÷àñòîò è äåêðåìåíòîâ çàòóõàíèÿ ñëàáî çàøóìëåííîãî ñèãíàëà (áåëûé øóì 1%) ïðè ωd ∈ [2, ≈ 10) ωmax ãäå ωmax ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ñîñòàâëÿþùèõ ñèãíàëà è ωd = (43) 2π ∆t ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè. Òî÷íîñòü ïîâûøàåòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè îòíîøåíèÿ ÷àñòîò ê ëåâîìó êðàþ èíòåðâàëà â ñîîòíîøåíèè (43) ïðè ïîñòîÿííîì 45 ïî e (%) ãð åø íî ñò ü 5 0 îï ð åä åë å íè ÿà ìï ëè òóä û øí ïîãð å 2 î îñòü N åí ä åë å ð ï èÿ òû òî ñ à ÷ wd/ wmax Ðèñ. 11: Çàâèñèìîñòü ïîãðåøíîñòè îò äèñêðåòèçàöèè ñèãíàëà ÷èñëå òî÷åê ñèãíàëà, ÷òî îòðàæåíî íà ðèñóíêå 11 ñïëîøíîé ëèíèåé. Èç òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà [29] òàêæå ñëåäóåò, ÷òî ëåâàÿ ãðàíèöà èíòåðâàëà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå 2. Â òî æå âðåìÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé ÷àñòîòó ðàçáèåíèÿ ñèãíàëà ïî âðåìåíè ëó÷øå âûáèðàòü òàê, ÷òîáû íà ïåðèîä ìîäû 2π ωx , àìïëèòóäó êîòîðîé ìû õîòèì îïðåäåëèòü, ïðè- õîäèëîñü áû ïðèìåðíî ñòîëüêî æå òî÷åê, ñêîëüêî ïåðèîäîâ ýòîé ìîäû óêëàäûâàåòñÿ â ñóììàðíîå âðåìÿ èçìåðåíèÿ N · ∆t (ñì. ðèñ. 11, ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ), òî åñòü: √ ωd ≈ ωmax N . (44) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè áîëüøèõ N ñîîòíîøåíèå (43) ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ. Â òàêîì ñëó÷àå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò íóæíî ðàññìàòðèâàòü íå âñå òî÷êè ñèãíàëà, à êàæäóþ m-óþ m≈ ωd . 2ωmax 46 (45) Òîãäà ñîîòíîøåíèå (43) áóäåò âûïîëíåíî, òàê êàê âìåñòî ωd â (43) áóäåò ôèãóðèðîâàòü ωd∗ = ωd /m. Íåäîñòàòêîì ìåòîäà Ïðîíè ÿâëÿåòñÿ åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê øóìó, ÷òî òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ôèëüòðîâ. 3.2 Èäåíòèôèêàöèÿ ìåòîäàìè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé Ñîâðåìåííûå ìåòîäû èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì ðàáîòàþò ñ óðàâíåíèÿìè âèäà ẋ = Âx + Bu, y = Ĉx + e, (46) x(0) = x0 , ãäå y(t) l-ìåðíûé âåêòîð èçìåðåíèé, e(t) îøèáêè èçìåðåíèé (ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íóëåâûì ñðåäíèì), u âíåøíåå (óïðàâëÿþùåå) âîçäåéñòâèå. Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ìàòðèö Â, B è Ĉ ïî èçâåñòíîé ðåàêöèè ñèñòåìû y(t) íà íåêîòîðîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå u(t). Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (46), ãäå x(t) = (q(t), q̇(t)) 2n-ìåðíûé âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé, n ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû, à ìàòðèöû Â, B, Ĉ èìåþò áëî÷íóþ ñòðóêòóðó  Â =   0 E A Ad , ³ Ĉ =  ´ C Cv , B=  0 Bf . (47) Ñîâðåìåííûå ìåòîäû èäåíòèôèêàöèè ìåòîäàìè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé [13, 14, 21] äàþò ïðåäñòàâëåíèå ñèñòåìû â íåêîòîðîì àáñòðàêòíîì ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì áëî÷íàÿ ñòðóêòóðà ìàòðèö (47), âîîáùå ãîâîðÿ, íå 47 ñîõðàíÿåòñÿ. Ïðîñòðàíñòâî ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñâÿçàíî ñ èñõîäíûì ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíûì íåâûðîæäåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, îòûñêàíèå êîòîðîãî ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé â âû÷èñëèòåëüíîì ïëàíå çàäà÷åé. Îäíàêî äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì (38), ãäå Ad = 0, ýòó ïðîáëåìó ìîæíî îáîéòè, ïîñòðîèâ àëãîðèòì èäåíòèôèêàöèè, ïîçâîëÿþùèé ñîõðàíèòü áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ìàòðèö ñèñòåìû. Ìàðêîâñêèå ïàðàìåòðû Sj íåïðåðûâíîé ïî âðåìåíè ñèñòåìû (46) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì Sj = CÂj−1 B, j = 1, 2, . . . , m, (48) ãäå m êîëè÷åñòâî ìàðêîâñêèõ ïàðàìåòðîâ, A ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà íåïðåðûâíîé ïî âðåìåíè ñèñòåìû (46). Ïàðàìåòðû Sj ìîæíî íàéòè, èçìåðèâ èìïóëüñíóþ ðåàêöèþ (49) h(t) = Ĉ exp(Ât)B íåïðåðûâíîé ñèñòåìû (46). Ïîäñòàâèâ (47) â (48) è ïîëîæèâ Ad = 0, ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàðêîâñêèõ ïàðàìåòðîâ Sj ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè: S2k−1 = ĈÂ2k−2 B = Cv Ak−1 Bf , S2k = ĈÂ2k−1 B = CAk−1 Bf , ãäå N = £m¤ 2 (50) k = 1, 2, . . . , N, (51) . Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå àëãîðèòìà èäåíòèôèêàöèè íåïîñðåäñòâåííî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì (50) è (51) äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòðèö A, C, Bf îáåñïå÷èâàåò íåîáõîäèìóþ áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ñèñòåìå (46). 48 Çàïèøåì ñèñòåìó (24) â âèäå (46), ïîëîæèâ x = (q, q̇), A = −M−1 K. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âíåøíåå âîçäåéñòâèå îòñóòñòâóåò, ò. å. u = 0, íî çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ q(0) = q0 , q̇(0) = v0 . Òîãäà ðåøåíèå ñèñòåìû (46) çàïèøåòñÿ â âèäå x = exp(Ât)x0 , y = Ĉ exp(Ât)x0 , Âåêòîð y(t) èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî èìïóëüñíàÿ ðåàêöèÿ (49) ñèñòåìû (46). Çíà÷èò äëÿ èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû (24) ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì, ïðåäñòàâëåííûé äëÿ ñèñòåìû (46), ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû ìàòðèöû B íà âåêòîð x0 . Ñîîòíîøåíèÿ àíàëîãè÷íûå (50), (51), ïðè Cv = 0, çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: S2k−1 = ĈÂ2k−2 x(0) = CAk−1 q0 , S2k = ĈÂ2k−1 x(0) = CAk−1 v0 , (52) k = 1, 2, . . . , N. (53) Íàéäåì ìàðêîâñêèå ïàðàìåòðû Sj ñèñòåìû (46). Èìïóëüñíàÿ ðåàêöèÿ (49), êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ïðè îòñóòñòâèè óïðàâëåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû è ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì h(∆t · i) = yi = Ĉ exp(Â · ∆t · i)x0 . Ìåòîäîì ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé îïðåäåëèì ìàòðèöû Ĉ, exp(Â · ∆t) è âåêòîð x0 â íåêîòîðîì áàçèñå [15]. ×òîáû íàéòè ìàòðèöó Â â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, íàõîäèì ïðåîáðàçîâàíèå T â ïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû exp(Â · ∆t), ãäå îíà äèàãîíàëüíà D = T−1 exp(Â · ∆t)T. 49 (54) Âû÷èñëèâ ëîãàðèôìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû exp(Â · ∆t), ïîäåëèì èõ íà ∆t è ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó â èñõîäíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ T−1 Â = T(ln(D)/∆t)T−1 . Òåïåðü ìàðêîâñêèå ïàðàìåòðû Si îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (48). +1 Èòàê, èçâåñòíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sj }2N è ìàòðèöà íàáëþäåíèÿ j=1 C. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ìàòðèöó A, ìàòðèöó íàáëþäåíèÿ C è âåêòîðû íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ q0 , v0 . Ðàññìîòðèì òîëüêî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (52). Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà èäåíòèôèêàöèè Êóíãà [13] ïî èçâåñòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {S2k+1 }N k=1 íàéäåì ïðåäñòàâëåíèå ñèñòåìû {Ã, C̃, q̃0 } â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Àëãîðèòì Êóíãà ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ñîñòàâèì ìàòðèöó Ãàíêåëÿ H èç âåêòîðîâ ñòîëáöîâ {S2k+1 }N k=1  S1   S3  H=  ...  S3 . . . S2r+1   . . . S2r+3   , ... ...   S5 ... S2r+1 S2r+3 . . . S4r+1 ãäå r = £N ¤ 2 . Ïóñòü U è V - îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû, îñóùåñòâëÿþùèå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû Ãàíêåëÿ H: Ã H=U Λ 0 0 ε ! VT , ãäå Λ = diag{λ1 , λ2 , . . . , λn }, n ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû, à ε 50 äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, õàðàêòåðèçóþùàÿ îøèáêè èçìåðåíèé è âû÷èñëåíèé. Ïóñòü ³ U= ´ ³ , V= U1 U2 ´ V1 V2 , (55) ãäå dim(U1 ) = (r + 1)l × n, dim(V1 ) = (r + 1) × n. Ïîñòðîèì ìàòðèöû íàáëþäàåìîñòè Γ̃ (r + 1)l × n è óïðàâëÿåìîñòè Ω̃ n × (r + 1) 1 1 Ω̃ = Λ 2 V1T . Γ̃ = U1 Λ 2 , (56) Ïóñòü Γ1 è Γ2 ìàòðèöû, ïîëó÷åííûå èç Γ̃ âû÷åðêèâàíèåì ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäíåé è ïåðâîé áëîê-ñòðîê l × n. Òîãäà ¡ ¢−1 T Ã = ΓT1 · Γ1 Γ1 · Γ2 . (57) Ìàòðèöà C̃ âû÷èñëÿåòñÿ êàê ïåðâàÿ áëîê-ñòðîêà ìàòðèöû Γ̃, à q̃0 êàê ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû Ω̃. Òàêèì îáðàçîì, èäåíòèôèêàöèÿ ïðîâîäèòñÿ äâàæäû: ïåðâûé ðàç äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû exp(Â · ∆t), âòîðîé ðàç äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòðèö C è A. Òåïåðü ìîæíî âûðàçèòü ïî íèì ìàòðèöó èíåðöèè ñèñòåìû ñïîñîáàìè, óêàçàííûìè â íà÷àëå ãëàâû. Ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà λ1 , λ2 , . . . , λn ÿâëÿþòñÿ ìåðîé îöåíèâàåìîñòè. Îíè îáðàòíîïðîïîðöèîíàëüíû ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí. Èäåíòèôèêàöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû Ðàññìîòðèì ïðåèìóùåñòâà è íåäîñòàòêè ïðåäñòàâëåííûõ ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè è ðàçðàáîòàåì àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ A, C, 51 Ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû (%) 6 5 4 Êóíã Ïðîíè 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 120 Óðîâåíü øóìà îòíîñèòåëüíî àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé (%) Ðèñ. 12: Ñðàâíåíèå ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò ìåòîäàìè Ïðîíè è Êóíãà q0 è v0 ñèñòåìû (38). Ìåòîä Êóíãà óäîáíåå ìåòîäà Ïðîíè. Ìåòîä Êóíãà ñóùåñòâåííî ìåíåå ÷óâñòâèòåëåí ê øóìó (ñì. ðèñ. 12), òî åñòü íå òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëà, òàê êàê ìîäåëü ñèñòåìû â ìåòîäå Êóíãà ó÷èòûâàåò øóì. Â îòëè÷èå îò ìåòîäà Ïðîíè ìåòîä Êóíãà ðàáîòàåò ñ ìíîãîìåðíûì ñèãíàëîì. Ñëåäîâàòåëüíî, îí íîðìàëüíî ôóíêöèîíèðóåò, äàæå åñëè îäíà èç ìîä êîëåáàíèé íà îäíîì äàò÷èêå íå íàáëþäàåòñÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò è äåêðåìåíòîâ çàòóõàíèÿ ñèãíàëà áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä Êóíãà. ×àñòîòû è äåêðåìåíòû çàòóõàíèÿ ñèãíàëà îïðåäåëÿþòñÿ íàõîäÿòñÿ èç äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû D, ñì. (54). Ìàòðèöà Â èìååò ðàçìåðíîñòü 7, à ìàòðèöà Ĉ 4×7. Ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû Ĉ îòðàæàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîãî ñèãíàëà. Ïåðâûì äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì 52 ìàòðèöû D ÿâëÿåòñÿ åäèíèöà, îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû: D2k 2k = e(−γk +iωk )∆t , D2k+1 2k+1 = e (−γk −iωk )∆t k = 1, 2, 3. , Îöåíêà ìàòðèöû ñèñòåìû (38) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì Ã0k k ¯ ¯ ¯ ln(D2k 2k ) ¯2 ¯ = ¯¯ ∆t ¯ k = 1, 2, 3. Ìàòðèöà íàáëþäåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà â âèäå yj = Ĉ · T · Dj−1 T−1 x0 , j = 1, ..., N. Âåêòîð T−1 x0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû diag(T−1 x0 ) íà âåêòîð ı = (1, . . . , 1)T . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà D òàêæå äèàãîíàëüíà, à ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö êîììóòàòèâíî, ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ñèãíàëà yj = Ĉ · T · diag(T−1 x0 ) · Dj−1 ı, j = 1, ..., N. Îòñþäà ïîëó÷àåì ìàòðèöó Q = Ĉ · T · diag(T−1 x0 ) ðàçìåðíîñòè 4 × 7, ïåðâûé äåéñòâèòåëüíûé ñòîëáåö êîòîðîé ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ÷åòûðåõ äàò÷èêàõ, à ïîñëåäóþùèå ñòîëáöû êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûå âåêòîðû ôîðì êîëåáàíèé. Ìàòðèöó íàáëþäåíèÿ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì C̃0j k = sign(Re(Qj 2k ))|Qj 2k |, j = 1, 2, 3, 4, k = 1, 2, 3. Òàêàÿ çàïèñü ìàòðèöû íàáëþäåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïîëîæèëè âåêòîð íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ q00 = (1 1 1)T , è âåêòîð íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v00 = (0 0 0)T . 53 Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè îöåíêè ìàòðèö ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (38) â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ÷òî ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ñðàçó ê ÷åòâåðòîìó ïóíêòó ïðèâåäåííîãî â íà÷àëå ãëàâû àëãîðèòìà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. 54 4 Îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì Â ïóíêòå 2 äàííîé ãëàâû ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé ñïîñîá âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé. Êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå ìîæíî âîçáóæäàòü, óñòàíîâèâ â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëîâîçáóäèòåëè, ñîçäàþùèå âíåøíþþ ñèëó â ýòèõ òî÷êàõ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè â çàâèñèìîñòè îò ïîëó÷àåìîãî ñèãíàëà ñ äàò÷èêîâ. Âî âðåìÿ ïðîöåññà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ñèñòåìà (24) îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì ñ íàáëþäåíèåì è óïðàâëåíèåì   Mq̈ + Kq = CT u ,  y = Cq |uj | ≤ Uj , q(0) = q0 , j = 1, . . . , 4 , q̇(0) = v0 , (58) (59) ãäå u âåêòîð óïðàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè 4 ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ ñîçäàâàåìûõ ñèëîâîçáóäèòåëÿìè ñèë, CT ìàòðèöà óïðàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè 3 × 4 ñîâïàäàåò ñ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé íàáëþäåíèÿ, òàê êàê óïðàâëÿþùèå ñèëû ïðèëàãàþòñÿ â òî÷êàõ ðàñïîëîæåíèÿ äàò÷èêîâ. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ïîñëåäíåãî îáñòîÿòåëüñòâà ñèñòåìà (58) íàáëþäàåìà è óïðàâëÿåìà îäíîâðåìåííî [35]. Â ñëó÷àå, êîãäà äëÿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ñèñòåìû (58) èñïîëüçóþòñÿ àëãîðèòìû óïðàâëåíèÿ, âîçíèêàåò çàäà÷à ìèíèìèçàöèè âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ. Äëÿ ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû ýòà çàäà÷à î÷åíü ñëîæíà. Àâòîðó íå óäàëîñü íàéòè â ëèòåðàòóðå ðåøåíèå â îáùåì ñëó÷àå. Äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè (â ñìûñëå áûñòðîäåéñòâèÿ) âîçìîæíûõ àëãîðèòìîâ óïðàâ55 ëåíèÿ ïîëó÷èì íèæíþþ ãðàíèöó âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû îãðàíè÷åííûì âíåøíèì ïåðåìåííûì ñèëîâûì âîçäåéñòâèåì. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå óðàâíåíèå êîëåáàíèé îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà ñ îãðàíè÷åííîé óïðàâëÿþùåé ñèëîé u∗ : ẍ1 + ω 2 x1 = m−1 u∗ , |u∗ | ≤ u∗m , (60) ãäå x1 ñêàëÿðíàÿ ïåðåìåííàÿ, m ìàññà òåëà, ω ÷àñòîòà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ óïðàâëåíèÿ u∗ , ïðèâîäÿùóþ ñèñòåìó (60) èç ëþáîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ x1 (0), ẋ1 (0) ê óðîâíþ ýíåðãèè ñ àìïëèòóäîé êîëåáàíèé a çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèå ñèñòåìû (60) â ôîðìå Êîøè  ẋ =   0 ω  x +  −ω 0  0 , ωu x(0) = x0 , (61) ãäå âåêòîð x = (x1 , ω −1 ẋ1 )T è ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ u = m−1 ω −2 u∗ . Óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïðè àìïëèòóäå êîëåáàíèé a äàåò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ê êîòîðîé íåîáõîäèìî ïðèâåñòè ñèñòåìó Φ (x) = a2 − x21 − x22 = 0. (62) Ðåøèì çàäà÷ó îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà [24, 35]. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîïðÿæåííóþ ñ ñèñòåìîé (61)  ψ̇ =   0 ω −ω 0 56  ψ. (63) Ýòà ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå ψ1 = Cψ sin(ωt + ϕ), ψ2 = Cψ cos(ωt + ϕ). (64) Ãàìèëüòîíèàí çàäà÷è èìååò ñëåäóþùèé âèä H = ψ0 + ωuψ2 + ωx2 ψ1 − ωx1 ψ2 ≡ 0, (65) ãäå ψ0 < 0. Â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ãäå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ öåëåâîé ôóíêöèåé, íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ u äàåòñÿ ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà max H (66) ∂Φ ¯¯ ψi (T ) = c ¯ , ∂xi t=T (67) u ñ óñëîâèÿìè òðàíñâåðñàëüíîñòè ãäå T êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè, à c íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Â äàííîé çàäà÷å óñëîâèå ìàêñèìóìà (66) çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì u = um sign(ψ2 ), (68) um = m−1 ω −2 u∗m . (69) ãäå Èç óñëîâèé òðàíñâåðñàëüíîñòè (67) ñëåäóþò âûðàæåíèÿ ψ1 = cx1 , ψ2 = cx2 , 57 (70) ñâÿçûâàþùèå êîîðäèíàòû ñèñòåìû (61) ñ êîîðäèíàòàìè ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (63) â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè T . Òåïåðü ìîæíî âûðàçèòü ôóíêöèþ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÷åðåç ôàçîâûå êîîðäèíàòû, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ìàêñèìóìà (68) è òðàíñâåðñàëüíîñòè (70) âìåñòå ñ ðåøåíèåì (64) ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (63). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïîñòðîèì ñèíòåç îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (ñì. ñëåäóþùèé ïàðàãðàô). 58 4.1 Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ Ôóíêöèÿ ñèíòåçèðîâàííîãî óïðàâëåíèÿ u íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, à òîëüêî îò ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìû (êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè). Ñëåäîâàòåëüíî, òàêàÿ ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïðèâîäèò ñèñòåìó â òðåáóåìîå ïîëîæåíèå âíå çàâèñèìîñòè îò âîçìóùåíèé. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ñòðåìÿòñÿ ïîñòðîèòü ñèíòåç óïðàâëåíèÿ. Ôóíêöèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ um èëè −um ââèäó óñëîâèÿ (68). Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (61) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ñîñòîèò èç äóã êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ (um , 0) èëè (−um , 0). Ìíîæåñòâî òî÷åê, â êîòîðûõ òðàåêòîðèÿ ïåðåõîäèò èç äóãè îêðóæíîñòè ñ îäíèì öåíòðîì â äóãó îêðóæíîñòè ñ äðóãèì öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ ëèíèåé ïåðåêëþ÷åíèÿ. Ñèíòåçèðîâàòü îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå îçíà÷àåò íàéòè ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèÿ è îïðåäåëèòü çíàê ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ u ñ îáîèõ ñòîðîí ýòîé ëèíèè. Ñëó÷àé, êîãäà a = 0 êëàññè÷åñêèé ïðèìåð çàäà÷è áûñòðîäåéñòâèÿ, ðàññìîòðåííûé D.W. Bushaw [34, 35]. Ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè ïðè a = 0 ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 13. Òàêæå èçâåñòíà çàäà÷à âûõîäà íà ôàçîâóþ îêðóæíîñòü a > 0 ñíàðóæè [36]. Îäíàêî àâòîðó íåèçâåñòíû ïóáëèêàöèè, ãäå ðåøàåòñÿ çàäà÷à áûñòðîäåéñòâèÿ äëÿ âûõîäà íà ôàçîâóþ òåðìèíàëüíóþ îêðóæíîñòü èçíóòðè. Ïîñòðîèì ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ çàäà÷ áûñòðîäåéñòâèÿ èçíóòðè è ñíàðóæè òåðìèíàëüíîé ôàçîâîé îêðóæíîñòè ðàçëè÷íûõ ðàäèóñîâ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè 0 < a < um (ñì. ðèñ. 59 Ðèñ. 13: Ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ è ïðèìåð îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè ïðè a = 0. 14) çàìåòèì èç ðåøåíèÿ (64) ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (63), ÷òî ìåæäó äâóìÿ ïåðåêëþ÷åíèÿìè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äîëæíà ïðîéòè óãîë π âîêðóã öåíòðà îäíîé îêðóæíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ â îáðàòíîì âðåìåíè, êîãäà äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ îò òåðìèíàëüíîé ïîâåðõíîñòè (62), ìû ìîæåì îïðåäåëèòü èç óñëîâèé òðàíñâåðñàëüíîñòè (70) è ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (64), ãäå äîëæíî ïðîèçîéòè ïåðâîå (â îáðàòíîì âðåìåíè) ïåðåêëþ÷åíèå â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîé òî÷êè íà òåðìèíàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íàéäåì óãîë β , ïî ïðîøåñòâèè êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ïåðâîå (â îáðàòíîì âðåìåíè) ïåðåêëþ÷åíèå óïðàâëåíèÿ. Èç ðåøåíèÿ (64) ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (63) ïîëó÷èì sin(β) = p ψ2 (T ) ψ12 (T ) + ψ22 (T ) 60 . (71) Ðèñ. 14: Ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè 0 < a < um . x2 a x1 -um +um Ðèñ. 15: Ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè a = um . 61 x2 -um a +um Ðèñ. 16: Ëèíèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè a > um . 62 x1 Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè (70), ìîæíî ïðåäñòàâèòü ýòî âûðàæåíèå ÷åðåç x1 è x2 sin(β) = |c| c x2 (T ) p x21 (T ) + x22 (T ) . (72) Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå óðàâíåíèÿ òåðìèíàëüíîé ïîâåðõíîñòè (62), íàõîäèì, ÷òî sin(β) = ± x2 (T )/a. (73) β = ± arcsin(x2 (T )/a). (74) Òàêèì îáðàçîì, Íàïðèìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè ñòàðòîâàòü â îáðàòíîì âðåìåíè èç òî÷êè (0, −a) óïðàâëåíèå ïåðåêëþ÷èòñÿ ïî ïðîøåñòâèè óãëà π/2 ïî îêðóæíîñòè âîêðóã òî÷êè (um , 0). Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè a > um (ñì. ðèñ. 16). 63 4.2 Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ ïðè ìàëîì óïðàâëåíèè è íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû Íà ïðàêòèêå ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû áûâàåò íåèçâåñòíà. Íàïðèìåð, â íàøåì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû âîçáóæäàþòñÿ äëÿ ïîñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû. Â ýòîì ñëó÷àå òàêæå íåëüçÿ îïðåäåëèòü òî÷íîå çíà÷åíèå ãðàíèö óïðàâëåíèÿ um , òàê êàê â âûðàæåíèå (69) äëÿ um âõîäèò ÷àñòîòà. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèé òàê, êàê ýòî äåëàëîñü ðàíåå. Îäíàêî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî a À um , òî çà ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèé ìîæíî ïðèíÿòü îñü àáñöèññ (ñì. ðèñ. 16). Ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ    um sign(x2 ) ïðè x21 + x22 < a2   u= 0 ïðè x21 + x22 = a2     −u sign(x ) ïðè x2 + x2 > a2 m 2 1 2 â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä µ ∂Φ u = −um sign (Φ (x)) sign ∂x2 ¶ . (75) Áóäåì íàçûâàòü ýòî óïðàâëåíèå êâàçèîïòèìàëüíûì. 4.3 Ìàêñèìàëüíîå âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ñèñòåìû Òåïåðü ìû ìîæåì îöåíèòü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå âðåìÿ T âîçáóæäåíèÿ ñèñòåìû îïòèìàëüíîé (â ñìûñëå áûñòðîäåéñòâèÿ) ìàëîé (a À um ) óïðàâëÿþùåé ñèëîé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íå ïðåâîñõîäèò êîíå÷íóþ áîëåå ÷åì â äâà ðàçà. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëüøåå âðåìÿ 64 Ðèñ. 17: Ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðè a > um . âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé áóäåò, åñëè x1 (0) = ẋ1 (0) = 0. Ëåãêî âèäåòü èç ðèñóíêà 16, ÷òî çà îäèí ïåðèîä àìïëèòóäà êîëåáàíèé ñèñòåìû èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó 4 um . Òàêèì îáðàçîì, äåëÿ a íà 4 um è óìíîæàÿ íà 2π/ω , ìû ïîëó÷àåì âðåìÿ íà âîçáóæäåíèå êîëåáàíèé äî àìïëèòóäû a T = πa . 2 um ω Ïîñëå ïîäñòàíîâêè um = m−1 ω −2 u∗m â èòîãå ïîëó÷àåì T = πamω . 2 u∗m (76) Îïðåäåëèì êàê âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé (76) îòëè÷àåòñÿ îò âðåìåíè ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè. Íà ðèñóíêå 17 ïîêàçàíû ðàçëè÷èÿ òðàåêòîðèé íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè è ïðè 65 êâàçèîïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè (75). Âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ñóììå óãëîâ, êîòîðûå ïðîõîäèò èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà âîêðóã öåíòðîâ êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, ïî äóãàì êîòîðûõ îíà äâèæåòñÿ. Ñðàâíèì ýòè ñóììû óãëîâ äëÿ îïòèìàëüíîãî è êâàçèîïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèé. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ðàññìîòðèì ïðîöåññ ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé A íà îñè àáñöèññ ïîä íå÷åòíîé ïîëóîêðóæíîñòüþ ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèé, ñ÷èòàÿ îò òåðìèíàëüíîé îêðóæíîñòè. Ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïðîõîäèò óãîë α âîêðóã òî÷êè (um , 0), çàòåì ïî n îáîðîòîâ íà π ïîïåðåìåííî âîêðóã −(um , 0) è (um , 0) è íàêîíåö óãîë β îò C äî òî÷êè D íà òåðìèíàëüíîé ïîâåðõíîñòè. α + 2πn + β − îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, 2πn + γ − êâàçèîïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ãäå n êîëè÷åñòâî ïåðåõîäîâ ÷åðåç ëèíèþ ïåðåêëþ÷åíèÿ ñëåâà îò íà÷àëà êîîðäèíàò ïîñëå òî÷åê B è A. Òàê êàê ñóììà óãëîâ ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè íàèìåíüøàÿ, ìîæåì çàïèñàòü ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî γ >α+β (77) Êðîìå òîãî, íà ðèñóíêå 17 âèäíî, ÷òî íà òåðìèíàëüíîé îêðóæíîñòè òî÷êà D íàõîäèòñÿ ïðàâåå òî÷êè F , ñëåäîâàòåëüíî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî β > γ − δ. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ñèììåòðèè òî÷êè E è C ðàñïîëàãàþòñÿ íà ïóíêòèðíîé ïîëóîêðóæíîñòè òàê æå êàê òî÷êè A è B . Äóãà AB îáðàçîâàíà âîêðóã öåíòðà (um , 0) èç-çà ÷åãî ðàññòîÿíèå îò B äî (−um , 0) áîëüøå ÷åì 66 îò A äî (−um , 0). Àíàëîãè÷íî, ðàññòîÿíèå îò C äî (−um , 0) áîëüøå ÷åì îò E äî (−um , 0) è äóãà CD èìååò áîëüøèé ðàäèóñ ÷åì äóãà EF , èç-çà ÷åãî íà òåðìèíàëüíîé îêðóæíîñòè òî÷êà D íàõîäèòñÿ ïðàâåå òî÷êè F . Äîáàâèâ ê ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíûé óãîë α è ó÷èòûâàÿ (77) ïîëó÷àåì γ > α + β > γ − δ. Ïðè a À um óãîë δ ∼ um /a, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü γ = α + β + O(um /a). Äîáàâèâ ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ 2πn è ïîäåëèâ èõ íà ω , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ âðåìåíè êâàçèîïòèìàëüíîãî ïðîöåññà T = T0 + O(um /a) , ω ãäå T0 âðåìÿ îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà. Çíà÷èò, âðåìÿ (76) ìîæíî ñ÷èòàòü îïòèìàëüíûì ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû O(um /a) . ω Òàêàÿ æå îöåíêà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà ëåæèò âíóòðè òåðìèíàëüíîé îêðóæíîñòè, íî íå áëèçêî ê íà÷àëó êîîðäèíàò. Åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ áëèçêî ê íà÷àëó êîîðäèíàò, ðàçíèöà êâàçèîïòèìàëüíîãî è îïòèìàëüíîãî âðåìåíè íå ïðåâûøàåò π/ω . Ïî ñðàâíåíèþ ñ âîçáóæäåíèåì èçìåíÿþùåéñÿ ïî ñèíóñó ñèëîé òàêîé æå àìïëèòóäû u∗m ẍ + ω 2 x = u∗m sin(ωt)/m, x(0) = ẋ(0) = 0 âîçáóæäåíèå êîëåáàíèé ñèëîé (75) ïðîèñõîäèò â 4/π ðàç áûñòðåå. 67 (78) 4.4 Îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû Ìíîãîìåðíàÿ ëèíåéíàÿ êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì Mq̈ + Kq = B∗ u, |uj | ≤ Uj , q(0) = q̇(0) = 0, j = 1, . . . , m , (79) (80) ãäå ìàòðèöû M è K ñèììåòðè÷åñêèå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå, q âåêòîð ïåðåìåííûõ ðàçìåðíîñòè n, Uj îãðàíè÷åíèå àìïëèòóäû j îé êîìïîíåíòû âåêòîðà óïðàâëåíèÿ u, èìåþùåãî ðàçìåðíîñòü m, B∗ ìàòðèöà óïðàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè n × m. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè, çà êîòîðîå âñå ìîäû êîëåáàíèé ñèñòåìû äîñòèãíóò ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíåé ýíåðãèè. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íàÿ çàìåíà êîîðäèíàò, îáîçíà÷èì å¼ ìàòðèöó S, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ìàòðèöó M ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå è ìàòðèöó K ê äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå ω 2 , ñîäåðæàùåé êâàäðàòû ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ωi2 ñèñòåìû z̈ + ω 2 z = Bu, z(0) = ż(0) = 0, (81) ãäå z âåêòîð íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû è ìàòðèöà B = ST B∗ . Â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ñèñòåìà ðàñïàäàåòñÿ íà n îäíîìåðíûõ îñöèëëÿòîðîâ, ñâÿçàííûõ òîëüêî ÷åðåç óïðàâëåíèå. Êàæäîå èç óðàâíåíèé z̈i + ωi2 zi = (Bu)i , zi (0) = żi (0) = 0, ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (60) ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèÿ. 68 (82) Ðàññìîòðèì ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ îòäåëüíî êàæäîãî i-ãî îñöèëëÿòîðà ïðè îãðàíè÷åíèè íà ôóíêöèþ óïðàâëåíèÿ |(Bu)i | ≤ bi = m X (83) (|Bij |Uj ) . j=1 Èñïîëüçóÿ îöåíêó (76) âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà (60) îïòèìàëüíîé (â ñìûñëå áûñòðîäåéñòâèÿ) óïðàâëÿþùåé ñèëîé, ìîæíî âûáðàòü ìîäó ìíîãîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà ñ ìàêñèìàëüíûì âðåìåíåì âîçáóæäåíèÿ " Tmin = π max ai ωi 2 i m .X # (|Bij |Uj ) . (84) j=1 Ýòà ôîðìóëà ïîëó÷åíà ïðè óñëîâèè, ÷òî çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ âîçáóæäåíèå òîëüêî âûáðàííîé i-îé ìîäû. Ìíîãîìåðíûé îñöèëëÿòîð íåëüçÿ âîçáóäèòü áûñòðåå, ÷åì åãî îäíó ìîäó ñ ñàìûì áîëüøèì ìèíèìàëüíûì âðåìåíåì âîçáóæäåíèÿ, ïðè òåõ æå îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâëåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî T0 âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà ïðè ïîìîùè óïðàâëåíèÿ u0 (t), T ìèíèìàëüíîå âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ñàìîé ìåäëåííîé ìîäû è T0 < T , òîãäà ïðè èñïîëüçîâàíèè óïðàâëåíèÿ u0 (t) äëÿ âîçáóæäåíèÿ ýòîé ìîäû âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ å¼ êîëåáàíèé áóäåò T0 , ÷òî ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè T . Ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ìû ïîëó÷èëè îöåíêó ìèíèìàëüíî âîçìîæíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà îãðàíè÷åííûìè ñèëîâûìè âîçäåéñòâèÿìè. Ýòó îöåíêó ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè òåñòèðîâàíèè âîçìîæíûõ àëãîðèòìîâ óïðàâëåíèÿ, ÷òîáû îïðåäåëèòü èõ ýôôåêòèâíîñòü â ñìûñëå ñêîðîñòè âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé. 69 4.5 Ïðèìåð ðàñ÷åòà Ðàñ÷èòàåì ìèíèìàëüíîå âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà, ðàññìàòðèâàåìîãî â äàííîé ðàáîòå. Ðàññìîòðèì ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà âñå ÷åòûðå ïðóæèíû èìåþò îäèíàêîâûå ïðîäîëüíóþ k = 7.4 · 105 Í/ì è ïîïåðå÷íóþ c = 3.1 · 105 Í/ì æåñòêîñòè, öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ ïîñåðåäèíå ìåæäó ïðóæèíàìè, òî åñòü rx = Lx /2, rz = Lz /2, è ãëàâíûå îñè èíåðöèè òåëà íàïðàâëåíû âäîëü îñåé ñèììåòðèè ñòåíäà. Òîãäà ìàòðèöû èíåðöèè è æåñòêîñòè áóäóò äèàãîíàëüíû, è êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ òåëà áóäóò ïðîèñõîäèòü âîêðóã îñåé ñèììåòðèè ñòåíäà. Ìàññà òåëà m = 15000êã, ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè Izz = 44000êã · ì2 , Ixx = 3000êã · ì2 , áàçû ñòåíäà Lx = 4ì, Lz = 1.74ì. Ïóñòü íåîáõîäèìî âîçáóäèòü êîëåáàíèÿ ñèñòåìû (24) èç ïîëîæåíèÿ q(0) = q̇(0) = 0 â ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì àìïëèòóäû ìîä êîëåáàíèé ai = max qi (t), t i = 1, 2, 3 áóäóò ðàâíû a1 = am , a2 = am , Lx 70 a3 = am , Lz (85) ãäå am = 2 · 10−3 ì. Êîëåáàíèÿ âîçáóæäàþòñÿ óñòðîéñòâàìè, ñîçäàþùèìè ñèëîâûå âîçäåéñòâèÿ â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè, èìåþùèå îãðàíè÷åíèÿ ïî çíà÷åíèþ ñèëû Um = 5Í. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèé ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ â (23) ìàòðèöà C ïðèìåò âèä   1 −Lx /2 Lz /2    1 Lx /2 Lz /2 C=   1 Lx /2 −Lz /2  1 −Lx /2 −Lz /2    .    Òîãäà ìàòðèöà æåñòêîñòè ñîãëàñíî (25) áóäåò ðàâíà   4k 0 0   K = kCT C =  0 L2x k 0  0 0 L2z k   .  Ìàòðèöà óïðàâëåíèÿ ðàâíà òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå C B∗ = C T , òàê êàê óïðàâëÿþùèå ñèëîâûå âîçäåéñòâèÿ ïðèêëàäûâàþòñÿ â òî÷êàõ êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó. Òîãäà ìàòðèöà B ïðèìåò âèä  1 m   B = M B =  − 2ILx zz  −1 ∗ Lz 2Ixx 1 m 1 m 1 m Lx 2Izz Lx 2Izz x − 2ILzz Lz 2Ixx z z − 2ILxx − 2ILxx ×àñòîòû ñèñòåìû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå ωi = p Cii /Mii , 71 i = 1, 2, 3,    .  ãäå Mii è Cii äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèö èíåðöèè è æåñòêîñòè. Îòñþäà èìååì âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòîò ìîä êîëåáàíèé ω1 = 2 p k/m, ω2 = Lx p k/Izz , ω 3 = Lz p k/Ixx . (86) Âðåìÿ äëÿ âîçáóæäåíèÿ êàæäîé ìîäû êîëåáàíèé îòäåëüíî ñ÷èòàåòñÿ ïî ôîðìóëå Ti = ãäå bi = Um Pm j=1 |Bij |. π ai ωi , 2 bi i = 1, 2, 3, Îòñþäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (85) è (86) ïîëó÷àåì T1 = π am 4 Um T2 = π am 4 Um T3 = π am 4 Um √ √ √ mk = 33ñ , Izz k Lx = 14ñ , Ixx k Lz = 8.5ñ . Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âñå ìîäû ðàññìàòðèâàåìîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû íåëüçÿ âîçáóäèòü äî òðåáóåìîãî óðîâíÿ áûñòðåå ÷åì çà 33 ñåêóíäû. 72 Ãëàâà III. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò è àíàëèç ïîãðåøíîñòåé 1 ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà êîëåáàíèé Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññà êîëåáàíèé ñèñòåìû è ïðîâåðêè àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè íàïèñàíà ïðîãðàììà [30], ðåøàþùàÿ ÷èñëåííî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ñèñòåìû ñ ìåíåå ñòðîãèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè, ÷åì â ïðåäñòàâëåííûõ âî âòîðîé ãëàâå àëãîðèòìàõ. Âî-ïåðâûõ, òåëî ìîæåò ñîâåðøàòü äâèæåíèÿ ïî âñåì øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû, òî åñòü âîçìîæíû ìàëûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ. Âî-âòîðûõ, íå äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ î ìàëîñòè êîëåáàíèé, òî åñòü ó÷èòûâàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå íåëèíåéíîñòè. Äâèæåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äèíàìèêè dK =M dt d2 x m 2 = F, dt (87) (88) ãäå M ðåçóëüòèðóþùèé ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, F ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð âíåøíèõ ñèë, m ìàññà òåëà, K êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò. Óðàâíåíèå (88) çàïèñàíî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oa XY Z (ñì. ðèñ. 8). Óðàâíåíèå (87) çàïèñàíî â Êåíèãîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò [25], òî åñòü ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ìàññ, äâèæóùåéñÿ ïîñòóïàòåëüíî îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Êåíèãîâà ñèñòåìà êîîðäè- 73 íàò óäîáíà òåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè â íåé èìåþò òîò æå âèä, ÷òî è â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ïóñòü îñè Êåíèãîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñîâïàäàåò ñ îñÿìè ñèñòåìû Oa XY Z . Êåíèãîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò îáîçíà÷åíà íà ðèñóíêå 8 CXY Z . Òàê êàê ñèëû, çà èñêëþ÷åíèåì ñèëû òÿæåñòè, ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè óïðóãîñòè, òî äâèæåíèå áóäåò êîëåáàòåëüíûì. Óðàâíåíèÿ (87) è (88) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå Êîøè                dK dt = M dϕ dt = W S I−1 ST K dv dt = F/m dx dt = v (89) , ãäå v âåêòîð ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà Oa XY Z , S ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà ñèñòåìû Cxyz âîêðóã îñåé Êåíèãîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò CXY Z íà óãëû ϕx , ϕy è ϕz , ìàòðèöà W ïðåîáðàçóåò âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè â âåêòîð ïðîèçâîäíûõ óãëîâ Êðûëîâà [51]    ϕ̇ 1  x      ϕ̇y  =  0    0 ϕ̇z sin(ϕx ) sin(ϕy ) cos(ϕy ) cos(ϕx ) sin(ϕy ) − cos(ϕ y) cos(ϕx ) sin(ϕx ) sin(ϕx ) − cos(ϕ y) cos(ϕx ) cos(ϕy )   ω  x      ωy  .   ωz Ñèñòåìà, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (89), èìååò 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû, íî, ïðèëîæèâ ñèëó ïàðàëëåëüíî îñè Oa Y , ìû ìîæåì âîçáóäèòü êîëåáàíèÿ ïðåèìóùåñòâåííî ïî òðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû (ðèñ. 8). Ïåðåä âûïîëíåíèåì ðàñ÷åòà â ïðîãðàììó çàäàþòñÿ âñå ïàðàìåòðû êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû: ìàññà, òåíçîð èíåðöèè, ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ, ïîëîæåíèå è æåñòêîñòè 74 Âåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå (ìì) 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 -0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -1.0 -1.5 -2.0 Âðåìÿ t (c) -2.5 Ðèñ. 18: Âåðòèêàëüíûå ñìåùåíèÿ, èçìåðÿåìûå ÷åòûðüìÿ äàò÷èêàìè. ïðóæèí, íà êîòîðûõ óñòàíîâëåíî òåëî, íà÷àëüíîå ñèëîâîå âîçäåéñòâèå, à òàêæå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ. Ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ïðîãðàììû ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé ñèñòåìû. Ýòè âåëè÷èíû îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè ìåòîäà èäåíòèôèêàöèè îïèñàííîãî â òðåòüåì ïàðàãðàôå âòîðîé ãëàâû. Ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (89) [27, 28]. Íèæå ïðèâåäåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ F è M â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (89) íà îäíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè 1. Ðàññ÷èòûâàåòñÿ íîâîå ïîëîæåíèå ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ïî ïðîøåñòâèè âðåìåíè 2. Íàõîäèòñÿ ìàòðèöà ïîâîðîòà S ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëîì Cxyz , îòíîñèòåëüíî å¼ ïðåæíåãî ïîëîæåíèÿ. 75 3. Îïðåäåëÿþòñÿ íîâûå ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê êðåïëåíèÿ ïðóæèí ê òåëó â Êåíèãîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà i = 1, 2, 3, 4. ri = S · ri , 4. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé íàõîäÿòñÿ âåêòîðû äëèí ïðóæèí (íàïðàâëåíèå îò òî÷êè êðåïëåíèÿ ê îñíîâàíèþ ê òî÷êå êðåïëåíèÿ ê òåëó) li = x + ri − Li , i = 1, 2, 3, 4, ãäå Li êîîðäèíàòû çàêðåïëåííûõ íà îñíîâàíèè êîíöîâ ïðóæèí. 5. Îòñþäà íàõîäÿòñÿ âåêòîðû ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî ñî ñòîðîíû ïðóæèí µ fi = −ki li (l0i · li ) 1− |li |2 µ ¶ − ci ¶ (l0i · li ) li − l0i , |li |2 i = 1, 2, 3, 4, ãäå ki è ci ïðîäîëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ æåñòêîñòè i-îé ïðóæèíû (4), l0i âåêòîðû li ïðè íåäåôîðìèðîâàííûõ ïðóæèíàõ. 6. Îïðåäåëÿåòñÿ ñóììàðíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë F= 4 X fi + m g, i=1 ãäå g - âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. 7. Îïðåäåëÿåòñÿ ñóììàðíûé âåêòîð ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë M= 4 X i=1 76 ri × fi . Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè óðàâíåíèé (89) íå èñïîëüçóþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ òåëà íà èçìåðèòåëüíîì ñòåíäå. Â ïðåäñòàâëåííóþ ñõåìó ëåãêî äîáàâèòü ðàçëè÷íûå âèäû äèññèïàòèâíûõ ñèë è íåëèíåéíûå ýôôåêòû â ïðóæèíàõ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü òàêèå ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ýôôåêòèâíîé çàìåíîé äîðîãîñòîÿùåìó íàòóðíîìó ýêñïåðèìåíòó íà ðàííèõ ýòàïàõ êîíñòðóèðîâàíèÿ ïîäîáíûõ èçìåðèòåëüíûõ ñòåíäîâ. 77 2 Ïðèìåð âû÷èñëåíèé äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà Äëÿ ðàñ÷åòà çàäàþòñÿ ïàðàìåòðû ñèñòåìû (24), óêàçàííûå â Òàáëèöàõ 1 è 2. Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò òî÷êè êðåïëåíèÿ ïåðâîé ïðóæèíû ê òåëó (ñì. ðèñ. 9). Íà÷àëüíîå ñìåùåíèå ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âûçûâàåòñÿ ñèëîé 2000í, ïðèëîæåííîé â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè â òî÷êå êðåïëåíèÿ âòîðîé ïðóæèíû ê òåëó. Â ðåçóëüòàòå ðàáîòû ïðîãðàììû ïîëó÷àåòñÿ 12544 âåêòîðîâ íàáëþäåíèÿ y, êîòîðûå ñîäåðæàò çíà÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ñìåùåíèé ÷åòûðåõ òî÷åê òåëà, ê êîòîðûì êðåïÿòñÿ ïðóæèíû. Ïåðèîä, ñ êîòîðûì ôèêñèðóþòñÿ èçìåðåíèÿ, ñîñòàâëÿåò 0.002212 ñ. Ïî ïîëó÷åííîìó ñèãíàëó îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòîòû êîëåáàíèé ñèñòåìû (ñì. òàá. 3) è ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé íà ÷åòûðåõ äàò÷èêàõ. Ýòà ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé íàáëþäåíèÿ ñèñòåìû â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ   −.000675 .000673 −.000673       −.000675 −.000719 −.000630 , C0 =     −.000675 −.000673 .000673    −.000675 .000719 .000630 ïðè÷åì âåêòîð íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ñîñòîèò èç åäèíèö q00 = (1, . . . , 1)T , ÷òî ïîêàçàíî âî âòîðîé ãëàâå. Ìàòðèöà ñèñòåìû â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ A0 äèàãîíàëüíà. Äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû A0 ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòû ÷à78 Æåñòêîñòü êàæäîé èç ÷åòûðåõ ïðóæèí 740000 Í/ì Áàçà ñòåíäà ïî îñè Ox Lx 4ì Áàçà ñòåíäà ïî îñè Oz Lz 1.74 ì Òàáëèöà 1: Ïàðàìåòðû ñòåíäà. Ìàññà òåëà m Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ïî îñè Ox rx 2ì Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ïî îñè Oy ry 0ì Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ïî îñè Oz rz 0.87 ì  Ixx −Ixy    −Iyx Iyy  −Izx −Izy 15000 êã Tåíçîð èíåðöèè.   −Ixz 3000 0 −400     −Iyz  =  0 43000 0   Izz −400 0 44000      Òàáëèöà 2: Çàäàííûå ïàðàìåòðû òåëà. ×àñòîòà âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ω1 14.04726 ðàä/ñ ×àñòîòà êîëåáàíèé âîêðóã îñè áëèçêîé ê Ca Z ω2 16.39794 ðàä/ñ ×àñòîòà êîëåáàíèé âîêðóã îñè áëèçêîé ê Ca X ω3 27.35160 ðàä/ñ Òàáëèöà 3: ×àñòîòû êîëåáàíèé ñèñòåìû. 79 Ìàññà òåëà m 15007 êã Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ïî îñè Ox rx 2ì Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ïî îñè Oz rz 0.87 ì Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè Cz Izz 44031 êã·ì2 Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè Cx Ixx 3006 êã·ì2 Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè Ixz 399.9 êã·ì2 Òàáëèöà 4: Íàéäåííûå äèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû òåëà Ðèñ. 19: Ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè èç-çà íàêëîíà ãëàâíîé îñè èíåðöèè ââåðõ îò îñè Cx. ñòîò êîëåáàíèé. Ïî ðåçóëüòàòàì èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû è ïî èçâåñòíîìó íà÷àëüíîìó ñèëîâîìó âîçäåéñòâèþ îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà, ïðåäñòàâëåííûå â òàáëèöå 4. Âèäíî, ÷òî ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ 0.2%. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷åí ïðè äîáàâëåííîì â ñèãíàë áåëîì øóìå â 1% îò ñðåäíåé àìïëèòóäû ìîä ñèãíàëà íà äàò÷èêàõ. Ìíîãî÷èñëåííûå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ïðåäñòàâëåí80 íûå àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìîé òî÷íîñòè 2%, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè îòêëîíåíà ââåðõ îò îñè Cx íå áîëåå ÷åì íà 3 ãðàäóñà (ñì. ðèñ. 19). Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïîäòâåðæäåíèåì ñäåëàííîãî â ïåðâîé ãëàâå ïðåäïîëîæåíèÿ î âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû âìåñòî øåñòè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè Iyy è Ixy èçìåðåíèÿ ïîâòîðÿþòñÿ ñ òåëîì, ïîâåðíóòûì íà 90o âîêðóã îñè Cx, ïðè ýòîì îñü Cy ïåðåõîäèò â Cz , à ìîìåíò èíåðöèè Ixx îïðåäåëÿåòñÿ ïîâòîðíî. Â êà÷åñòâå îêîí÷àòåëüíîãî çíà÷åíèÿ Ixx ðåêîìåíäóåòñÿ áðàòü çíà÷åíèå ïðè èçìåðåíèè ñ ìàêñèìàëüíûì öåíòðîáåæíûì ìîìåíòîì Ixz , òàê êàê ïðè ýòîì îòðèöàòåëüíî âëèÿþùèé íà òî÷íîñòü ìîìåíò Ixy (ìîìåíò Ixz ïðè äðóãîì èçìåðåíèè) ìèíèìàëåí. Â ðåçóëüòàòå äâóõ èçìåðåíèé îïðåäåëÿþòñÿ 5 èç 6-òè ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà (êðîìå Iyz ). 81 3 Àíàëèç ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ 3.1 Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èäåíòèôèêàöèè Âûðàæåíèÿ äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà ÷åðåç ðåçóëüòàòû èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû âî âòîðîé ãëàâå ïîëó÷åíû â ÿâíîì âèäå. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêè ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èäåíòèôèêàöèè. Ïðè ðàñ÷åòå ÷óâñòâèòåëüíîñòè èñïîëüçóþòñÿ òî÷å÷íûå îöåíêè ðåçóëüòàòîâ èäåíòèôèêàöèè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èõ îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ìîãóò áûòü îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ. Â ðåçóëüòàòå èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû ìû ïîëó÷àåì îöåíêó ìàòðèöû íàáëþäåíèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ C0 è îöåíêè ÷àñòîò êîëåáàíèé ñèñòåìû ω1 , ω2 è ω3 . Ðàññìîòðèì ïåðâûé àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Ñîñòàâèì âåêòîð-ôóíêöèþ èç âûðàæåíèé äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà (ñì. ïðèëîæåíèå 1) ζ = (M, rx , rz , Izz , Ixx , Ixz )T . Âåêòîð-àðãóìåíò ñîñòîèò èç 18 ýëåìåíòîâ 0 0 0 T ξ = (p, Lx , Lz , ω1 , ω2 , ω3 , C11 , C12 , . . . , C43 ) , ãäå p çíà÷åíèå ïðèëîæåííîé â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè äî íà÷àëà äâèæåíèÿ ñèëû; Lx è Lz áàçû ñòåíäà, à òàêæå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äàò÷èêàìè ïî îñÿì Ox è Oz . Ïóñòü ïîãðåøíîñòü j -ãî ýëåìåíòà âåêòîð-àðãóìåíòà ξ 82 îãðàíè÷åíà ïî ìîäóëþ çíà÷åíèåì ∆ξj . Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè îãðàíè÷åíèÿ ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ∆ζi = 18 X ∂ζi (ξ) ∂ξj j=1 ∆ξj , i = 1, . . . , 6. Âûðàæåíèÿ ïðîèçâîäíûõ âåêòîð-ôóíêöèè ζ íå ïðèâîäÿòñÿ èç-çà ãðîìîçäêîñòè. Ïåðåéäåì ê îòíîñèòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ∆ξj ξj ≤ η 18 ∆ζi η X ∂ζi (ξ) ≤ ξj , ζi ζi j=1 ∂ξj i = 1, . . . , 6. Âû÷èñëåíèÿ, ïðîâåäåííûå äëÿ ìíîæåñòâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåëà, ïîêàçàëè, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü îöåíåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì ∆ζi ≤ 2 · η, ζi i = 1, . . . , 6. Òî åñòü, ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íå ïðåâîñõîäèò ïîãðåøíîñòè èäåíòèôèêàöèè η áîëåå ÷åì â äâà ðàçà. 3.2 Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èçìåðåíèÿ ñèãíàëà Ïîêàæåì, êàê èçìåíÿåòñÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïðè äîáàâëåíèè â ñèãíàë áåëîãî øóìà. Óðîâåíü áåëîãî øóìà çàäàåòñÿ â ïðîöåíòàõ îò çíà÷åíèÿ 0.00067 ì àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé íà äàò÷èêàõ. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò (ñì. ðèñ. 83 Ïîãðåøíîñòü Izz (%) 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 Óðîâåíü øóìà îòíîñèòåëüíî àìïëèòóä ìîä êîëåáàíèé (%) Ðèñ. 20: ×óâñòâèòåëüíîñòü äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ê óðîâíþ øóìà â ñèãíàëå. 20), ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 2% òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ñèãíàëà íå ïðåâûøàëà 6%. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëÿëàñü ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå ¯ ¯ 0 ¯ ¯ Izz − Izz ¯ ¯ ¯ Izz ¯ 100%, ãäå Izz çíà÷åíèå ìîìåíòà èíåðöèè, çàäàâàåìîå ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðî0 âàíèè ñèñòåìû; Izz îöåíêà, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ àëãî- ðèòìà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ê íàáëþäàåìîìó ñèãíàëó ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñ äîáàâëåíèåì øóìà. Òî÷íîñòü ðàáîòû àëãîðèòìîâ èäåíòèôèêàöèè, à ñëåäîâàòåëüíî è îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, çàâèñèò îò òîãî, íàñêîëüêî ðàâíîìåðíî âîçáóæäåíû âñå òðè ìîäû êîëåáàíèé. Íà ðèñóíêàõ 21 è 22 ïîêàçàíî, êàê èçìåíÿåòñÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîé îøèáêå èçìåðåíèé ñèãíàëà â çàâèñèìîñòè îò ñìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè. Öåíòð æåñòêîñòè 84 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.3 Ñìåùåíèå öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè âäîëü îñè X (ì) Ñìåùåíèå öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè âäîëü îñè Z (ì) Ïîãðåøíîñòü 9% -10% 8% - 9% 7% - 8% 6% - 7% 5% - 6% 4% - 5% 3% - 4% 2% - 3% 1% - 2% 0% - 1% Ðèñ. 21: Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè. 85 Ðèñ. 22: Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè. 86 Ðèñ. 23: Ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîä êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè. 87 Ðèñ. 24: Ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîä êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî öåíòðà æåñòêîñòè. 88 ñèñòåìû ýòî òî÷êà â êîòîðîé ïðèëîæåííàÿ ñèëà âûçûâàåò òîëüêî ïîñòóïàòåëüíîå ñìåùåíèå òåëà, òî åñòü òåëî íå íàêëîíÿåòñÿ. Òàê êàê ïðóæèíû îäèíàêîâû, òî öåíòð æåñòêîñòè ñèñòåìû íàõîäèòñÿ â öåíòðå ñèììåòðèè ñòåíäà. Âèäíî, ÷òî ôîðìà îáëàñòè íèçêîé ïîãðåøíîñòè ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé âûñîêîé ìèíèìàëüíîé ýíåðãèè ìîä êîëåáàíèé (ñì. ðèñ. 23 è 24), ÷òî åñòåñòâåííî. Îáðàçíî ãîâîðÿ, åñëè ìîäà êîëåáàíèé èìååò íèçêóþ ýíåðãèþ, òî îíà óòîíåò â øóìå. Ãðàôèêè íà ðèñóíêàõ 23 è 24 ñòðîèëèñü ïî ÷èñëåííûì ðàñ÷åòàì äâèæåíèÿ ñèñòåìû, êîòîðàÿ ïðèâîäèëàñü â äâèæåíèå óñòðàíåíèåì èçâåñòíîé äîïîëíèòåëüíîé ñèëû, ïðèëîæåííîé äî íà÷àëà äâèæåíèÿ â òî÷êå êðåïëåíèÿ âòîðîé ïðóæèíû ê òåëó â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè. Ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè òàêîãî ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå öåíòðà ìàññ òåëà âíóòðè îáëàñòè, ãäå ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîä êîëåáàíèé áîëüøå, ÷åì ïîëîâèíà ñðåäíåé ýíåðãèè ìîä êîëåáàíèé. Íà ðèñóíêå 24 ýòîò óðîâåíü ýíåðãèè ðàâåí 0.08Äæ. Åñëè ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ íèæå ýòîãî óðîâíÿ, òî ñëåäóåò ïîäêà÷àòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëàáóþ ìîäó êîëåáàíèé. Ïðè ýòîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà íàäî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòìû, ðàáîòàþùèå áåç èíôîðìàöèè î âîçáóæäåíèè, ïðåäñòàâëåííûå âî âòîðîé ãëàâå. Êàêîé èç ïðåäëîæåííûõ àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè îêàæåòñÿ óäîáíåå, ïîêàæóò ïðàêòè÷åñêèå èñïûòàíèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà. 89 4 Âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé ñèñòåìû Ðàññìîòðèì âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé ñèñòåìû, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Ðàññìîòðèì äâà âàðèàíòà ëèíåéíîãî äåìïôèðîâàíèÿ. Ïåðâûé, êîãäà ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíûé âèä â òîì æå áàçèñå, ÷òî è ìàòðèöû èíåðöèè è æåñòêîñòè. Âòîðîé âàðèàíò, êîãäà äåìïôèðîâàíèå ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Äëÿ àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, ïðåäñòàâëåííûõ âî âòîðîé ãëàâå, âàæíî îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ñèñòåìû (24) è ìàòðèöó S èç (31) ïðåîáðàçîâàíèÿ èç íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû (24) â èñõîäíûå ôèçè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ÷àñòîò è âåêòîðîâ ôîðì êîëåáàíèé ñèñòåìû (24) ïî ñîáñòâåííûì ÷èñëàì è âåêòîðàì ñèñòåìû (24) ñ äåìïôèðîâàíèåì, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Mq̈ + Dq̇ + Kq = 0, (90) ãäå D ñèììåòðè÷åñêàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ. Ïóñòü xàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå det(Mλ2 + Dλ + K) = 0 (91) èìååò òîëüêî êîìïëåêñíûå íåêðàòíûå êîðíè, òî åñòü äâèæåíèå êîëåáàòåëüíîå è ïðîèñõîäèò ïî n ìîäàì êîëåáàíèé, λ1 , . . . , λn ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñèñòåìû (90), u1 , . . . , un ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû. 90 Èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (24) ìîæíî ñîñòàâèòü íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó U0 = S−1 . Èçâåñòíî [23, 38, 39, 40, 41, 42], ÷òî â áàçèñå èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (24) ìàòðèöû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì M è K èìåþò äèàãîíàëüíûé âèä. Åñëè â ýòîì æå áàçèñå ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ èìååò òîæå äèàãîíàëüíûé âèä, òî ñèñòåìû (24) è (90) èìåþò îäèíàêîâûå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Ïîêàæåì ýòî è íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò ñèñòåìû (24) ÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñèñòåìû (90). Ìàòðèöà U0 íåâûðîæäåííàÿ, ñëåäîâàòåëüíî det(UT0 ) = det(U0 ) 6= 0. Óìíîæèì óðàâíåíèå (91) ñëåâà íà det(UT0 ), à ñïðàâà íà det(U0 ). det(UT0 ) det(Mλ2 + Dλ + K) det(U0 ) = 0. (92) Òàê êàê ïðîèçâåäåíèå äåòåðìèíàíòîâ ìàòðèö ðàâíî äåòåðìèíàíòó ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (92) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå det(UT0 MU0 λ2 + UT0 DU0 λ + UT0 KU0 ) = 0. (93) Ïóñòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû íîðìèðîâàíû òàê, ÷òî UT0 MU0 = E, ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, òîãäà det(Eλ2 + 2Γλ + Ω2 ) = 0, (94) ãäå Γ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ äåêðåìåíòû çàòóõàíèÿ ìîä êîëåáàíèé ñèñòåìû (90), Ω2 äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà êâàäðàòîâ ÷àñòîò êîëåáàíèé ñèñòåìû (24). Óðàâíåíèå (92) ìîæíî ïðåäñòàâèòü 91 â âèäå n Y (λ2 + 2γj λ + ωj2 ) = 0, (95) j=1 ãäå n ÷èñëî ìîä êîëåáàíèé, γj äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ è ωj ÷àñòîòà êîëåáàíèé j -îé ìîäû êîëåáàíèé. Èç âûðàæåíèÿ q λj,n+j = −γj ± i ωj2 − γj2 (96) äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñèñòåìû (90) ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòîò ñèñòåìû (24) q ωj = (Im(λj ))2 + (Re(λj ))2 . (97) Ïîêàæåì, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñèñòåìû (90) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ñèñòåìû (24). Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (90) â áàçèñå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (24) (Eλ2 + 2Γλ + Ω2 )u0 = 0. (98) Ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè u0 â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûå âåêòîðû, òàê êàê ìàòðèöà â ñêîáêàõ äèàãîíàëüíàÿ. À áàçèñ ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (24), ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñèñòåìû (90) ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé äåìïôèðîâàíèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ñèñòåìû (24) ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ S = U−1 èç (31) îïðåäåëÿåòñÿ êàê è â ñëó÷àå áåç äåìïôèðîâàíèÿ, à ÷àñòîòû ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû áåç äåìïôèðîâàíèÿ íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå (97). ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò ïðè äåìïôèðîâàíèè â ïðóæèíàõ 10000Íñ/ì ïîêàçàë, ÷òî òàêîé òèï äåìïôèðîâàíèÿ íå âëèÿåò íà òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Â äàííîì ñëó÷àå ìàòðèöà 92 Ðèñ. 25: Âåðòèêàëüíûå ñìåùåíèÿ, èçìåðÿåìûå ÷åòûðüìÿ äàò÷èêàìè â ñëó÷àå ñ äåìïôèðîâàíèåì. äåìïôèðîâàíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ìàòðèöå æåñòêîñòè. Çàòóõàíèå êîëåáàíèé âèäíî íåâîîðóæåííûì ãëàçîì (ñì. ðèñ. 25). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ D ñèñòåìû (90) â áàçèñå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (24) ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, íî äåìïôèðîâàíèå ìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûì. Òî åñòü ìàòðèöà Γ èç (94) òåïåðü íåäèàãîíàëüíàÿ, à å¼ ýëåìåíòû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè ìàòðèöû Ω. Ñèñòåìó (90) â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå Mq̈ + εDq̇ + Kq = 0, (99) ãäå ε ìàëûé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð, îòðàæàþùèé ìàëîñòü äèññèïàòèâíûõ ñèë ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèëàìè èíåðöèè è ñèëàìè óïðóãîñòè. Â ðåçóëüòàòå âîçìóùåíèÿ ïàðàìåòðà ñèñòåìû (99) ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîáñòâåííûé âåêòîð òàêæå ïîëó÷àò ïðèðàùåíèÿ. Ñîãëàñíî òåîðèè 93 âîçìóùåíèé íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ [43] ýòè ïðèðàùåíèÿ âûðàæàþòñÿ â âèäå ðÿäîâ ïî öåëûì èëè äðîáíûì ñòåïåíÿì ε â çàâèñèìîñòè îò æîðäàíîâîé ñòðóêòóðû ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ0 . Ïóñòü λ0 ïðîñòîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñèñòåìû (99) ïðè ε = 0, à u0 ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Â ýòîì ñëó÷àå ïðèðàùåíèÿ äëÿ λ0 è u0 ïðèíèìàþò âèä [43] λ = λ0 + ε λ1 + ε2 λ2 + · · · 2 u = u0 + ε u1 + ε u2 + · · · (100) Èçâåñòíî [44, 45, 46, 47], ÷òî s uT0 Ku0 uT0 Mu0 λ0 = ±i ÷èñòî ìíèìàÿ âåëè÷èíà, òîãäà êàê uT0 Du0 λ1 = − T 2u0 Mu0 äåéñòâèòåëüíàÿ îòðèöàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàëîå äåìïôèðîâàíèå èçìåíÿåò ÷àñòîòó ñèñòåìû (24) íà âåëè÷èíó O(ε2 ). Ïóñòü âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñèñòåìû (90) ïðîñòûå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ðîâíî n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïàð êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Èç n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ u ñèñòåìû ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàòíóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó U. Ïåðåïèøåì ðàçëîæåíèÿ (100) â ìàòðè÷íîì âèäå Λ = ±iΩ − ε Γ + · · · U = U0 ± ε U1 + · · · 94 , (101) ãäå Λ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ïî äèàãîíàëè êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ, U0 äåéñòâèòåëüíàÿ ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäà÷è áåç äåìïôèðîâàíèÿ, ò. å. ïðè ε = 0. Äëÿ ïðåäñòàâëåííûõ âî âòîðîé ãëàâå àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè íóæíà ìàòðèöà U0 . Ïîêàæåì, ÷òî â ñëó÷àå ìàëîãî äåìïôèðîâàíèÿ ìàòðèöà U1 ÷èñòî ìíèìàÿ è ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü ìàòðèöó U0 , çíàÿ ìàòðèöó U. Çàäà÷è íà îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå MUΛ2 + εDUΛ + KU = 0 (102) KU0 − MU0 Ω2 = 0. (103) è ïðè ε = 0 Ïîäñòàâèâ â ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (102) ðàçëîæåíèÿ (101), îòáðîñèâ ÷ëåíû ïîðÿäêà áîëüøå ε è ó÷òÿ óðàâíåíèå (103), ïîëó÷èì KU1 − MU1 Ω2 = ±i(2MU0 Γ − DU0 )Ω. (104) Óìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå ñëåâà íà (UT0 MU0 )−1 UT0 è ó÷òÿ, ÷òî (UT0 MU0 )−1 UT0 KU0 = Ω2 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ñèëüâåñòðà [49] îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû U−1 0 U1 −1 2 T −1 T Ω2 U−1 0 U1 − U0 U1 Ω = ±i(2Γ − (U0 MU0 ) U0 DU0 )Ω. (105) Ýòî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü, ðàññìàòðèâàÿ åãî ïî êîìïîíåíòàì T −1 T (U−1 0 U1 )jk = ∓i((U0 MU0 ) U0 DU0 )jk 95 ωj2 ωk , − ωk2 k 6= j (106) Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû U−1 0 U1 âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèÿìè íîðìèðîâêè uT0 u1 = 0 äëÿ ïðèðàùåíèé ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Çàïèøåì ýòè óñëîâèÿ, èñïîëüçóÿ ìàòðèöû U0 è U1 (UT0 U1 )kk = 0, k = 1, . . . , n. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà U0 íåâûðîæäåííàÿ, ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî çàïèñàòü ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó ñëåäóþùèì îáðàçîì (UT0 U0 U−1 0 U1 )kk = 0, Ðàññìàòðèâàÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö UT0 U0 è U−1 0 U1 ïî êîìïîíåíòàì, ïîëó÷àåì n X (UT0 U0 )kj (U−1 0 U1 )jk = 0. j=1 Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàþòñÿ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû U−1 0 U1 ÷åðåç å¼ íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû (U−1 0 U1 )kk n X −1 (UT0 U0 )kj (U−1 = 0 U1 )jk . T (U0 U0 )kk j=1 j6=k Ïîäñòàâèâ â ýòî óðàâíåíèå âûðàæåíèå (106) äëÿ íåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû U−1 0 U1 , ïîëó÷àåì (U−1 0 U1 )kk n X ωk ±i T T −1 T . (U U ) ((U MU ) U DU ) = 0 kj 0 0 jk 0 0 ωj2 − ωk2 (UT0 U0 )kk j=1 j6=k 0 Èç ðåøåíèÿ âèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ U0 ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì ïîðÿäêà ε, òî åñòü ìàòðèöà U1 ÷èñòî ìíèìàÿ. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè [48]. Çíàÿ âåêòîð u, ìîæíî ïîëó÷èòü âåêòîð u0 ñ òî÷íîñòüþ äî äåéñòâèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ. 96 Ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî êîìïëåêñíîãî ìíîæèòåëÿ. Ïóñòü u = c(u0 + iεu1 ), ãäå c êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà. Ñîñòàâèì âåêòîð èç ìîäóëåé êîìïîíåíò âåêòîðà u q |uj | = |c| u20j + ε2 u21j ≈ |c||u0j |. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ìàëîãî äåìïôèðîâàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû çàäà÷è áåç äåìïôèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ àëãîðèòìîâ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, ïðåäñòàâëåííûõ âî âòîðîé ãëàâå. 97 Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû è âûâîäû Â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåí êðàòêèé îáçîð ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè. Îïèñàíà êîíñòðóêöèÿ èçìåðèòåëüíîãî ñòåíäà, ñïðîåêòèðîâàííîãî â ÖÀÃÈ. Äàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñòåíäà è ïîñòàâëåíà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà. Âî âòîðîé ãëàâå ïðåäëîæåíî òðè âàðèàíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è â çàâèñèìîñòè îò äîïîëíèòåëüíûõ ñâåäåíèé î ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé èëè î ïàðàìåòðàõ òåëà è æåñòêîñòÿõ ïðóæèí ñòåíäà. Ðàññìîòðåíû ìåòîäû Ïðîíè è Êóíãà èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàáëþäàåìîãî ñèãíàëà. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ìåòîäîâ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïðåäïî÷òåíèå îòäàíî ìåòîäó Êóíãà. Ïîëó÷åíû ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà ïî ðåçóëüòàòàì èäåíòèôèêàöèè ñ ïðèâëå÷åíèåì äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé â òðåõ âàðèàíòàõ. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàçðàáîòàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñîâìåñòèì ñ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì. Äàíà îöåíêà ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé ìíîãîìåðíîé ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ìàëîé óïðàâëÿþùåé ñèëîé. Â òðåòüåé ãëàâå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ïîëíûõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, ó÷èòûâàþùèõ íåëèíåéíîñòè. Ïðè ïîìîùè ýòèõ ðåøåíèé ïðîâåäåí àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ òåëà ê ïîãðåøíîñòè èçìåðÿåìîãî äàò÷èêàìè ñèãíàëà. Ïðîâåäåí àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ ê îøèáêå èäåíòèôèêàöèè. Íàé98 äåí äîïóñòèìûé óðîâåíü ïîãðåøíîñòè èçìåðÿåìîãî ñèãíàëà. Ïðîèçâåäåíà îöåíêà îòêëîíåíèé öåíòðà ìàññ îò öåíòðà æåñòêîñòè è ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè îò ãëàâíûõ îñåé æåñòêîñòè ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ ïðåäëîæåííûå àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìîé òî÷íîñòè. Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà â çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé. Èçó÷åíî âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ â ñëó÷àå ìàëîé äèññèïàöèè è â ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä â òîì æå áàçèñå, ÷òî è ìàòðèöû èíåðöèè è æåñòêîñòè. Ðàçðàáîòàííûå àâòîðîì àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè áóäóò íàèáîëåå ýôôåêòèâíû åñëè êîíñòðóêöèÿ ñòåíäà ïîçâîëèò âîçáóæäàòü è íàáëþäàòü êîëåáàíèÿ òåëà ïî âñåì øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Â ýòîì ñëó÷àå çà îäíî èçìåðåíèå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âåñü òåíçîð èíåðöèè òåëà âíå çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè. 99 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Áóÿíîâ Å. Â. Ìåòîäèêà è óñòàíîâêà äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà èíåðöèè òâåðäîãî òåëà // Èçìåðèòåëüíàÿ òåõíèêà. 1988. 12. Ñ. 25 27. [2] Ãåðíåò Ì. Ì., Ðîòîáûëüñêèé Â. Ô. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè. Ì.: "Ìàøèíîñòðîåíèå", 1969. [3] Orne D., Schmitz T. Analysis of a Platform for Measuring Moments and Products of Inertia of Large Vehicles //Journal of dynamic systems, measurement and control, 2, 1978. [4] Ashley S. Testing vehicle inertia //Mechanical Engineering, 117, 1995. [5] Ìåùåðñêèé È. Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ì.: "Íàóêà". Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1981. 480 ñ. [6] Èøëèíñêèé À. Þ., Ñòîðîæåíêî Â. À., Òåì÷åíêî Ì. Å. Âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà íà ñòðóíå è ñìåæíûå çàäà÷è. Ì.: Íàóêà, 1991. [7] Ìåëüíèêîâ Â. Ã. Ñèíòåç è èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè òåíçîðîâ èíåðöèè òåë. Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíä. òåõí. íàóê, Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2001. [8] Hecker F., Hahn H. Mathematical Modeling and Parameter Identication of a Planar Servo-Pneumatic Test Facility //Nonlinear Dynamics. 1997. 14, Ñ. 269277. 100 [9] Áîãäàíîâ Â. Â., Âîëîáóåâ Â. Ñ., Êóäðÿøîâ À. È. Êîìïëåêñ äëÿ èçìåðåíèÿ ìàññû, êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ è ìîìåíòîâ èíåðöèè ìàøèíîñòðîèòåëüíûõ èçäåëèé // Èçìåðèòåëüíàÿ òåõíèêà, 2002. 2. Ñ. 37-39. [10] Íîâîæèëîâ È. Â. Ôðàêöèîííûé àíàëèç. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1995. 224 ñ. [11] Èøëèíñêèé À. Þ. Ìåõàíèêà ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì. Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1963. [12] Gladwell G. M. L. Isospectral vibrating beams // Procedings of Royal Society, London. A 458, pp. 2691-2703. 2002. [13] Kung S. Y. A New Identication and Model Reduction Algorithm via singular value decomposition//12th Asilomar Conf. Circuits, Syst. Comput. Pacic Grove. Calif., Nov. 1978. [14] Verhaegen M. Identication of the Deterministic Part of MIMO State Space Models Given in Innovation Forms from Input-Output Data // Automatica, V.30. 1, pp. 61-74. 1994. [15] Viberg M. Subspace-based Methods for the Identication of Linear Timeinvariant Systems // Automatica, V.31. 12, pp. 18351851. 1995. [16] Àëåêñàíäðîâ Â. Â., Ñàäîâíè÷èé Â. À, ×óãóíîâ Î. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìè÷åñêîé èìèòàöèè ïîëåòà. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1986. 181 ñ. 101 [17] Ôåäîðîâà Ã. À. Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ èìèòàöèîííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñòåíäîâ. Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíä. ôèç.ìàò. íàóê, Ìîñêâà, 1992. [18] Öûïêèí ß. Ç. Èíôîðìàöèîííàÿ òåîðèÿ èäåíòèôèêàöèè. Ì.: Íàóêà, 1995. [19] Ýéêõîôô Ï. Îñíîâû èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1975. [20] Ýéêõîôô Ï. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì. Ì.: Ìèð, 1983. [21] Ëüþíã Ë. Èäåíòèôèêàöèÿ ñèñòåì. Òåîðèÿ äëÿ ïîëüçîâàòåëÿ: Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåä. ß. Ç. Öûïêèíà. Ì.: Íàóêà, 1991. 432 ñ. [22] Åôèìîâ Í. Â., Ðîçåíäîðí Ý. Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974. Ñ. 357361. [23] Æóðàâëåâ Â. Ô., Êëèìîâ Ä. Ì. Ïðèêëàäíûå ìåòîäû â òåîðèè êîëåáàíèé. Ì.: Íàóêà, 1983. 328 ñ. [24] Ìîèñååâ Í. Í. Ýëåìåíòû òåîðèè îïòèìàëüíûõ ñèñòåì. Ì.: Íàóêà, 1975. 528 ñ. [25] Ìàðêååâ À. Ï. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Íàóêà. Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1990. 416 ñ. [26] Ìàðïë-ìë. Ñ. Ë. Öèôðîâîé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Ìèð, 1990. 102 [27] Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1978. 600 ñ. [28] Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ðÿáåíüêèé Â. Ñ. Ðàçíîñòíûå ñõåìû. Ââåäåíèå â òåîðèþ. Ì.: Íàóêà, 1977. 439 ñ. [29] Òåìíèêîâ Ô. Å., Àôîíèí Â. À., Äìèòðèåâ Â. È. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû èíôîðìàöèîííîé òåõíèêè., Ì.: Ýíåðãèÿ, 1971. 423 ñ. [30] Áåëÿêîâ À. Î. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà èçìåðåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êðóïíîãàáàðèòíûõ òåë ìåòîäîì ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé // Ó÷åíûå çàïèñêè ÖÀÃÈ. 2002. 12, Ñ. 129139. [31] Áåëÿêîâ À. Î. Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìàññèâíûõ òåë ïî ôîðìàì êîëåáàíèé. Âåñòíèê ìîëîäûõ ó÷åíûõ. Ñåðèÿ: Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ñ.-Ïåòåðáóðã (â ïå÷àòè). [32] Áåëÿêîâ À. Î. Optimal excitation of oscillations by a limited control force // Òðóäû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Ôèçèêà è óïðàâëåíèå Ñ.-Ïåòåðáóðã. 2003. Ñ. 11301133. [33] Áåëÿêîâ À. Î., Áëàæåííîâà-Ìèêóëè÷ Ë. Þ. Èäåíòèôèêàöèÿ èíåðöèîííîé ìàòðèöû êîíñåðâàòèâíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. ñåð. 1, Ìàòåìàòèêà ìåõàíèêà. 2005. 3, Ñ. 2528. [34] Bushaw D. W. Experimental towing tank // Stevens Inst. of Technology. Reprint 169. N.Y.: Hoboken, 1953. 103 [35] Àëåêñàíäðîâ Â. Â., Áîëòÿíñêèé Â. Ã., Ëåìàê Ñ. Ñ., Ïàðóñíè- êîâ Í. À., Òèõîìèðîâ Â. Ì. Îïòèìèçàöèÿ äèíàìèêè óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 2000. 304 ñ. [36] Ïîíòðÿãèí Ë. Ñ., Áîëòÿíñêèé Â. Ã., Ãàìêðåëèäçå Ð. Â., Ìèùåí- êî Å. Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Íàóêà, Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1969. 384 ñ. [37] Ñàââèí À. Á. Î íàèáûñòðåéøåì âûâåäåíèè èçîáðàæàþùåé òî÷êè çà ïðåäåëû çàäàííîé ôàçîâîé ïëîñêîñòè. // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõíè÷. êòáåðí. 1963. 4. [38] Îáìîðøåâ À. Í. Ââåäåíèå â òåîðèþ êîëåáàíèé. Ì.: Íàóêà, 1965. 276 ñ. [39] Ìàãíóñ Ê. Êîëåáàíèÿ. Ââåäåíèå â èññëåäîâàíèå êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Ì.: Ìèð, 1982. 304 ñ. [40] Ïàíîâêî ß. Ã., Ãóáàíîâà È. È. Óñòîé÷èâîñòü è êîëåáàíèÿ óïðóãèõ ñèñòåì. Ñîâðåìåííûå êîíöåïöèè, ïàðàäîêñû è îøèáêè. Ì.: Íàóêà, 1987. 352 ñ. [41] Âèáðàöèè â òåõíèêå. Ñïðàâî÷íèê. Òîì 1. Êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì /Ïîä ðåäàêöèåé Â. Â. Áîëîòèíà. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1999. 504 ñ. [42] Òðóáåöêîâ Ä. È., Ðîæíåâ À. Ã. Ëèíåéíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. 416 ñ. 104 [43] Âèøèê Ì. È., Ëþñòåðíèê Ë. À. Ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ î âîçìóùåíèè â ñëó÷àå ìàòðèö è ñàìîñîïðÿæåííûõ è íåñàìîñîïðÿæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. I. ÓÌÍ. 1960. Ò. 15. Âûï. 3. Ñ. 380. [44] Ñåâðþê Ì. Á., Ñåéðàíÿí À. Ï. Ýâîëþöèÿ ÷àñòîò êîëåáàíèé äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû // ÏÌÌ. 1993. Ò. 57. Âûï. 4. Ñ. 2130. [45] Ñåéðàíÿí À. Ï., Øàðàíþê À. Â. Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè ÷àñòîò êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. ÌÒÒ. 1987. 2. Ñ. 3741. [46] Seyranian A. P., Elishako I. (Eds.) Modern Problems of Structural Stability. Wien, New York: Springer. 2002. 394 p. [47] Seyranian A. P., Mailybaev A. A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. Singapore: World Scientic, 2003. 420 p. [48] Ãàíòìàõåð Ô. Ð. Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 1966. [49] Ãàíòìàõåð Ô. Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. Ì.: Íàóêà. 1988. [50] Àìåíçàäå Þ. À. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà. 1976. [51] Ãàíèåâ Ð. Ô., Êîíîíåíêî Â. Î. Êîëåáàíèÿ òâåðäûõ òåë. Ì.: "Íàóêà". Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1976. 432 ñ. 105 Ïðèëîæåíèå ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɢɧɟɪɰɢɢ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɢ > restart; ȼɟɤɬɨɪ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɩɪɭɠɢɧɵ ɜ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɦ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ, ɱɬɨɛɵ ɜɵɡɜɚɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɦɟɳɟɧɢɟ > f:=<0,P,0,0>; ª0º « » «P» f := « » «0» « » ¬0¼ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ > C:=Matrix(<<1,1,1,1>|<-rx,Lx-rx,Lx-rx,-rx>|<rz,rz,-Lz+rz,-Lz+ rz>>); rz º ª1 rx « » «1 Lxrx rz » » C := « «1 Lxrx Lzrz» « » ¬1 rx Lzrz¼ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɧɚ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɦɟɳɟɧɢɟ > Y:=matrix(4,3); Y := array( 1 .. 4, 1 .. 3, [ ] ) ɇɟɤɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɛɭɞɟɬ ɩɨɫɱɢɬɚɧɚ ɩɨ ɦɚɬɪɢɰɟ Y ɱɢɫɥɟɧɧɨ > G:=matrix(4,3); G := array( 1 .. 4, 1 .. 3, [ ] ) Ɇɚɬɪɢɰɚ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɯ ɦɚɫɫ (ɦɚɬɪɢɰɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ) > MM:=Matrix(3,(i) -> sum('Y[k,i]*f[k]', 'k'=1..4)/w[i]^2,shape=diagonal); º ª Y2, 1 P » « 0 0 » « » « w2 » « 1 » « Y2, 2 P » « » « 0 0 MM := « » 2 » « w 2 » « « Y2, 3 P »» « » « 0 0 «« 2 » » w ¼ ¬ 3 Ɇɚɬɪɢɰɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ > with(linalg): M:=multiply(transpose(C),G,MM,transpose(G),C): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ, ɪɟɲɚɹ ɫɢɫɬɟɦɭ ɢɡ ɞɜɭɯ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ > mc:=solve({factor(M[1,2])=0, factor(M[1,3])=0},{rx, rz}); 106 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mc := { rx Lx ( Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 3 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 1Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1Y2, 2 G3, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 2Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G3, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 2Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 1Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 1 ) ( Y2, 1 G1, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 1 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 32 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 3 2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ), rz Lz ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 2Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 2Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 3 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 3 G4, 3 w1 w2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 1Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2Y2, 3 G3, 3 w1 w2 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 1Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( Y2, 1 G1, 1 w2 w3 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1 107 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ) } ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɦɚɫɫɵ > Mass:=normal(M[1,1]); 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mass := P ( Y2, 1 G1, 1 w2 w3 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ) 2 2 2 ( w1 w2 w3 ) ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɟɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɢɧɟɪɰɢɢ > Izz:=factor(subs(mc, collect((normal(M[2,2])), {rx, rz}))); > Ixx:=factor(subs(mc, collect((normal(M[3,3])), {rx, rz}))); > Izx:=factor(subs(mc, collect((normal(M[2,3])), {rx, rz}))); 2 2 Izz := P Lx2 ( 2 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 G2, 2 Y2, 3 G3, 3 G4, 3 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G1, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 2 G2, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 G4, 12 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 108 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 12 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G2, 1 G4, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G1, 2 G2, 22 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G3, 3 G4, 32 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G3, 3 G4, 3 2 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G3, 32 Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G3, 3 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G3, 2 G4, 22 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G4, 1 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G4, 3 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 2 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G4, 3 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G4, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G4, 1 2 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G4, 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G1, 3 4 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 2 2 Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G4, 14 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 2 2 4 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G4, 3 4 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G4, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G4, 34 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 4 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G4, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 2 Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 109 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G4, 3 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G4, 12 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G2, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 12 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( Y2, 1 G1, 1 w2 w3 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ) 2 2 Ixx := P Lz2 ( 2 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 24 Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Y2, 2 G1, 2 w1 G2, 2 Y2, 3 G3, 3 G4, 34 Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 G4, 14 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 4 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G3, 2 G4, 22 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 4 Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G4, 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 12 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 110 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G4, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 12 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G3, 1 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 2 2 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G2, 3 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 22 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 2 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G3, 1 2 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 22 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 Y2, 3 G4, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G4, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G4, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 1 G4, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 2 2 Y2, 1 G4, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G2, 3Y2, 1 G4, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G4, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 32 Y2, 1 G1, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 12 Y2, 3 G4, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G4, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 2 G4, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 2 Y2, 2 G4, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 2 2 2 Y2, 2 G4, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G2, 32 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 22 Y2, 3 G1, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 22 Y2, 3 G1, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 G3, 12 Y2, 2 G2, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G3, 1 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G3, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 Y2, 2 G1, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 32 Y2, 2 G1, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G2, 3 G4, 3 111 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G3, 3 G4, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G3, 3 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G3, 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G3, 3 G4, 3Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G3, 3 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 2 G2, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 2 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G2, 12 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 22 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( Y2, 1 G1, 1 w2 w3 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 3 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 1 2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 32 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 1 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G4, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ) 2 2 2 Izx := P Lx Lz ( Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2Y2, 3 G1, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2Y2, 3 G1, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1Y2, 2 G2, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 G4, 1Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G2, 1 G4, 1Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G3, 3 G4, 3Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G3, 3Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G3, 3 G4, 3 112 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G2, 1 G3, 1Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G4, 3 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G4, 1 Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G4, 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 2 G2, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G1, 3 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 1 G1, 1 w2 G2, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 w3 G2, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 1 G1, 1 w3 G2, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G4, 2 Y2, 2 G1, 2 w1 G3, 2 Y2, 3 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G4, 1 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G3, 2 2 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G2, 1 G3, 1 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 2Y2, 2 G1, 2 w1 G2, 2 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 G2, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G3, 3 G4, 3Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G4, 1 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 113 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G3, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G3, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G4, 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G4, 3 2 2 Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G4, 1 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G4, 3 Y2, 3 G2, 3 w2 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G3, 1 G4, 12 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G2, 2Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G3, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G1, 1 w2 G2, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G3, 3 2 2 Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G4, 2Y2, 3 G2, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 Y2, 3 G3, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G2, 3 w2 Y2, 1 G3, 1 G4, 1Y2, 3 G2, 3 w1 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 2 Y2, 2 G3, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1Y2, 2 G3, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 2 2 2 2 Y2, 2 G3, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 3Y2, 2 G1, 2 w3 G2, 2 Y2, 1 G3, 1 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2Y2, 1 G1, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 2 2 2 Y2, 1 G3, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 Y2, 1 G3, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G4, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1Y2, 1 G4, 1 w3 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 Y2, 1 G4, 1 w2 Y2, 3 G1, 3 G2, 3Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G1, 2 G3, 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 G4, 2Y2, 1 G1, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G2, 3 G3, 3 Y2, 1 G2, 1 w2 G3, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3Y2, 1 G1, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G3, 3 2 2 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G3, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 3 G4, 3 w1 Y2, 2 G1, 2 G2, 2 2 2 2 2 Y2, 2 G4, 2 w3 Y2, 1 G1, 1 G2, 1Y2, 2 G4, 2 w1 Y2, 3 G1, 3 G2, 3 2 2 Y2, 1 G2, 1 w3 G4, 1 Y2, 2 G1, 2 G4, 2Y2, 3 G1, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 114 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G1, 2 G3, 2Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G2, 1 G3, 1 Y2, 2 G2, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 3 G1, 3 w2 G2, 3 Y2, 1 G3, 1 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G2, 3 Y2, 2 G3, 2 Y2, 2 G1, 2 w3 G4, 2 Y2, 1 G1, 1 G3, 1 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G3, 3Y2, 2 G1, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G2, 3 G4, 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G2, 1 w2 Y2, 3 G3, 3 G4, 3Y2, 1 G2, 1 w3 Y2, 2 G3, 2 G4, 2 Y2, 2 G2, 2 w1 Y2, 3 G3, 3 G4, 3Y2, 2 G2, 2 w3 Y2, 1 G3, 1 G4, 1 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 G4, 2 Y2, 3 G1, 3 G4, 3Y2, 3 G3, 3 w2 Y2, 1 G1, 1 G2, 1 2 2 2 2 Y2, 3 G1, 3 w1 G3, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 2Y2, 3 G2, 3 w1 G4, 3 Y2, 2 G2, 2 G3, 2 Y2, 3 G2, 3 w2 G4, 3 Y2, 1 G1, 1 G4, 1Y2, 1 G2, 1 w2 G4, 1 Y2, 3 G1, 3 G4, 3 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G2, 12 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G3, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 1 G1, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G2, 22 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G3, 2 2 Y2, 2 G1, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G2, 32 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G1, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G3, 12 Y2, 1 G2, 1 w2 w3 G4, 1 2 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G3, 22 Y2, 2 G2, 2 w1 w3 G4, 22 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G3, 3 2 Y2, 3 G2, 3 w1 w2 G4, 32 Y2, 1 G3, 1 w2 w3 G4, 12 Y2, 2 G3, 2 w1 w3 G4, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y2, 3 G3, 3 w1 w2 G4, 3Y2, 1 G4, 1 w2 w3 Y2, 2 G4, 2 w1 w3 Y2, 3 G4, 3 w1 w2 ) ɉɪɢɫɜɚɢɜɚɟɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ rx ɢ rz ɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ > assign(mc): ɑɢɬɚɟɦ ɢɡ ɮɚɣɥɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ > pn:=5;B:=readdata(".\\Output.st",24+pn); pn := 5 B := [ [ 2.000000, .8700000, 3000.000, 44000.00, 400.0000, 14.04726, 16.39794, 27.35160, 14.04726, 16.39795, 27.35160, 14.04726, 16.39794, 27.35160, 14.04726, 16.39795, 27.35160, -.0006753510, .0006737952, -.0006730062, -.0006753488, -.0007192560, -.0006304674, -.0006753497, -.0006737934, .0006730067, -.0006753526, .0007192575, .0006304678 ] ] ɉɪɢɫɜɚɢɜɚɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬɚɦ ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦ ɦɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚ ɞɚɬɱɢɤɚɯ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɫɬɨɢɬ ɦɚɬɪɢɰɚ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ, ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɧɚ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ > i:=1: w:=<B[i,1+pn]|B[i,2+pn]|B[i,3+pn]>; > Y:=Matrix(<<B[i,13+pn]|B[i,14+pn]|B[i,15+pn]>,<B[i,16+pn]|B[i 115 ,17+pn]|B[i,18+pn]>,<B[i,19+pn]|B[i,20+pn]|B[i,21+pn]>,<B[i,2 2+pn]|B[i,23+pn]|B[i,24+pn]>>); rx0:=B[i,1]; rz0:=B[i,2]; Ixx0:=B[i,3]; Izz0:=B[i,4]; Izx0:=B[i,5]; Mass0:=15000; w := [ 14.04726, 16.39794, 27.35160 ] ª-.0006753510 « «-.0006753488 Y := « «-.0006753497 « ¬-.0006753526 .0006737952 -.0007192560 -.0006737934 .0007192575 -.0006730062º » -.0006304674» » .0006730067 » » .0006304678 ¼ rx0 := 2.000000 rz0 := .8700000 Ixx0 := 3000.000 Izz0 := 44000.00 Izx0 := 400.0000 Mass0 := 15000 ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ > G:=multiply(Y, inverse(multiply(transpose(Y),Y))); ª-370.1777506 346.8408488 -395.6877211º « » «-370.1788100 -370.2442808 -370.6773229» » G := « «-370.1783343 -346.8421470 395.6870886 » « » ¬-370.1776585 370.2428281 370.6766316 ¼ Ɂɚɞɚɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɨɡɛɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɢ ɛɚɡ ɫɬɟɧɞɚ > P:=-2000; Lx:=4; Lz:= 1.74; P := -2000 Lx := 4 Lz := 1.74 ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɢɫɤɨɦɵɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɢ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦ ɢɡ ɫ ɡɚɞɚɧɧɵɦɢ > <<"ɉɚɪɚɦɟɬɪ","rx","rz","Izz","Ixx","Izx","Mass">|<"Ɂɚɞɚɧɨ",rx 0,rz0,Izz0,Ixx0,Izx0,Mass0>|<"ɇɚɣɞɟɧɨ",rx,rz,Izz,Ixx,Izx,Mass >|<"Ɉɲɢɛɤɚ",abs(rx0-rx),abs(rz0-rz),abs(Izz0-Izz),abs(Ixx0-Ix x),abs(Izx0-Izx),abs(Mass0-Mass)>|<"Ɉɲɢɛɤɚ %",100*abs(rx0-rx)/rx,100*abs(rz0-rz)/rz,100*abs(Izz0-Izz)/Iz z,100*abs(Ixx0-Ixx)/Ixx,100*abs(Izx0-Izx)/(Izx+1),100*abs(Mas s0-Mass)/Mass>>; ª"ɉɚɪɚɦɟɬɪ" « « "rx" « « "rz" « « "Izz" « « « "Ixx" « « "Izx" « ¬ "Mass" "Ɂɚɞɚɧɨ" 2.000000 .8700000 44000.00 3000.000 400.0000 15000 "ɇɚɣɞɟɧɨ" 2.000005143 .8699994285 44031.41489 3005.936169 399.9900534 15007.77822 > 116 "Ɉɲɢɛɤɚ" .5143 10-5 -6 .5715 10 31.41489 5.936169 .0099466 7.77822 "Ɉɲɢɛɤɚ %" º » .0002571493387 »» .00006568969832»» .07134653764 »» » .1974815387 » » .002480510406 » » .05182792473 ¼

Определение моментов инерции крупногабаритных тел по

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Определение моментов инерции крупногабаритных тел по

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib